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湘教版七年级下册数学2.2.1平方差公式教学设计
课题 2.2.1平方差公式 单元 第二章 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 知识与技能：会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。过程与方法：经历探究平方差公式的过程，了解探究公式的数学意义情感、态度与价值观：体验数学知识的产生过程，体验数学来源于实践，增强学生用数学的意识。
重点 平方差公式的推导和应用。
难点 理解平方差公式的结构特点，灵活运用平方差公式。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：今天老师带来了一个有趣的故事，找个同学帮老师朗读一下这个故事。一个地主租给王大爷一块边长为x米的正方形土地。一年后，地主找王大爷说：“我给你这块地的一边增加5米，另一边减少5米，继续租给你，你也没亏，你看如何？”王大爷觉得没有吃亏，就答应了，回家后跟儿子一说，儿子大惊道：“父亲，您吃亏了！”王大爷纳闷了“怎么就吃亏了呢？” 学生读故事 从故事情景出发，让学生带着疑问学习本节课的知识
讲授新课 计算下列各式，你能发现什么规律：(a + 1 )( a - 1) = a2- a + a - 12=_______(a + 2 )( a – 2) = a2- 2a + 2a - 22= _______(a + 3 )( a - 3) = a2- 3a + 3a-32= ，(a + 4 )( a - 4 ) = a2- 4a + 4a -42=_______.【思考】1.观察以上算式,等号的左边的两个因式有什么特点 提示:第一个因式是两个数的和,第二个因式是这两个数的差.2.具有上述特点的两个因式的积等于什么 提示:这两个数的平方差.我们用多项式乘法来推导一般情况( a + b )( a - b )= a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2 .总结：【总结】平方差公式:(1)式子表示:(a+b)(a-b)=___________.(2)语言叙述:两个数的______与这两个数的_____的积等于这两个数的_______.我们把(a+b)(a-b)= a2 -b2 . 叫做平方差公式.即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.思维诊断(打“√”或“×”) (1)两个数的和与两个数的差的积,等于两个数的平方差.( )(2)(-a+b)(-a-b)=a2-b2.( )(3)(a+b)(b-a)=a2-b2.( )(4)(3x+2y)(3x-2y)=3x2-2y2.( )如图（a），将边长为a的大正方形，剪去一个边长为b 的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（b）.你能用这两个图来解释平方差公式吗？（1）用代数式表示：图（a）中阴影部分面积为__________，图（b）中阴影部分面积为____________________；
（2）所填两个代数式的关系是________________________________.对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算.运用平方差公式进行计算 【例】计算:(1)(3x+1)(3x-1). (2)(a-2b)(-a-2b).【思路点拨】观察两个二项式中各式的特点,分清相同的项与相反的项,根据平方差公式,用相同的项的平方减去相反的项的平方,然后再计算.【总结提升】运用平方差公式进行计算的三步法单项式与多项式乘法的综合应用【例1】 运用平方差公式计算： （1）(2x+1)(2x-1)； （2）(x+2y)(x-2y). 【例2】运用平方差公式计算： （1） ； （2）(4a+b)(-b+4a).【例3】计算： 1 002 × 998平方差公式的简单应用【例】计算:1003×997.【解题探究】1.若用平方差公式,把1003看成哪两个数的和,把997看成哪两个数的差 【互动探究】观察下列等式19×21=202-1,28×32=302-22,37×43=402-32,…,已知m,n为实数,仿照上述的表示方法可得:mn= . 教师引导学生从回答问题中发现规律，总结运算方法；根据实践的体验总结出平方差的规律，进而推导出平方差的一般情况。教师引导学生概括、归纳平方差公式的定义。通过及时练习，巩固学生的新知，增强学生对新知识的应用能力。教师引导学生给出图中的面积，并与平方差建立联系，引发学生思考，得出规律，并加深了学生对平方差公式的理解。通过详细的例题，展示平方差公式的解题过程，并用“思路点拨”环节引导学生思考，逐步解答。引导学生总结、概括归纳：运用平方差公式进行计算的三步法。通过例题解答、讲解，帮助学生巩固新知，熟练运用平方差公式进行运算。通过对课本例题练习、讲解，增强学生探索的信心，体验到了成功感觉。通过详细的例题，展示平方差公式的简单应用，并用“解题探究”环节引导学生思考，逐步解答。 通过引导学生运用已学知识解答问题，并总结平方差运算规律；第一环节主要是通过探索发现新知的过程，培养学生的观察、概括与抽象的能力。通过自主归纳、总结，可以帮助学生理解平方差公式的定义。练习和讲解例题，帮助学生进行知识的应用。通过几何图形的面积法来帮助学生进一步理解平方差公式的推导和含义。通过实际案例的解答，引导学生逐步探究，进行平方差公式运算，并根据已学知道启发进行运算。通过大量举例与运算，总结平方差的运算规律，培养学生的观察、概括与抽象的能力。练习和讲解例题，帮助学生进行知识的应用。通过练习帮助学生及时巩固知识，帮助学生把知识内化。通过多类型的例题来巩固平方差公式的加单应用，帮助学生巩固新知，学以致用。
课堂练习 1.计算(x-y)(-y-x)的结果是( )A.-x2-y2 B.-x2+y2C.x2+y2 D.x2-y22.下列运算中正确的是 （ ）. A. x5+x5=2x10 B. -(-x)3·(-x)5= -x8 C. (-2x2y)3·4x-3=-24x3y3 D. 3.计算20142-2013×2015的结果是( )A.1 B.-1 C.2 D.-24.先化简,再求值:a(a+1)-(a+1)(a-1),其中a=3.5.用简便方法计算:503×497= ;1.02×0.98= . 通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知，训练学生举一反三的能力，并理解掌握幂的乘方的运算。 通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。
课堂小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：( a + b )( a - b ) = a2 - b2 . 学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
板书 2.2.1平方差公式( a + b )( a - b )= a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2 .平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差
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2.1.4多项式的乘法（1）
一．选择题
1.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x-y）（-x+y） B．（-x+y）（-x-y）
C．（-x-y）（x-y） D．（x+y）（-x+y）
2．若m+n=5，m-n=3，则m2-n2的值是（ ）
A．2 B．8 C．15 D．16
3．计算（2x3-3a）（-2x3-3a）的结果是（ ）
A．-4x6-9a2 B．-4x6+9a2
C．-4x6-12ax3+9a2 D．-4x6-12ax3+9a2
4．（x+2）（x-2）（x2+4）的计算结果是（ ）
A．x4+16 B．-x4-16 C．x4-16 D．16-x4 21教育网
5．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，则他们两人谁摆的面积大？（ ）
A．小刚 B．小明 C．同样大 D．无法比较
6．若a-b=8，a2-b2=72，则a+b的值为（ ）
A．9 B．-9 C．27 D．-27
二．填空题
7．若（m+3x）（m-3x）=16-nx2，则mn的值为_______．
8．若 （1+2x）（1-2x）=a-bx2，则a=______，b=______．
9．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：3=22-12，3就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第2017个智慧数是________.
三．解答题
10.计算：20162-2014×2018（简便计算）．
11.计算：3（2a+1）（2a-1）-4a（a-2）．
12．能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．引入负数后，如1，-3等是奇数，0，-2等是偶数．任意两个连续整数的平方差能确定是奇数还是偶数吗？写出你的判断并证明．21cnjy.com
参考答案：
一．选择题
1．A．
2．C．
3．B．
4．C．
5．B．
6．A．
二．填空题
7．±36．
8．1,4
9．2692．
三．解答题
12．解：设较小数为n，较大数则为n+1，这两个数的平方差是（n+1）2-n2=（n+1+n）（n+1-n）=2n+1．
所以任意两个连续整数的平方差能确定是奇数．21世纪教育网版权所有
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2.2.1平方差公式
湘教版 七年级下
王大爷吃亏了？
导入新知
一个地主租给王大爷一块边长为x米的正方形土地。一年后，地主找王大爷说：“我给你这块地的一边增加5米，另一边减少5米，继续租给你，你也没亏，你看如何？”王大爷觉得没有吃亏，就答应了，回家后跟儿子一说，儿子大惊道：“父亲，您吃亏了！”王大爷纳闷了“怎么就吃亏了呢？”
同学们，你们觉得王大爷吃亏了吗？
计算下列各式，你能发现什么规律：
新知讲解
(a + 2 )( a – 2) = a2- 2a + 2a - 22= ，
= ，
(a + 1 )( a - 1) = a2- a + a - 12
(a + 3 )( a - 3) = a2- 3a + 3a -32= ，
(a + 4 )( a - 4 ) = a2- 4a + 4a -42= .
a2- 12
a2- 22
a2- 32
a2-42
【思考】1.观察以上算式,等号的左边的两个因式有什么特点
2.具有上述特点的两个因式的积等于什么
提示:第一个因式是两个数的和,第二个因式是这两个数的差.
提示:这两个数的平方差.
新知讲解
我们用多项式乘法来推导一般情况
( a + b )( a - b )
= a2 - ab + ab - b2
= a2 - b2 .
新知讲解
【总结】平方差公式:
(1)式子表示:(a+b)(a-b)=___________.
(2)语言叙述:两个数的______与这两个数的_____的积等于这两个数的_______.
a2-b2
和
差
平方差
新知讲解
(a+b)(a-b)= a2 -b2 .
叫做平方差公式.
我们把
即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
新知讲解
思维诊断(打“√”或“×”)
(1)两个数的和与两个数的差的积,等于两个数的平方差.( )
(2)(-a+b)(-a-b)=a2-b2.( )
(3)(a+b)(b-a)=a2-b2.( )
(4)(3x+2y)(3x-2y)=3x2-2y2.( )
×
√
×
×
新知讲解
如图（a），将边长为a的大正方形，剪去一个边长为b 的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（b）.你能用这两个图来解释平方差公式吗？
（a）
（b）
新知讲解
对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算.
新知讲解
（1）用代数式表示：图（a）中阴影部分面积为__________，
图（b）中阴影部分面积为____________________；
（2）所填两个代数式的关系是
________________________________.
a2-b2
（a+b）（a-b）
a2-b2=（a+b）（a-b）
运用平方差公式进行计算
【例】计算:(1)(3x+1)(3x-1).
(2)(a-2b)(-a-2b).
新知讲解
【思路点拨】观察两个二项式中各式的特点,分清相同的项与相反的项,根据平方差公式,用相同的项的平方减去相反的项的平方,然后再计算.
【自主解答】
(1)(3x+1)(3x-1)=(3x)2-12
=9x2-1.
(2)(a-2b)(-a-2b)=(-2b+a)(-2b-a)
=(-2b)2-a2
=4b2-a2.
新知讲解
【总结提升】运用平方差公式进行计算的三步法
新知讲解
将算式变形为两数与两数差的积的形式
变形
套公式
计算
套用公式，将结果写成两数平方差的形式
根据积的乘方计算，套用平方差公式时，结果为（完全相同的项）2-（互为相反数的项）2
【例1】 运用平方差公式计算：
（1）(2x+1)(2x-1)；
（2）(x+2y)(x-2y).
分析，可以把“2x” 看成平方差公式中的“a”，“1”看成“b”.
分析，可以把“x”看成平方差公式中的“a”，“2y”看成“b”.
新知讲解
（1）(2x+1)(2x-1)
（2）(x+2y)(x-2y)
解 (2x+1)(2x-1)
= (2x)2-12
= 4x2-1.
解 (x+2y)(x-2y)
= x2 -(2y)2
= x2 -4y2
新知讲解
【例2】 运用平方差公式计算：
（1） ；
（2）(4a+b)(-b+4a).
新知讲解
（2）(4a+b)(-b+4a)
解 ：(4a+b)(-b+4a)
= (4a)2 -b2
= 16a2 -b2
= (4a+b)(4a-b)
新知讲解
将括号内的式子转化为平方差公式形式
平方差公式的简单应用
【例】计算: 1 002 × 998 .
新知讲解
【解题探究】1.若用平方差公式,把1002看成哪两个数的和,把998看成哪两个数的差 两个数相等。
解 ：1 002 × 998
= (1 000 +2)(1 000-2)
= 1 0002 -22
= 1 000 000 - 4
= 999 996
2.若用平方差公式,原式如何变形
提示:1003×997=(1000+3)(1000-3).
3.运用平方差公式计算:
1003×997=(1000+3)(1000-3)
=__________
=____________
=__________.
10002-32
1000000-9
999991
新知讲解
【互动探究】观察下列等式19×21=202-1,28×32=302-22,37×43=402-32,…,已知m,n为实数,仿照上述的表示方法可得:mn= .
新知讲解
【解析】
根据观察,可设mn=x2-y2=(x+y)(x-y),
则x-y=n,x+y=m.
1.计算(x-y)(-y-x)的结果是( )
A.-x2-y2 B.-x2+y2
C.x2+y2 D.x2-y2
B
巩固提升
2.下列运算中正确的是 （ ）.
A. x5+x5=2x10
B. -(-x)3·(-x)5= -x8
C. (-2x2y)3·4x-3=-24x3y3
D.
B
3.计算20142-2013×2015的结果是( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
巩固提升
A
4.先化简,再求值:
a(a+1)-(a+1)(a-1),其中a=3.
解：原式=a2+a-(a2-1)
=a2+a-a2+1
=a+1,
当a=3时,原式=a+1=3+1=4.
巩固提升
5.用简便方法计算:
503×497= ;1.02×0.98= .
解:503×497=(500+3)(500-3)=5002-32
=250000-9=249991;
1.02×0.98=(1+0.02)(1-0.02)=1-0.022=0.9996.
课堂小结
你在知识上有哪些收获，你学到了哪些方法？
（a+b）（a-b）=a2-b2
平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
谢谢
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