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2.5.2矩形的判定
数学湘教版 八年级下
四边形
平行
四边形
两组对
边平行
一个角
是直角
∟
矩形
平行四边形□
矩形
四边形
知识回顾
导入新知
测量…？
木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？
你现在有办法帮他吗
新知讲解
从矩形的定义出发
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
你还有其它的判定方法吗？
ABCD
∠A=900
四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
新知讲解
动脑筋
矩形的四个角是直角，那么四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？一个角是直角呢？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
新知讲解
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？
新知讲解
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
∟
∟
∟
证明：∵ ∠A=∠B=90°
∴ ∠A+∠B=180°
∴AD∥BC
同理可证：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
新知讲解
判定定理1.
有三个角是直角的四边形是矩形 。
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴ 四边形ABCD是矩形
几何语言：
新知讲解
动脑筋
从“矩形的两条对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个对角线长度是4cm的矩形吗？这样的矩形有多少个？
新知讲解
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC=2cm,OB=OD=2cm.连接AB，BC,CD,DA.则四边形ABCD是矩形，且它的对角线长度为4cm，如图，这样的矩形有无数个.
你能说出这样画出矩形的道理吗？
新知讲解
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
证明:
∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∵ AB//CD
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形。
∴ ∠ABC=∠DCB
新知讲解
对角线相等的平行四边形是矩形 。
判定定理2.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
A
B
C
D
O
（或OA=OC=OB=OD）
学以致用
测量…？
现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？
新知讲解
分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格
方案一:
测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格
方案二:
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格
方案三:
矩形的判定方法总结
新知讲解
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法1：
方法2：
方法3：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
议一议
对角线相等的四边形是矩形吗 举例说明.
新知讲解
等腰梯形
新知讲解
例2 如图，在□ ABCD 中，它的两条对角线相交于点O。
（1）如果□ ABCD是矩形，试问： △OBC是什么样的三角形？
（2）如果△OBC是等腰三角形，其中：OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？
A
B
C
D
O
解：(1)∵ □ ABCD是矩形，
∴AC与DB相等且互相平分
∴OB= AC=OC
∴ △OBC是等腰三角形.
(2)∵△OBC是等腰三角形，其中OB=OC
∴AC=2OC=2OB=BD
新知讲解
∴ □ ABCD是矩形
学以致用
如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ）
A 菱形 B 平行四边形
C 矩形 D 不能确定
C
巩固提升
1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否为直角
D.测量四边形的其中三个角是否都为直角
D
2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A.AB=BC B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠1=∠2
巩固提升
C
巩固提升
3.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形.
60
4.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是 .
2
巩固提升
巩固提升
5、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠1=∠2，
∴BO=CO，即2BO=2CO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=OD.
∴AC=2CO，BD=2BO.
∴AC=BD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
巩固提升
课堂小结
∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD
AC = BD
ABCD
∠A=90°
ABCD
是矩形
四边形ABCD
是矩形
判定一个四边形是矩形的方法是：
谢谢
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2.5.2矩形的判定练习题
一、选择题
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）．
A．AB∥CD，AB=CD，AC=BD B．∠A=∠B=∠D=90°
C．AB=BC，AD=CD，且∠C=90° D．AB=CD，AD=BC，∠A=90°
2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．已知AC为矩形ABCD的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
4、平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（ ）
A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形
5、给出下列判断：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
②对角线相等的四边形是矩形．
③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形．
④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
其中，不正确的有( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）21教育网
A、AB∥DC B、AC=BD C、AC⊥BD D、AB=DC
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC，AC，AB边的中点分别是点D，E，F，则下列说法可能不正确的为（ ）
21·cn·jy·com
A、四边形CDFE是矩形 B、DE=CF=AB C、S△ABC=4S△AEF D、∠B=30°
二、填空题
8. 已知点A、B、C、D在同一平面内，有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD， ④BC=AD，⑤AC=BD，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出（直接填写序号）______(3个)，能使四边形ABCD是矩形．2·1·c·n·j·y
9．若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD是_____形，若∠AOB=60°，那么AB：AC=______．【来源：21·世纪·教育·网】
10．如图所示，已知矩形ABCD周长为24cm，对角线交于点O，OE⊥DC于点E，OF⊥AD于点F，OF-OE=2cm，则AB=______，BC=______．21·世纪*教育网
11. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．2-1-c-n-j-y
三、解答题
12. 已知：如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．
13. 如图所示，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？21cnjy.com
14．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形．www-2-1-cnjy-com
15. 如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．请回答问题并说明理由：21*cnjy*com
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
答案：
1、C.
2、C.
3、D.
4、B.
5. C
6.C
7. D
8. （答案不唯一，只要写出一组即可）①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②④⑥．
9. 矩；1：2 点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，可知△AOB是等腰三角形，又因为∠AOB=60°，所以AB=AO=AC．21世纪教育网版权所有
10．8cm；4cm
11.
12. 证明：∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC，∴△AEB≌△AFC．∴EB=FC，∠ABE=∠ACF．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠EBC=∠FCB．
∵EB=FC，EF=BC，∴四边形EBCF是平行四边形．
∴EB∥FC，∴∠EBC+∠FCB=180°．
∴∠EBC=∠FCB=90°，∴EBCF是矩形
13. 解：四边形ADCE是矩形；理由：由AB=AC，可得△ABC是等腰三角形．
所以∠B=∠ACB．由等腰三角形的三线合一性，可得BD=CD，AE是∠CAF的平分线，
所以∠CAE=∠CAF．由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得出∠CAF=∠B+∠ACB=2∠ACB，所以∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．www.21-cn-jy.com
又DE∥BA，所以四边形ABDE是平行四边形，所以AE=BD，所以AE=DC．
又因为AE∥DC，所以四边形ADCE是平行四边形．
又因为AD是BC边上的高，所以AD⊥BC，即∠ADC=90°，所以四边形ADCE是矩形．
14. 解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAB+∠CBA=180°，
又因为∠HAB=∠DAB，∠HBA=∠CBA．
所以∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．
同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°，
所以四边形EFGH是矩形．
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湘教版数学八年级下册2.5.2矩形的判定课时教学设计
课题 矩形的判定 单元 2 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 在探究矩形的判别方法的活动中获得成功的体验，通过运用矩形的判定和性质，锻炼克服困难的意志、建立自信心
能力目标 1、经历利用矩形定义探究矩形其他判别方法的过程，培养学生的观察、思考、推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力。 2、根据矩形的判定进行简单的证明，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力。
知识目标 经历矩形的判别方法的探究过程，掌握矩形的三种判定方法
重点 矩形的判定定理的探究
难点 矩形的判定定理的探究和应用
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 回顾知识 提出问题：木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？你现在有办法帮他吗 学生：积极思考带着问题参与新课. 通过实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程
讲授新课 从矩形的定义出发有一个角是直角的平行四边形是矩形。 你还有其它的判定方法吗？动脑筋矩形的四个角是直角，那么四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？一个角是直角呢？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。你能证明上述结论吗？已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形。证明：∵ ∠A=∠B=90°∴ ∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可证：AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形又∵ ∠A=90°∴四边形ABCD是矩形动脑筋从“矩形的两条对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个对角线长度是4cm的矩形吗？这样的矩形有多少个？你能说出这样画出矩形的道理吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。已知：平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD∴ △ABC≌ △DCB（SSS）∴ ∠ABC=∠DCB∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90°又∵ 四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形。归纳：判定定理2.对角线相等的平行四边形是矩形 。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形AC=BD（或OA=OC=OB=OD）∴四边形ABCD是矩形回到问题：现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？方案一:分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格方案二:测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格方案三:分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格归纳：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形方法2：有三个角是直角的四边形是矩形方法3：对角线相等的平行四边形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）议一议对角线相等的四边形是矩形吗 举例说明.等腰梯形例2 如图，在□ ABCD 中，它的两条对角线相交于点O。（1）如果□ ABCD是矩形，试问： △OBC是什么样的三角形？（2）如果△OBC是等腰三角形，其中：OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？练习：如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ）A 菱形 B 平行四边形 C 矩形 D 不能确定 从学生的已有的知识出发，利用教具，激发学生的强烈的好奇心和求知欲。学生经历了将实际问题转化为数学问题的建模过程。学生试着证明猜想并归纳出判定定理自主归纳并组织语言作答，交流与讨论，在教师的引导下探究矩形的判定定理2的证明方法。启发学生分析，引导学生归纳探究，层层理清命题证明的思路，简化证明方法。 让学生回到前面的问题，试着解答在老师的引导下，学生给出三种方案。师生共同归纳出矩形的判定方法。通过讨论，并举例说明，加深对定理的理解教师引导学生审题，学生弄清题意后，师生共同分析思路，教师渗透综合分析法。学生口答，教师板书解题过程。学生自己解答，老师订正 让学生动手动脑，自主发现矩形的判定。 并运用了类比和比较的方式，让学生加深对定义的理解让学生在特定的数学活动中经历矩形判定，通过证明、分析、推理、归纳总结出了矩形的判定定理师生共同完成推理过程。引导学生多角度多方位思考问题培养学生独立思考，总结归纳的能力。学生审题是解题的关键，通过运用矩形的判定定理学会解决简单的实际问题，培养了学生的应用意识。培养学生独立思考， 解决问题的能力
巩固提升 1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( ) A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否为直角 D.测量四边形的其中三个角是否都为直角答案：D2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( ) A.AB=BC B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠1=∠2答案：C3.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形. 答案： 604. 如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是 . 答案： 25、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形.答案：证明：∵∠1=∠2，∴BO=CO，即2BO=2CO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=OD.∴AC=2CO，BD=2BO.∴AC=BD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形. 学生自主解答，教师讲解答案。 通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？ 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 判定一个四边形是矩形的方法是：1.从矩形的定义出发2.有三个角是直角的四边形是矩形3.对角线相等的平行四边形是矩形 。
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