4.1 认识三角形（2）同步练习

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4.1 认识三角形（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形是等边三角形,也叫正三角形．
2．三角形任意两边之和大于第三边,三角形任意两边之差小于第三边．
3. 解答三角形第三边的问题时,要注意运用三角形的三边关系,特别是在等腰三角形中要注意分清腰和底边,如果题目中没有指明腰和底边,要注意分类讨论．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A. 2，4，7 B. 3，3，6 C. 5，8，2 D. 4，5，6
2．三角形按边可分为(　　)
A. 等腰三角形、直角三角形、锐角三角形 B. 直角三角形、不等边三角形
C. 等腰三角形、不等边三角形 D. 等腰三角形、等边三角形
3．一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（　　）
A. 3cm B. 5cm C. 7cm D. 11cm
4．一个三角形三边长分别为l、3、x，且x为整数，则此三角形的周长是（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
5．如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A，B间的距离可能是（ ）
A. 30米 B. 25米 C. 20米 D. 5米
6．已知四条线段的长分别为13 cm，10 cm，7 cm，5 cm，从中任取三条线段为边组成三角形，则这样的三角形共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7．已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. 13 B. 17 C. 22 D. 17或22
8．若三角形的周长为，且三边长都是整数，则满足条件的三角形有（ ）个．
A. B. C. D.
9．若（a﹣2）2+|b﹣3|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 7或8
二、填空题
10．“三角形任意两边之和大于第三边”，得到这个结论的理由是_______________________．
11．在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有_________个．
12．一个等腰三角形的两边长分别为5cm和6cm,则该等腰三角形的周长为_______cm.
13．如果一个三角形的三条边长分别为5，7，x，则x的取值范围是______________.
14．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则化简式子|x－2|＋|x－9|＝____________．
15．在平坦的草地上有A、B、C三个小球，正好可作为三角形的三个顶点，若已知A球和B球相距3米，A球和C球相距1米，则B球和C球的距离x的取值范围为___________________________。
三、解答题
16．已知三角形的两边长分别为4和6.
（1）试确定三角形第三边长x的取值范围；
（2）若第三边的长为4的倍数，求三角形的周长.
17．把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两边长分别为x米和4米.
(1)求x的取值范围;
(2)若围成的三角形是等腰三角形,求x的值.
18．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形．记这些三角形的三边分别为，，，并且这些三角形三边的长度为大于且小于的整数个单位长度，用记号（，，）（）表示一个满足条件的三角形，如（，，）表示边长分别为，，个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形．
19．在平面内,分别用3根、5根、6根……火柴棒首尾依次相接,能搭成什么形状的三角形呢 通过尝试,列表如下.
火柴棒数 3 5 6 …
示意图 …
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 …
问:(1)4根火柴棒能搭成三角形吗
(2)8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形 并画出它们的示意图.
20．观察并探求下列各问题：
(1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__ __AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
参考答案
1．D
【解析】A. ∵ 2+4<7， ∴不能组成三角形；
B. ∵3+3=6 ， ∴不能组成三角形；
C. ∵5+2<8， ∴不能组成三角形；
D. ∵4+5>6， ∴能组成三角形；
故选D.
点睛：本题考查了三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答即可.
2．C
【解析】由于三角形按边分类可以分为：等腰三角形和不等边三角形两大类.
故选C.
3．C
【解析】设第三边长为xcm，
则8﹣3＜x＜3+8，
5＜x＜11，
故选C．
4．C
【解析】∵3-1∴2∵x为整数，
∴x=3,
∴此三角形的周长是:1+3+3=7.
故选C.
点睛：本题考查了三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答即可.
5．C
【解析】设A，B间的距离为x．
根据三角形的三边关系定理，得：15-10＜x＜15+10，
解得：5＜x＜25，
所以，A，B之间的距离可能是20m．
故选C．
6．C
【解析】首先可以组合为13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7，
再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不符合，则可以画出的三角形有3个，
故选C.
【点睛】本题考查了三角形的三边关系：即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解此题的关键是先把所有的情况组合后，再看是否符合三角形的三边关系．
7．C
【解析】试题解析：分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，
∵4+4＜9，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当三角形的三边是4，9，9时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9=22.
故选C.
8．B
【解析】试题解析：∵三角形周长为，
∴三角形最长边的取值范围最长边，
又∵三边长都是整数，
∴这样的三角形有、、，
、、，
、、，
、、，
、、，
、、，
、、．
故选B.
9．D
【解析】试题解析：∵（a﹣2）2+|b﹣3|=0，
∴a﹣2=0，b﹣3=0，
解得a=2，b=3，
①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是2+2+3=7；
②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是3+3+2=8．
故选D．
10．两点之间线段最短
【解析】试题解析：“三角形任意两边之和大于第三边”，得到这个结论的理由是：两点之间线段最短．
11．10
【解析】试题解析：∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且
∴c∵b=4，
∴a=1，2，3，4，
a=1时，c=4，
a=2时，c=4，5
a=3时，c=4，5，6
a=4时，c=4，5，6，7
∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个.
故答案为：10.
12．16或17
【解析】①当腰5cm,底边是6cm时,能构成三角形,
则其周长=5+5+6=16cm;
②当底边是6cm,腰长是5cm时,能构成三角形,
则其周长=6+6+5=17cm.
故答案为:16cm或17cm.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.应向学生特别强调.
13．2【解析】根据构成三角形的三边关系,得
x＞7-5且x＜7+5
即2＜x＜12
则x的取值范围是2＜x＜12.故答案为：2点睛：本题主要考查三角形的三边关系:三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.此类题只要根据三角形的三边关系,再结合已知两条边的长度,就能求出第三边的范围.
14．7
【解析】根据题意，得5 3∴x－2>0，x－9<0，
∴|x－2|＋|x－9|＝x-2-(x-9)=7.
故答案为：7.
15．2米＜x＜4米
【解析】试题解析：∵1+3=4，3-1=2，
∴2＜x＜4．
即：2米＜x＜4米.
16．(1) 2【解析】分析:（1），根据“三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可得到第三边x的取值范围；(2) 根据（1）中第三边的取值范围，再结合等腰三角形的性质，即可得到第三边的长，最后根据三角形周长公式进行计算即可.
本题解析:
(1)由三角形三边关系，得x>6-4且x<6+4，即x>2且x<10.所以2(2)由（1）可知，x的值为4或8，所以三角形周长为14或18.
17．(1)5(2)x=7.
【解析】试题分析：
（1）由题意可知围成的三角形的周长为18米，结合其中两边长为x米和4米，可得第三边为（18-x-4）米，再根据三角形三边间的关系列出不等式组，即可求得x的取值范围；
（2）分x为底边和腰两种情况分别列出方程，可解得对应的x的值，再由三角形三边间的关系检验是否符合题意即可求得x的值.
试题解析：
（1）由题意可得：18-4-x-4解得：5（2）①当x为底边长时，由题意可得：
4+4+x=18，解得：x=10，
又∵5∴x=10不符合题意，舍去；
②当x为腰长时，由题意可得：
x+x+4=18，解得x=7，
又∵5∴x=7符合题意.
点睛：（1）当已知4和x是等腰三角形的两边求x时，需分x为底边和腰两种情况分别讨论；（2）在有关三角形三边的问题中，当解得边的长度后，要用“三角形三边间的关系”进行检验，看能否围成三角形.
18．见解析．
【解析】试题分析：先对a、b两条边进行取值，再根据a、b的长度结合三角形三条边之间的关系对c进行取值，列举出所有的可能性即可.
试题解析：当a=1，b=1时，c=1；
当a=1，b=2时，c=2；
当a=1，b=3时，c=3；
当a=2，b=2时，c=2或3；
当a=2，b=3时，c=3，
当a=3，b=3时，c=3.
所以满足条件的三角形为：（1,1,1），（1,2,2），（1,3,3），（2,2,2），（2,2,3），（2,3,3），（3,3,3）.
点睛：此题主要利用三角形三条边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
19．(1)4根火柴棒不能搭成三角形(2)8根火柴棒能搭成一种三角形,12根火柴棒能搭成三种不同的三角形:(4,4,4),(5,5,2),(3,4,5)
【解析】试题分析：
（1）由“三角形三边间的关系”可知，四根火柴棒不能围成三角形；
（2）结合“三角形三边间的关系”分析可知：①8根火柴棒能搭成一种三角形，其边长分别为2、3、3，再根据边长画出示意图即可；②12根火柴棒可以搭成三种三角形，其边长分别（1）4、4、4；（2）5、5、2；（3）3、4、5；再根据边长画出示意图即可.
试题解析：
（1）由三角形三边间的关系分析可知：4根火柴棒不能搭成三角形.
（2）① 8根火柴棒能搭成一种三角形，示意图如下：
②12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，其边长分别为：(4,4,4),(5,5,2),(3,4,5),示意图如下：
.
20．（1）＜；（2）＜；（3）＜.
【解析】试题分析：（1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果，
（2）可延长BP交AC与M，根据两边之和大于第三边，即可得出结果，
（3）分别延长BP1、CP2交于M，再根据（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出结果．
试题解析：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，
（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：
如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长，
（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由：
如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，
可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论.
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