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湘教版数学七年级下册2.1.4多项式的乘法（2）教学设计
课题 2.1. 4多项式的乘法（2） 单元 第二章 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 知识与技能：掌握多项式与多项式相乘的法则；能解决多项式相乘的综合应用。过程与方法：培养学生用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。情感、态度与价值观：体验数学知识的产生过程，体验数学来源于实践，又服务与实践，增强学生用数学的意识。
重点 掌握多项式与多项式相乘的运算。
难点 多项式相乘的运算与综合应用。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 动脑筋：如图,把一块原长am,宽mm的长方形花园,增长了bm,加宽了nm.(1)这块长方形花园,现长_____m,宽____m,面积为____m2.(2)这块长方形面积是______小块组成,它们的面积分别为____m2,______m2,_____m2,______m2.总面积为_______________m2. 教师提出问题，引发学生回顾相关知识、并通过解答引起学生对多项式与多项式乘法运算的思考，由此引出新课。 通过已学知识的问题引入课题，引导学生思考，巩固旧知，引发新知。
讲授新课 师：这两个结果表示方式不一样，它们有什么关系呢？动脑筋：有一套居室的平面图如图所示，怎样用代数式表示它的总面积呢？小明：南北向总长为a+b；东西向总长为m+n；所以居室的总面积为：(a+b)·(m+n)； ①小美：北边两间房的面积和为a(m+n)；南边两间房的面积和为b(m+n)；所以居室的总面积为：a(m+n)+b(m+n) ②小鹏：四间房（厅）的面积分别为am，an，bm，bn所以居室的总面积为：am+an+bm+bn ③这三个代数式之间有什么关系呢？上面三个代数式都正确表示了该居室的总面积，因此有(a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n) = am+an+bm+bn. 撇开上述式子的实际意义，想一想，这几个代数式为什么相等呢？它们利用了乘法运算的什么性质？事实上，由代数式①到代数式②，是把m+n看成一个整体，利用乘法分配律得到a(m+n)+b(m+n)，继续利用乘法分配律，就得到结果am + an + bm+bn.【总结】1.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的_______分别乘另一个多项式的___________,再把所得的积________.2.用式子表示:(a+b)(m+n)=__________.思维诊断(打“√”或“×”)(1)两个二项式相乘,积一定是四项式.( )(2)(a+3)(a-1)=a2-3.( )(3)(a+b)(a-b)=a2-b2.( )(4)(m+3)(m-4)=m2-m-12.( )(5)(x+y)(x-y)=x2-xy+y2.( )【例】计算:(1)(3x-2y)(2a+3b).(2)(x-y)(x2+xy+y2).【思路点拨】多项式乘多项式→单项式乘单项式→合并同类项→结果.【互动探究】多项式相乘的依据是什么 提示:乘法分配律.【总结提升】多项式乘多项式的四点注意1.多项式与多项式相乘,结果仍得多项式.2.运算时要按一定顺序进行,做到不重不漏.3.多项式中每一项都包含它前面的符号,注意确定积中每一项的符号.4.多项式乘多项式的积中,有同类项的要合并.【例12】 计算： （1）(2x+y)(x-3y)； （2）( 2x+1)(3x2-x-5)； （3）(x+a)(x+b).【例13】 计算： （1）(a+b)(a-b)； （2）(a+b)2 ； （3）(a-b)2. 教师引导学生从解答问题中发现规律，总结运算方法；根据实践的体验总结出多项式与多项式相乘的规律通过对一套居室的内部面积的求解，引导学生列出面积式子，再进一步引导各式子之间的关系，得出多项式与多项式相乘的运算方法。通过对式子之间关系的研究，引导学生总结归纳出多项式与多项式相乘的运算规律。通过及时练习，巩固学生的新知，增强学生对新知识的应用能力。通过详细的例题，展示多项式乘多项式的解题过程，并用“思路点拨”环节引导学生思考，逐步解答。通过例题解答、讲解，帮助学生巩固新知，熟练运用单项式乘多项式的运算法则。引导学生总结、概括多项式乘以多项式的运算注意事项。通过对课本例题练习、讲解，增强学生探索的信心，体验到了成功感觉。 通过引导学生运用已学知识解答问题，并总结多项式与多项式的乘法规律；第一环节主要是通过探索发现新知的过程，培养学生的观察、概括与抽象的能力。通过实际案例的解答，引导学生逐步探究，得到多项与多项式相乘的乘法的运算规律，并根据已学知道启发进行运算。通过实际问题的举例与运算，总结多项式乘以多项式的运算规律，培养学生的观察、概括与抽象的能力。练习和讲解例题，帮助学生进行知识的应用。通过练习帮助学生及时巩固知识，帮助学生把知识内化。练习和讲解例题，帮助学生进行知识的应用。通过练习来巩固多项式乘多项式乘法法则的运用，帮助学生巩固新知，学以致用。通过案例运算，进一步熟练单项式乘单项式法则的综合运用，达到巩固提升。
课堂练习 1.计算(x+2)(x-3)的结果是( )A.x2+5x-6 B.x2-5x-6C.x2+x-6 D.x2-x-62.下列计算结果是x2-8x+15的是( )A.(x+3)(x+5) B.(x-1)(x-15)C.(x-3)(x-5) D.(x+1)(x+15)3. 计算： （1）(x-2)(x+3)； （2）(x+1)(x+5)； （3）(x+4)(x-5)； （4）(x-3)2.4. 计算： （1）(x+2y)2； （2）(m-2n)(2m+n)； （3）(3a+2b)(3a-2b)； （4）(3a-2b)2.5.计算： (a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2). 通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知，训练学生举一反三的能力，并理解掌握幂的乘方的运算。 通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。
课堂小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？ 学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
板书 多项式乘多项式(a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n) = am+an+bm+bn.
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2.1.4多项式的乘法（1）
一．选择题
1. 下列各式中，计算结果是x2+7x-18的是（ ）
A．（x-2）（x+9） B．（x+2）（x+9） C．（x-3）（x+6） D．（x-1）（x+18）
2．使（x2+px+8）（x2-3x+q）乘积中不含x2与x3项的p、q的值是（ ）
A．p=0，q=0 B．p=3，q=1 C．p=-3，q=-9 D．p=-3，q=1
3．若x+m与2-x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．0 D．1
4．如果（x-2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值为（ ）
A．p=5，q=6 B．p=1，q=-6 C．p=1，q=6 D．p=5，q=-6
5．若（x2+px+q）（x-2）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ）
A．p=2q B．q=2p C．p+2q=0 D．q+2p=0 21教育网
6．根据图①的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，那么根据图②的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）21·cn·jy·com
A．（a+3b）（a+b）=a2+4ab+3b2 B．（a+3b）（a+b）=a2+3b2 www.21-cn-jy.com
C．（b+3a）（b+a）=b2+4ab+3a2 D．（a+3b）（a-b）=a2+2ab-3b2
二．填空题
7．已知a2-a+5=0，则（a-3）（a+2）的值是________．
8．图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：______。
9．已知多项式x2+ax-4（a为常数）是两个一次多项式x+1和x+n（n为常数）相乘得来的，则a=________.21cnjy.com
三．解答题
10. 已知x+5与x-k的乘积中不含x项，求k的值．
11. 已知：x+y=5，xy=6，求（x-4）（y-4）的值．
12．小明与小乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），小明抄错为（2x-a）（3x+b），得到的结果为6x2-13x+6；小乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2-x-6．
（1）式子中的a，b的值各是多少？
（2）请计算出原题的答案。2·1·c·n·j·y
参考答案：
一．选择题
1．A．
2．B．
3．B．
4．B．
5．B．
6．A．
二．填空题
7．-11．
8．：（m+n）（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc（答案不唯一）
9．-3．
三．解答题
10. 由（x+5）（x-k）=x2+（5-k）x-5k，
得x的系数为5-k．
若不含x项，得5-k=0，
解得k=5．21世纪教育网版权所有
12．解：（1）∵（2x-a）（3x+b）=6x2+（2b-3a）x-ab=6x2-13x+6，
∴2b-3a=-13①，
∵（2x+a）（x+b）=2x2+（2b+a）x+ab=2x2-x-6，
∴2b+a=-1②，
联立方程①②，
可得 2b 3a＝ 13；2b+a＝ 1，
解得： a＝3 b＝ 2.；
（2）（2x+a）（3x+b）=（2x+3）（3x-2）=6x2+5x-6．
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2.1.4多项式的乘法（2）
湘教版 七年级下
如图,把一块原长am,宽mm的长方形花园,
增长了bm,加宽了nm.
思路(1)这块长方形花园,现长____________m,
宽__________m,面积为______________m2.
思路(2)这块长方形面积是______小块组成,它们的面积分别为_____m2,______m2,________m2,________m2.
总面积为_____________________m2.
(a+b)
(m+n)
(a+b)(m+n)
四
am
bm
an
bn
(am+bm+an+bn)
导入新知
(a+b)(m+n)和(am+bm+an+bn)是什么关系呢？
新知讲解
动脑筋：有一套居室的平面图如图所示，怎样用代数式表示它的总面积呢？
南北向总长为a+b
东西向总长为m+n
所以居室的总面积为：
(a+b)·(m+n)； ①
新知讲解
北边两间房的面积和为a(m+n)
南边两间房的面积和为b(m+n)
所以居室的总面积为：
a(m+n)+b(m+n) ②
新知讲解
四间房（厅）的面积分别为am，an，bm，bn
所以居室的总面积为：
am+an+bm+bn ③
新知讲解
这三个代数式之间有什么关系呢？
(a+b)·(m+n) ①
a(m+n)+b(m+n) ②
am+an+bm+bn ③
新知讲解
上面三个代数式都正确表示了该居室的总面积，因此有
(a+b)(m+n)= a(m+n)+b(m+n)
= am+an+bm+bn.
新知讲解
撇开上述式子的实际意义，想一想，这几个代数式为什么相等呢？
它们利用了乘法运算的什么性质？
事实上，由代数式①到代数式②，是把m+n看成一个整体，利用乘法分配律得到a(m+n)+b(m+n)，继续利用乘法分配律，就得到结果am + an + bm+bn.
新知讲解
这个运算过程可表示为：
( a + b )( m + n )
=
a
b
m
n
+
a
+
m
b
+
n
新知讲解
【总结】1.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的_________分别乘另一个多项式的___________,再把所得的积________.
2.用式子表示:(a+b)(m+n)=____________________.
每一项
每一项
相加
am+an+bm+bn
思维诊断 (打“√”或“×”)
(1)两个二项式相乘,积一定是四项式.( )
(2)(a+3)(a-1)=a2-3.( )
(3)(a+b)(a-b)=a2-b2.( )
(4)(m+3)(m-4)=m2-m-12.( )
(5)(x+y)(x-y)=x2-xy+y2.( )
×
×
√
√
×
新知讲解
多项式乘多项式
【例】计算:
(1)(3x-2y)(2a+3b).
(2)(x-y)(x2+xy+y2).
新知讲解
【思路点拨】多项式乘多项式→单项式乘单项式→合并同类项→结果.
【自主解答】
(1)(3x-2y)(2a+3b)
=3x·2a+3x·3b+(-2y)·2a+(-2y)·3b
=6ax+9bx-4ay-6by.
(2)(x-y)(x2+xy+y2)
=x·x2+x·xy+x·y2+(-y)·x2+(-y)·xy+(-y)·y2
=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3
=x3-y3.
新知讲解
【互动探究】多项式相乘的依据是什么
提示:乘法分配律.
新知讲解
【总结提升】多项式乘多项式的四点注意
1.多项式与多项式相乘,结果仍得多项式.
2.运算时要按一定顺序进行,做到不重不漏.
3.多项式中每一项都包含它前面的符号,注意确定积中每一项的符号.
4.多项式乘多项式的积中,有同类项的要合并.确保结果最简
新知讲解
【例12】 计算：
（1）(2x+y)(x-3y)；
（2）( 2x+1)(3x2-x-5)；
（3）(x+a)(x+b).
新知讲解
（1） (2x+y)(x-3y)
解:(2x+y)(x-3y)
= 2x · x + 2x ·(-3y)+ y · x + y ·(-3y)
= 2x2-6xy+yx-3y2
= 2x2-5xy-3y2
新知讲解
运算熟练后，第一步可以省略
（2） ( 2x+1)(3x2-x-5)；
解：(2x+1)(3x2-x-5)
= 6x3-2x2–10x+3x2 -x-5
= 6x3 + x2-11x - 5．
新知讲解
解： (x+a)(x+b)
= x2+bx+ax+ab
=x2+(a+b)x +ab
（3）(x+a)(x+b)
新知讲解
第（3）小题的直观意义如图
【例13】 计算：
（1）(a+b)(a-b)；
（2）(a+b)2 ；
（3）(a-b)2.
新知讲解
解（1）(a+b)(a-b)
= a2-ab+ba-b2
= a2-b2
= (a+b)(a+b)
= a2+ab+ba+b2
（2） (a+b)2
= a2+2ab+b2
新知讲解
= (a-b)(a-b)
= a2-ab-ba+b2
（3） (a-b)2
= a2-2ab+b2
1.计算(x+2)(x-3)的结果是( )
A.x2+5x-6 B.x2-5x-6
C.x2+x-6 D.x2-x-6
D
巩固提升
2.下列计算结果是x2-8x+15的是( )
A.(x+3)(x+5) B.(x-1)(x-15)
C.(x-3)(x-5) D.(x+1)(x+15)
C
3. 计算：
（1）(x-2)(x+3)；
（2）(x+1)(x+5)；
（3）(x+4)(x-5)；
（4）(x-3)2.
巩固提升
解（1）(x-2)(x+3)
= x2+x-6
（2）(x+1)(x+5)
= x2+6x+5
（3）(x+4)(x-5)
= x2-x-20
（4） (x-3)2
= x2-6x+9.
巩固提升
4. 计算：
（1）(x+2y)2；
（2）(m-2n)(2m+n)；
（3）(3a+2b)(3a-2b)；
（4）(3a-2b)2.
巩固提升
解（1）(x+2y)2
= x2+4xy+4y2
（2） (m-2n)(2m+n)
= 2m2-3mn-2n2
（3） (3a+2b)(3a-2b)
= 9a2-4b2
（4）(3a-2b)2
= 9a2-12ab+4b2.
巩固提升
5.计算： (a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2).
巩固提升
解：
原式 = a3-2a2+3a-6-a3+2a2+2a
= 5a-6.
课堂小结
你在知识上有哪些收获，你学到了哪些方法？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
多项式与多项式相乘的法则：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
注意：
谢谢
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