(共28张PPT)
2.6.1菱形的性质
数学湘教版 八年级下
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢
导入新知
有一个角是直角
导入新知
观察图中的平行四边形，它们有什么特点？
它们的邻边相等
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
新知讲解
菱形定义：
邻边相等
菱形
平行四边形
AB=BC
ABCD
四边形ABCD是菱形
新知讲解
让我们一同走进生活中的菱形，找出图中的菱形
想一想：矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：菱形的四条边相等
新知讲解
已知：如图四边形ABCD是菱形，求证：AB=BC=CD=DA
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴DA=DC(菱形的定义)
∵DA=BC，AB=DC
∴AB=BC=DC=DA
新知讲解
新知讲解
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质
1、菱形的四条边都相等
2、菱形的对角相等
3、菱形的对角线互相平分
4、菱形是中心对称图形，对角线的中点是它的对称中心
新知讲解
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O.对角线AC⊥BD吗？AC、BD平分一组对角吗 你的理由是什么？
动脑筋
证明：∵四边形ABCD是菱形
在△ABD中，∵BO=DO
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
A
B
C
D
O
同理： AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC
菱形的对角线垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
新知讲解
新知讲解
做一做
把图中的菱形ABCD沿直线DB对折(即作关于直线DB的轴反射)，点A的像是 ，点C的像是 ，点D的像是 ，点B的像是 ，边AD的像是 ，边CD的像是 ，边AB的像是 ，边CB的像是 .
C
A
B
D
CD
AD
BC
AB
新知讲解
由此可以看出，在关于直线DB的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合.同理，在关于直线AC的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合
结论： 菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴
新知讲解
菱形的对角线互相平分且垂直
角
A
D
C
B
O
边
对边平行且相等
四条边都相等
菱形的对角相等，邻角互补
对角线
每一条对角线平分一组对角
对称性
中心对称：对角线的交点就是对称中心
轴对称：有两条对称轴即：两条对角线所在的直线
新知讲解
相等的线段：
相等的角：
菱形ABCD中
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
新知讲解
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
△ABC △ DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
新知讲解
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
菱形
A
B
C
D
O
S菱形=BC· AE
思考:计算菱形的面积除了上面方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗
议一议
E
新知讲解
∵
又AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
∴
A
B
C
D
O
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
新知讲解
例1.已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD的长度分别为4cm,3cm,求菱形ABCD的面积和周长。
A
B
C
D
O
解：菱形ABCD的面积为S=×4 ×3=6(cm2 )
在Rt△ABO中，OA=AC=×4=2（cm）,
OB=
所以，AB=
因此，菱形ABCD的周长为2.5 ×4=10（cm）
菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB=5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。
C
B
D
A
O
解：∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC，OB=OD
AC⊥BD
∵Rt△AOB中OB2+OA2=AB2
AB=5cm，AO=4cm
∴OB=3cm
∴BD=2OB=6cm
AC=2OA=8cm
学以致用
巩固提升
1.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( )
A.1 B. C.2 D.2
C
2.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )
A.3.5 B.4 C.7 D.14
巩固提升
A
巩固提升
3.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接EF，则△AEF的面积是__________.
3
4.如图，将菱形纸片ABCD折叠.使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝__________cm.
巩固提升
巩固提升
5、如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可，你知道其中的道理吗？
将长方形纸片对折，再对折，折痕是四边形的对角线BD，AC，因为对折，AC⊥BD，所以四边形ABCD是菱形。
巩固提升
A
B
C
D
课堂小结
1个定义：
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
2个公式：
=底×高
3个特性：
特在“边、对角线、对称性”
谢谢
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2.6.1菱形的性质练习题
一、选择题
1、菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A .对角线互相平分 B .四条边都相等 C .对角相等 D .邻角互补
2、已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是（ ）.
A .6cm B . cm C .3cm D . cm
3. 如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）21教育网
A．3.5 B．4 C．7 D．14
4．如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为（ ）
A .48 B .96 C .80 D .19221·cn·jy·com
5、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
6. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )
A.4 B. C. D.52·1·c·n·j·y
7. 如图，两个连续在一起的菱形的边长都是1 cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2 014 cm时停下，则它停的位置是( )
A.点F B.点E C.点A D.点C
二、填空题
8. 已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为 cm．
9. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x-4=0 的解，则菱形ABCD的周长为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．21cnjy.com
SHAPE \* MERGEFORMAT
11. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 ．
21·世纪*教育网
三、解答题
12. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.
13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．
SHAPE \* MERGEFORMAT
14．如图，已知菱形ABCD，AB=5，对角线BD=8，作AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，连接EF，求EF的长．
www-2-1-cnjy-com
15. 已知如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，若点B、E、F在同一直线上，求∠EAB的度数． 2-1-c-n-j-y
答案：
1、B.
2、A.
3、A.
4、B.
5. D
6. C
7.A
8. 5
9. 16
10.
11.12
12.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴DE=OC，
∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，
∴BC= =OE= ，
∴BC=OE．
13. 解：（1）△OEF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO= SHAPE \* MERGEFORMAT AB，OF= SHAPE \* MERGEFORMAT AD，
∴EO=FO，
∴△OEF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=10，
∴AO=5，∠AOB=90°，
∴BO= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =12，
∴BD=24，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT BD，
∴EF=12．
14.
15.
解：如图，连接BD与AC相交于O，过点E作EH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是正方形，四边形ACFE是菱形，
∴AC⊥BD，AC∥BF，
∴四边形OBEH是矩形，
∴EH=OB=AC=BD，
∵四边形ACFE是菱形，
∴AC=AE，
∴EH=AE，
∴∠HAE=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，
∴∠EAB=∠CAB-∠HAE=15°．21世纪教育网版权所有
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湘教版数学八年级下册2.6.1菱形的性质课时教学设计
课题 菱形的性质 单元 2 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 通过对菱形与平行四边形关系的探讨，体会集合的思想，培养学生的观察能力和学习兴趣，并从中认识菱形的图形美
能力目标 经历探索菱形的性质的过程，在 操作活动和观察与分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会推理论证的基本方法
知识目标 了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；掌握菱形的性质，并能 运用菱形的性质进行简单的计算；了解菱形既是中心对称图形又是轴对称图形
重点 菱形的概念及性质
难点 菱形的性质及应用
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢 观察图中的平行四边形，它们有什么特点？ 回顾前面的内容，积极思考带着问题参与新课. 通过实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程
讲授新课 菱形定义： 一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 让我们一同走进生活中的菱形，找出图中的菱形想一想：矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？猜想1：菱形的四条边相等已知：如图四边形ABCD是菱形，求证：AB=BC=CD=DA证明：∵四边形ABCD是菱形∴DA=DC(菱形的定义)∵DA=BC，AB=DC∴AB=BC=DC=DA菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质动脑筋如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O.对角线AC⊥BD吗？AC、BD平分一组对角吗 你的理由是什么？证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD（菱形的四条边都相等）在△ABD中，∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC 菱形的对角线垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角做一做把图中的菱形ABCD沿直线DB对折(即作关于直线DB的轴发射)，点A的像是 ，点C的像是 ，点D的像是 ，点B的像是 ，边AD的像是 ，边CD的像是 ，边AB的像是 ，边CB的像是 . 由此可以看出，在关于直线DB的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合.同理，在关于直线AC的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合结论： 菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴归纳菱形的性质想一想菱形ABCD中相等的线段： AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD相等的角：∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8等腰三角形有：△ABC △ DBC △ACD △ABD直角三角形有： Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA全等三角形有： Rt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD议一议菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗 S菱形=BC·AE思考:计算菱形的面积除了上面方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半例1.已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD的长度分别为4cm,3cm,求菱形ABCD的面积和周长。练习：菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB=5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。 利用教具，激发学生的强烈的好奇心和求知欲。学生经历了将实际问题转化为数学问题的建模过程。学生举出生活中的例子学生试着探究菱形的性质，自主归纳并组织语言作答，交流与讨论，在教师的引导下探究菱形的性质的证明方法。启发学生分析，引导学生归纳探究，层层理清命题证明的思路，简化证明方法。 利用轴对称的知识进行解答此题试着总结菱形的性质学生观察图形，总结菱形ABCD中的相关知识学生探究菱形面积的计算方法教师引导学生审题，学生弄清题意后，师生共同分析思路，教师渗透综合分析法。学生口答，教师板书解题过程。 让学生动手动脑，自主发现和认识菱形的定义。 并运用了类比和比较的方式，让学生加深对定义的理解让学生在特定的数学活动中经历矩形性质的形成过程，通过操作、观察、分析、推理、归纳总结出了菱形的性质师生共同完成。引导学生总结菱形的对称性培养学生独立思考，总结归纳的能力。培养学生思考问题，解决问题的能力。学生审题是解题的关键，通过运用矩形的性质学会解决简单的实际问题，培养了学生的应用意识。
巩固提升 1.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( )A.1 B. C.2 D.2 答案：C2.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )A.3.5 B.4 C.7 D.14 答案：A3.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接EF，则△AEF的面积是__________. 答案：34.如图，将菱形纸片ABCD折叠.使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝__________cm. 答案： 5、如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可，你知道其中的道理吗？答案：将长方形纸片对折，再对折，折痕是四边形的对角线BD，AC，因为对折，AC⊥BD，所以四边形ABCD是菱形。 学生自主解答，教师讲解答案。 通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？1个定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形2个公式：=底×高 3个特性：特在“边、对角线、对称性” 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 菱形的性质定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形公式：=底×高
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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