5.3用待定系数法确定二次函数表达式
一、知识点讲解：
1．一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；
2．顶点式：y=a（x－h）2+k（a≠0）．
3．抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标（，），对称轴：直线。
二、例题分析：
【例1】 1、已知二次函数的图像经过点（ , ），求的值。
2、已知二次函数 的图像经过点（,）和（,），求、的值。
3、已知二次函数的图像经过点（,）、（,）和（,），求这个二次函数的表达式。
小结：通常，要确定函数表达式中几个待定的系数，相应地需要几个已知条件，根据这些已知条件列出方程（组）求解。
【练习】1、已知二次函数的图像经过点（,）和（,），求这个二次函数的表达式。
2、已知二次函数的图像经过点（,）、（,）和（，），求这个二次函数的表达式。
【例2】 1、已知二次函数的图象与函数的图象的形状、大小、开口方向都相同，且顶点坐标是（，），求这个二次函数的表达式.
2、已知一个二次函数,当x=2时，函数有最小值为0，且此函数的图象经过点（，），求此二次函数的表达式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大？
3、在直角坐标平面内，一个二次函数的图象的顶点为A（，），且过点B（，）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）这个二次函数的图象经过怎样的一次平移，可使平移后所得的图象经过坐标原点？
【拓展延伸】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．
三、课堂小结 ：
四、布置课外作业：
班级： 姓名： 家长签字：
1、二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（ ）
A．
﹣3
B．
﹣1
C．
2
D．
5
2、二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ）
A．
（﹣1，﹣1）
B．
（1，﹣1）
C．
（﹣1，1）
D．
（1，1）
3、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．
y=x2﹣x﹣2
B．
y=x2﹣x+2
C．
y=x2+x﹣2
D．
y=x2+x+2
第3 题 第5 题 第8题
4、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c= ____。
5、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则代数式4a﹣2b+c的值为 ______。
6、已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的函数表达式是 。
7、已知二次函数的图像经过点A（,）、B（,）。
（1）求该二次函数的表达式；
（2）用配方法把（1）所得的函数表达式化成的形式，并求出该图像的顶点坐标和对称轴。
8、如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
9、如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
10、二次函数的图像过点（，），且其顶点在一次函数的图像上，求此二次函数的表达式。
11、已知二次函数过点A（1,0），C（0，-3）。
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若抛物线与轴另一个交点为B，在抛物线上是否存在一点P使△ABP的面积为10？如有，请直接写出点P的坐标；若没有，请说明理由。
12、如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．
5.3 用待定系数法确定二次函数表达式
5.3 用待定系数法确定二次函数表达式
教学目标
1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求二次函数表达式的方法；
2．能灵活的根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化；
3．从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．
教学重点
会用待定系数法求二次函数的表达式．
教学难点
会选用适当方法求二次函数的表达式．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
知识回顾
1．二次函数关系式有哪几种表达方式？
2．还记得我们是怎样求一次函数和反比例函数的表达式吗？
回忆旧知,回答问题．
1．一般式：．
顶点式：．
2．待定系数法．
回忆旧知，明确方法，用类比的方式来研究二次函数表达式的求法．
活动一
由一般式确定二次函数的表达式．
例1 已知二次函数的图像经过点,求的值．
例2 已知二次函数的图像经过点和,求的值．
例3 已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的表达式．
1．先学生自己做．
2．讨论交流．
3．学生讲解，教师点拨．
参考答案：
例1 ．
例2 ．
例3 函数表达式为．
通过例题讲解，学生交流，学生讲解等方法让学生熟悉二次函数表达式的求法．
方法总结
对比三个例题的区别和联系，你能总结用一般式确定二次函数表达式的方法吗？
积极思考，归纳总结．
求二次函数的表达式，关键是求出待定系数的值，由已知条件列出关于的方程或方程组，并求出就可以写出二次函数的表达式．
总结方法，让学生明确解题方法及规范解题过程．
活动二
由顶点式确定二次函数的表达式．
例4 已知抛物线的顶点为，与y轴交点为，求抛物线的表达式．
积极思考，讨论交流，尝试解决问题．
参考答案：
方法一：设抛物线的表达式为，函数图像经过点，得．解得．
所求的抛物线表达式为．
方法二：由抛物线的顶点为，与y轴交点为，得 解得．
所求的抛物线表达式为．
学生可能还会有不同于以上解法的其他解法，教师可给予鼓励．
1．使学生能够灵活的选择二次函数的表达式来求函数关系式．
2．通过对比，让学生感受到适当选择函数表达式求解的便捷之处．
方法总结：
你能总结用顶点式求函数表达式的优点及方法吗？
积极思考，归纳总结．
当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式，将h，k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值．
总结方法，让学生明确解题方法及规范解题过程．
课堂练习
根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的解析式：
1．已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的表达式．
2．已知二次函数的图像经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1，求这个二次函数的表达式．
拓展延伸：如图所示，已知抛物线的对称轴是过（3，0）的直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）、（0，4），求这个抛物线的表达式．
部分学生板演，其余学生独立完成．
参考答案：
1．函数表达式为．
2．函数表达式为．
拓展延伸：抛物线表达式为．
在掌握了两类求二次函数关系式的方法和技巧的基础上，通过本组题的练习进一步提升学生根据不同条件，求二次函数关系式的能力．
课堂小结
你学到哪些二次函数表达式的求法？
师生共同总结：
1．已知图像上三点的坐标或给定x与y的三对对应值，通常选择一般式．
2．已知图像的顶点坐标，对称轴和最值，通常选择顶点式．确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式．
让学生谈自己的感受，说出自己已掌握和领会的，或是还困惑的，促进学生反思与提高．
课后作业
课本习题5.3第1、2、3题．
5.3用待定系数法求二次函数解析式
1、抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a= , b= , c=
2、把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 .
二次函数有最小值为，当时，，它的图象的对称轴为，则函数的关系式为
4、根据条件求二次函数的解析式
（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点
（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与y轴交点的纵坐标为-3
（3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；
（4）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；
5、已知二次函数的图象经过、两点，且与轴仅有一个交点，求二次函数的解析式
能力提升
6、抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式.
7、已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2.
求二次函数的图象的解析式；
设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积.
8、以x为自变量的函数中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且=10,求这个一次函数的解析式.
巧用二次函数表达式
二次函数常见表达式有一般式（也称三点式）、配方式（也称顶点式）和两根式（也称交点式）三种，各种表达式要注意根据不同的条件灵活选用，以简化解题过程，提高解题能力．下面针对各种条件通常采用的表达式作一简单的归纳．
一、如果已知的条件是二次函数的三组对应值，或者其图像经过三个一般的点，那么一般采用一般式y＝（a≠0）．
例1 已知二次函数的图像经过点（1，2），（－1，－2），（0，3），求这个二次函数的表达式．
分析：因为已知的三点仅是一般的点，故设y＝，则
，解得，
故所求的二次函数表达式为y＝．
二、如果已知条件是二次函数的最大（小）值，或者是图像的顶点坐标，那么一般采用配方式y＝（a≠0）．
例2 已知二次函数的图像的顶点坐标为（2，－3），且经过点（0，2），求这个函数的表达式．
分析：因为图像的顶点为（2，－3），故可设其表达式为y＝，又经过点（0，3），故
3＝，解得a＝，
所以y＝．
三、如果已知条件是二次函数图像与x轴交点坐标，那么可采用两根式y＝a（x－）（x－）（a≠0）．
例3 已知二次函数的图像交x轴于点（－2，0）和（6，0），且经过点（1，15），求它的表达式．
分析：这里＝－2，＝6，故可设y＝a（x＋2）（x－6），
把x＝1，y＝15代入，得
15＝a×3×（－5），a＝－1，
故y＝－（x＋2）（x－6）．
四、综合运用各种表达式，再利用比较系数法
例４已知二次函数y＝的图像的顶点为（2，－3），且在x轴上截得的线段长为，求a，b，c的值．
解法一 由已知，二次函数的解析式可化为y＝，
即y＝－４ax＋４a－3，
故，
由及求根公式，得
，解得a＝1．
故y＝，
即y＝－４x＋1，
所以a＝1，b＝－４，c＝1．
解法二 设抛物线交x轴于A，则由AB＝得 ， （1）
又对称轴为x＝2，故
， （2）
由（1）、（2）解得，，故可设
y＝，
又抛物线经过（2，－3），故
－3＝a，a＝1，
所以y＝，
即y＝－４x＋1，
所以a＝1，b＝－４，c＝1．
5.3《用待定系数法确定二次函数表达式》
一、选择题
已知是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是
A. B. C. D.
一抛物线和抛物线的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是，则该抛物线的解析式为
A. B. C. D.
二次函数的图象经过三点，则它的解析式为
A. B. C. D.
根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为
x
0
1
2
y
A. B. C. D.
如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点 ，则y与x的函数关系式为
A. B. C. D.
如图，以为顶点的二次函数的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程的正数解的范围是
A. B. C. D.
抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是
A. B. C. D.
小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根精确到为
A. B. C. D.
抛物线与x轴的两个交点为，其形状与抛物线相同，则的函数关系式为
A. B. C. D.
二、解答题
抛物线的顶点为Q，与x轴交于、两点，与y轴交于点求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标．
已知直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标分别是2、． 求抛物线的解析式； 设坐标原点为O，求的面积．
已知y是关于x的二次函数，x与y的部分对应值如下表所示：
x的值
0
2
4
y的值
4
0
m
求y关于x的二次函数解析式； 求m的值．
如果二次函数的图象过点，求这个二次函数的解析式，并求出该函数图象的顶点坐标．
已知二次函数??的图象经过点． 求这个二次函数的函数解析式； 当x取何值时，函数y的值随着?x?的增大而增大； 当x取何值时，函数的值为?0．
【答案】
1. D 2. B 3. D 4. A 5. D 6. C 7. D 8. D 9. D
10. 解：抛物线经过点、， ， 解得， 抛物线的解析式为， ， ．??
11. 解：直线与抛物线交于A、B两点， ，即：， 直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标分别是2、， 是方程，的两根， ， ， 抛物线的解析式为：， ，由知， 的长为：， 直线AB的解析式为：， 边AB的高为：， 三角形AOB的面积为：．??
12. 解：设此二次函数解析式为，由题意列出方程组， 解得， 所以二次函数解析式为． 将代入解析式得．??
13. 解：将代入得：，即， 则二次函数解析式为； ， 抛物线顶点坐标为??
14. 解：因为二次函数的图象经过点， ，得， 即这个二次函数的解析式是：； ， 当时，y随x的增大而增大； 将代入，得 ， 解得，， 即当或时，函数的值为0．??
课件19张PPT。5.3 用待定系数法
确定二次函数表达式当x=1时，y=0，则a+b+c=_____1、已知抛物线y=ax2+bx+c0经过点（-1,0），则___________经过点（0,-3），则___________经过点（4,5），则___________对称轴为直线x=1，则___________a-b+c=0c=-316a+4b+c=5顶点坐标是（-3,4）， 则h=_____,k=______，
-3a（x+3）2+442、已知抛物线y=a（x-h）2+k对称轴为直线x=1，则___________代入得y=______________代入得y=______________h=1a（x-1）2+k已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式二次函数常用的几种解析式一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。
已知二次函数y=ax2的图像经过点（-2,8），求a的值。 已知二次函数y=ax2+c的图像经过点（-2,8）和（-1,5），求a、c。问题2：解：设所求的二次函数为 解得已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？例题∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）∴c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=
b=
c=y=ax2+bx+c16a+4b=8
a-b=34a+b=2
a-b=3-3x=0时,y=-3;
x=4时,y=5;
x=-1时,y=0;解：设所求的二次函数为 解得∴所求二次函数为y=x2-2x-3已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？例题∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）∴c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=
b=
c=1-2-3x=0时,y=-3;
x=4时,y=5;
x=-1时,y=0;y=ax2+bx+c解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+cc=-3
a-b+c=0
9a+3b+c=0已知一个二次函数的图象过点（0, -3）
（-1,0） （3,0） 三点，求这个函数的解析式？变式1解得a=
b=
c=1-2-3∴所求二次函数为y=x2-2x-3依题意得解：设所求的二次函数为 已知抛物线的顶点为（1，－4），
且过点（0，－3），求抛物线的解析式？点( 0,-3)在抛物线上a-4=-3, ∴所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4变式2∵∴∴ a=1最低点为（1，-4）x=1，y最值=-4y=a(x-1)2-4解：设所求的二次函数为 已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？变式3y=a(x-1)2+k 思考：怎样设二次函数关系式
你还有其他揭发吗
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+cc=-3
16a+4b+c=0已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？对称轴为直线x=1=1变式3依题意得 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，7），求函数的表达式。变式一： 已知二次函数的图像经过点（4，-3），且当x=3时有最大值4，求出对应的函数的关系式。变式二： 二次函数的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。∵ 二次函数的对称轴为直线x=3
∴设二次函数表达式为 ? y=a(x-3)2+k二次函数的表达式: y= (x-3)2-4变式三： 已知当x=-1时，抛物线最高点的纵坐标为4，抛物线与x轴两交点的距离为6， 求这个函数的表达式。达标检测（1）过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；（2）如图所示，根据条件求出下列二次函数解析式：xy －12O－1二次函数图象如图所示，
直接写出点的坐标； （2）求这个二次函数的解析式应用迁移CAB课堂小结通过本堂课的学习，
说说你的收获和体会！已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式二次函数常用的几种解析式一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
