(共32张PPT)
2.7正方形
数学湘教版 八年级下
导入新课
除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
正方形
怎样研究这类图形？
先看看我们是怎样研究矩形和菱形的.
平行四边形与矩形、菱形有什么联系？
性质
定义
判定
逆向猜想
一个角
是直角
一组邻
边相等
平行四边形
矩形
菱形
导入新课
导入新课
观察
装修房子铺地面的瓷砖大多是正方形的形状， 它是什么样的四边形呢？ 它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？
新知讲解
正方形的四条边都相
等， 四个角都是直角.
正方形既是矩形又是菱形.
新知讲解
正方形定义：
3. 有一个角是直角的菱形叫做正方形
1.有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形。
2. 有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
平行四边形
一个角是直角
且一组邻边相等
正方形
正方形即是特殊的平行四边形又是特殊的矩形和菱形。
新知讲解
平行四边形
矩形
菱形
正方形
有一个角是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个角是直角
讨论总结:正方形有那些性质
拓展讨论
新知讲解
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
正方形的性质=
菱形性质
矩形性质
新知讲解
正方形的性质:
O
A
B
C
D
边:
对边平行；
四条边都相等；
四个角都是直角；
对角线相等；
对角线互相垂直平分；
每条对角线平分一组对角；
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每组对边中点的直线都是它的对称轴；
角：
对角线：
对称性：
新知讲解
例1.如图，点E 是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D 作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE = DF.
证明∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD=CD， ∠A=∠DCF= 90°.
∵ DF⊥DE，
∴ ∠EDF= 90°， 即∠1+∠3 =90°，
又∵ ∠2+∠3= 90°，
∴ ∠1=∠2.
∴ △AED≌△CFD （ASA）.
∴ DE=DF.
学以致用
如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )
A.45° B.55° C.60° D.75°
C
新知讲解
你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
动手操作
总结：矩形+( )=正方形
有一组邻
边相等
一组邻边相等
新知讲解
有一组邻边相等的矩形是正方形.
∵矩形ABCD中，AB=BC
∴ABCD为正方形
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
想一想
可以活动的菱形模型能变成一个正方形吗？如何变？
总结：菱形+( )=正方形
有一个角
是直角
新知讲解
一个角是直角
新知讲解
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
有一个角是直角的菱形是正方形.
∵菱形ABCD中，∠A=90°
∴ABCD为正方形
思考：如果是平行四边形呢？
有一组邻
边相等
有一个角
是直角
有一个角
是直角
有一组邻
边相等
总结：平行四边形+( )+( )=正方形
有一组邻
边相等
有一个角
是直角
新知讲解
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
∵□ABCD中，AB=BC且∠A=90°
∴ABCD为正方形
新知讲解
新知讲解
正方形的判定
我们把有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形
有一个角是直角的菱形是正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
定义法
菱形法
矩形法
新知讲解
例2 如图,已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA′ =BB′ =CC′ =DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
新知讲解
证明∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA.
又∵ AA′=BB′=CC′=DD′，
∴ D′A=A′B=B′C=C′D.
又∵ ∠A=∠B=∠C=∠D= 90°，
∴ △AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.
∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′.
∴ 四边形A′B′C′D′是菱形.
学以致用
下列说法不正确的是( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D
知识拓展
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学讨论后填写下表：
边 角 对 角 线 对 称 性
平 行 四边形
矩形
菱形
正方形
几种特殊四边形的性质
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行，四边都相等
对边平行，
四条边
都相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角线互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
平行四边形
矩形
四边形
菱形
正
方
形
知识拓展
四边形与特殊四边形的关系
巩固提升
1.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A.∠D=90° B.AB＝CD C.AD=BC D.BC=CD
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )
A.AC=BD，AB∥CD，AB=CD B.AD∥BC，∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D.AO=CO，BO=DO，AB=BC
D
C
巩固提升
3.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为__________.
5
巩固提升
4、如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是__________.
巩固提升
5.如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.
(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形.
解：(1)DE⊥FG，
理由如下：由题意得∠A=∠EDB=∠GFE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠BDE+∠BED=90°.
∴∠GFE+∠BED=90°.
∴∠FHE=90°，即DE⊥FG.
巩固提升
(2)证明：
∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，
∴CB∥GE，CB=GE.
∴四边形CBEG是平行四边形.
∵∠ABC=∠GEF=90°，
∴四边形CBEG是矩形.
∵BC=BE，
∴四边形CBEG是正方形.
巩固提升
课堂小结
正方形
1、正方形定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形有哪些性质
对边平行，四条边都相等
四个角都是直角
对角线相等且互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角
边：
角：
对角线：
3、正方形判定的方法主要有定义法、菱形法、矩形法
谢谢
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2.7正方形练习题
一、选择题
1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.内角和为360° B.对角线相等
C.对角线平分内角 D.对角线互相垂直平分
2、四边形ABCD中，AC、BD相交于O，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A. AO = BO = CO = DO，AC⊥BD B. AB∥CD，AC = BD
C. AD∥BC，∠A =∠C D. AO = CO，BO = CO，AB = BC
3、四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（ ）21世纪教育网版权所有
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
4、如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 ( )
A.14 B.15 C.16 D.17
5、已知四边形ABCD,对角线AC与BD互相垂直.顺次连接其四条边的中点,得到新四边形的形状一定是 ( ) 21cnjy.com
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
6. 一个正方形和一个等腰三角形有相同的周长，等腰三角形的边长分别为5.6cm和13.2cm，则这个正方形的面积为( )21·cn·jy·com
A.24 B.36 C.48 D.64
7. 如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（ ）
A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对
二、填空题
8. 如图，已知正方形ABCD中，E为对角线AC上的一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
9. 如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点D,B作DE⊥a于点E,BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为 . www.21-cn-jy.com
10. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________度角. 【来源：21·世纪·教育·网】
11. 如图，P是正方形ABCD内一点，如果△ABP为等边三角形，DP的延长线交BC于C，
那么∠PCD= .
三、解答题
12.如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
13. 如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．21教育网
14．如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F 2·1·c·n·j·y
(1)求证:四边形CDOF是矩形.
(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形 并说明理由.
15. 已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=2AD.DE⊥BC,垂足为点F,且F是DE的中点,连接AE,交边BC于点G. 21·世纪*教育网
(1)求证:四边形ABGD是平行四边形.
(2)如果AD=AB,求证:四边形DGEC是正方形.
答案：
1、B. 2、A. 3、D. 4、B. 5. B 6. D 7.Cwww-2-1-cnjy-com
8. 22.5°
10. 45
11. 15°
12.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.
∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.∵DG＝AH＝2，
∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.
又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，
∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，
∴菱形EFGH为正方形．
13. 证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，
∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°.
又∵DH＝CE，BK＝CE，
∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，
∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，
∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠DAH.
∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，
∴四边形AKFH为正方形．
14.
(1)∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,
∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF,
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴2∠COD+2∠COF=180°,
∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.
∵OA=OC,OD平分∠AOC,
∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三线合一”的性质),
∴∠CDO=90°,
∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,
∴四边形CDOF是矩形.
(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.
理由如下:∵∠AOC=90°,AD=DC,
∴OD=DC.
又由(1)知四边形CDOF是矩形,则
四边形CDOF是正方形.
因此,当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.
15.
(1)如图,连接AC,BE.
∵DE⊥BC,且F是DE的中点,∴DC=EC,
即得∠DCF=∠ECF,
又∵AD∥BC,AB=CD,∴∠ABC=∠DCF,AB=EC,
∴∠ABC=∠ECF,∴AB∥EC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴BG=CG=BC,
∵BC=2AD,∴AD=BG,
又∵AD∥BG,∴四边形ABGD是平行四边形.
(2)∵四边形ABGD是平行四边形,
∴AB∥DG,AB=DG,
又∵AB∥EC,AB=EC,∴DG∥EC,DG=EC,
∴四边形DGEC是平行四边形,
又∵DC=EC,∴四边形DGEC是菱形,
∴DG=DC,
由AD=AB,即得CG=DC=DG,
∴DG2+DC2=CG2,∴∠GDC=90°,
∴四边形DGEC是正方形.
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湘教版数学八年级下册2.7正方形课时教学设计
课题 正方形 单元 2 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值
能力目标 经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法
知识目标 了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法
重点 探索正方形的性质与判定
难点 掌握正方形的性质、判定的应用方法
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 回顾知识 除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？ 怎样研究这类图形？先看看我们是怎样研究矩形和菱形的.平行四边形与矩形、菱形有什么联系？观察装修房子铺地面的瓷砖大多是正方形的形状， 它是什么样的四边形呢？ 它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？ 学生：积极思考带着问题参与新课. 通过实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程
讲授新课 正方形与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？学生：正方形的四条边都相等， 四个角都是直角学生：正方形既是矩形又是菱形。正方形定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形有一组邻边相等的矩形叫做正方形有一个角是直角的菱形叫做正方形正方形即是特殊的平行四边形又是特殊的矩形和菱形讨论总结:正方形有那些性质 例1.如图，点E 是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D 作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE = DF.练一练：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( ) A.45° B.55 C.60° D.75°动手操作你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？总结：矩形+( )=正方形你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？有一组邻边相等的矩形是正方形.∵矩形ABCD中，AB=BC∴ABCD为正方形想一想可以活动的菱形模型能变成一个正方形吗？如何变？总结：菱形+( )=正方形你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？有一个角是直角的菱形是正方形.∵菱形ABCD中，∠A=90°∴ABCD为正方形思考：如果是平行四边形呢？总结：( )+( )=正方形你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形∵□ABCD中，AB=BC且∠A=90°∴ABCD为正方形正方形的判定定义法：我们把有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形。矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形例2 如图,已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA′ =BB′ =CC′ =DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形.练一练：下列说法不正确的是( ) A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学讨论后填写下表：几种特殊四边形的性质四边形与特殊四边形的关系 从学生的已有的知识出发，激发学生的强烈的好奇心和求知欲。学生试着证明猜想并归纳出正方形的性质启发学生分析，引导学生，层层理清题目证明的思路，简化证明方法。 学生自己动手操作，试着拼出正方形。在老师的引导下，学生给出另外两种方法。师生共同归纳出正方形的判定方法。教师引导学生审题，学生弄清题意后，师生共同分析思路，教师渗透综合分析法。学生口答，教师板书解题过程。学生自己解答，老师订正学生总结几种特殊四边形的性质并填表，然后通过画图画出四边形与特殊四边形的关系。 让学生动脑，自主发现正方形的定义。 并运用了类比和比较的方式，让学生加深对定义的理解让学生在特定的数学活动中经历正方形的认识，通过证明、分析、推理、归纳总结出了正方形的性质师生共同完成推理过程。引导学生思考问题培养学生独立思考，总结归纳的能力。采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．学生审题是解题的关键，通过运用正方形的判定定理学会解决简单的实际问题，培养了学生的应用意识。培养学生独立思考， 解决问题的能力通过学生的总结，更加深了学生对正方形知识的理解，从而加深的记忆与运用.
巩固提升 1.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A.∠D=90° B.AB＝CD C.AD=BC D.BC=CD答案：D2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A.AC=BD，AB∥CD，AB=CD B.AD∥BC，∠A=∠CC.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D.AO=CO，BO=DO，AB=BC答案：C3.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为__________.答案： 54、如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是__________. 答案： 5.如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H. (1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由； (2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形.答案：解：(1)DE⊥FG，理由如下：由题意得∠A=∠EDB=∠GFE，∠ABC=∠DBE=90°，∴∠BDE+∠BED=90°.∴∠GFE+∠BED=90°.∴∠FHE=90°，即DE⊥FG.(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB=GE.∴四边形CBEG是平行四边形.∵∠ABC=∠GEF=90°，∴四边形CBEG是矩形.∵BC=BE，∴四边形CBEG是正方形. 学生自主解答，教师讲解答案。 通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？1、正方形定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形2、正方形有哪些性质边：对边平行，四条边都相等角：四个角都是直角对角线：对角线相等；对角线互相垂直平分；每条对角线平分一组对角3、正方形判定的方法主要有哪几种？ 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 2.7正方形正方形定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
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