19.2.3 一次函数与方程、不等式（2）同步练习

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19.2.3 一次函数与方程、不等式（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.一般地,每个二元一次方程组都对应两个 ( http: / / www.21cnjy.com )一次函数,于是也对应着两条直线．从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是何值;从“形”的角度看,解方程组相当于确 定两条直线交点的坐标．www.21-cn-jy.com
2. 一次函数与一次方程组的关系:方程组, ( http: / / www.21cnjy.com )的解 直线y＝a１x＋b１(a１ ≠０)与直线y＝a２x＋b２(a２≠０)交点 的坐标．21*cnjy*com
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．已知直线与的交点的坐标为(1， )，则方程组的解是( )
A. B. C. D.
2．如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B. C. D.
3．已知方程组 的解为，则函数y=2x+3与的交点坐标为（ ）
A. （1，5） B. （-1，1） C. （1，2） D. （4，1）
4．直线y=x+b与直线y=-2x+2的交点不可能在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5．已知直线y＝－x＋4与y＝x＋2如图所示，则方程组的解为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B. C. D.
6．已知函数y= -x+m与y= mx- 4的图象的交点在x轴的负半轴上那么m的值为 （ ）．
A. ±2 B. ±4 C. 2 D. -2
7．在平面直角坐标系中，方程2x＋3y＝4 ( http: / / www.21cnjy.com )所对应的直线为a，方程3x＋2y＝4所对应的直线为b，直线a与b的交点为P(m，n)，下列说法错误的是(　　)
A. 是方程2x＋3y＝4的解 B. 是方程3x＋2y＝4的解
C. 是方程组的解 D. 以上说法均错误
8．以下四条直线中，与直线y=2x+3相交于第三象限的是直线( )
A. y=2x1 B. y=x+3 C. y=x+2 D. y=x4
9．直线y=kx+b过点（2，2）且与直线y=-3x相交于点（1，a），则两直线与x轴所围成的面积为（ ）21cnjy.com
A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 4.8
二、填空题
10．如图所示的是函数与的图象，则方程组的解是__________．
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11．已知一次函数y=2x-a与y=3x+b的图象交于 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上原点外的一点，则=________.
12．如图，利用函数图象回答下列问题：
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(1)方程组的解为_________；(2)不等式2x＞－x＋3的解集为________．
13．在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=x+1和y=2x﹣2的图象，则下面的说法：
①函数y=2x﹣2的图象与y轴的交点是（﹣2，0）；
②方程组 的解是；
③函数y=x+1和y=2x﹣2的图象交点的坐标为（﹣2，2）；
④两直线与y轴所围成的三角形的面积为3．
其中正确的有_____________________．（填序号）
三、解答题
14．已知一次函数的图象过点A（3，0），B（-1，2），
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求直线AB的解析式；
在给出的直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象写出方程组的解．
15．如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P（1，b）
(1)求b，m的值
(2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别相交于C，D，若线段CD长为2，求a的值
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16．如图所示，直线l1：y=2x+b与直线l2:y=mx+4相交于点P（1，3），利用图像：
（1）解关于x，y的二元一次方程组：
（2）解关于x的一元一次不等式：2x+b>mx+4.
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17．如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点．直线经过点、，直线，交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一个点，使得与的面积相等，求点的坐标．
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18．如图，点A的坐标为（4，0）．点P是直线y= x+3在第一象限内的点，过P作PMx轴于点M，O是原点．21·世纪*教育网
（1）设点P的坐标为（x，y），试用它的纵坐标y表示△OPA的面积S；
（2）S与y是怎样的函数关系？它的自变量y的取值范围是什么？
（3）如果用P的坐标表示△OPA的面积S，S与x是怎样的函数关系？它的自变量的取值范围是什么？
（4）在直线y= x+3上求一点Q，使△QOA是以OA为底的等腰三角形．
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19．如图，直线l1的函数解析式为y=﹣2x+4，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．【版权所有：21教育】
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l2上是否存在点P，使得△ADP面积是△ADC面积的2倍？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由．
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参考答案
1．A
【解析】将交点（1,a)代入两直线：
得：a=2，
a=-1+b，
因此有a=2，b=a+1=3，
即交点为(1，2)，
而交点就是两直线组成的方程组的解，
即解为x=1，y=2，
故选A.
2．A
【解析】试题解析：由于直线l1经过点（0，﹣1），（3，﹣2）；因此直线l1的解析式为y=﹣x﹣1；21教育网
同理可求得直线l2的解析式为y=﹣2x+4；
因此直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组的解．
故选A．
点睛：方程组的解就是使方程 ( http: / / www.21cnjy.com )组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．www-2-1-cnjy-com
3．B
【解析】∵方程组 的解为，∴函数y=2x+3与的交点坐标为（-1，1），故选B．
点睛：解答本题的关键是熟记方程组的解即为每个二元一次方程所对应的两个一次函数的图象的交点坐标．
4．C
【解析】试题解析：∵直线y=-2x+2经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
∴直线y=x+b与直线y=-2x+2的交点不可能在第三象限．
故选C．
5．B
【解析】二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即两条直线y＝－x＋4与y＝x＋2的交点坐标．2-1-c-n-j-y
故选：B
点睛：本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程组的解就是组成该方程组的两条直线的图象的交点．21*cnjy*com
6．D
【解析】由题意得
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解得
( http: / / www.21cnjy.com )
∵两函数图象的交点在x轴的负半轴上，
∴x＜0，y=0，
由得，
m=-2或m=2（舍去）．
故选D.
点睛：本题考查的是一次函数图象上点的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标特点及x轴负半轴上点的坐标，比较简单，解答此题的关键是根据题意列出方程组，把m当做已知表示出x、y的值．
7．D
【解析】∵直线a与b的交点为P(m，n)，
∴是方程2x＋3y＝4、3x＋2y＝4的解，也是方程组的解，
∴A、B、C均正确，D错误.
故选D.
8．D
【解析】y=2x+3与选项函数分别联立.
选项A,与原直线平行,没有交点.,不在第三象限.
选项B,与原直线交于（0,3）,不在第三象限.
选项C,与原直线交于（），不在第三象限.
选项D,与原直线交于(-7,-11),在第三象限.
所以选D.
9．B
【解析】解: 点（2，2）在直线y=-3x上, ∴a=-3,
又y=kx+b过点（2，2）, （1，-3）
∴，解得 ,
所以,直线为 y=5x-8,
令y=0 ,则5x-8=0 ,解得x= ,
所以,与x 轴的交点坐标为（），
∵直线y=-3x经过坐标原点,
两直线与x轴所围成的面积=×3=2.4.
故选B .
10．
【解析】∵方程组的解是函数与的图象的交点坐标，
∴由图可知：该方程组的解为 .
故答案为：.
11．-2
【解析】在一次函数y=2x a中,令y=0,得到x=，
在一次函数y=3x+b中,令y=0,得到x= ，
由题意得：= ，图象交于x轴上原点外一点，则a≠0，且b≠0，
可以设= =k，则a=2k，b= 3k，
代入= 2.
故答案为： 2.
点睛：本题考查了两直线相交或培训，正确理解题目中的条件是解题的关键.
12． x>1
【解析】(1)观察图象可知,x+y=3与y=2x相交于(1,2)，
可求出方程组的解为；
(2)∵x+y=3与y=2x相交于(1，2)，
∴不等式2x> x+3的解集为x>1
故答案为： ，x>1.
点睛：此题主要考查一次函数与一元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次不等式，关键是能根据函数图象的交点解方程组和不等式.一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.【来源：21cnj*y.co*m】
13．②④．
【解析】①当x=0时,y= 2,所以函数y=2x 2的图象与y轴的交点是(0, 2)，故①不正确；
② ,化简得： ，
（2）+（3）得：3y=6，y=2，∴x=2，
∴方程组{2y x=22x y=2的解是；故②正确；
③, 解得,
∴函数y=x+1和y=2x 2的图象交点的坐标为(2,2)；故③不正确；
④如图所示，过A作AD⊥x轴于D，
当x=0时, 0 2=y, y= -2, 则C(0,-2)，0 +1=y, y=1,则B(0,1)，∴BC=3，
由③得A(2,2)，则AD=2，∴ =BC AD=×3×2=3，故④正确；
故答案为：②④。
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14．（1）；（2）
【解析】分析：（1）利用待定系数求 ( http: / / www.21cnjy.com )直线AB的解析式；
（2）利用描点法画出两函数解析式，写出它们的交点坐标，根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，即可得到方程组的解.21世纪教育网版权所有
本题解析：
根据题意得，解得，
所以直线AB的解析式为；
画出函数和函数的图象，它们的交点坐标为，
所以方程组的解为．
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15．（1）-1；（2）或.
【解析】试题分析：（1）由点P（1，b）在直 ( http: / / www.21cnjy.com )线l1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2中，即可求出m值；21·cn·jy·com
（2）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合CD=2即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．2·1·c·n·j·y
试题解析：（1）∵点P（1，b）在直线l1：y=2x+1上，∴b=2×1+1=3；
∵点P（1，3）在直线l2：y=mx+4上，∴3=m+4，∴m=﹣1．
（2）当x=a时，yC=2a+1；
当x=a时，yD=4﹣a．
∵CD=2，∴|2a+1﹣（4﹣a）|=2，解得：a= ( http: / / www.21cnjy.com )或a= ( http: / / www.21cnjy.com )，∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )或a= ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点：两条直线相交或平行问题；分类讨论．
16．（1）关于x,y的二元一次方程组的解为；
（2）关于x的一元一次不等式的解集为x>1.
【解析】试题分析：（1）把关于x，y的二元一次方程组中的两个方程变形为y=2x+b和y=mx+4，观察图象可知直线y=2x+b和直线y=mx+4的交点坐标为（1,3），即可得方程组的解；（2）观察图象直接可得结论.【来源：21·世纪·教育·网】
试题解析：
（1）记 ，①式可变形为y=2x+b,②式可变形为y=mx+4,
由图像知直线y=2x+b和直线y=mx+4的交点坐标为（1,3），
即关于x,y的二元一次方程组的解为
（2）由图可知，当x>1时，直线y=2x+b在直线y=mx+4的上方，
即关于x的一元一次不等式的解集为x>1
17．（1）D（1，0）；（2）；（3）；（4）P点坐标为（6，3）．
【解析】试题分析:(1)因为点D是一次函数与x轴的交点,所以令y=0,即可求出点D坐标,
(2)设直线的解析式为:,将点A,B坐标代入列二元一次方程组即可求出k,b,即可得的解析式,
(3)因为点C是直线和直线的交点,可将两直线所在解析式联立方程组,求出点C坐标,再根据点A,D可得三角形的底边长,由点C的纵坐标可得三角形的高,代入三角形面积公式进行计算即可求解,【出处：21教育名师】
(4)根据△与△的面积相等,可知点P与点C到x轴的距离相等,且又不同于点C,所以求出点P的纵坐标,然后代入直线的解析式即可求解.21教育名师原创作品
试题解析:（1）∵ y=﹣3x+3,
∴令y=0,得﹣3x+3=0,解得x=1,
∴D（1,0）,
（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b,由图象知：x=4,y=0,x=3,y=,代入表达式y=kx+b,得,解得,所以直线l2的解析表达式为y=,
（3）由图象可得:,解得,
∴C（2,﹣3）,
∵AD=3,
∴S△ADC=,
（4）因为点P与点C到AD的距离相等,所以P点的纵坐标为3,当y=3时,,解得x=6,所以P点坐标为（6,3）.
18．（1）S=2y；（2））S是y的正比例函数，自变量y的取值范围是0＜y＜3；（3）S=x+6，S是x的一次函数，自变量的取值范围是0＜x＜6；（4）Q的坐标为（2，2）．
【解析】试题分析：（1）先求OA长，再找P点的纵坐标，计算面积.
（2）利用函数定义知，是正比例函数,范围根据图象可知.
（3）由（1）可知，可得到S是x的函数关系.
（4）△QOA是以OA为底的等腰三角形,所以可知Q点的横坐标是2，再代入一次函数可知P点坐标.
试题解析：
(1)直线y= x+3与)与y轴的交点为B(0，3)，设点P(x，y)，因为点P在第一象限，x>0，y>0，所以S=OA·PM=×y×4=2y．
(2)S是y的正比例函数，自变量y的取值范围是0(3)S=2y=2(x+3)= x+6，S是x的一次函数，自变量的取值范围是0(4)因为△QOA是以OA为底的等腰三角形，所以点Q在OA的中垂线上，
设Q (x0, y0) 则 解得 点Q的坐标为( 2，2)．
19．（1）直线l2的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式为y=x﹣5（2）3（3）在直线l2上存在点P（1，﹣4）或（9，4），使得△ADP面积是△ADC面积的2倍．
【解析】试题分析：（1）根据A、B的坐标，设直线l2的函数解析式为y=kx+b，利用待定系数发求出函数l2的解析式；
（2）由函数的解析式联立方程组，求解方程组，得到C点坐标，令y=-2x+4=0，求出D点坐标，然后求解三角形的面积；
（3）假设存在，根据两三角形面积间的关系|yP|=2|yC|，=4，再根据一次函数图像上点的坐标特征即可求出P点的坐标.
试题解析：（1）设直线l2的函数解析式为y=kx+b，
将A（5，0）、B（4，﹣1）代入y=kx+b，
，解得： ，
∴直线l2的函数解析式为y=x﹣5．
（2）联立两直线解析式成方程组，
，解得： ，
∴点C的坐标为（3，﹣2）．
当y=﹣2x+4=0时，x=2，
∴点D的坐标为（2，0）．
∴S△ADC=AD |yC|=×（5﹣2）×2=3．
（3）假设存在．
∵△ADP面积是△ADC面积的2倍，
∴|yP|=2|yC|=4，
当y=x﹣5=﹣4时，x=1，
此时点P的坐标为（1，﹣4）；
当y=x﹣5=4时，x=9，
此时点P的坐标为（9，4）．
综上所述：在直线l2上存在点P（1，﹣4）或（9，4），使得△ADP面积是△ADC面积的2倍．
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