4.3 探索三角形全等的条件（2）同步练习

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4.3 探索三角形全等的条件（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角 ”或“ASA”．
２．两角和其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．在下列条件中，不能说明△ABC≌△A’B’C’的是( )
A. ∠A＝∠A’，∠C＝∠C’，AC＝A’C’ B. ∠A＝∠A’，AB＝A’B’，BC＝B’C’
C. ∠B＝∠B’，∠C＝∠C’，AB＝A’B’ D. AB＝A’B’， BC＝B’ C’AC＝A’C’
2．如图,要测量河中礁石A离岸边B点的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离,采取的方法如下:顺着河岸的方向任作一条线段BC,作∠CBA'=∠CBA,∠BCA'=∠BCA.可得△A'BC≌△ABC,所以A'B=AB,所以测量A'B的长即可得AB的长.判定图中两个三角形全等的理由是(　　)21教育网
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A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS
3．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，CE是过C点的一条直线，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，DE=4cm，AD=2cm，则BE=（　　）
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A. 2cm B. 4cm C. 6cm或2cm D. 6cm
4．如图，要量河两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时可得≌，用于判定全等的最佳依据是（ ）【版权所有：21教育】
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A. ASA B. SAS C. SSS D. AAS
5．如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（ ）
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A. ∠1＝∠2 B. ∠1＞∠2 C. ∠1＜∠2 D. 无法确定
6．如图，若线段AB，CD互相平分且相交于点O，则下列结论错误的是( )
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A. AD＝BC B. ∠C＝∠D C. AD∥BC D. OB＝OC
7．如图,AB∥CD,且AB=CD,则△ABE≌△CDE的根据是(　　)
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A. 只能用ASA B. 只能用SSS C. 只能用AAS D. 用ASA或AAS
8．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带( )去配
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A. ① B. ② C. ③ D. ①和②
二、填空题
9．如图，∠ABF=∠DCE，BE=CF，请补充一个条件：______，能使用“AAS”的方法得△ABF≌△DCE.
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10．如图， 中， ， ， 是边上的中线，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点， ，则的面积为__________．
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11．如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=90°，AB=AD，BC=2，AC=6，四边形ABCD的面积为__________21·cn·jy·com
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12．如图，∠ACB=90°，AC=BC， ( http: / / www.21cnjy.com )BE⊥CE，AD⊥CE于D，若AD的长为2x+3，BE的长为x+1，ED=5，则x的值为_____．www.21-cn-jy.com
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13．如图，已知∠B=∠C=50°，∠A=60°,则∠AEC=_______；若AE=AD,AB=7,则AC=_____.
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三、解答题
14．已知：如下图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CD，∠B=∠D．求证：⊿ABE≌⊿CDF。
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15．已知，如图， ， .求证：
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16．小强为了测量一幢高楼 ( http: / / www.21cnjy.com )高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？www-2-1-cnjy-com
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17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD=BD，求证：BF=AC。
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18． 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F.
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（1）点D在边AB上时，试探究线段BD、AB和AF的数量关系，并证明你的结论；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出正确结论.
19．已知：如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作经过点A的直线l的垂线段BD、CE，垂足分别D、E．21cnjy.com
（1）求证：DE=BD+CE．
（2）如果过点A的直线经过∠BAC的内部，那么上述结论还成立吗？请画出图形，直接给出你的结论（不用证明）．
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参考答案
1．B
【解析】A、∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′，可用ASA判定△ABC≌△A′B′C，故选项正确；21*cnjy*com
B、∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，SSA不能判定两个三角形全等，故选项错误；
C、∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′，可用AAS判定△ABC≌△A′B′C，故选项正确；
D、AB=A′B′，BC=B′C，AC=A′C′，可用ASA判定△ABC≌△A′B′C，故选项正确．
故选：B．
2．B
【解析】试题解析：在△△A'BC和△ABC中，
∵
∴△A'BC≌△ABC(ASA)
∴A'B=AB.
故选B.
3．C
【解析】试题解析：分为两种情况：
①如图1，当CE在△ABC内．
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∵AD⊥CE，∠BCA=90°，
∴∠ADC=∠BCA=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴CE=AD=2cm，CD=BE，
BE=CD=CE+DE=2cm+4cm=6cm；
②如图2，当CE在△ABC外．
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∵在△EBC和△DAC中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE=AD=2cm，BE=CD，
∴BE=CD=DE﹣AD=4cm﹣2cm=2cm，
故答案为：6或2．
故选C．
4．A
【解析】在△ABC和△EDC中， ，∴△ABC≌△ EDC（ASA）；故选A.
5．A
【解析】∵AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，PA＝PB，∠CPA=∠DPB，
∴△CPA≌△∠DPB(AAS)，
∴PC=PD，
∴∠1＝∠2，
故选A.
点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质 ( http: / / www.21cnjy.com )；主要先利用全等三角形证明CP＝DP，再由角平分线的逆定理可知OP是角AOB的平分线，由判定可知∠1＝∠2． 2-1-c-n-j-y
6．D
【解析】∵AB、CD互相平分，
∴AO=BO，CO=DO，
在△AOD和△BOC中,
AO=BO，
∠AOD=∠BOC，
CO=DO ，
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
∴AD=BC，故A选项正确；
∠C=∠D，故B选项正确；
∴AD∥BC，故C选项正确；
OB与OC不是对应边，不一定相等，故D选项错误。
故选D.
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，在证明三角形全等时，注意隐含条件的应用，如“公共边”、“公共角”、“对顶角相等”.21世纪教育网版权所有
7．D
【解析】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D．
又∵∠AEB=∠CED（对顶角相等），AB=CD，∴可用ASA或AAS进行△ABE≌△CDE的判定．故选D．21*cnjy*com
8．C
【解析】第③块玻璃有完整的两角及其所夹边，我们可以根据角边角定理配出另一块玻璃与之全等.
故选C.
点睛：掌握三角形全等的判定方法.
9．∠A=∠D
【解析】∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
又∵∠ABF=∠DCE，
∴要使用“AAS”证明△ABF≌△DCE.，需添加条件：∠A=∠D.
故答案为：∠A=∠D.
10．4
【解析】∵， ， ，
∴，
∵， ，
∴，
∴≌．
∴，
∵， ，
∴．
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故答案为4.
11．24
【解析】作EA⊥AC，DE⊥AE，
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∵∠BAC+∠CAD=90°,∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE(AAS)，
∴AE=AC，
∴四边形ABCD的面积=四边形ACDE的面积，
∵四边形ACDE的面积= (AC+DE)AE=×8×6=24，
∴四边形ABCD的面积=24，
故答案为24.
12．3
【解析】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
在△BCE与△CAD中
∵AC=BC,
∠BEC=∠CDA,
∠BCE=∠ACD,，
∴△BCE≌△CAD，
∴BE=CD，AD=CE，
又∵AD的长为2x+3，BE的长为x+1，ED=5，
∴CD+DE=CE=AD，即可得出方程x+1+5=2x+3，
解得：x=3．
点睛:首先判断出∠BCE=∠ACD ( http: / / www.21cnjy.com )，再结合AC=BC，∠BEC=∠CDA=90°，可判断△BCE≌△CAD，得出BE=CD，AD=CE，从而根据CD+DE=CE=AD，得出方程x+1+5=2x+3，解出即可得出x的值．
13． 70° 7
【解析】△AEC中，∠AEC=180°-∠A-∠C=180°-60°-50°=70°；
因为∠B=∠C，∠A=∠A，AE=AD，所以△ABD≌△ACE，所以AC=AB=7.
故答案为 (1). 70°；(2). 7.
14．证明见解析.
【解析】试题分析：由AB∥CD可得∠A=∠C，根据ASA可证得△ABE≌△CDF．
试题解析：
证明：∵AB∥DC，
∴∠A＝∠C
在⊿ABE和⊿CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
15．证明见解析.
【解析】试题分析：首先根据∠1=∠2可证明，然后可以证明，即可证明.
试题解析：∵，
∴，
即，
在和中， ，
∴，
∴.
16．楼高AB是26米．
【解析】试题分析: 因为∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,
所以∠DCP=∠APB=54°,根据, , 判定△CPD≌△PAB,根据全等三角形的性质进而得出AB的长.2·1·c·n·j·y
试题解析:∵∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,
∴∠DCP=∠APB=54°,
在△CPD和△PAB中,
∵,
∴△CPD≌△PAB（ASA）,
∴DP=AB,
∵DB=36,PB=10,
∴AB=36﹣10=26（m）,
答:楼高AB是26米．
17．证明见解析
【解析】分析：先证出∠DBF=∠DAC,再由ASA证明△BDF≌△ADC,得出对应边相等即可.
本题解析：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC。
点睛:本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握三角形全等的方法，找到三角形全等的条件是解决问题的关键.21·世纪*教育网
18．(1)见解析；（2）见解析
【解析】 试题分析：（1）通过三角形全等的判定ASA证明△FAB≌△DAC，然后根据全等三角形的性质可证得结论；【出处：21教育名师】
（2）根据题意，分为：点D在AB的延长线上；点D在AB的反向延长线上，两种情况进行讨论即可.
试题解析：(1)如图1，
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∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，
∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．
∴∠FBA=∠FCE．
∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，
∴∠FAB=∠DAC．
在△FAB和△DAC中，
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AB=AC
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∴△FAB≌△DAC（ASA）．
∴FA=DA．
∴AB=AD+BD=FA+BD．
（2）（1）中的结论不成立．
点D在AB的延长线上时，AB=AF-BD；点D在AB的反向延长线上时，AB=BD-AF．
理由如下：
①当点D在AB的延长线上时，如图2．
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同理可得：FA=DA．
则AB=AD-BD=AF-BD．
②点D在AB的反向延长线上时，如图3．
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同理可得：FA=DA．
则AB=BD-AD=BD-AF．
19．（1）见解析；（2）上述结论不成立．
【解析】试题分析：（1）由垂线的定义和角的互余关系得出 由AAS证明≌，得出对应边相等 由 即可得出结论；
（2）由垂线的定义和角的互余关系得出 由AAS证明≌，得出对应边相等由 之间的和差关系，即可得出结论．【来源：21·世纪·教育·网】
试题解析：(1)∵∠BAC=，
∴∠BAD+∠CAE=，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=，
∴∠BAD+∠ABD=，
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD+AE=DE，
∴BD+CE=DE；
(2)上述结论不成立，
如图所示，BD=DE+CE.
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证明：∵∠BAC=，
∴∠BAD+∠CAE=，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=，
∴∠BAD+∠ABD=，
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD+DE=AE，
∴BD=DE+CE.
如图所示，CE=DE+BD，
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证明：证明：∵∠BAC=，
∴∠BAD+∠CAE=，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=，
∴∠BAD+∠ABD=，
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE+DE=AD，
∴CE=DE+BD.
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