第4章 因式分解单元检测提高卷(含解析)

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第4章因式分解单元检测提高卷
　班级__________姓名____________总分___________
一、选择题
1．下列各式计算正确的是（ ）
A. (x＋2)(x－5)＝x2－2x－3 B. (x＋3)(x－)＝x2＋x－1
C. (x－)(x＋)＝x2－x－ D. (x－2)(－x－2)＝x2－4
2．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（　　）
A. ﹣12 B. ﹣32 C. 38 D. 72
3．下列多项式：①x2＋y2；②－x2－4y2；③－1＋a2；④0.081a2－b2，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4．在算式(x＋m)(x－n)的积中不含x的一次项，则m，n一定满足（ ）
A. 互为倒数 B. 互为相反数 C. 相等 D. mn＝0
5．[（c2)2+（a2)2][（c2)2-（a2)2]等于（ ）
A. c -a2 B. 4c2 -a8 C. c8 -a8 D. c2 -a4
6．化简(－2)2n＋1＋2(－2)2n的结果是（ ）
A. 0 B. －22n＋1 C. 22n＋1 D. 22n
7．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是( )
A. 4x2－4x＋1＝(2x－1)2 B. x3－x＝x(x2－1)
C. x2y－xy2＝xy(x－y) D. x2－y2＝(x＋y)(x－y)
8．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )
A. 8，1 B. 16，2 C. 24，3 D. 64，8
9．如图，设k＝ (a＞b＞0)，则有（ ）
A. k＞2 B. 1＜k＜2 C. ＜k＜1 D. 0＜k＜
10．因式分解x2－ax＋b，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了b的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)，那么x2＋ax＋b分解因式正确的结果为（ ）
A. (x－2)(x＋3) B. (x＋2)(x－3) C. (x－2)(x－3) D. (x＋2)(x＋3)
二、填空题
11．如果代数式2a2＋3a＋1的值等于6，那么代数式6a2＋9a－5＝________．
12．一个长方形的面积为a3－2a2＋a，宽为a，则长方形的长为___________.
13．若a2－b2＝4，则(a－b)2(a＋b)2＝__________.
14．比邻星是除太阳外距地球最近的恒星，它距地球约3.99×1016米，若用速度是3×107米/秒的宇航器向这颗恒星进发，一个20岁的小伙子到达比邻星时的年龄是____________岁(结果保留整数)．
15．设a＝192×918，b＝8882－302，c＝1 0532－7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是________________．
16．若x＋y＝2，则代数式x2＋xy＋y2＝________．
17．已知实数a，b满足：a2+1=，b2+1=，则2015|a-b|=______．
三、解答题
18．分解因式：
(1)a2x2y－axy2；
(2)－14abc－7ab＋49ab2c；
(3)9(a－b)2－16(a＋b)2；
(4)3x3－12x2y＋12xy2.
19．如图所示，有一位狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给李老汉种植．今年，他对李老汉说：“我把你这块地一边减少4米，另一边增加4米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”李老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应．同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？
20．已知a，b，c是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0.你能判断△ABC的形状吗？请说明理由．
21．不解方程组，求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值。
22．商贸大楼共有四层，第一层有商品(a＋b)2种，第二层有商品a(a＋b)种，第三层有商品b(a＋b)种，第四层有商品(b＋a)2种．若a＋b＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？
23．阅读题：因式分解：1+x+x（x+1）+x（x+1）2
解：原式=（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）[（1+x）+x（1+x）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3．
（1）本题提取公因式几次？
（2）若将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式多少次？结果是什么？
24．(12分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．
(1)28是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
(3)根据上面的提示，判断2 012是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由；
(4)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗？为什么？
25．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
参考答案
1．C
【解析】A. (x＋2)(x－5)＝x2－3x－10，原计算错误；
B. (x＋3)(x－)＝x2＋x－1，原计算错误；
C. (x－)(x＋)＝x2－x－，正确；
D. (x－2)(－x－2)＝-x2+4，原计算错误.
故选C.
2．A
【解析】试题分析：首先要对原式正确因式分解，然后进行对号入座，即可得出字母的值．
解：原式=（13x﹣17）（19x﹣31﹣11x+23）=（13x﹣17）（8x﹣8），
∵可以分解成（ax+b）（8x+c），
∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，
∴a+b+c=﹣12．
故选A．
考点：因式分解的意义；因式分解-提公因式法．
点评：各项有公因式时，要先考虑提取公因式．
3．B
【解析】能用平方差公式分解因式的多项式的特征是两个数的平方差，所以①②不能，③④能.
故选B.
4．C
【解析】因为(x＋m)(x－n)=x2+(m-n)x-mn，所以m-n=0，则m=n.
故选C.
5．C
【解析】根据平方差公式和幂的乘方法则可得：[（c2)2+（a2)2][（c2)2-（a2)2]= =c8 -a8，故选C.
点睛：本题考查了平方差公式的运用，两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差，即(a+b)(a-b)=a2-b2，正确运用平方差公式是解本题的关键．解题时注意运算顺序.
6．A
【解析】(－2)2n＋1＋2(－2)2n
=(-2)2n(-2+2)
=0.
故选A.
7．B
【解析】B选项中，(x2－1)仍能继续运用平方差公式，最后结果应为x（x+1）（x-1）；
故选B．
8．B
【解析】由（x2+4）（x+2）（x-▲）得出▲=2，
则（x2+4）（x+2）（x-2）=（x2+4）（x2-4）=x4-16，则■=16．
故选B．
【点睛】此题考查了学生用平方差公式分解因式的掌握情况，灵活性比较强．
9．B
【解析】由题意可得： ，
∴，
又∵，
∴，
∴，即.
故选C.
10．B
【解析】因为(x＋6)(x－1)=x2+5x-6，所以b=-6；
因为(x－2)(x＋1)=x2-x-2，所以a=-1.
所以x2＋ax＋b=x2-x-6=(x-3)(x+2).
故选B.
点睛：本题主要考查了多项式的乘法和因式分解，看错了a，说明b是正确的，所以将看错了a的式子展开后，可得到b的值，同理得到a的值，再把a，b的值代入到x2＋ax＋b中分解因式.
11．10
【解析】由题意列出关系式，求出2a2+3a的值，将所求式子变形后，把2a2+3a的值代入计算即可求出值．
解：∵2a2+3a+1=6，即2a2+3a=5，
∴6a2+9a+5
=3（2a2+3a）+5
=20．
故答案为：20．
12．(a－1)2
【解析】根据题意得，(a3－2a2＋a)÷a=a2-2a+1=(a-1)2.
故答案为(a-1)2.
13．16
【解析】(a－b)2(a＋b)2=[(a-b)(a+b)]2=(a2-b2)2=42=16.
故答案为16.
14．62
【解析】20+3.99×1016÷(3×107×60×60×24×365)≈62.
故答案为62.
点睛：本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是要注意时间单位之间的进率，1年=365天，1天=24小时，1小时=60分，1分=60秒，根据路程=速度×时间计算出宇航器1年所走的路程.
15．a＜c＜b
【解析】a=192×918=361×918，
b=8882－302=(888 30)×(888+30)=858×918，
c=10532－7472=(1053+747)×(1053 747)=1800×306=600×918，
所以a故答案为：a16．1
【解析】因为x2＋xy＋y2＝，x＋y＝2，
所以x2＋xy＋y2＝.
故答案是`1.
17．1
【解析】∵a2+1=，b2+1=，
∴a2-b2=-,a＞0，b＞0，
∴（a-b）（a+b）= ，
∴（a-b）（a+b）-=0，即（a-b）（a+b+）=0，
∵a＞0，b＞0，ab＞0，
∴a-b=0，
∴2015|a-b|=20150=1.
18．（1）axy(ax－y)．（2）7ab(7bc－2c－1)．（3）－(a＋7b)(7a＋b)．（4）3x(x－2y)2.
【解析】试题分析：
（1）提取公因式 axy；
（2）提公因式7ab；
（3）用平方差公式分解因式；
（4）先提取公因式3x，再用完全平方公式分解因式.
试题解析：
(1)a2x2y－axy2；
原式＝axy(ax－y)．
(2)－14abc－7ab＋49ab2c；
原式＝7ab(7bc－2c－1)．
(3)9(a－b)2－16(a＋b)2；
原式＝－(a＋7b)(7a＋b)．
(4)3x3－12x2y＋12xy2.
原式＝3x(x－2y)2.
19．李老汉吃亏了．
【解析】试题分析：根据赵老汉土地划分前后土地的长宽，分别表示面积，再作差．
试题解析：赵老汉吃亏了．
∵a2-（a+5）（a-5）=a2-（a2-25）=25，
∴与原来相比，赵老汉的土地面积减少了25米2，
即赵老汉吃亏了．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
20．△ABC为等边三角形．理由见解析.
【解析】试题分析：首先分组因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
试题解析：由a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，
得：a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，即（a-b）2+（b-c）2=0，
∴a-b=0，b-c=0，
∴a=b，b=c，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
考点：因式分解的应用．
21．3
【解析】试题分析：原式变形后提取公因式化简，将方程组变形后代入计算即可求出值；
试题解析：
原式＝(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]＝(x－3y)2(2x＋y)．
∵ ，
∴原式＝12×6＝6.
22．300
【解析】试题分析：先根据题意列出算式a（a+b）+b（a+b）+（a+b）2，再将a+b=10代入求出即可．
试题解析：
解：(a＋b)2＋a(a＋b)＋b(a＋b)＋(b＋a)2
＝2(a＋b)2＋(a＋b)(a＋b)
＝2(a＋b)2＋(a＋b)2
＝3(a＋b)2.
因为a＋b＝10，所以3(a＋b)2＝300.
答：这座商贸大楼共有商品300种．
23．（1）共提取了两次公因式；（2）将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式n次，结果是（x+1）n+1．
【解析】试题分析：（1）观察题目中所给的解题过程，即可得结论；（2）根据题目中所给的解题方法，类比得出规律即可求解.
试题解析：
（1）共提取了两次公因式；
（2）将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式n次，结果是（x+1）n+1．
点睛：本题主要考查了因式分解的应用，观察所给的解题过程，从中获得规律是解题的关键，本题还考查了类比的数学数学.
24．(1)是．(2)是．(3)是．(4)不是．
【解析】试题分析：
（1）解方程28=(2n+2)2-(2n)2，看n是不是整数；
（2）计算(2k＋2)2－(2k)2的结果是不是4的倍数；
（3）根据(3)中的规律求解；
（4）比较两个连续偶数平方差与两个连续奇数的平方差(取正数)的形式.
(1)是．∵28＝82－62，∴28是神秘数．
(2)是．∵(2k＋2)2－(2k)2＝8k＋4＝4(2k＋1)，
故两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．
(3)是，∵2 012＝4×503，故2k＋1＝503，k＝251.
∴这两个数为2k＋2＝504，2k＝502，
即2 012＝5042－5022.
(4)不是．
∵两个连续奇数的平方差可表示为(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k＝4·2k(k为正整数)，
∴两个连续奇数的平方差是4的偶数倍．
点睛：本题主要考查了整式的混合运算和阅读理解的能力，一般偶数表示为2k(k为整数)，奇数表示为2k+1(k为整数)，两个连续偶数表示为2k，2k+2(k为偶数)，解题的关键是理解“神秘数”的构成.
25．(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.
【解析】试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．
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