4.3 公式法（2）同步练习

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4.3 公式法（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式 分解因式 ,这种分解因式 的方法叫做运用公式法．
２．形如a２＋２ab＋b２或a２－２ab＋b２ 的式子称为完全平方式;完全平方公式:a２＋２ab＋b２＝ (a＋b)２ ,a２－２ab＋b２＝(a－b)２ ．能运用完全平方公式分解因式的条件:①三项式;②两项可化为两个数(或整式)的平方;③另一项为这两个数(或整式)积的２倍(或－２倍)．
３．分解因式的一般步骤: (１)若多项式各项有公因式,应先提取公因式 ．(２)若多项式有两项,应考虑用平方差公式分解;若多项式有三项,应考虑用完全平方公式分解．(３)分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．下列各式是完全平方式的是（ ）
A. B. C. D.
2．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（　　）
A. ①④ B. ①② C. ③④ D. ②③
3．a是有理数，则整式a （a -2）-2a +4的值（ ）
A. 不是负数 B. 恒为正数 C. 恒为负数 D. 不等于0
4．下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ）
A. B. C. D.
5．若64x2+axy+y2是一个完全平方式，那么a的值应该是（　　）
A. 8 B. 16 C. －16 D. 16或－16
6．已知能运用完全平方公式分解因式，则的值为（ ）
A. 12 B. C. 24 D.
二、填空题
7．在括号内填上适当的因式：
（1）=（______）； （2）=（_____）
（3）（_____）=(x+__) （4）（____）+9n =（_____）
8．若|a﹣2|+b2﹣2b+1=0，则a=__，b=__．
9．分解因式： = ___________________.
10．若a2+b2﹣2a+4b+5=0，则2a+b=_________________．
11．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式________．
三、解答题
12．如果多项式x2-kx+9能用公式法分解因式，则k的值是多少？
13．因式分解：
（1）；
（2） ；
（3）；
（4）．
14．利用因式分解计算:
(1)29×20.16+72×20.16-20.16;
(2) ;
(3)1012+101×198+992.
15．求证:对于任意正整数n,多项式３n＋２ －２n＋２ ＋３n －２n 一定是１０的倍数．
16．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）△ABC三边，，满足，判断△ABC的形状．
17. 阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如： ＝
＝
＝＝
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程：
老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．
参考答案
1．D
【解析】试题解析：A、应为x2+2x+1，故本选项错误；
B、应为9+x2-6x，故本选项错误；
C、应为x2+2xy+y2，故本选项错误；
D、x2-x+=（x-）2，故本选项正确．
故选D．
2．A
【解析】∵①2x2﹣x=x(2x-1)，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=(x﹣3)2，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4不能因式分解，④﹣4x2﹣1+4x=-(2x-1)2；
∴①和③含有相同的因式(2x-1).
故选A.
3．A
【解析】a （a -2）-2a +4=a4-2a2-2a +4= a4-4a2+4=(a2-2)2≥0,
故选A.
点睛：本题考查了完全平方公式法因式分解及偶次方的非负性，因为a （a -2）-2a +4分解因式后得(a2-2)2，而(a2-2)2≥0，所以选A.
4．C
【解析】选项A，能用平方差公式因式分解；选项B，不能用完全平方公式因式分解；选项C，能用完全平方公式因式分解；选项D，不能够因式分解，故选C.
5．D
【解析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到a的值.
解：∵64x2+axy+y2是一个完全平方式，
∴a=±16,
故选D.
“点睛”此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
6．D
【解析】试题解析：由于（3x±4y）2=9x2±24xy+16y2=9x2-mxy+16y2，
∴m=±24．
故选D．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求掌握完全平方公式，并熟悉其特点．
7． （1）5x+1; （2）b-1 （3）4, 2 （4）±12mn; 2m±3n;
【解析】试题解析：（1）25x2+10x+1=（5x+1）2；
（2）1-2b+b2=（b-1）2
（3）x2+4x+4=（x+2）2；
（4）4m2+（±12mn）+9n2=（2m±3n）2．
故答案为：（5x+1），（b-1），4，2，±12mn，（2m±3n）．
8． 2 1
【解析】∵|a﹣2|+b2﹣2b+1=0，
∴|a﹣2|+(b-1)2=0，
∴a-2=0,b-1=0,
∴a=2,b=1.
9．(2m－3n)2
【解析】直接运用完全平方公式分解因式即可，即原式=(2m－3n)2.
10．0
【解析】解：由题意得：a2+b2﹣2a+4b+5=0
a2﹣2a+1+b2+4b+4=0
即：（a﹣1）2+（b+2）2=0，
由非负数的性质得a=1，b=﹣2．则2a+b=0．故答案为：0；
点睛：本题考查了配方法的应用，解题的关健在于要理解偶次方是非负数．当两个偶次方相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
11．a2+2ab+b2=（a+b）2
【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，
所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．
点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．
12．k=±6
【解析】试题分析：根据题意判断出题目中的多项式为完全平方式，然后可根据完全平方式计算即可.
试题解析：∵多项式x2-kx+9能用公式法分解因式，并且它有三项，
∴它是一个完全平方式，
∴这两个数是3、x，
∴k=±2×3=±6
13．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】试题分析：（1）先提取公因式2y，再运用完全平方公式进行分解即可；
（2）先提取公因式（x-y），再运用平方差公式进行分解即可；
（3）直接运用平方差公式进行分解即可；
（4）先运用完全平方公式分解，然后再运用平方差公式分解即可.
试题解析：（1）
=
=
（2）
=
=
（3）
=
=
（4）
=
=
=
14．（1）2 016；（2）；（3）40 000
【解析】试题分析： 提取公因式法.
平方差公式.
完全平方公式.
试题解析： (1)原式=20.16×(29+72-1)=20.16×100=2 016;
(2)原式=
=100×;
(3)原式=1012+2×101×99+992
=(101+99)2=2002=40000.
15. 解： ３n＋２－２n＋２＋３n －２n ＝(３n＋２＋３n )－(２n＋２＋２n )
＝３n (３２＋１)－２n (２２＋１)
＝１０×３n －５×２n
＝１０×３n －１０×２n－１
＝１０(３n －２n－１), ∵n为正整数,
∴３n －２n－１为整数,
∴３n＋２－２n＋２＋３n －２n 一定是１０的倍数．
16．(1) （a + b﹣2）（a﹣b﹣2）； (2) △ABC是等腰三角形．
【解析】
试题分析：（1）首先将前两项组合，利用平方差公式分解因式，进而利用提公因式分解因式得出即可；
（2）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（3）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
试题解析：（1）a2﹣4 a﹣b2+4
= a 2﹣4 a +4﹣b 2
=（a﹣2）2﹣b 2
=（a + b﹣2）（a﹣b﹣2）；
（2）a 2﹣a b﹣a c + b c =0，
∴a 2﹣a b﹣（a c﹣b c）=0，
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，
∴（a﹣b）（a﹣c）=0，
∴a﹣b =0，或者a﹣c =0，
即：a = b，或者a =c
∴△ABC是等腰三角形．
17．（1） ；（2）；（3）见解析
【解析】试题分析：（1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；
（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
试题解析：解：（1）
=
=
（2）
=
=
=
=
（3）证明：
=
=
∵≥0， ≥0，
∴．
∴x，y取任何实数时，多项式的值总是正数．
点睛：本题考查了配方法，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2配方是解题关键．
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