4.1 认识三角形（3）同步练习

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4.1 认识三角形（3）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1．在三角形中,一个内角的角平分线与对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
2．在三角形中,连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线．
3．从三角形的顶点向它的对边作垂线,顶点和垂足 之间的线段叫做三角形的高．
4．三角形的角平分线交于一点,中线交于一点,三条高所在直线交于一点
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是 （ ）
2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
3．如图，小明用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ）
A. 三边中线的交点 B. 三边高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边中垂线的交点
4．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是(　　)
A. 中线 B. 角平分线 C. 高线 D. 三角形的角平分线
5．不一定在三角形内部的线段是( )
A. 三角形的角平分线 B. 三角形的中线 C. 三角形的高 D. 以上都不对
6．如图，在中， 、分别是高线和角平分线，交点为，已知， ，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
7．如图，在中， ， 为边上的高， 点沿所在的直线运动时，三角形的面积发生变化，当的面积为48时， 的长为（ ）
A. B. C. D.
8．如图，AD,CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC的长是（ ）
A. 10 B. 10.8 C. 12 D. 15
9．在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为5，AC=7，则AB的长为（　　）
A. 2 B. 19 C. 2或19 D. 2或12
10．如图,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠D等于(　　)
A. 120° B. 130° C. 115° D. 110°
二、填空题
11．如图，、分别是的高和角平分线，已知，，则__________．
12．如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，则∠FDE=_____ ．
13．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
14．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是16cm2，则阴影部分的面积等于_______cm2．
15．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有_________个.
三、解答题
16．在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC；求∠DAE的度数．
17．如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,若BC=10,AC=8,BE=,求AD的长.
18．如图，△ABC中，AE⊥BC，BD是AC边的中线，BF=1，BF∶FC=1∶3，△ABD的面积为2，求AE的长．
19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．
20．已知，如图，在△ABC中，∠B <∠C,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线。
（1）若∠B=30°，∠C=50°，试确定∠DAE的度数；
（2）试写出∠DAE，∠B，∠C的数量关系，并证明你的结论。
参考答案
1．A
【解析】根据三角形高线的定义(过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段)可得：
为△ABC中BC边上的高的只有A选项．
故选A.
【点睛】理解三角形的高的定义（过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段）是解题的关键．
2．B
【解析】试题分析：因为直角三角形的三条高线的交点是直角顶点，而其他三角形三条高线的交点都不在顶点上，所以如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形．
故选B．
点睛：本题考查的是三角形高的性质，熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点是解答此题的关键．
3．A
【解析】试题解析：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选A.
4．A
【解析】试题解析：∵三角形的中线把三角形分成的两个三角形，底边相等，高是同一条高，
∴分成的两三角形的面积相等.
故选A.
5．C
【解析】试题解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，
直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，
钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，
所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.
故选C.
6．D
【解析】试题解析：过E作EF⊥AC于F，
∵AD是BC边上的高线，CH平分∠ACB，DE=1，
∴EF=DE=1，
∴△ACE的面积S=×AC×EF=×4×1＝2，
故选D．
7．B
【解析】在△ABC中，BC=6，AD为BC边上的高，A点沿AD所在的直线运动时，三角形的面积发生变化，当△ABC的面积为48时， ,即×6·AD=48，∴AD=16，故选B.
8．B
【解析】∵AD，CE是△ABC的两条高，AD=10，CE=9，AB=12，
∴△ABC的面积=×12×9=BC AD=54，
即12BC 10=54，解得BC=10.8.
故选：B.
9．D
【解析】①当△ABD的周长大于△ADC的周长时，∵AD为BC边的中线，∴BD＝CD，∴△ABD与△ADC的周长差＝(AB＋AD＋BD)﹣(AC＋AD＋CD)＝AB﹣AC，∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC＝7，∴AB﹣7＝5，解得AB＝12；②当△ADC的周长比△ABD的周长大时，∵AD为BC边的中线，∴BD＝CD，∴△ADC与△ABD的周长差＝(AC＋AD＋CD)﹣(AB＋AD＋BD)＝AC﹣AB，∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC＝7，∴7﹣AB＝5，解得AB＝2，综上AB＝2或12，故选D．
10．C
【解析】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=180°﹣（∠ABC+∠ACB）．∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BDC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+×50°=115°．故选C．
11．20°
【解析】∵，，
∴，
∴在中，
．
在中，
．
∵平分，
∴，
∴．
12．124°
【解析】试题解析：在△ABC中， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=180°﹣48°﹣76°=56°，
在四边形AFDE中，
∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°，
又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=56°，
∴∠FDE=360°﹣90°﹣90°﹣56°
=124°.
13．7cm
【解析】∵AD是△ABC中线，
∴BD=CD，
∴△ABD周长-△ADC的周长=（BA+BD+AD）-（AC+AD+CD）=BA-AC，
∴BA-5=2，
∴BA=7cm，
故答案为：7cm．
14．4
【解析】如图，∵E为AD的中点，
∴S△ABC:S△BCE=2:1，
同理可得, :=2:1，
∵S△ABC=16，
∴S△EFB=S△ABC=×16=4.
故答案为4.
15．2
【解析】（1）∵AD是△ABC的角平分线，可得∠BAO=∠CAO，∴①“AO是△ABE的角平分线”这种说法是正确的；
（2）由BE是△ABC的中线可得AE=CE，但不能确定AO=DO，∴②“BO是△ABD的中线”这种说法是错误的；
（3）由BE是△ABC的中线可得AE=CE，∴③“DE是△ADC的中线”这种说法是正确的；
（4）∵由题中条件不能得到∠ADE=∠CDE，∴④“ED是△EBC的角平分线”这种说法是错误的；
即上述说法中正确的个数为：2.
16．∠DAE=5°．
【解析】试题分析：根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠CAD的度数；在△AEC中，求出∠CAE的度数，从而可得∠DAE的度数．
试题解析：
∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC=35°．
∵AE⊥BC于E，
∴∠CAE=90°﹣60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD﹣∠CAE=35°﹣30°=5°．
点睛：本题考查了三角形的角平分线和高、三角形的内角和定理及垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．
17．6.8
【解析】试题分析：根据S△ABC=·BC·AD=·AC·BE即可得出结论．
试题解析：解：因为AD⊥BC，BE⊥AC，所以S△ABC=·BC·AD=·AC·BE．所以BC·AD=AC·BE．又因为BC=10，AC=8，BE=，所以10AD=8×，所以AD=6.8．
18．AE=2
【解析】试题分析：根据中线能够把三角形的面积分成相等的两部分，求出的面积，根据三角形的面积公式求出AE的长.
试题解析：BD是AC边的中线，
19．∠BAD=40°，∠AOC=115°．
【解析】试题分析：先根据直角三角形的两个锐角互余，求得再根据角平分线的定义，求得
最后根据三角形内角和定理，求得中的度数．
试题解析：
∵AD是高,
中,
∴△ABC中,
∵AE，CF是角平分线，
∴△AOC中,
20．（1）10°；（2）(∠C-∠B)(或∠C-∠B)，理由见解析
【解析】（1）在三角形ABC中，由∠B与∠C的度数求出∠BAC的度数，根据AE为角平分线求出∠BAE的度数，由∠BAD-∠B即可求出∠DAE的度数；
（2）仿照（1）得出∠DAE与、∠B、∠C的数量关系即可．
解：（1）在△ABC中，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=50°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-30°-90°=60°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-50°=10° ；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-∠B-90°=90°-∠B，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-∠B-∠BAC，
=90°-∠B-(180°-∠B-∠C)，
=(∠C-∠B)(或∠C-∠B).
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