(共26张PPT)
2.6.2菱形的判定
数学湘教版 八年级下
导入新知
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
具有平行四边形的一切性质
性质
边
角
对角线
四个角都是直角
对角线相等
对角线互相垂直
判定
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
四条边都相等
？
定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
一个平行四边形满足什么条件，它就是菱形呢？
在□ABCD中
∵AB=BC
∴□ABCD是菱形
问题：
新知讲解
数学语言：
新知讲解
动脑筋
如图，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？
把上述问题抽象出来就是：
四条边都相等的四边形是菱形吗？
你能证明吗？
证明：在四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA.
∵ AD=BC， AB=DC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
又AB =AD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
新知讲解
菱形的判定定理1
四条边都相等的四边形是菱形.
新知讲解
用符号语言表示
∵AB=BC=CD=AD
∴ 四边形ABCD是菱形.
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
新知讲解
例1.如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O, ∠1= ∠ 2.
求证：四边形ABCD是菱形。
证明： ∵ 线段BD垂直平分AC。
∴BA=BC，DA=DC，OA=OC。
在 △AOB和 △COD中，
∵ ∠1= ∠ 2， ∠AOB=∠COD，
∴ △AOB ≌△COD
∴AB=CD
∴AB=BC=CD=DA。
∴四边形ABCD是菱形。
A
B
C
D
1
2
0
学以致用
下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
新知讲解
四边形的对角线满足什么条件，它就是菱形呢？
不是，四边形可能是“筝形”
A
B
C
D
问题：
两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？
新知讲解
菱形的两条对角线互相垂直且平分，从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？
动脑筋
过点O画两条互相垂直的线段AC，BD，使
得OA=OC，OB =OD. 连接AB，BC，CD，DA.
则四边形ABCD是菱形
新知讲解
由画法可知，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平
分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
你能证明吗？
知识拓展
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC
∴□ABCD是菱形。
菱形的判定定理2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
知识拓展
AC⊥BD
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形。
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
几何语言：
新知讲解
例2.如图，在□ABCD中，AC =6，BD=8，AD=5. 求AB的长.
∴ 四边形ABCD是菱形.
∴OA=OC=3 OB=OD=4
解:
又∵AD=5
∴ △ DAO是直角三角形
∴ ∠DOA=90°，即DB ⊥ AC
∴ AB=AD=5.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
满足AD2=AO2+DO2
命题：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
已知：在四边形ABCD中，AC分别平分∠BAD和∠BCD，BD分别平分∠ABC和∠ADC。求证：四边形ABCD是菱形
证明：∵AC分别平分∠BAD和∠BCD
∴∠BAC=∠DAC ∠ACB=∠ACD
又∵AC=AC
∴△ABC≌△ADC(ASA)
∴AB=AD BC=DC
同理可证：AB=BC
∴AB=BC=DC=AD
∴四边形ABCD是菱形
知识拓展
注意：这个判定方法不能直接使用
学以致用
下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分
B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD
D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
C
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边都相等的四边形是菱形
+邻边相等 =
+对角线线互相垂直=
四条边相等+ =
新知讲解
菱形常用的判定方法
总结：
巩固提升
1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的条件是( )
A.BA=BC B.AC，BD互相平分
C.AC=BD D.AB∥CD
B
巩固提升
2.如图，四边形ABCD内有一点E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠AED的大小是( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
B
巩固提升
3、如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=______.
25°
巩固提升
4.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________(填序号).
③
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形.
巩固提升
证明：∵AD∥BC， ∴∠BAD＋∠B＝180°.
∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BCD＋∠B＝180°.
∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠B＝∠D.
∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN.
∴AB＝AD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
巩固提升
课堂小结
菱形的判定
菱形的判定方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
谢谢
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2.6.2菱形的判定练习题
一、选择题
1. 能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分
2. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
21教育网
A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 B、当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C、当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 D、当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形
4.如图，四边形ABCD内有一点E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠AED的大小是( )www-2-1-cnjy-com
A.120° B.130° C.140° D.150°
5、如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，做AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形.21*cnjy*com
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形.【来源：21cnj*y.co*m】
根据两人的作法可判断( )
A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
6. 将一张矩形纸片对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是 ( )
【出处：21教育名师】
A、三角形 B、矩形 C、菱形 D、梯形
7. 在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是( )
【版权所有：21教育】
A、四边形AEDF是平行四边形； B、如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
C、如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形；
D、如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
二、填空题
8. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．
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9. 在 ABCD中，AB=5，AC=6，当BD= 时，四边形ABCD是菱形．
10. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号）．【来源：21·世纪·教育·网】
11. 如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm，则∠1= 度．
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三、解答题
12. 如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．
13. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．21·cn·jy·com
14．如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α(α<60°)，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF.21*cnjy*com
(1)求证BE=CD；
(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.
15. 菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所示是一块长30cm，宽20cm的长方形的瓷砖，E，F，G，H分别是边BC，CD，DA，AB的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备贴这种瓷砖，试问：21cnjy.com
（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？
（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？其中有花纹的菱形有多少个？
答案：
1、D. 2、C. 3、D. 4、B. 5. C 6. C 7.Awww.21-cn-jy.com
8. AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD
9. 8
10.②
11.120
12.
解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．2·1·c·n·j·y
13. 解：四边形CDEF是菱形．
理由：如图所示，因为△CBD≌△EBD，所以CD=DE，
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，所以∠3=∠4．所以CF=CD．所以CF=DE．因为CFDE．所以四边形CDEF是平行四边形．又因为CF=CD，所以□CDEF是菱形．2-1-c-n-j-y
14.
(2)四边形BDFE是菱形.
∵AB＝AC，AD⊥BC,∴BD＝CD.
∵BE＝CD,∴BE＝BD.
∵△EAB≌△DAC，
∴∠EBF＝∠C.
∵∠ABC＝∠C,
∴∠EBF＝∠ABC.
∵BF＝BF,
∴△EBF≌△DBF.
∴EF＝DF.
∵EF∥BC,∴∠EFB＝∠FBD.
∴∠EFB＝∠EBF.
∴EF＝EB.
∴BD＝BE＝EF＝FD.
∴四边形BDFE是菱形.
15.
解：（1）因为墙壁的总面积为4.2×2.8=11.76（m2），每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06（m2），所以最少需要贴这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）．21世纪教育网版权所有
（2）因为每相邻4块瓷砖构成一个有花纹的菱形（如图），
在长4.2m，宽2.8m的墙壁上贴长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，
可贴4.2÷0.3=14（列），2.8÷0.2=14（行）．
因此构成的有花纹的菱形共13列13行，所以有花纹的菱形共13×13=169（个）．
同时，白色菱形的个数与瓷砖的块数相同，故有白色菱形196个．
从而面积相等的菱形最多有169+196=365（个）．
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湘教版数学八年级下册2.6.2菱形的判定课时教学设计
课题 菱形的判定 单元 2 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 1．让学生在探究过程中加深对菱形的理解，养成主动探索的学习习惯．2．通过菱形与矩形判定方法的类比，进一步体会类比的思想方法的作用
能力目标 1．经历探究菱形判定条件的过程，通过操作、观察、猜想、证明的过程，培养学生的科学探索精神．2．探索并掌握菱形的判定方法．
知识目标 1．能说出菱形的两个判定定理，并会用它进行相关的论证和计算．2．会根据已知条件画出菱形．
重点 菱形的判定方法
难点 探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 前面我们学习了矩形和菱形，填表回顾一下知识 回顾前面的内容，积极思考带着问题参与新课. 通过实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程
讲授新课 问题：一个平行四边形满足什么条件，它就是菱形呢？定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.数学语言：在□ABCD中 ∵AB=BC∴□ABCD是菱形动脑筋如图，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？老师：你能证明吗？证明：在四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA.∵ AD=BC， AB=DC，∴ 四边形ABCD是平行四边形.又AB =AD，∴ 四边形ABCD是菱形.菱形的判定定理1 四条边都相等的四边形是菱形. 用符号语言表示∵AB=BC=CD=AD∴ 四边形ABCD是菱形. 例1.如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O, ∠1= ∠ 2.求证：四边形ABCD是菱形。练一练：下列命题中正确的是（ ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形问题：四边形的对角线满足什么条件，它就是菱形呢？两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？不是，四边形可能是“筝形”动脑筋菱形的两条对角线互相垂直且平分，从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？学生：过点O画两条互相垂直的线段AC，BD，使得OA=OC，OB =OD. 连接AB，BC，CD，DA.则四边形ABCD是菱形由画法可知，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？你能证明吗？证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵AC⊥BD;∴BA=BC∴□ABCD是菱形。菱形的判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形．几何语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD∴ □ABCD是菱形。例2.如图，在□ABCD中，AC =6，BD=8，AD=5. 求AB的长.命题：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.已知：在四边形ABCD中，AC分别平分∠BAD和∠BCD，BD分别平分∠ABC和∠ADC。求证：四边形ABCD是菱形注意：这个判定方法不能直接使用练习：下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD 总结：菱形常用的判定方法1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.四边都相等的四边形是菱形 利用学生自己手里的工具，激发学生的强烈的好奇心和求知欲。学生经历了将实际问题转化为数学问题的建模过程。从而得到菱形的判定定理1在教师的引导下运用菱形的判定定理并启发学生分析，引导学生归纳探究，层层理清命题证明的思路，简化证明方法。 进一步提出问题，学生进行回答，并举出例子，探究菱形的判定定理2试着证明菱形的判定定理2，并进行总结。教师引导学生审题，学生弄清题意后，师生共同分析思路，教师渗透综合分析法。学生口答，教师板书解题过程。归纳总结菱形的判定方法 让学生动手动脑，自主发现和认识菱形的判定定理。培养学生自己读题，理解问题，解决问题的能力。师生共同完成。引导学生发现问题，提出问题，并能解决问题的能力。培养学生独立思考，总结归纳的能力。学生审题是解题的关键，通过运用矩形的性质学会解决简单的实际问题，培养了学生的应用意识。培养学生自主归纳的能力。
巩固提升 1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的条件是( ) A.BA=BC B.AC，BD互相平分 C.AC=BD D.AB∥CD 答案：B2.如图，四边形ABCD内有一点E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠AED的大小是( ) A.120° B.130° C.140° D.150°答案：B3、如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=______. 答案： 25°4.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________(填序号). 答案：③5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形. 答案：证明：∵AD∥BC， ∴∠BAD＋∠B＝180°.∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BCD＋∠B＝180°.∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形.∴∠B＝∠D.∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ABM≌Rt△ADN.∴AB＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形. 学生自主解答，教师讲解答案。 通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？ 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 2.6.2菱形的判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.数学语言：在□ABCD中 ∵AB=BC∴□ABCD是菱形
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