勾股定理
学习
目标
1．经历勾股定理的探索过程，并熟记定理的内容.
2．能运用勾股定理由直角三角形的已知两边求第三边.
3．能运用面积法证明勾股定理。
导学过程
【自主学习】
1.已知Rt△ABC中的两条直角边长分别为a.b ,则S△ABC＝ .
2.已知梯形上下两底分别为a和b，高为（a＋b），则该梯形的面积为 .
【探究新知】
探究一. 探究勾股定理
1.（1）你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
结论：
（2）观察右边两幅图，填表。（每个小正方形的面积为1）
A的面积
B的面积
C的面积
左图
右图
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？
(4) 图中正方形A.B.C的面积与所围成的直角三角形三边a.b，c，之间有 什么关系？直角三角形三边a.b，c，之间有什么关系？
2.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a.b，斜边为c，那么 。
探究二.勾股定理的证明
1.已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A.∠B.∠C的对边为a.b.c。求证：
证明： 如图所示4个全等的直角三角形可以围成一个大正方形ABCD,中空的部分是一个小正方形，直角三角形的三边为a.b.c，则用含a.b.c的式子表示4S△+S小正= ；S大正= ；根据：4S△+S小正= S大正得 由此化简得
2.归纳定理：直角三角形两条___ ___的平方和等于__ ___的平方.
【达标检测】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，求c ②若a=15，c=25，求b
③若c=61，b=60，求a ④若a∶b=3∶4，c=10,求SRt△ABC.
2.已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长；②ΔABC的面积．
【课后作业】
1.设直角三角形的两条直角边分别为a.b，斜边为c，
①若a=12，b=5，求c ②若a=3，c=4，求b ③若c=10，b=9，求a
2.如图所示：∠A＝30°，AB＝2，则 AC＝ .
3.一个直角三角形中，两边长分别为3和4，求第三边
4.如图已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.
(1)求DC的长。(2)求AB的长。
5.在△ABC中，∠C=90°，AC=6 , BC=8,求
（1）△ABC的面积 （2）斜边AB （3）高CD
勾股定理应用
学习
目标
会用勾股定理解决简单的实际问题
导学过程
【自学质疑】
1.如图（1）所示：AB＝9，BC＝12，则AC是多少？.
2.如图（2）所示：AB＝12，BC＝13，则AC是多少？
归纳：在解决上面问题时，每个直角三角形需知道__________个条件？
【典例点击】
例1.一个门框的尺寸如图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.4米呢？
例2.如图，一个2.5米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO为2.4米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.4米至C.
求梯子底端向右滑动多少？
【达标检测】
1．如下第1个图，一个梯子AB长为10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得DB的长为2米，则梯子顶端A下落了多少米？
2.如图，能否将一根70㎝长的细木棒放入长.宽.高分别为50cm.40cm.30cm
的长方体盒子中？
3．如下第3个图，要将楼梯铺上地毯，则需要多少米的地毯.
4.如下左图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是多少米，水平距离是多少米.
【课后作业】
1. 在Rt△ABC，∠C=90°，
⑴如果a=7，c=25，求b ⑵如果∠A=30°，a=4，求b
⑶如果∠A=45°，a=3，求c？
2.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着30度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的竖直高度是多少米？21世纪教育网版权所有
3．如上右图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间
的距离是多少？
4.如图一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A′处，问梯子底部B将外移多少米？
勾股定理应用
学习
目标
会用勾股定理解决简单的实际问题
导学过程
【自学学习】
在Rt△ABC，∠C=90°
(1)如果∠A=30°，b=2，则a是多少？
(2)如果∠A=45°，c=2，则a是多少？
(3)如果b=8，a：c=3：5，则c是多少？
归纳：用算数方法无法解决问题时，应该用 方法解决，在直角三角形中应依据 为等量关系列方程。
【典例点击】
例1.如图已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
例2.如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
【达标检测】
1．小军发现学校旗杆上端的绳子垂直到地面还多了1米，他把绳子斜着拉直，使下端刚好触地．此时绳子下端距旗杆底部5 m，那么旗杆的高度为多少m?
2.如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为多少？
3.如图有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
【课后作业】
1.如图在长方形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE长21世纪教育网版权所有
2.如图有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线 AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE 重合，求CD的长．21教育网
3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P.Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ是多少厘米。21cnjy.com
4.如图四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°, ∠B=∠D=90°. 求四边形ABCD的面积。
勾股定理应用
学习
目标
1．会利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点．
2．灵活运用勾股定理计算与推理.
导学过程
【自主学习】学生自学课本26-27页内容，并完成下列问题：
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a.b，斜边长为c，那么： （或 ）变形： （或 ） （或 ）
【探究新知】
探究一.运用勾股定理证明全等判定方法“斜边直角边”（HL）
已知：如图，在中和中，，
求证：≌.
探究二.如何在数轴上画出表示的点？
填空：①：由于在数轴上表示的点到原点的距离为 ，所以只需画出长为 的线段即可．②长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢?设c＝，两直角边为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2即a2＋b2＝13．若a，b为正整数，则13必须分解为两个正整数的平方和， 即13＝ 2＋ 2．所以长为的线段是直角边为 . 的直角三角形的斜边．请在数轴上完成作图.
探究三：问题：根据勾股定理，你能做出哪些长为无理数的线段呢?
欣赏下图，你会得到什么启示?
探究四：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆柱的高为8cm， 圆柱的底面半径为cm，那么最短的路线长是多少？
【达标检测】
1．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长.宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
【课后作业】
1、在数轴上作出表示的点
(保留作图痕迹，不写作法)．
2.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数
轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴
于一点，则这个点表示的实数是
3、如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离
点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行
的最短距离是多少？
4、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－6，0)，
(0，8)．以点A为圆心，以AB为半径画弧交x轴正半轴于点C，则点C
的坐标为________．
勾股定理逆定理
学习
目标
1.掌握勾股定理的逆定理，会利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
2.能写出一个简单命题的逆命题，并能判断真假；
导学过程
【探究新知】
1.探究勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理填空：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结.4个结.5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，然后用角尺量出最大角的度数_______________可以发现这个三角形是________三角形
（2）画一画：画以线段a，b， c. 为边的三角形并判断分别以上述a.b.c为边的三角形的形状.
⑴ a=3，b=4 c=5 ⑵a =2.5cm，b=6cm，c=6.5cm．(3)a= 4cm，b=7.5cm，c=8.5cm
归纳：如果一个三角形的三条边长a.b.c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。
2.探究命题有关的概念
（1）填空：命题1： 两条直线平行，内错角相等。此命题的题设是： ，结论是： 。命题2： 内错角相等，两条直线平行。此命题的题设是： ，结论是： 。
归纳：命题1和命题2的题设和结论相反，把这样的两个命题叫做 ，把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的 。请你再举出两个对类似的命题： .
（2）正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？请举例说明.
（3）原命题：对顶角相等；逆命题： . （正确吗？答 ）由此可见：原命题正确，它的逆命可能 也可能 .
3.探究勾股定理的逆定理的证明
如图：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2 ，那么，这个三角形是直角三角形.
通过证明，我发现勾股定理的逆命题题是 的，它也是一个 ，我们把它叫做勾股定理的 .
归纳：每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理.
【巩固新知】
例1.判断由a.b.c组成的三角形是否是直角三角形：
（1）a＝15，b＝8，c＝17 （2）a＝13，b＝14，c＝15
【达标检测】
1.判断由a.b.c组成的三角形是否是直角三角形：
（1）a＝，b＝4，c＝5 （2）a＝，b＝1，c＝
（3）a＝0.5，b＝1.2，c＝1.3 (4) a＝，b＝，c＝
2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗？
（1）对顶角相等． （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
（3）全等三角形的对应角相等． （4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【课后作业】
1.判断由a.b.c组成的三角形是否是直角三角形：
（1）a=7，b=24，c=25； （2）a=5，b=12，c=13；
（3）a=8，b=15，c=17； （4）a=40，b=50，c=60．
2.已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是多少度？面积为多少？（写出解题过程）
3.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，且周长为60cm，求它的面积．
4．在△ABC中，∠A.∠B.∠C的对边分别为a.b.c，且满足c＋a＝2b，c－a＝b，则△ABC是什么特殊三角形？
5．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足 ＋＋＝0，那么下列说法中不正确的是( )
A．这个三角形是直角三角形 B．这个三角形的最长边长是10
C．这个三角形的面积是48 D．这个三角形的最长边上的高是4.8
6.若△ABC的三边a.b.c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC（ ）
A．等腰三角形；B．直角三角形；C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。
7．下列说法正确的是( )
A．真命题的逆命题是真命题 B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．命题一定有逆命题 D．定理一定有逆定理
勾股定理逆定理
学习
目标
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深对勾股定理定理与逆定理之间关系的认识。
导学过程
【自主学习】
填空 勾股定理 。
勾股定理逆定理 。
2.借助三角板画出如下方位角所确定的射线：
①南偏东30°；②西南方向；③北偏西60°.
【典例点击】
例1.“远航”号.“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例2.已知在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，
AC=17，求S△ABC.
例3.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
【达标检测】
1.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原
地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向
是 。
2 . 如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，试
判断△ABD的形状，并说明理由．你能算出四边形ACBD的面积吗？
3.已知：如图，在正方形ABCD中，F为AD上一点，且DF=AD，E是
CD的中点.求证：BE⊥EF.
【课后作业】
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少？试判断三角形的形状。
2.如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，
AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。
3.已知的三边分别a,b,c，其中a =,b =2mn,c =(m>n,m,n是正整数)，是直角三角形吗？说明理由.
4.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式 +（b-18）2+=0,
试判断三角形的形状。
5．已知：如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝3，
求四边形ABCD的面积．
勾股定理
学习
目标
1.掌握直角三角形的边.角之间所存在的关系.
2.熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题.
导学过程
【课前导学】1.勾股定理： （即： ）
公式的变形：（1） ，
（2） ， （3） ，
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足 ，那么这个三角形是 .
3.满足 的三个正整数，称为勾股数。例如：
4.互逆命题和互逆定理?
互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的????恰为第二个命题的????，而第一个命题的????恰为第二个命题的????，像这样的两个命题叫做?? ??．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的?? ??．?
互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是??? ?，那么它也是一个????
称这两个定理互为?? ?，其中一个叫做另一个的逆定理。
【典例点击】
例1．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
例2．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？
【达标检测】
1.右图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
2.在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，
已知a=6，b=10，求边长c．
3.已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是
4.已知a，b，c为⊿ABC三边，a=6，b=8，b5.若直角三角形的两直角边长为,且满足，则该直角三角形的斜边长为多少？
6．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长；②ΔABC的面积．
7．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为多少？斜边上的高是多少？
【课后作业】
一．选择题
1.如图：带阴影部分的半圆的面积是 .
2.分别以下列四组数为一个三角形的边长：① 3.4.5 ② 5.12.13
③8.15.17 ④ 4.5.6，其中能够成直角三角形的有
3．下列各命题的逆命题成立的是（? ）
? A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
? C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
二．解答题
1．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落
在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位
置断裂的吗？请你试一试．
2．已知直角三角形的两边长为3.2，则另一条边长是多少？
3.若△ABC的三边满足条件,试判定△ABC的形状.
5．如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，
梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使
梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那
么BB′也等于1m吗?
