5.1《二次函数》
一、学习目标：
1．理解二次函数的概念；
2．能熟练整理成二次函数的一般形式；
3．能根据题意列出二次函数的关系式，并确定自变量的取值范围．
学习重点：理解二次函数的概念；
学习难点：根据题意列出二次函数的关系式，并确定自变量的取值范围．
二、知识准备
1．形如y＝___________（ ）的函数是一次函数；形如（ ）的函数是 函数，它变形为：① 、② ．
2．只含有____未知数，并且未知数的最高次数是_____的_____方程，叫做一元二次方程；它的一般式为_________________________________．
三、探索活动
1．根据题意，列函数关系式
（1）一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是 ．
（2）用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 ．
（3）一面长与宽之比为2：1的矩形镜子，四周镶有边框．已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元．设镜面宽为x(m)，则总费用y(元)与镜面宽x(m)之间的函数关系为 ．
2．观察上述函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？与一元二次方程有什么异同？
3．一般地，形如 ，（ ，且 ）的函数为二次函数．
其中是自变量， 是 的二次函数．
注意：
定义中只要求二次项系数a不为零，一次项系数b、常数项c可以为零．特殊形式的二次函数：，，．
二次函数中自变量的取值范围是 ，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？
4．典型例题
例1 下列函数中是二次函数的有____________．
①；②；③；④
请你写出几个二次函数表达式：
①_________________、___________________________
②一次项系数为“0”的：______________________
请你给二次函数 例1中的③ 赋予实际意义：
例2 函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m= ．
例3 写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（2）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系；
例4 已知：函数，（1）当时，y的值；（2）当x取何值时，函数值为0？
四、展示交流
课本P7练习、P8习题5．1第3题
五、随堂练习
1．当m 时，是二次函数．
2．已知关于x的函数(其中a、b、c为常数)，当a_________时，它是二次函数；当a________、b________时，它是一次函数；当a________、b________、c________时，它是正比例函数．
3．如图，直角三角形ABO中，AB⊥OB，用AB=OB=3，设直线x=t，截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ）
A．S=t2（t>0） B．S=t2（0C．S=t2（04．根据如图1所示的程序计算函数值：
（1）当输入的x的值为时，输出的结果为________．
（2）当输入的数为______时，输出的值为－4．
5.1 二次函数
教学目标：
1．经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；
2．会用二次函数的定义解决简单的问题；
3．在实际情境中加深对函数概念的理解．
教学重点、难点：
1．二次函数的概念；
2．加深对函数概念的理解．
教具、学具：
多媒体演示
教学流程：
一、自觉思考
1．你对“二次函数”这个课题有什么感到好奇的地方？说出你想提出的问题！
2. 看到函数你会想到什么数学知识？那看到二次你又能想到什么数学知识？
3、刚才我们已经一起回顾了函数、一次函数、正比例函数以及一元二次方程的相关知识，那根据已有的知识和经验，我们应该怎样给二次函数下定义呢？
二、自觉探究
（一）探究：写出下列函数关系式：
1．长方形的周长为16米，设它的长为x米，将面积记为y平方米，写出变量y与x之间的函数关系式．
2．圆的面积s与半径r的函数关系式．
3．某机械公司第一月销售50台，第三月销售y台与月平均增长率x之间的关系式．
（学生先独立完成，再同桌交流，踊跃回答）
4．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．假设果园增种x棵橙子树，写出果园内橙子树所结橙子的总数y(个）与x(棵）之间的函数关系式.
5．一面长与宽之比为2:1的矩形镜子，四周镶有边框.已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元.写出总费用y（元）与镜面宽x（m）之间的函数关系式.
（二）观察、类比、归纳
类比分析：这些函数关系式有哪些共同特征？它们与一次函数、反比例函数有什么不同？
你能用一个一般的关系式来概括它们吗？
（给出二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a、b、c为常数，且a≠0)的函数称为二次函数，其中x是自变量，y是x的函数.）
自觉内化：
概念强化
二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a、b、c为常数，且a≠0)的函数称为二次函数，其中x是自变量，y是x的函数.
注意：（1）一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c 的自变量x可以是任意实数；（2）在实际问题中，其自变量的取值是有一定的范围,不能使实际问题失去意义.
2.概念辨析判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a、b、c的值.
小结：如何判断是否为二次函数？
概念理解
已知函数 是二次函数，求m的值，并写出这个二次函数的解析式.
例题解析：
例：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙（墙的长度为25m）的长方形花园.
写出长方形花园的面积y(㎡)关于与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
若花园的面积为300m2，求与墙平行的边长是多少？
五、自觉补缺：
1、概念辨析题：
下列函数：（1）;(2);(3)；
（4）,属于二次函数的是 (填序号).
2、求解析式：
某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛2000头.后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头.如果养殖场减少x个，求该地区奶牛总数y（头）与x（个）之间的函数关系式.六、课堂小结：
1．二次函数；
2．二次函数的一般形式；
3．会化一般形式，确定a、b、c．
5.1二次函数
一、选择题
下列函数中是二次函数的是
A. B. C. D.
把抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是
A. B. C. D.
若二次函数上有两点在这条抛物线上，且，则
A. B. C. D. 无法比较
若函数是二次函数，则a的值为
A. B. 1 C. D. 1或0
将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为
A. B. C. D.
二次函数图象的顶点坐标是
A. B. C. D.
已知一个二次函数的图象经过，则下列点中不在该函数的图象上的是
A. B. C. D.
抛物线的顶点坐标是
A. B. C. D.
抛物线与x轴的交点个数是
A. 1或2 B. 2 C. 0 D. 1
用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：，其中有一个值不正确，这个不正确的值是
A. 182 B. 274 C. 380 D. 516
二、解答题
已知二次函数． 求自变量时的函数值； 求该二次函数的图象与x轴公共点的坐标．
已知二次函数、c为常数的图象经过点与点，其顶点为P． Ⅰ求二次函数的解析式； Ⅱ若Q为对称轴上的一点，且QC平分，求Q点坐标； Ⅲ当时，y的取值范围是，求m的值．
已知直线l：，抛物线C：． 当时，求直线l与抛物线C的交点坐标； 当时，将直线l绕原点逆时针旋转后与抛物线C交于两点点在B点的左侧，求两点的坐标； 若将中的条件“”去掉，其他条件不变，且，求c的取值范围．
已知二次函数、c为常数． Ⅰ当时，求二次函数在上的最小值； Ⅱ当时，求二次函数在上的最小值； Ⅲ当时，若在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
【答案】
1. D 2. B 3. C 4. B 5. D 6. A 7. D 8. D 9. B 10. D
11. 解：当时，， 自变量时的函数值是0； 令，得， 解得， 该二次函数的图象与x轴公共点的坐标为和??
12. 解：点A、C在二次函数的图象上， ， 解得， 二次函数的解析式为：， Ⅱ如图，二次函数的对称轴为：， ， ， ， ， 设， ， 解得：， 点Q的坐标为或； Ⅲ当时，y的最小值为， ， 即； ． 由， 解得舍去或． 当时，， 由， 解得舍去或舍去， 综上所述：m的值为．??
13. 解：， 抛物线C：． 解得或， 直线l与抛物线C的交点坐标是或； 设直线绕原点逆时针旋转得到直线AB， 而直线l与x轴的夹角为， 旋转后直线AB与x轴的夹角为， 旋转后的直线AB的解析式为， 解得或， ； 整理得，， 解得， ， ， ， ， ．??
14. 解：Ⅰ当时，二次函数解析式为， 在的范围内，此时函数取得最小值为， Ⅱ，的对称轴为， 若，即时，当时，y有最小值为3， 若，即：时，当时，y有最小值； 若，即时，当时，y有最小值为， Ⅲ当时，二次函数的解析式为，它的开口向上，对称轴为的抛物线， 若，即时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大， 当时，为最小值， ， 或舍 二次函数的解析式为， 若，即， 当时，代入，得y最小值为， 舍或舍， 若，即，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y随x增大而减小， 当时，代入二次函数的解析式为中，得y最小值为， ， 或舍， 二次函数的解析式为． 综上所述，或，此时二次函数的解析式为或??
二次函数的概念说课稿
?一、说课内容：
苏教版九年级数学下册第五章第一节的二次函数的概念及相关习题
二、教材分析：
1、教材的地位和作用
这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。
2、教学目标和要求：
（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。
（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．
（3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心．
3、教学重点：对二次函数概念的理解。
4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。
三、教法学法设计：
1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程?
??2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程
3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程
四、教学过程：
（一）复习提问
1．什么叫函数？我们之前学过了那些函数？
（一次函数，正比例函数，反比例函数）
2．它们的形式是怎样的?
(y=kx+b，k≠0；y=kx ,k≠0；y=?, k≠0)
3．一次函数(y=kx+b)的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？
【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．
（二）引入新课
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。（电脑演示）
??? 例1、(1)圆的半径是r(cm)时，面积s (cm2)与半径之间的关系是什么?
解：s=πr2（r>0）
例2、用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y(m2)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么？
解： y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x2+10x? (0例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和y（元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)?
解： y=100(1+x)2
????? =100（x2＋2x+1）
????? = 100x2+200x+100(0教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？
【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系： (1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)。(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)。
（三）讲解新课
以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。
二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。
巩固对二次函数概念的理解：
1、强调“形如”，即由形来定义函数名称。二次函数即y 是关于x的二次多项式(关于的x代数式一定要是整式）。
2、在 y=ax2+bx+c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。（如例1中要求r>0）
3、为什么二次函数定义中要求a≠0 ?？
(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)
4、在例3中，二次函数y=100x2＋200x＋100中， a=100， b=200， c=100．
5、b和c是否可以为零？
由例1可知，b和c均可为零．
若b=0，则y=ax2＋c；
若c=0，则y=ax2＋bx；
若b=c=0，则y=ax2．
注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式．
【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。
判断：下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c．
?(1)y=3(x-1)2+1?????? ?????(2)
? ??(3)s=3-2t2??????????? ????(4)y=(x+3)2- x2
?? ?(5)? s=10πr2??????? ?????(6) y=22+2x
? ?????(8)y=x4＋2x2＋1（可指出y是关于x2的二次函数)
【设计意图】理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。
（四）巩固练习
1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm。
（1）当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积；
? （2）设这个直角三角形的面积为Scm2,其中一条直角边为xcm，求S关
?????? 于x的函数关系式。
【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学习的难度。
2.已知正方体的棱长为xcm,它的表面积为Scm2,体积为Vcm3。
?? （1）分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子；
?? （2）这两个函数中，那个是x的二次函数？
【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。通过简单题目的练习，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。
3.设圆柱的高为h(cm)是常量，底面半径为rcm，底面周长为Ccm，圆柱的体积为Vcm3
???? （1）分别写出C关于r；V关于r的函数关系式；
???? （2）两个函数中，都是二次函数吗？
【设计意图】此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复习，并与今天所学知识联系起来。
4. 篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。
（五）拓展延伸
1. 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x= -1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．
【设计意图】在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，为下节课的教学做个铺垫。
2.确定下列函数中k的值
(1)如果函数y= xk^2-3k+2 +kx+1是二次函数,则k的值一定是______?
(2)如果函数y=(k-3)xk^2-3k+2+kx+1是二次函数,则k的值一定是______?
【设计意图】此题着重复习二次函数的特征：自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0.
（六） 小结思考：
本节课你有哪些收获？还有什么不清楚的地方?
【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。
（七） 作业布置：
必做题：
1. 正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加y，求y关于x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗？
?? 2. 在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。
选做题：
1.已知函数?是二次函数，求m的值。
?? 2.试在平面直角坐标系画出二次函数y=x2和y=-x2图象
【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第4题，旨在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣。
五、教学设计思考
以实现教学目标为前提
以现代教育理论为依据
以现代信息技术为手段
贯穿一个原则——以学生为主体的原则
突出一个特色——充分鼓励表扬的特色
渗透一个意识——应用数学的意识
5.1 二次函数
基础习题
1、下列函数中，是二次函数的是（ ）
A、y=6x2＋1 B、y=6x＋1 C、y=＋1 D、y=＋1
2、函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A、m、n为常数，且m≠0 B、m、n为常数，且m≠n C、m、n为常数，且n≠0 D、m、n可以为任何常数
3、若一个边长为x 厘米的无盖正方体形纸盒的表面积为y 厘米2，请写出表面积y 厘米2与边长x 厘米之间的函数关系式。
4、如图，在长200米、宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，请写出绿地面积y米2 与路宽x 米之间的函数关系式。
5、如图，用50米长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，请写出长方形花园的面积y 米2与花园和墙平行的边的长x 米之间的函数关系式。
6、若关于x的函数是二次函数，求m的值。
7、已知二次函数，当x=3时，y=-5。求当x=-5时，y的值。
8、将进货单价为40元的商品按50元卖出时，就能卖出500个。已知这种商品每涨1元，其销售量就会减少10个。设售价定为x元(x＞50)时，利润为y元。（1）试求出y与x之间的函数关系式；（2）当售价为80元时，求所得的利润。
9、隧道的横截面如图所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长是2.5米。
（1）求隧道截面的面积s 米2与半圆的半径r米之间的函数关系式；
（2）当上部半圆半径为2米时，求隧道的横截面面积。（结果保留π）
每课一题
用一根长为40的铁丝围成一个半径为r的扇形。写出扇形的面积s与它的半径r之间的函数关系式，并求出半径r的取值范围。
课件22张PPT。 函数一次函数反比例函数二次函数正比例函数y=kx+b (k≠0)y=kx(k≠0)一条直线双曲线5.1二次函数水滴激起的波纹,
它不断地向外扩展.(1)不断扩大的圆周长C与半径r之间的函数
关系式是:__________.(2)不断扩大的圆面积S与半径r之间的函数
关系式是:__________.Ｃ=2πrS=πr2 用16m长的篱笆围城长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大?在这个问题中,若设长方形的长为xm,
则宽为_______m,如果将面积记为 y m2那么变量y与x之间的函数关系式
为:_________.(8-x)y=-x2+8x 一面长与宽为2:1的矩形镜子,四周镶
有边框. 已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．
求总费用y元与镜面宽x米之间的函数关系式 (2)总费用=镜面的费用 + 边框的费用 + 加工费用240x2180x45y=240x2+180x+45(1) S=πr2 (2) y=-x2+8x
(3) y=240x2+180x+45 这些函数式有哪些共同特征?它们与一次函数、反比例函数有什么不同? 一般地,形如y=ax2+bx+c 的函数称为二次函数.(a,b,c是 常数,a≠ 0)其中x是自变量,y是x的函数提示:
(1)关于自变量的代数式一定是二次整
式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项
和常数项,但不能没有二次项. 一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的自变量x可以是任何数.但在实际问题中，函数自变量的取值通常有一定的范围。S=πr2
y=-x2+8x
(3)y=240x2+180x+45(r﹥0)(0﹤x﹤8)(x﹥0)下列函数中
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)二次函数有: . (2) (4) (8) (8)v=10πr2(9)y=22+2x1.已知函数
(1) k为何值时，y是x的二次函数？
(2) k为何值时，y是x的一次函数？1.如果函数 是二次函数,
则k的值一定是______ 变例：.如果函数 是
二次函数,则k的值一定是______
00,3=0= -1例3.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵平均每棵树就会少结5个橙子. 假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个),那么请你写出y与x之间的关系式.
例4.如图，一块矩形草地长100米，宽80米，现计划在中间修建两条互相垂直且宽都是x米的小路，这时草坪面积为y平方米.求y与x的函数关系式.10080例5.某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装一套的售价每提高1元，销量就减少5套，如果一套的售价为x(元)，请你得出每天销售利润y(元)与售价x的函数表达式．课本7页 练习课本8页 习题这节课，我的收获是---
