8.4 三元一次方程组的解法同步练习
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8.4 三元一次方程组的解法同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１.方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是１,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组． 21世纪教育网版权所有
２.解三元一次方程组的基本思路是:通过“ ( http: / / www.21cnjy.com )代入”或“ 加减”进行消元,把“三元”转化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程．
3. 解三元一次方程组的基本思想是消元,根 ( http: / / www.21cnjy.com )据方程组中各未知数的特点,先消去某一未知数,转化为二元一次方程组求解． ①先消去某个方程中缺少的未知数; ②先消去系数最简单的未知数;③先消去系数成整数倍数关系的未知数．另外,在“消元”过程中,必须保证每个方程至少用一次．2·1·c·n·j·y
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
2．由方程组可以得到x+y+z的值等于( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
3．运用加减法解方程组则应该( )
A. 先消x得 B. 先消z得
C. 先消y得 D. 得8x-2y+4z=11,再解
4．4．已知a＋b＝16，b＋c＝12，c＋a＝10，则a＋b＋c等于( )
A. 19 B. 38 C. 14 D. 22
5．已知方程组，若消去z，得二元一次方程组不正确的为（ ）
A. B. C. D.
6．三元一次方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
7．如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一 ( http: / / www.21cnjy.com )个数，把这个正方形每条边的两顶点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB边上的数是3，BC边上的数是7，CD边上的数是12，则AD边上的数是( )www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A. 2 B. 7 C. 8 D. 15
8．已知方程组，则的值为（ ）
A. 14 B. 2 C. －14 D. －2
9．若方程组的解和的值互为相反数，则的值等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10．学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2:3，三种球共41个，则篮球的个数为（ ）【版权所有：21教育】
A. 21 B. 12 C. 8 D. 35
二、填空题
11．如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式，则△ABC的周长是___________．
12．在方程5中，若，则z＝__________．
13．确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为___________．21教育名师原创作品
14．王虎用100元买油菜 ( http: / / www.21cnjy.com )籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问王虎油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了_______包.
三、解答题
15．解下列方程组
（1）
（2）
16．已知，求x＋y＋z的值．
17．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄 ( http: / / www.21cnjy.com )和的6倍，这对夫妇两年前的年龄和是其子女两年前年龄和的10倍，6年后，这对夫妇的年龄和是其子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？21·cn·jy·com
18．为迎接“第一届全国青年运动会 ( http: / / www.21cnjy.com )”，学校组织了飞镖比赛游戏：每位选手朝特制的靶子上各投三次飞镖，在同一圆环内得分相同．如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩是多少分？21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
1．D
【解析】在方程组中，①＋②＋③得，由④－①得，由④－②得，由④－③得，所以方程组的解为，所以选择D．
2．A
【解析】试题解析：已知，
①+②+③得：
3x+3y+3z=24，
∴x+y+z=8．
故选A．
3．C
【解析】试题解析： ，
②×3+③，得11x+7z=29④，
④与①组成二元一次方程组.
故选C．
4．A
【解析】试题解析： ，
①+②+③得2a+2b+2c=38，
所以a+b+c=19．
故选A．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组．【来源：21·世纪·教育·网】
5．D
【解析】在方程组中，①＋②得，①×2＋③得， ②×2－③得，所以由④与⑤可以组成A，由④与⑥可以组成B，由⑤与⑥可以组成C，所以选择D．21·世纪*教育网
6．B
【解析】在方程组中，①＋②＋③得，由④－①得，由④－②得，由④－③得，所以方程组的解为，所以选择B．
7．C
【解析】设正方形ABCD的四个顶点上的数分别是a，b，c，d，根据题意，得，
由②-①得：c-a=4，即c=a+4，将其代入③，得a+4+d=12，
∴a+d=8，故AD边上的数是8．
故选C.
8．B
【解析】在方程组中，由①＋②得，即，所以选B．
【方法点睛】在方程组解不出来而又要求代数式的值时，我们常常将几个方程组进行适当的加减运算得到所要求的代数式或其倍数的值．www-2-1-cnjy-com
9．C
【解析】将代入方程组中得，解得．故选C.
10．A
【解析】设篮球有x个，排球有y个，足球有z个，根据题得，解得，所以篮球有21个．
故选A.
【方法点睛】用三元一次方程组解答实 ( http: / / www.21cnjy.com )际问题的方法与用二元一次方程组解答实际问题的方法类似，根据题目给出的条件寻找相等关系是利用方程组解应用题的重要环节．
11．72
【解析】由题意可得，解方程组得，所以△ABC的周长为24＋18＋30＝72．
故答案：72.
12．2
【解析】将两个未知数的值代入三元一次方程中即可求得另一个未知数的值．易得z=2.
故答案：2.
13．6，4，1，7
【解析】根据题意中，由④得d=7，将d=7代入③得c=1，将c=1代入②得b=4，
将b=4代入①得a=6，所以解密得到的明文为6，4，1，7．
故答案：6，4，1，7.
14．3,20,77.
【解析】先设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x、y、z包，再根据题中的相等关系列出方程组，并根据实际意义找出满足题意的解即可.21教育网
解：设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x、y、z包
根据题意可列方程组，
②－3×①，得
要使x、y、z均为正整数，
则
故答案为：3、20、77
点睛：本题主要考查学生利用方程思想建模解决实 ( http: / / www.21cnjy.com )际问题的能力.解题的技巧在于要利用题中的相等关系建立方程组，并用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据实际情况得出满足题意的解.21cnjy.com
15．（1）；（2）
【解析】【试题分析】（1）根据代入消元法求解即可.（2）根据加减消元法求解即可.
【试题解析】
（1），①＋③得3x＋4y＝18④，由②得y＝3x﹣3⑤，把⑤代入④
得，解得x＝2，把x＝2代入⑤得y＝3×2﹣3＝3，把x＝2，y＝3代入①得
，解得z＝1，∴原方程组的解为；
（2），①＋②，得 ( http: / / www.21cnjy.com )④，②＋③，得，即⑤，
④－⑤，得先x=2，把x=2代入④，得z=－3，把x=2，z=－3代入①，得y=－3，∴原方程组的解为．2-1-c-n-j-y
16．3
【解析】【试题分析】根据绝对值、完全平方的非负性得，由题意可知，解得，代入得：x＋y＋z＝3.．21*cnjy*com
【试题解析】
由题意可知，解得，所以x＋y＋z＝3.．
【方法点睛】绝对值的非负性与平方的非负性可以和许多数学知识相结合进行考查．
17．这对夫妇共有3个子女．
【解析】试题分析：设这对夫 ( http: / / www.21cnjy.com )妇的年龄的和为x，子女现在的年龄和为y，这对夫妇共有z个子女；根据本题中的三个等量关系为：此夫妇现在的年龄和=6×其子女现在的年龄和；此夫妇两年前的年龄和=10×其子女两年前的年龄和；此夫妇6年后的年龄和=3×其子女6年后的年龄和．可列出方程组，解方程组即可.【来源：21cnj*y.co*m】
设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子女，则
解得
答：这对夫妇共有3个子女．
点睛：在年龄问题中，在同 ( http: / / www.21cnjy.com )一时间段内，每个人年龄的变化值是相等的.如在本题中，夫妇2人在6年后每人年龄增加6岁，子女3人在6年后每人年龄也都增加6岁.
18．36分
【解析】【试题分析】
先由图示与小明、小君、小红的成绩计算出飞镖在三个圆环内的得分情况，那么根据图示小华的得分为三个圆环得分的和．【出处：21教育名师】
【试题解析】
设飞镖投到最小的圆中得x分，投到中间的圆中得y分，投到最外面的圆中得z分，则
，解得，所以（分）
答：小华的成绩是36分．
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8.4 三元一次方程组的解法同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１.方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是１,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组． 21世纪教育网版权所有
２.解三元一次方程组的基本思路是:通过“ ( http: / / www.21cnjy.com )代入”或“ 加减”进行消元,把“三元”转化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程．
3. 解三元一次方程组的基本思想是消元,根 ( http: / / www.21cnjy.com )据方程组中各未知数的特点,先消去某一未知数,转化为二元一次方程组求解． ①先消去某个方程中缺少的未知数; ②先消去系数最简单的未知数;③先消去系数成整数倍数关系的未知数．另外,在“消元”过程中,必须保证每个方程至少用一次．2·1·c·n·j·y
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
2．由方程组可以得到x+y+z的值等于( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
3．运用加减法解方程组则应该( )
A. 先消x得 B. 先消z得
C. 先消y得 D. 得8x-2y+4z=11,再解
4．4．已知a＋b＝16，b＋c＝12，c＋a＝10，则a＋b＋c等于( )
A. 19 B. 38 C. 14 D. 22
5．已知方程组，若消去z，得二元一次方程组不正确的为（ ）
A. B. C. D.
6．三元一次方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
7．如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一 ( http: / / www.21cnjy.com )个数，把这个正方形每条边的两顶点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB边上的数是3，BC边上的数是7，CD边上的数是12，则AD边上的数是( )www.21-cn-jy.com
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A. 2 B. 7 C. 8 D. 15
8．已知方程组，则的值为（ ）
A. 14 B. 2 C. －14 D. －2
9．若方程组的解和的值互为相反数，则的值等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10．学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2:3，三种球共41个，则篮球的个数为（ ）【版权所有：21教育】
A. 21 B. 12 C. 8 D. 35
二、填空题
11．如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式，则△ABC的周长是___________．
12．在方程5中，若，则z＝__________．
13．确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为___________．21教育名师原创作品
14．王虎用100元买油菜 ( http: / / www.21cnjy.com )籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问王虎油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了_______包.
三、解答题
15．解下列方程组
（1）
（2）
16．已知，求x＋y＋z的值．
17．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄 ( http: / / www.21cnjy.com )和的6倍，这对夫妇两年前的年龄和是其子女两年前年龄和的10倍，6年后，这对夫妇的年龄和是其子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？21·cn·jy·com
18．为迎接“第一届全国青年运动会 ( http: / / www.21cnjy.com )”，学校组织了飞镖比赛游戏：每位选手朝特制的靶子上各投三次飞镖，在同一圆环内得分相同．如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩是多少分？21*cnjy*com
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参考答案
1．D
【解析】在方程组中，①＋②＋③得，由④－①得，由④－②得，由④－③得，所以方程组的解为，所以选择D．
2．A
【解析】试题解析：已知，
①+②+③得：
3x+3y+3z=24，
∴x+y+z=8．
故选A．
3．C
【解析】试题解析： ，
②×3+③，得11x+7z=29④，
④与①组成二元一次方程组.
故选C．
4．A
【解析】试题解析： ，
①+②+③得2a+2b+2c=38，
所以a+b+c=19．
故选A．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组．【来源：21·世纪·教育·网】
5．D
【解析】在方程组中，①＋②得，①×2＋③得， ②×2－③得，所以由④与⑤可以组成A，由④与⑥可以组成B，由⑤与⑥可以组成C，所以选择D．21·世纪*教育网
6．B
【解析】在方程组中，①＋②＋③得，由④－①得，由④－②得，由④－③得，所以方程组的解为，所以选择B．
7．C
【解析】设正方形ABCD的四个顶点上的数分别是a，b，c，d，根据题意，得，
由②-①得：c-a=4，即c=a+4，将其代入③，得a+4+d=12，
∴a+d=8，故AD边上的数是8．
故选C.
8．B
【解析】在方程组中，由①＋②得，即，所以选B．
【方法点睛】在方程组解不出来而又要求代数式的值时，我们常常将几个方程组进行适当的加减运算得到所要求的代数式或其倍数的值．www-2-1-cnjy-com
9．C
【解析】将代入方程组中得，解得．故选C.
10．A
【解析】设篮球有x个，排球有y个，足球有z个，根据题得，解得，所以篮球有21个．
故选A.
【方法点睛】用三元一次方程组解答实 ( http: / / www.21cnjy.com )际问题的方法与用二元一次方程组解答实际问题的方法类似，根据题目给出的条件寻找相等关系是利用方程组解应用题的重要环节．
11．72
【解析】由题意可得，解方程组得，所以△ABC的周长为24＋18＋30＝72．
故答案：72.
12．2
【解析】将两个未知数的值代入三元一次方程中即可求得另一个未知数的值．易得z=2.
故答案：2.
13．6，4，1，7
【解析】根据题意中，由④得d=7，将d=7代入③得c=1，将c=1代入②得b=4，
将b=4代入①得a=6，所以解密得到的明文为6，4，1，7．
故答案：6，4，1，7.
14．3,20,77.
【解析】先设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x、y、z包，再根据题中的相等关系列出方程组，并根据实际意义找出满足题意的解即可.21教育网
解：设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x、y、z包
根据题意可列方程组，
②－3×①，得
要使x、y、z均为正整数，
则
故答案为：3、20、77
点睛：本题主要考查学生利用方程思想建模解决实 ( http: / / www.21cnjy.com )际问题的能力.解题的技巧在于要利用题中的相等关系建立方程组，并用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据实际情况得出满足题意的解.21cnjy.com
15．（1）；（2）
【解析】【试题分析】（1）根据代入消元法求解即可.（2）根据加减消元法求解即可.
【试题解析】
（1），①＋③得3x＋4y＝18④，由②得y＝3x﹣3⑤，把⑤代入④
得，解得x＝2，把x＝2代入⑤得y＝3×2﹣3＝3，把x＝2，y＝3代入①得
，解得z＝1，∴原方程组的解为；
（2），①＋②，得 ( http: / / www.21cnjy.com )④，②＋③，得，即⑤，
④－⑤，得先x=2，把x=2代入④，得z=－3，把x=2，z=－3代入①，得y=－3，∴原方程组的解为．2-1-c-n-j-y
16．3
【解析】【试题分析】根据绝对值、完全平方的非负性得，由题意可知，解得，代入得：x＋y＋z＝3.．21*cnjy*com
【试题解析】
由题意可知，解得，所以x＋y＋z＝3.．
【方法点睛】绝对值的非负性与平方的非负性可以和许多数学知识相结合进行考查．
17．这对夫妇共有3个子女．
【解析】试题分析：设这对夫 ( http: / / www.21cnjy.com )妇的年龄的和为x，子女现在的年龄和为y，这对夫妇共有z个子女；根据本题中的三个等量关系为：此夫妇现在的年龄和=6×其子女现在的年龄和；此夫妇两年前的年龄和=10×其子女两年前的年龄和；此夫妇6年后的年龄和=3×其子女6年后的年龄和．可列出方程组，解方程组即可.【来源：21cnj*y.co*m】
设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子女，则
解得
答：这对夫妇共有3个子女．
点睛：在年龄问题中，在同 ( http: / / www.21cnjy.com )一时间段内，每个人年龄的变化值是相等的.如在本题中，夫妇2人在6年后每人年龄增加6岁，子女3人在6年后每人年龄也都增加6岁.
18．36分
【解析】【试题分析】
先由图示与小明、小君、小红的成绩计算出飞镖在三个圆环内的得分情况，那么根据图示小华的得分为三个圆环得分的和．【出处：21教育名师】
【试题解析】
设飞镖投到最小的圆中得x分，投到中间的圆中得y分，投到最外面的圆中得z分，则
，解得，所以（分）
答：小华的成绩是36分．
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