二次函数的图像和性质(1)
学习目标：
1.经历探索二次函数y=x2图像作法的过程，进一步感受应用图像发现函数性质的经验。
2.能够利用描点法作出函数y=x2(a≠0)的图像，能根据图像初步了解二次函数y=x2的性质。
学习过程：
一、复习：
1、画出函数y=－2x+1、的图像，并说出画函数图像的一般步骤
我们得到函数图像的一般步骤是：① 、② 、③ 。
2、观察下列图像，你获取了什么信息？
二、探索新知：
1、用描点法画出二次函数y=x2的图像，并观察图像的特征。
x
……
……
y=x2
……
……
2、请在坐标系中重新画出正确的图像
3、请你说说对这个图像的认识。
4、用描点法画出二次函数y=－x2的图像，并观察图像的特征。
x
……
……
y=－x2
……
……
图像的性质：
归纳：二次函数y=x2与y=-x2的图像都是一条 ，
二次函数y=x2与y=-x2图像的性质：
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
y=x2
y=－x2
三、例题：
一拱桥的形状是抛物线,水面距拱顶为9米.
(1)求这时拱桥内水面的宽度;
(2)若有一条宽为4米,高出水面为1米的小船要经过此拱桥,试问小船能否通过此拱桥?请说明理由.
四、巩固练习：
1.二次函数y=x2的图像开口 ，对称轴是 ，顶点是 。x取任何实数，对应的y值总是 数。
2.点A（2，-4）在函数y=-x2的图像上，点A在该图像上的对称点的坐标是 。
3.二次函数y=与 y=-的图像关于 对称。
4.若点A（1，a）B（b，9）在函数y=x2的图像上，则a= ,b= .
5.观察函数y=x2的图像，利用图像解答下列问题：
（1）在y轴左侧的图像上任取两点A（x1,y1）、B(x2,y2),且使0>x1>x2,试比较y1与y2的大小；
（2）在y轴右侧的图像上任取两点C（x3,y3）、B(x4,y4),且使x3>x4>0,试比较y3与y4的大小.
6.利用函数y=-x2的图像回答下列问题：
（1）当x=时，y的值是多少？
（2）当y=-8时，x的值是多少？
（3）当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时，随着x值的增大，y值如何变化？
（4）当x取何值时，y值最大？最大值是多少？
五、小结本课
§5.2 二次函数的图象和性质（1）
教学目标:
经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．能够作为二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．
教学重点:
利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始．要注意图象的特点．
教学难点:
函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质．
教学过程:
一、议一议：
1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？ 3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？
4.当x取什么值时，y的值最小？
5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。
二、作二次函数y=x的图象。
三、y=x的图象的性质：
（1）抛物线的开口向上；
（2）它的图象有最低点，最低点的坐标是（0，0）；
（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）；
（5）因为图像有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，
四、例题：
【例1】求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．
【例2】已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x2，②y=3x2，③y=x2，④y=－x2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=x2比y=3x2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－x2比y=－3x2大（或小）多少？
五、练习
1．函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ．
2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m= ．
3．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕 旋转得到．
六：小结
1.我们通过观察总结得出二次函数y=ax2的图象的一些性质：
①图象——“抛物线”是轴对称图形；
②与x、y轴交点——（0，0）即原点；
③a的绝对值越大抛物线开口越大，a﹥0，开口向上，
当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）
当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）
?? a﹤0，开口向下，
当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）
当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）
2．今天我们通过观察收获不小，其实只要我们在日常生活中勤与观察，勤与思考，你会发现知识无处不在，美无处不在。
课后作业:
板书设计
教学反思
5.2二次函数的图像与性质（1）
1.二次函数的图像开口 ，对称轴是 ，顶点是 . 取任何
实数，对应的值总是 数.
2.点A（2，-4）在函数的图像上，点A在该图像上的对称点的坐标是 .
3.二次函数与的图像关于 对称.
4.若点A（1，）、B（，9）在函数的图像上，则= ，= .
5.利用函数的图像回答下列问题：
⑴当= 时，= .
⑵当=-8时，= .
⑶当-2<<3时,求y的取值范围是 .
⑷当-4<<-1时,求x的取值范围是 .
6.已知=是的二次函数.
⑴当取何值时，该二次函数的图像开口向上？
⑵在上述条件下：
= 时，= .
②当=8时，= .
③当-2<<3时,求y的取值范围是 .
④当4<<1时,求x的取值范围是 .
6.观察函数的图像，利用图像解答下列问题：
⑴在轴左侧的图像上任取两点A（x1，y1）、B(x2，y2)，
且使0>x1>x2，试比较y1与y2的大小；
⑵在y轴右侧的图像上任取两点C（x3，y3）、D(x4，y4),且使x3>x4>0，试比较y3与y4的大小.
7.已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．
求的值；⑵写出顶点坐标和对称轴．
5.2二次函数的图像与性质（第一课时）
基础习题
1、若二次函数y=ax2的图像过点（2，－8），则函数表达式为 。
2、抛物线的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；当时，y随x的增大而 ，当x= 时，函数y有最 值，是 。
3、抛物线的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；当时，y随x的增大而 ，当x= 时，函数y有最 值，是 。
4、若点A（1，a）、B（b，9）在函数y=x2的图像上，则a= ，b= 。
若a＞1，且点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图像上，则y1、y2、y3的大小关系为： （用“＜”连接）。
6、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数表达式；（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上，为什么？
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标；
7、如图为一个二次函数的图像。
(l）求这个函数的表达式； (2）当x取何值时，y随x的增大而增大？
8、若函数的图像是一条以y轴为对称轴、顶点在原点的抛物线，且经过点（-2，-2)。
(l）求这个函数的表达式；(2）在平面直角坐标系中画出函数的图像（列表、描点、连线）；(3）指出当x取何值时，y随x的增大而增大？
9、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）。
（1）求a、m的值； （2）求抛物线的表达式，写出其对称轴和顶点坐标；
（3）求A、B两点及二次函数y=ax2 的图像顶点构成的三角形的面积。
每课一题
已知 y=m 是关于x的二次函数，当m取何值时，二次函数的图像开口向上？
课件11张PPT。二次函数
的图象与性质①1、函数y=x2的图像是什么样子呢?2、如何画y=x2的图象呢?一.列表
二.描点
三.连线1、列表：
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：9411049-3-2-101232、描点y=x23、连线2、观察这个图象有什么特征?3、你能画出y=-x2的图象吗?xy0-8-6-4-22468642-2y=x2y=-x2-4-64、观察二次函数与的图象有什么共同的特征?1、它们的图象的形状都是抛物线.2、这些抛物线都是轴对称图形,它们有的开口向上有的向下.3、对称轴和抛物线的交点我们叫做抛物线的顶点.例如:二次函数y=x2与y=-x2的图象的对称轴都是y轴所在的直线,顶点都在原点(0,0)1、二次函数y=x2的图像开口 ，对称轴是 ，顶点是 。x取任何实数，对应的y值总是 数。
2、点A（2，-4）在函数y=-x2的图像上，点A在该图像上的对称点的坐标是 。
3、二次函数y= 与 y=- 的图像关于___ 对称。
4、若点A（1，a）B（b，9）在函数y=x2
的图像上，则a= ,b= .课堂练习5、观察函数y=x2的图像，利用图像解答下列问题：
（1）在y轴左侧的图像上任取两点A（x1,y1）
B(x2,y2),且使0>x1>x2,试比较y1与y2的
大小；
（2）在y轴右侧的图像上任取两点C（x3,y3）
D(x4,y4),且使x3>x4>0,试比较y3与y4
的大小.
6、利用函数y=-x2的图像回答下列问题：
（1）当x= 时，y的值是多少？
（2）当y=-8时，x的值是多少？
（3）当x<0时，随着x值的增大，y值如何变
化？当x>0时，随着x值的增大，y值如
何变化？
（4）当x取何值时，y值最大？最大值是多
少？
7、已知y=m 是x的二次函数。
（1）当m取何值时，该二次函数的图像开口
向上？
（2）在（1）的条件下,①当x取何值时，y>0?
②当x取何值时，在y2>y1时，总有x2>x1?
③当x取何值时，在y2>y1时，总有x2 (1）求a的值；
（2）点B（3，-a）在二次函数y=x2的图像上吗？
思考:
9、已知二次函数y=-x2.
(1)当-2 (2)当-4 10、已知抛物线y=ax2过M（-2，-2）
（1）求出这个函数关系式并画出函数图象。
（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积。5.2 二次函数的图像与性质(2)
教学目标：
1、经历探索二次函数y=ax2性质的过程，进一步体验数形结合的思想方法.
2、能说出二次函数y=ax2的图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数的增减性等性质。
教学重点：函数y=ax2的图像和性质
教学过程：
一、复习函数y=x2与y=－x2的图像和性质
二、探索新知;
1、学生画出二次函数y=、y=的图象(在图①中)与y=-、y=-的图像(在图②中)
(图①) (图②)
引导学生观察图像，比较有哪些共同点和不同点？
2、引导学生尝试归纳二次函数y=ax2的性质：
（1）二次函数y=ax2中，当a>0时：
抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，
（增减性）当x 时，y随x的增大而 ，当x 时，y随x的增大而 ,
（最值）抛物线的 是最低点，因此当x 时，y的值最 ，y的最 值是 .
（2）请你类比以上内容小结二次函数y=ax2中，当a<0时的特征：
（4）比较二次函数y=、y=、y=-、y=-的开口大小，你有什么发现？
二、练一练：
1.填表
函数表达式
开口方向
对称轴
顶点
y=-3x2,
y=5x2,
y=
2.填空：
（1）当x>0时，函数y=-7x2的值随着自变量x的增大而 ；当x 时，函数值最
，最 值是 。
（2）当x<0时，函数y=的值随着自变量x的增大而 ；当x 时，函数值最
，最 值是 。
三、例题讲解：
例1.已知y=是二次函数，且开口向上，求k的值
例2.已知二次函数y=ax2的图像经过点A（、B（3,m）.
(1)求a与m的值； (2)写出该图像上点B的对称点的坐标；
(3)当x取何值时，y随x的增大而减小？(4)当x取何值时，y有最大值（或最小值）？
例3、抛物线y=ax2与直线y=kx－2交于点A、B，其中A点坐标为（－1,1）
（1）求a、k的值 （2）求B点坐标。
四、巩固练习：
1.已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）
2. 已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴．
五、课堂小结:
课后练习：
1.函数y=(k+1)x2(k+1≠0)的图像的顶点坐标是 ，对称轴是 。 当k 时，图像的开口向上，这是函数有最 值；当k 时，图像的开口向下，这是函数有最 值.
2.二次函数y=ax2的图像如图，该函数的关系式是 .如果另一个函数的图像与该函数关于x轴对称，那么这个函数的关系式是 .
3.已知A（1，y1）、B（-2，y2）、C（-，y3）在函数y=的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是 .
4.在同一坐标系中，函数y=x2，y=，y=3x2的图像如图。其中图像①的函数关系式是 ，图像②的函数关系式是 ，图像③的函数关系式是 .
5.对于函数y=x2，由其图像可知，下列判断中，正确的是（ ）
A、若m、n互为相反数，则x=m与x=n对应的函数值相等；
B、对于同一自变量x，有两个函数值与之对应；
C、对于任意一个实数y，有两个x值与之对应；
D、对于任何实数x，都有y>0.
6.已知y=（m+1）是关于x的二次函数.
（1）求满足条件的m的值；
(2)当m为何值时，该函数的图像中除顶点外，其余的点都在x轴的下方？
（3）当m为何值时，在该函数图像对称轴的右侧，y随x的增大而增大？
7.根据图（1）、（2）的函数图像填空：
（1）二次函数y=-7x2的图像不可能是 ，二次函数y=的图像不可能是 ；
（2）有最大值的函数图像是 ，它的最大值是 ；
（3）如果二次函数y=(m-1)x2的图像是图（1），那么m的取值范围是 .
§5.2 二次函数的图象和性质（2）
教学目标:
1．会用描点法画出二次函数 的图象；
2．能结合图象确定抛物线 的对称轴与顶点坐标；
3．通过比较抛物线 同 的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;
教学重点:
画出形如 的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.
教学难点:
理解函数 与 及其图象间的相互关系
教学方法:
探索研究法。
教学过程:
一、复习引入
提问：1．什么是二次函数？
2．我们已研究过了什么样的二次函数？
3．形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
二、新课
复习提问：用描点法画出函数 的图象，并根据图象指出：抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标.
例1? ?在同一平面直角坐标系画出函数 、 、 的图象.
由图象思考下列问题：
（1）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（2）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（3）抛物线 ， 与 的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？
抛物线的形状相同具体是指什么？
②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？
③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？
④抛物线 是由抛物线 沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线 呢？
⑤你认为是什么决定了会这样平移？
练习
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 。
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
（5）抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
（6）二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为 点D的坐标为 .
三、本节小结
本节课教学了二次函数 的图象的画法，主要内容如下。 填写下表：
表一：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
课后作业:
板书设计
教学反思
5.2二次函数的图像与性质（2）
1.抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称轴的
左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；当x= 时，
y取得最 值，这个值等于 .
2.抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称
轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；
当x= 时，y取得最 值，这个值等于 .
3将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象
向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象；将y=x2-7的图象向 平移 个单
位可得到 y=x2+2的图象.
4.将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数关系式是 .
5.点A（2,3）关于y轴的对称点的坐标是 ，点B（-2，-3）关于y轴的对称点
的坐标是 ，点C（a,b）关于y轴的对称点是 .
6.若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是 .
7.已知是二次函数.
⑴当时，随的增大而减少，求的值.
⑵若有最大值，求该函数的表达式.
二次函数的“中考身姿”
二次函数是函数中重要模型，是函数知识的综合应用，与方程、不等式有着紧密联系，是初中数学的核心知识，它在中考中呈现方式千姿百态，现在让我们一起触摸它的美妙身影。
一、抛物线开口方向、顶点坐标与对称轴、与坐标轴交点坐标，是确定一个抛物线的大致形状的基础。
例1（08温州）抛物线y＝(x－1)2＋3的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝－1 D．直线x＝－3
分析：从解析式上来看，只要满足形式的二次函数，其对称轴就是，顶点坐标是，即指数2管的这一部分为0时的x的值，前面加上直线就可以得到对称轴。
解：由得对称轴是直线，选A
点评：通过配方把变形成，从而得到对称轴和顶点坐标，是二次函数的重点知识，配方法是重要数学方法，大家要掌握哟！
例2（08庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图1所示），则6楼房子的价格为 元/平方米．
分析：由图像可知抛物线的对称轴是x=4，
因此可知x=2时和x=6时的函数值相等。
解：2080
点评：由于抛物线是轴对称图形，因此利用对称轴
垂直平分对称点连线，就可以由已知点的坐
标求它对称轴点的坐标。
例3（08吉林）二次函数的图像
与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
分析：抛物线与x轴有交点，即当y=0时，方程有解，也就是在k≠0时，。
解：因为是二次函数，所以k≠0；，解之得，所以选D
点评：二次函数（a≠0）与x轴有两个交点，等价于方程有两个不同的实数根，等价于，这是课标修正稿加强的内容，同学们应引起注意。
二、根据抛物线的增减性，由x(或y)来了解一些对应的y(或x)的取值情况；
例2（08日照）若A（），B（），C（）
为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是
A． B． C． D．
析解： y=x2+4x-5配方得y=（x+2）2-9，所以此抛物线的对称轴是，所以根据抛物线的对称性可知，的值等于函数在x=-处的函数值，又因为a=1＞0，所以当x＞-2时
y随x的增大而增大，因为，所以，选B
点评：解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴，由a的正负性就可以知道，抛物线的增减性，如果所给的点没有在对称轴的同一侧，可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再做判断。
三、同一坐标系中，抛物线和其他函数图象的共存问题；
例3（08泰安）在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ）
分析：先看选项A、B，直线经过二、四象限，或直线从左向右呈下降趋势，可知m<0，因此抛物线的二次项系数-m>0，所以抛物线的开口方向向上，显然选项A是不可能的，由于，所以抛物线的对称轴应该在y轴的左侧，故而选项B也是不可能的。再看选项C，直线经过一、三象限，或从左向右呈上升趋势，可知m>0，因此抛物线的二次项系数-m<0，抛物线的开口方向向下，显然选项C是不可能的。
解：选D
点评：解决此类问题通常从较简单的图象（直线或双曲线）出发，获得与抛物线有关的字母的取值情况，然后由字母的取值情况来判断抛物线的大致位置，如果一致则可能，如果不一致则说明是不可能的。
四、二次函数的图像的平移
例5（08泰州）二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是
A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
分析：图形的平移是转移成点平移进行的，也就是说一个图形的平移方向和平移距离和它上的每一点的平移方向和平移距离是一致的，因此可先获得抛物线的顶点坐标，再得到的顶点坐标，分析它们之间的变换即可。
解：抛物线的顶点坐标是（0，0），抛物线的顶点坐标（-2，-1），因为（0，0）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点（-2，-1），因此选B
点评：图形的变换转化成点的变换，体现复杂图形向简单图形的转化数学思想。
5.2二次函数的图像与性质（第二课时）
基础习题
1、已知函数： ① y=-2x2-1；② y=2x2-2；③ y=-2x2+1中，图像开口向上的函数有 ；图像开口向下的函数有 。
2、抛物线y＝x2－3是由抛物线y＝x2向_____平移_____个单位得到的。
3、抛物线y＝x2＋1是由抛物线y＝x2－2向_____平移_____个单位得到的。
4、抛物线y＝x2－4是由抛物线y＝x2＋5向_____平移_____个单位得到的。
5、抛物线y=－4x2－4的开口向_____，当x= 时，y有最 值，y= 。
6、抛物线y=-3x2+5的开口向_____，对称轴是_____，顶点坐标是__________；在对称轴的左侧，y随x的增大而__________，在对称轴的右侧，y随x的增大而__________；当x=_____ 时，取得最___值，这个值等于_____。
7、抛物线y=7x2-3的开口向_____，对称轴是_____，顶点坐标是__________；在对称轴的左侧，y随x的增大而_________，在对称轴的右侧， y随x的增大而_________；当x=_____ 时，取得最_____值，这个值等于_____。
8、在平面直角坐标系中画出函数y=-2x2和y=-2x2-1的图像。（列表、描点、连线）
9、已知抛物线y=ax2+c经过点（1，5）和（-2，11）
（1）求a、c的值；（2）指出当x取何值时，y随x的增大而增大？
每课一题
函数y=ax2-a与y= 在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
课件6张PPT。二次函数的图象与性质②画出二次函数 的图象并填表试一试1.二次函数 的图象过点 ，则其解析式为_______2.二次函数 的图象如图 ，则其解析式为_______3.已知二次函数 与直线 的图象交点坐标为A(-1，1),B(3，4),若 ，则自变量x的取值范围是________4.二次函数 的图象与直线 交于点 P（2，b）①求a，b的值②写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而减小5.如图，抛物线的解析式为 ，AB∥CD∥x轴，AB到x轴的距离为2（即直线AB为y=2），CD=4,求梯形ABDC的面积5.2二次函数的图象和性质(3)
学习目标:
1、经历探索二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象作法和性质的过程.
2、能够理解函数y=ax2+k与y=ax2的图象的关系，知道a、k对二次函数的图象的影响.
3、能正确说出函数y=ax2+k的图象的性质.
教学重点：理解函数y=ax2+k与y=ax2的图象的关系，知道a、k对二次函数的图象的影响.
能正确说出函数y=ax2+k的图象的性质
教学过程：
一、回顾旧知：
y=ax2(a≠0)
a>0
a<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由 来确定的,一般说来, 越大,抛物线的开口就 .
二、探索新知：
1、在同一坐标系中画出函数y=x2+1、 y=x2的图象
列表：
x
……
-3
-2
-1
0
1
2
3
……
y=x2
……
9
4
1
0
1
4
9
…….
y=x2+1
……
……
（2）比较函数y=x2+1与y=x2的图象，你能说出函数y=x2+1图象的性质吗?
（3）从表格中的数值看，相同自变量的值所对应的两个函数值有何关系？
（4）从点的位置看，函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象的位置有什么关系？
(5)你能说出函数y=x2+1与y=x2的图象的关系吗？
（6）猜想函数y=x2－2与函数y=x2的图像有什么关系?并画图验证
2、在同一坐标系中画出函数y=－x2+1、 y=－x2、y=－x2－1的图象
根据图像说出函数y=－x2+1、y=－x2－1的性质
根据图象说出y=－x2+1、y=－x2－1与 y=－x2的关系
3、请你归纳函数y=ax2+k的图象的性质
y=ax2＋k
(a≠0)
a>0
a<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
练习：
1、抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，当x= 时，y取得最 值，这个值等于 。它是由y=-3x2的图象向 平移 个单位得到的
2、抛物线y=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x＜0时，y随x的增大而 ，当x＞0时，y随x的增大而 ，当x= 时，y取得
最 值，这个值等于 。将它向 平移 个单位得到y=x2的图象
3、函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向 平移 个单位可得 y=x2+2的图象。
三、例题讲解：
例 1、抛物线y=－3与x轴交于点A、B(A在B的左边)，与y轴交于点C，
（1）求A、B、C的坐标
（2）求△ABC的面积
例2抛物线y=ax2与直线y=kx－2交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，－1），求△ABO的面积
四、巩固练习：
1、抛物线y=2x2开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ，当x 0时，y随x的增大而增大，当x 0时，y随x的增大而减小。当x 0时，y有最 值为 。
2、抛物线y=－5x2开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ，当x 0时，y随x的增大而增大，当x 0时，y随x的增大而减小。当x 0时，y有最 值为 。
3、抛物线y=2x2+4开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ；当x＞0时，y随x的增大而 ，当x＜0时，y随x的增大而 ；当x 0时，y有最 值为 ；它是由抛物线y=2x2向 平移 个单位得到的。
4、抛物线y=－x2－7开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ；当x＞0时，y随x的增大而 ，当x＜0时，y随x的增大而 ；当x 0时，y有最 值为 ；将它向 平移 个单位得到y=－x2的图象。
5、已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2,
x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，
则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）
A. a+c B. a-c
C. –c D. c
6、二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），
（1）求a、c的值，写出函数y=ax2+c的表达式
（2）若点C(-2,m),D（n ,7）也在这函数的图象上，求点C、点D的坐标。
5.2二次函数的图像和性质
课 题
5.2二次函数的图像和性质(3)
教学时间
教学目标：
1．会用描点法画函数函数y＝a(x＋m)2 （a≠0）的图像；
2．能用平移变换解释二次函数y＝a(x＋m)2和二次函数y＝ax2（a≠0）的位置关系；
3．能根据图像认识和理解二次函数y＝a(x＋m)2（a≠0）的性质；
4．体会数学研究问题由具体到抽象、特殊到一般的思想方法．
教学重点：
从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”的关系着手，探索二次函数
y＝a(x＋m)2的图像和二次函数y＝ax2的（a≠0）位置关系．
教学难点：
从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”的关系着手，探索二次函数
y＝a(x＋m)2的图像和二次函数y＝ax2的（a≠0）位置关系．
教学方法：
自主探究 合作交流 讲练结合
教学媒体：
电子白板
【教学过程】：
一.【情境创设】
回顾二次函数y＝ax2+k（a≠0）的图像和性质
二.【问题探究】
问题1. 用描点法在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
从表中的数值看，函数，，的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系？从对应点的位置看，三个函数的图像的位置有什么关系？
问题2. 在同一直角坐标系中，函数，， 的图象之间有什么关系？
归纳：图像向左移还是向右移,移多少个单位长度,有什么规律吗?
函数y＝a(x＋h)2和函数y＝ax2 (a≠0)的图像形状 ，只是位置不同；
当k>0时，函数y＝a(x＋h)2的图像可由y=ax2的图像向 平移 个单位得到；
当k〈0时，函数y＝a(x＋h)2的图像可由y=ax2的图像向 平移 个单位得到．
填表：通过上面的探究，观察图像，总结函数y=ax2+ k的性质.
y＝a(x＋h)2
(a≠0)
a>0
a<0
图像
h>0
h<0
h>0
h<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
问题3.
(1)函数y=4（x+3）2的图像可由y=4x2的图像向 平移 个单位得到；
函数y=4（x-2）2的图像可由 y=4x2的图像向 平移 个单位得到．
(2)将函数y=-3（x+3）2的图像向 平移 个单位可得y=-3x2的图像；
将函数y=2（x-4）2的图像向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图像。
将函数y=（x-5）2的图像向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图像．
（3）函数y=2（x+1）2的图像可由函数y=2（x-1）2的图像，通过怎样的平移得到？
三.【拓展提升】
问题4.一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是－2，且抛物线经过点（1，1），
（1）求这条抛物线的函数关系式．
（2）将该抛物线通过平移，能经过点（1，－1）吗？若能，试求出经过怎样的平移？
四.【课堂小结】
复 备 栏
5.2二次函数的图像与性质（3）
【课堂检测】
1.二次函数的图像是 ，开口 ，对称轴是 ；
顶点坐标是 ，说明当x= 时，y有最 值是 .
2.二次函数的图像是由抛物线 向 平移 个
单位得到的；开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，
说明当x= 时，y有最 值是 .
3.将二次函数y=2x2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像；
顶点坐标是 ，其对称轴是 ，说明当x 时，y随x的增大
而增大，当x 时，y随x的增大而减小.
4.在同一坐标系中画出下列函数的图像：①②
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
…
…
…
…
…
观察上图:
⑴函数的图像与函数的图像的 相同， 相同，
不同， 不同；
⑵函数可以看成函数的图像向 平移 个单位长度得到；
它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
⑶函数可以看成函数的图像向 平移 个单位长度得到；
它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
⑷函数的图像与函数的图像关于 成 对称.
【课外作业】
1.将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数 的
图像，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值是 .
2.函数y=3（x+6）2的图象是由函数 的图象向 平移 个
单位得到的；其图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
当x= 时，y有最 值是 ；当x 时，y随x的增大而增大.
3.把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3（x+h）2的图象，则a= h= .
4.将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是 ；
将函数y=3（x－4）2的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 .
5.将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函数 的图象，再
向 平移 个单位得到函数y= 2（x-3）2的图象.
6.将抛物线向右平移后所得新抛物线的顶点横坐标为3，且新抛物线经过点
（-1，-4），求的值.
二次函数解题中的错误
二次函数是数学中的重要内容，在解决具体的二次函数问题时，如果概念、性质和图象把握不准，可能会出现下面一些错误.
忽视二次项系数a≠0致误
例1 当m为何值时,y=(m+2)x|m|是二次函数?
错解:根据二次函数的概念,得|m|=2,所以m=2或-2
所以当m=2 或-2时,函数y=(m-2)x|m|是二次函数.
分析:根据二次函数的定义,要使y=(m-2)x|m|是二次函数,m需满足两个条件: (1)|m|=2,(2)m+2≠0.两者缺一不可.
正解:根据题意,得|m|=2，m+2≠0.所以m=2,
当m=2时, y=(m+2)x|m|是二次函数.
忽视二次函数的增减性的范围致误
例2 已知点(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)在函数y=x2+2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是（ ）
A．y3错解:因为-2<-1<3,所以y1分析:对于函数y=x2+2的增减性应分x>0,x<0讨论,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大.对于不同的x值,要判断对应y值的大小,应注意两点,一是所给的x的值是否在对称轴的同一侧,二是注意对称轴两边点与对称轴远近的不同,对应的函数也不同.本题错在没有分析三个点的具体的位置,出现错误.
正解: 对于y=x2+2,当x<0时,y随x的增大而减小,又因为-2<-1,所以y1>y2;
对于对称轴两侧的点(-2,y1) (3,y3),应根据点到对称轴的远近来比较函数值的大小.
因为|3-0|>|-2-0|,所以y1所以y2忽视函数图象的平移与对称轴的变化关系致错
例3 已知二次函数y=5x2+1，将此函数的图象向左平移2个单位长度，再下平移3个单位长度，则平移后得到函数的表达式为________.
错解:y=5(x-2)2-3.
分析:写出平移后得到的函数的表达式的关键是确定函数图象的顶点坐标,因为函数y=5x2+1的顶点坐标是(0,0),将其图象向左平移2个长度,再向下平移3个单位长度,则得到的函数图形的顶点坐标是(-2,-2),由于平移前后函数图象的开口的大小和方向不变,所以所得到二次函数的表达式为y=5(x+2)2-2.
正解:填y=5(x+2)2-2,即y=5x2+20x+18.
四、画函数图象没考虑自变量的取值范围致误
例4 画函数y=x2+1（-2≤x<3）的图象.
错解:列表:
x
-2
-1
0
1
2
y
5
2
1
2
5
所画的图象如图1所示:
图1 图2
分析:错解在没有考虑x取值范围是-2≤x<3,实际上,x只能在-2和3之间取值但不能等于3,所以函数的图象只是抛物线的一部分.
正解:所画的图象如图2所示.
5.2 二次函数的图像与性质（第三课时）
基础习题
1、已知函数：① y=-2（x-1）2；② y=2（x-2）2；③ y=-2（x+1）2中，图像开口向上的函数有 ；图像开口向下的函数有 。
2、抛物线的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的。
抛物线的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的。
4、二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x= 时，y有最 值，是 ；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。
5、二次函数y=-3（x-4）2的图像是 ，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x= 时，y有最 值，是 ；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。
6、抛物线y=-3（x-4）2是由抛物线y= -3x2向 平移 个单位得到的。
7、将抛物线y=2x2向右平移3个单位后得到抛物线 ，其对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。
8、在平面直角坐标系中画出函数y=-2x2和y=2（x-1）2的图像。（列表、描点、连线）
9、已知二次函数y=a(x-h)2，当x=2时有最大值，且此函数的图像经过点（1，-3）。
（1）求此函数的表达式；（2）指出当x为何值时，y随x的增大而增大？
10、把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y= -3（x-h）2的图像。
（1）求a、h的值；（2）若抛物线y= a（x-4）2的顶点是点A，且与y轴交于点B，抛物线y= -3（x-h）2的顶点是点M，求ΔMAB的面积。
每课一题
将函数y=2（x－3）2的图像沿x轴对折后得到的函数表达式是 ；
将函数y=5（x－2）2的图像沿y轴对折后得到的函数表达式是 。
课件8张PPT。二次函数的图象与性质③在同一平面直角坐标系中画出函数的图象并说明，这两个函数图象有什么关系？练习1.二次函数 的图象的开口方向______，对称轴是_____，顶点坐标______当x____时，y有最__值，这个最___值是______当x____时，y随x的增大而增大；当x____时，y随x的增大而减小；2.二次函数 的图象的开口方向______，对称轴是_____，顶点坐标______当x____时，y有最__值，这个最___值是______当x____时，y随x的增大而增大；当x____时，y随x的增大而减小；3.二次函数 的图象向下平移2个单位得到函数______的图象4.二次函数 的图象是由二次函数 的图象向___平移___个单位得到5.如图，抛物线 的顶点是C，与x轴交于A，B两点，求△ABC的面积5.2二次函数的图象及其性质（4）
教学目标：
经历探索二次函数y=a（x－h）2(a≠0)的图象作法和性质的过程.，理解二次函数
y=a（x－h）2(a≠0)与y=ax2的图象的关系。
2、掌握二次函数y=a（x－h）2 的图象的性质
教学重难点：
二次函数y=a（x－h）2的图象及其性质
教学过程：
一、复习：
1、说说函数y=ax2的图象的性质
2、说说函数y=ax2＋k的图象的性质
二、探索研究：
1在同一坐标系中画出下列函数的图象
（1）、y=x2 (2)y=(x＋1)2 (3)y=(x－1)2
（1）
▲学生尝试画图
▲投影学生的画图，讨论y=(x＋1)2、y=(x－1)2
的图象是否为抛物线
▲引导学生画出正确的图象
（2）学生根据图象说出y=(x＋1)2 、y=(x－1)2
的图象的性质
（3）比较y=(x＋1)2 、y=(x－1)2与y=x2的图象，说出它们之间的关系
（4）猜想函数y=－(x＋1)2的图象的性质，以及与抛物线y= x2的关系，并画图验证
（5）归纳函数y= a（x－h）2的图象的性质
练习：
1、抛物线y=－3(x＋2)2开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ，当x＜ 时，y随x的增大而 ，当x＞ 时，y随x的增大而 。
当x= 时，y有最 为 。它是由抛物线y=－3x2向 平移 个单位得到的。
2、函数y=的图像开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ，当x＜ 时，y随x的增大而 ，当x＞ 时，y随x的增大而 。
当x= 时，y有最 为 。将它向 平移 个单位得到函数y=的图像。
3、抛物线y=－4(x－3)2开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ，当x＜ 时，y随x的增大而 ，当x＞ 时，y随x的增大而 。
当x= 时，y有最 为 。它是由抛物线y=－4x2向 平移 个单位得到的。
4、已知函数：（1）y= (2)y= (3)y=-2x2＋2
(4)y= (5)y=2 (6)y=－2(x＋2)2
其中图像开口向上的函数是 ，图像开口向下的函数是
图像对称轴是y轴所在直线的函数是 ，图像对称轴与y轴平行的函数是
5、将抛物线y=4（x—1）2 向___ 平移____ 个单位得到抛物线y=4（x+3）2
将抛物线y=4(x-2)2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 。
6、已知函数y=a(x－1)2的图像经过点（0.2），
（1）求函数表达式
（2）点（2,2）在在图象上吗？
（3）当y=3时，求x的值。
二次函数的图像与性质
课 题
§5.2二次函数的图像与性质（4）
教学时间
教学目标：
1.会用描点法画出二次函数y＝a(x＋h )2＋k的图象；
2.能结合图像确定抛物线y＝a(x＋h )2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及其性质；
3.比较抛物线y＝a(x＋h )2＋k与关系，培养观察、分析、总结的能力.
教学重点：
画出形如y＝a(x＋h )2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点坐标；理解函数y＝a(x＋h )2＋k与 及其图象间的相互关系.
教学难点：
画出形如y＝a(x＋h )2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点坐标；理解函数y＝a(x＋h )2＋k与 及其图象间的相互关系.
教学方法：
自主探究 合作交流 讲练结合
教学媒体：
电子白板
【教学过程】：
一.【情境创设】
回顾二次函数y＝ax2+k、y＝a(x＋h )2（a≠0）的图像和性质
二.【问题探究】
问题1、（1）在同一坐标系中画出二次函数，，的图象．
（2）在同一坐标系下画出二次函数，，的图象。
问题2.讨论：函数y＝a(x＋h )2＋k（a≠0）的图象和性质
（1）当a＞0时，开口 ; 当a＜0时，开口
(2) 顶点坐标为 ，对称轴为
（3）当h＞0，k＞0时，抛物线y＝a(x＋h )2＋k可以看成是由抛物线向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的．
总结与归纳思考：
函数y＝a(x＋m)2＋k的图像与y＝ax2（a≠0）的图像有什么关系？
（2）函数y＝a(x＋m)2＋k（a≠0）有什么性质？
问题3.分别写出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标，并说明是由哪个抛物线通过怎样的平移得到的？
(1) (2)
三.【拓展提升】
问题4.如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1) 直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；
(2) 求出这条抛物线的函数解析式．
四.【课堂小结】
五.【反馈练习】
1.已知抛物线的顶点坐标是（－1，－2），且过点（1，10），求这个抛物线的解析式．
2.将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，－1），试求平移后的抛物线的解析式．
3.如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）
（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）
复 备 栏
5.2二次函数的图像与性质（4）
1.将抛物线y= -3x2的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到 的
图像，新图像的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值是 .
2.函数y=3（x+6）2+2的图象是由函数y=3x2的图象先向 平移 个单位，再向 平
移 个单位得到的；其图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标
是 ；当x= 时，y有最 值是 ；当x 时，y随x的增大而增大.
3.抛物线y=a（x+h）2+k是由函数y=的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2
个单位长度得到的，则a= ，h= ，k= .
4.将函数y=3（x－4）2+3的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是 ；
将函数y=3（x－4）2+3的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 .
5.将抛物线y= -2（x-3）2-1先向上平移3单位，就得到函数 的
图象，再向 平移 个单位得到函数y= 2（x+1）2+2的图象.
6.⑴已知抛物线开口大小与的开口大小一样，但方向相反，且当=-2时，
有最值4，该抛物线的解析式是 ；
⑵抛物线是由一抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单
位得到，则原抛物线的解析式是 ；
⑶抛物线与抛物线 关于轴成轴对称；抛物线
与抛物线 关于轴成轴对称.
7.抛物线经过点（-1，-4），且当x=1时，y有最值是-2，求该抛物线的
解析式.
二次函数专家门诊
同学生初学二次函数，由于没有掌握好知识点或粗心大意，经常会出现这样或那样的错误，现在让我们走进二次函数专科门诊，一起给二次函数瞧瞧病吧!
病症一、忽略函数图象中的有用信息
例1 (06辽宁大连)如图是二次函数的图象，则a的值是____________
错解：由图象可知，图象经过原点，所以,解得：
错因：未认真观察图形，忽略图象开口方向。
正解：因为图象开口向上，所以a>0,所以a=-1不合题意舍去，所以a
的值1。
病症二、漏掉题目已知条件
例2 (06甘肃兰州) 开口向下的抛物线的对称轴经过点(-1,3)，则m=______
错解：由题意可知，抛物线的对称轴为x=－1,根据对称轴公式可得：
整理得：,解得：。所以m的值为2或-1
错因：未审清题意，忽视已知条件：开口向下，即
正解：因为抛物线开口向下，所以,经检验2不合题意，应舍去，所以m=-1
病症三、理解错题意或不懂图象平移规律
例3 (06甘肃兰州)已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标下抛物线的解析式是( )
(A) (B)
(C) (D)
错解：A或C
错因：将题目中的“把x轴，y轴分别向上、向左平移2个单位”理解成为“将函数的图象向上，向左平移2个单位”，而本题实际是相对的把函数的图象分别向下、向左平移了2个单位。还有可能部分同学不理解图象平移的规律，从而无法求得答案。
正解：设抛物线的解析式是, y=2x2顶点坐标是(0,0),图象向下平移了两个单位，则顶点的纵坐标减2，向左平移了2个单位，则顶点的橫坐标-2，所以新坐标下的抛物线的顶点坐标为(-2，-2)，即h=-2,k=-2，所以解析式为：
故选B。
医生特别提示：有关抛物线的平移问题，不能死记硬背平移规律，只要先将其解析式化为顶点式，然后根据它们的顶点的位置关系，确定平移方向和平移的距离，从而求得答案。
病症四、用错二次函数图象的有关性质
例4(06山东临沂) 若A（－，y1）、B（－1，y2）、C（，y3）为二次函数的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
错解：因为a<0,所以y随x的增大而减小，因为，所以，所以选B
错因：二次函数的对称轴是x=-2,所以当x<-2时y随x的增大而增大，当x时，y随x的增加大而减少，在本题中A点在对称轴的左侧，B、C点在对称轴的右侧。所以比较y1、y2、y3的大小不能直接运用其增减性的性质来完成。本题直接给出A、B、C三点的横坐标，可以通过计算的方法，算出y1、y2、y3的值，再比较大上，也可以利用数形结合的数学思想，画出图象，将A、B、C三点在图像上标出，再比较其纵坐标的大小。
正解：C
病症五、忽视二次函数存在的条件
例5 (四川绵阳)已知关于x的二次函数的图象与x轴有交点，那么实数a的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
错解：由得，所以选C
错因：错解中只考虑了图象与x轴有交点的已知条件，而忽略了二次函数的二次项系数不能为0的隐含条件。
正解：选B
二次函数的性质
一、课堂练习
1： 函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；
y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。
2.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴 平移了 个单位;
抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴 平移了 个单位.
抛物线y=-3(x-1)2的顶点是 ;对称轴是 ;
抛物线y=-3(x+1)2的顶点是 ;对称轴是 .
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,即当x 时, y随着x的增大而 ; 在对称轴(x=1)右侧,即当x 时, y随着x的增大而 .当x= 时,函数y有最 值,最 值是 ;
二次函数y=2x2+5的图像是 ，开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 。
4.将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是 ；
将函数y=3（x－4）2的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 ；
5、在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
6、已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2), x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）
A. a+c B. a-c C. –c D. c
二、课后巩固练习（注：标★为选做题）
★7、已知二次函数y=a(x-h)2,当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点（1，-3），求此函数的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大？
8、一个函数的图象是一条以y轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A（2,-8).
(l）求这个函数的解析式； (2）画出函数图象； (3）观察函数图象，写出这个函数所具有的性质。
课件17张PPT。二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质初三数学xy二次函数y=a(x+h)2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x+h)2 (a>0)y=a(x+h)2 (a<0)（-h，0）（-h，0）直线x=-h直线x=-h在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=-h时,最小值为0.当x=-h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：我思，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看． 在同一坐标系中作出函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系? 函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象和性质对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,2).二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x2,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向上,当
X=1时有最小
值:且最小值=2.先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?X=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,-2).二次函数y=3(x-1)2-2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
下平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 开口向上,
当x=1时y有
最小值:且
最小值= -2.想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．X=1我思，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x2和y=-3(x-1)2的图象二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小? 对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(1,2)和(1,-2).二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2+2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x-1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,
当x=1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x+1)2yX=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..二次函数y=-3(x+1)2+2与
y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x-1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).先想一想,再总结二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质. X=1二次函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的关系一般地,由y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x+h)2+k的图象:y=a(x+h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向左平移;当h<0时,向右平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x+h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x+h)2+k(a>0)y=a(x+h)2+k(a<0)（-h，k）（-h，k）直线x=-h直线x=-h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=-h时,最小值为k.当x=-h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：悟出真谛,练出本事1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢? 1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= -h和y轴.
(2)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x+h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向左平移;当h<0时,向右平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.回味无穷二次函数y=a(x+h)2+k与=ax2的关系 1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.2.填写下表: 你认为今天这节课最需要掌握的是 ________________ ？ 谢谢大家，再会!作业P19习题6.2第5 题结束寄语读书要从薄到厚,再从厚到薄.再见课题：5.2 二次函数的图像和性质（5）
班级： 姓名：
【连连看】
1、函数y＝x2＋2的图像与y＝x2的图像有什么关系？性质呢？
2、函数y＝ (x＋3)2的图像和y＝x2的图像有什么关系？性质呢？
【试一试】
（1）应用结论．
y＝x2 。
（2）观察图像：函数y＝ (x＋3)2 ＋2有哪些性质？
变式： 二次函数y＝ (x－1)2 － 6的图像和y＝x2的图像的位置有什么关系？
【想一想】函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？
【冲一冲】你能将函数y＝－x2－4x－5 转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式吗？你知道函数y＝－x2－4x－5的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（或者最小）值？
【练一练】 你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式吗？ 你知道函数y＝ax2＋bx＋c 的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（或者最小）值？
【总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图像是一条抛物线，顶点是（ ， ）,对称轴是过顶点平行于y轴的直线．
a＞0时，抛物线开口向上，函数有最 值；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最 值；
函数在顶点处取得有最大（小）值 ．
二次函数的图像和性质
课 题
§5.2 二次函数的图像和性质（5）
复备人
教学时间
教学目标：
1.掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2．掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
教学重点：
描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标
教学难点：
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴
教学方法：
自主探究 合作交流 讲练结合
教学媒体：
电子白板
【教学过程】：
一.【情境创设】
1、填表.
函数
图象特征
函数的最大值或最小值
开口方向
顶点坐标
对称轴
当x= 时，
=
当x= 时，
=
当x= 时，
=
当x= 时，
=
2、我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
二.【问题探究】
问题1：你能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
的对称轴是 ，顶点坐标是 .
归纳：像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，
从而直接得到它的图像性质.
问题2：用配方法把下列二次函数化成顶点式，并说出它的图像性质：
②
问题3：画出二次函数的图像，并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大值或最小值和增减性。
探索：对于一般形式的，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？
归纳：二次函数的一般形式
可以被整理成顶点式： ，
二次函数的图象是抛物线，其顶点坐标是 ，对称轴是直线 ．
图像
开口方向
顶点坐标
对称轴
最值
增减性
例：已知抛物线的顶点A在直线上 ，求抛物线的顶点坐标.
三.【拓展提升】
1、已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的关系式；
（2）将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使得平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
2、将二次函数的图象的开口反向，并向上平移，得到一条新的抛物线，这条新的抛物线与直线有一个交点为（3，4）.
（1）求新的抛物线的解析式；
（2）求新抛物线与直线的另一个交点坐标.
四.【课堂小结】
复 备 栏
5.2二次函数的图像与性质（5）
1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：
① ②
2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：
① ②
3.抛物线y= 3x2+2x的图像开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x= 时，
y有最 值是 .
4.函数y=-2x2+8x+8的对称轴是 ，当x 时，y随x的增大而增大.
5.用描点法画出的图像.
⑴用 法求顶点坐标：
…
…
…
⑵列表：
⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
⑷观察左图：
①抛物线与轴交点坐标是 ；
抛物线与轴交点坐标是 ；
②当 时，；
③它的对称轴是 ；
④当 时，随的增大而减小.
二次函数的图像与性质（5）
（建议完成时间:40分钟 家长签名 ）
【知识梳理】
抛物线（a≠0）顶点坐标为
对称轴为 当a>0时，有最 值为 ；当a < 0时
有最 值为 .
【基础训练】
1.抛物线y=3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
2.抛物线y=-2(x+1)2的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
3.已知抛物线y=ax2与的形状、开口方向相同,且将抛物线y=ax2沿y轴平移2个单位就能与抛物线完全重合,则a= ,c= .
4.一条抛物线其形状、开口方向与抛物线y=2x2相同, 对称轴与抛物线y=(x-2)2相同,且顶点的纵坐标是3,则这条抛物线的函数解析式是 .
5.将下列二次函数化为y=a(x-h)2+k 的形式,并写出抛物线的对称轴和顶点坐标.
(1) (2)
(3) (4)
6.已知函数.
（1）求抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴;
(2) 利用对称性画出这个函数的图象；
(3) x在何范围内,y随x的增大而增大;
x在何范围内,y随x的增大而减小;
(4) 求函数的最值.
【能力提升】
1.将抛物线向右平移5个单位,再向上平移3个单位,得抛物线,求抛物线的函数解析式.
2.抛物线y=x2-4x+c的顶点在y=x-1上，求c的值。
3. 已知抛物线
（1）画出函数的图象；
(2) 观察图象可知：抛物线与x轴的交点坐标
为 ；与y轴的交点
坐标为 ；
（3）将此抛物线向上平移 个单位，
或向 平移 个单位,使它的
图象与坐标轴仅有两个交点.
4. 已知抛物线y=ax2+bx+c中,│a│=2最低点的坐标是(-1,3),
求a、b、c.
课件16张PPT。二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质初三数学xy怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?函数y=ax2+bx+c的图象 我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 1.配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号老师提示:
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式直接画函数y=ax2+bx+c的图象4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2的图象． 2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).学了就用,别客气作出函数y=2x2-12x+13的图象. ●(1,2)●(3,-5)例.求次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标． 函数y=ax2+bx+c的顶点式 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 1.配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号老师提示:
这个结果通常称为求顶点坐标公式.顶点坐标公式因此,二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称． ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴交流.可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗? ⑶你还有其它方法吗？与同伴交流.直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离． 由此可知钢缆的最低点
到桥面的距离是1m。请你总结函数
函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象和性质 想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax2的关系2. P17 练习 1,2,3题1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. 谢谢大家，再会!作业P19习题6.2第6 题结束寄语探索是数学的生命线.再见
