平行四边形的性质
学习目标 1.掌握平行四边形的定义及有关概念。能根据定义探索掌握平行四边形的性质 3.会根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。
导 学 过 程
【课前预习】（1） 叫做平行四边形。（2）根据定义画一个平行四边形，观察这个四边形，除了“两组对边分别平行”以外，它的边、角之间还有其他的关系吗？度量一下，和你的猜想一致吗？【自主学习】 证明猜测，证明 ：连接对角线AC 例 如图，在□ABCD中，DEAB,BFCD,垂足分别为E、F。求证：AE=CF. 【 课堂达标】一块平行四边形的木板，其中木板的一边长为5cm，相邻的另一边长为6cm，试求这块木板的周长。在□ABCD中，若A=70°,B=_______，C=_____,D=________.3.（1）在ABCD中，∠A—∠B=40°，则∠A= ，∠B= ，∠C= ，∠D= ． （2）ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= ，BC= ，CD= ，CD= ．4．如图，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．【课后作业】1.如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证：AB=CE2．如图所示，已知点E，F在□ABCD中的对角线BD上，且BE=DF．求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）AE=CF； (3)AE∥CF.3.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm，求□ABCD的周长和面积.若问题改为CF=2cm，CE=3cm，求□ABCD的周长和面积.4．如图1所示，在□ABCD中，若∠A=45°，AD=，求AB与CD之间的距离
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E平行四边形的性质
学习目标 1.学习平行四边形关于对角线的性质； 2.理解平行四边形关于对角线性质的探究过程； 3.掌握平行四边形对角线性质的应用。
导 学 过 程
【课前预习】1. 叫做平行四边形。2.平行四边形的性质：角： 。 边： 。【自主学习】 1.如图四边形ABCD是平行四边形，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O. (1)图中有哪些三角形是全等的 有哪些线段是相等的 (2)你能得出什么结论？想办法验证你的猜想 例 如图，在□ABCD中，AB=10,AD=8,ACBC.BC,CD,AC,OA的长，以及□ABCD的面积。【 课堂达标】1.在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）．（A）对角相等 （B）对角互补 （C）邻角互补 （D）内角和是2.如图，在中，AB=10,DB=8,AC=14. △DOC的周长是多少？△DAB与△CAB的周长哪个长？长多少？3.如下图，在ABCD中，EF经过两对角线的交点O，如果AB = 4cm,AD = 3cm,OF = 1.2cm,求四边形BCEF的周长.4.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE=OF.【课后作业】1、已知□ABCD中，AB=8，BC=6，对边AD和BC的距离是2，则对边AB和CD间的距离是 2.已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，AB=________3.已知在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△AOD的周长是80cm， 已知AD的长是35 cm，AC+BD=4.如图，在□ABCD中，，已知∠ODA=90°，OA=6cm，OB=3cm ，求AD、AC的长5.如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=10，AD=8，AC BC,求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积6.如下图，在ABCD中，EF经过两对角线的交点O，交AD于E,交BC于F,如果AB = 4cm,AD = 3cm,OF = 1cm,求四边形DCFE的周长.
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O平行四边形的判定
学习目标 1.运用类比的方法合作探究，得出平行四边形的判定方法； 2.能结合图形用几何语言说出平行四边形的判定过程。 3.理解平行四边形的判定方法，并学会简单运用；
导 学 过 程
【课前预习】 1．平行四边形的性质：（1）边：_____________________________________________ （2）角:___________________________（3）对角线：_______________________________ 3．试写出上述平行四边形性质定理的逆命题： (1)__________________________________________________________________ (2)______ ________________________________________________________ (3)__________________________________________________________________ 【自主学习】例 如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形．【 课堂达标】1．如图，AB =DC=EF, AD=BC，DE=CF,则图中有哪些互相平行的线段？ 2.已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点，求证：BM∥DN，且BM=DN 。3.如图,在□ABCD中,BD是它的一条对角线，过A,C两点分别作AE⊥BD,CF⊥BD,E,F两点为垂足。求证：四边形AFCE是平行四边形【课后作业】1.已知如图所示，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1）△AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形。2.如图所示，在平行四边形ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点，求证：四边形AP1CP2是平行四边形．3.已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。求证：四边形AECF是平行四边形。 4.如图20.1.3-1所示，平行四边形ABCD中，AF＝CH，DE＝BG。求证：EG和HF互相平分。
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F三角形的中位线
学习目标 探索并掌握三角形的中位线的概念、性质。会利用三角形中位线的性质解决有关问题。经历三角形中位线性质的探索过程，并能利用它解决问题。
导 学 过 程
【课前预习】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（1）一个三角形有几条中位线？ （2）三角线的中位线有哪些性质呢？ 【自主学习】①剪一个三角形记为△ABC；②分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；③沿DE将△ABC剪成两部分，将△ADE绕点E旋转180°，得四边形BCFD，如图 ④四边形BCFD是平行四边形吗？请说明理由。⑤△ABC的中位线DE与边BC在位置和数量上有什么关系？例 在四边形ABCD中，AC和BD是对角线，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.【 课堂达标】1.一个三角形的三边长分别为4，5，6，则连结各边中点所得三角形的周长为__________.2.三角形三条中位线将其分成__________个全等三角形.3.△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=10 cm，AC=6 cm，则四边形ADEF的周长为_________.4.已知：如图，在△ABC中，CF平分∠ACB，CA=CD，AE=EB．求证：EF=BD．5.如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 【课后作业】1.已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，则△ABC的周长-------------． 2.已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形。 3.已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．4.如图所示，□ABCD中，相交于点在对角线上，且．试说明四边形的形状．5.如图：在△ABC中，DE是中位线。（1）若∠ADE=60°，求∠B的度数？ （2）若BC=8cm，求DE的长？（3）DE +BC=12cm,求BC的长？
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E平行四边形的判定
学习目标 1.合作交流探究平行四边形的判定定理。2.掌握平行四边形的各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．
导 学 过 程
【课前预习．已学的平行四边形的判定定理： (1)______________________________________________________________ (2)__________________________________________________________________ (3)___________________________________________________________ 【自主学习】思考：如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？已知：在四边形ABCD中，AD‖BC ，AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.合作交流,尝试证明：连接BD例 如图，在□ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点。 求证：四边形AECF是平行四边形。【 课堂达标】1.不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）A．两组对边分别平行 B．一组对边平行另一组对边相等 C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别相等2.如图，已知四边形ABCD和四边形AEFD都是平行四边形，求证：四边形BCFE是平行四边形．3.如图，□ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF．4.如图， 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，并且AE=CF。 求证：四边形BFDE是平行四边形【课后作业】1、下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A、∠A=∠C，∠B=∠D B、AB∥CD，AB=CD C、AB=CD，AD∥BC D、AB∥CD，AD∥BC2.如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，已知在□ABCD中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且AE∥CF，求证：CE∥AF．4．如图，已知在□ABCD中，分别延长BC，DA至点E，F，如果∠E=∠F.求证：四边形FBED是平行四边形．矩形的性质
学习目标 掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
导 学 过 程
【课前自学】列表比较平行四边形和矩形的性质：平行四边形矩形边角对角线【范例学习】例:如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AOB=,AB=4.求矩形对角线的长。【课堂达标】1．平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ） A、对角线相等 B、对角线互相垂直 C、对角线互相平分 D、对角相等2.下列叙述错误的是（ ） A.平行四边形的对角线互相平分 B.平行四边形的四个内角相等。 C.矩形的对角线相等。 D.有一个角是90 的平行四边形是矩形3．矩形ABCD的对角线相交于点O，如果的周长比的周长大10cm，则AD的长是（ ）A、5cm B、7.5cm C、10cm D、12.5cm 4.矩形的两条邻边分别是、2，则它的一条对角线的长是_________________．5. 直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm, 则斜边上的中线长为 cm，斜边上的高为_ 6．如图所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，求∠ABE的度数？7.如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，AE=2BC，且AE=AB，求∠CBE的度数．8.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，，垂足为E，已知AB=3，AD=4，求的面积。【课后作业】8．矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。9．如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .10. 若矩形两对角线相交所成的角等于120°，较长边为6cm，则该矩形的对角线长为 cm；11.如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，，AB=4cm，求此矩形的面积。12.已知：如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,且AC=2AB.求证:△AOB是等边三角形。13.已知：如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC。求证：EA=ED.
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D矩形的判定
学习目标 1．理解矩形的判定定理并会用矩形的判定定理证明一个四边形（平行四边形）是矩形．2. 会有条理的思考与表达，并逐步学会分析与综合的思考方法．3.会综合运用矩形的性质定理与判定定理进行计算与证明．
导 学 过 程
【问题探究】问题1：矩形的定义：_______________________________________叫做矩形.问题2：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？问题3：李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？ 归纳矩形的判定定理： 【应用范例】如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4，求□ABCD的面积例2、已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．例3、已知，如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证：四边形EFGH是矩形． 【课堂达标】1.四边形ABCD中，∠A =∠B =∠C =∠D, 则四边形ABCD是 ；2.下列命题是真命题的是（ ）；A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.两条对角线相等的四边形是矩形 C.有三个角是直角的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是3．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°,CD为AB边上中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE.求证：四边形ACBE为矩形．4. □ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形【课后作业】5.在平行四边形□ABCD 中，增加下列条件中的一个，就能断定它是矩形的是( )A．∠A＋∠C＝180° B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AC＝2AB6.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是 （ ）A．甲量得窗框两组对边分别相等 B．乙量得窗框对角线相等C．丙量得窗框的一组邻边相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等7.如图3-14，□ ABCD的四个内角的平分线相交于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.8.如图3-12，□ABCD中，∠DAC =∠ADB, 求证：四边形ABCD是矩形.9.已知：如图，在△ABC中,∠ACB＝90°,D是AB的中点,DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
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E菱形的性质
学习目标 掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．理解并掌握菱形的性质1、2，会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
导 学 过 程
【课前自学】菱形的定义： 叫做菱形；菱形的对边 ，对角 ，菱形的四条边都 ；菱形的对角线 ，并且 。菱形的面积计算公式 【范例学习】例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。例2 已知，菱形对角线长分别为12cm和16cm，求菱形的高。【课堂达标】1、菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的周长__________，面积 _________________. 2、菱形的面积为24,一条对角线的长为6，则另一条对角线长为__________；边长为____________。3、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高是 8cm，则菱形的周长为 _______________。4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的比为3：4，则两对角线的长分别是 ______________ 。5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）．A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等6.在菱形ABCD中，已知∠ABC=60°,AC=4，则AB= 。7.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（ ） A．75° B．60° C．45° D．30°8.菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．9.已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为 .10.从菱形的钝角的顶点向对边引垂线,并且这条垂线平分对边,则该菱形的钝角为（ ）． A．110° B．120° C．135° D．150°11.菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数比为1：2．⑴求菱形ABCD的对角线的长；⑵求菱形ABCD的面积．12.菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证：OE＝OF【课后作业】13．菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm，则它的周长为（ ）． A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm14.已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．15.四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长。16.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1)对角线AC的长度; (2).菱形的面积17.已知，如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD。求证：四边形ABCD是矩形。菱形的判定
学习目标 理解并掌握菱形两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；经历菱形的判定方法的探索与综合应用，提高观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
导 学 过 程
【课前自学】□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ①若AB=AD，则□ABCD是 形； ②若AC=BD，则□ABCD是 形；③若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； ④若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。【范例学习】例1. 如图，□ ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5，AO=4，BO=3.求证:四边形ABCD是菱形.例2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形。【课堂达标】2.下列命题中正确的是 （ ）A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形1.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．2.已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 3.如图，菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则S菱形ABCD= cm2．4.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2㎝，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为 cm．3.已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，DF∥AC．试判断四边形AFED的形状，并加以证明．4.已知：如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。8.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．求证：（1）AD＝CE；（2）四边形ADCE是菱形．【课后作业】6.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，并且AB=9，OB=6，OA=3.求证：（1）AC⊥BD （2）□ABCD是菱形吗？说说你的理由. （3）求四边形ABCD的面积.7、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：EF⊥ADRu 9.如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于E，F，O.Qi 求证：四边形AFCE是菱形．
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2题 3题 4题 5题正方形性质及其判定
学习目标 1．理解正方形的定义, 掌握正方形的性质定理和判定定理；2．能运用正方形的性质和判定进行简单的计算与证明
导 学 过 程
【课前自学】1、正方形具有而一般菱形不具有的性质是 （ ）A. 四条边都相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线相等 D. 每一条对角线平分一组对角2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是 （ ）A. 四个角相等 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等3、已知一正方形的对角线长为6cm,则它的边长为_______。【范例解析】例1、如图，正方形ABCD中，两对角线交于O,E是AC上一点，CE=AB， 则∠ACB=__∠DOC=___,∠BEC=____,∠EBO=_____例2、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别是E,F。求证： 四边形CFDE是正方形。例3、 如图,已知E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点,且AE＝BF＝CG＝DH。求证：四边形EFGH为正方形【课堂达标】1、已知一个正方形的边长为2cm,则对角线长为______。2、若正方形的一条对角线长为4cm,则正方形的周长为______,面积为 _______；对角线的交点到边的距离为_______。3、如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形 的中心,则阴影部分的面积是 4、如图,在正方形ABCD中,∠DAE＝25°,AE交对角线BD于E点,那么∠BEC等于（ ）A、45° B、60° C、70° D、75°5、如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的处,点A对应点为,且=3,求CN的长. 【课后作业】6.顺次连接正方形各边中点的连线，得到的四边形是__________。请自己写出已知、求证，画出图形来证明。7、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG.观察猜想BE与DG之间的大小关系与位置关系，并证明你猜想的结论8、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并证明．
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D平行四边形
学习目标 理解平行四边形与特殊的平行四边形的性质与判定，并能综合运用这些定理解决实际问题；
导 学 过 程
【课前导学】
. 平行四边形与特殊的平行四边形的性质与判定：
平行四边形 矩形 菱形 正方形
性质 边
角
对角线
判定
对称性 只是中心对称图形 既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积
【经典例题】
类型一、平行四边形的性质与判定
已知如图所示，D，E分别为AB，BC的中点，CD=DB，点F在AC的延长线上，∠FEC=∠B．求证：CF=DE．
例2. 如图，已知在平行四边形ABCD 中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF＝60 o，CE=3cm，FC=1cm，求AB、BC的长及ABCD面积.
类型二、矩形、菱形、正方形的性质与判定
例3、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F。
求证：四边形AFCE是菱形。
例4、如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE：BE=1：3，OF=4，求∠ADB的度数和BD的长．
例5、如图所示，在Rt△ABC中，CF为直角的平分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是怎样的四边形，为什么？
【课后作业】
1.已知在□ ABCD中,AB=14,BC=16,则此平行四边形的周长为 .
2.已知菱形的两条对角线长为12和6,那么这个菱形的面积为 .
3.如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是_______.
4、园艺师欲用40cm长的一段绳子，围出一块平行四边形的苗圃，使长边与短边之比为3 ：2，求长边的长度。
5、如图，四边形ABCD中，∠1=∠2=90°，AB=DC，试说明四边形ABCD是怎样的四边形。
6、顺次连接菱形的四个边的中点，组成的四边形是___________,请证明你的结论.
A
D
2
1
C
B
