反比例函数的意义
课题
26．1．1反比例函数的意义
课型
新授
教学
目标
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式
3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想
4、经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数概念以及意义。
5、培养观察、推理、分析能力，体验数形结合的数学思想，认识反比例函数的应用价值。
重点
理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式
难点
理解反比例函数的概念
难点
突破
方法
（1）在引入反比例函数的概念时，适当复习正比例函数、一次函数知识，以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解。
（2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式，等号左边是函数y，等号右边是一个分式，自变量x在分母上，且x的指数是1，分子是不为0的常数k；看自变量x的取值范围，由于x在分母上，故取x≠0的一切实数；看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y＝kx（k≠0），比较二者解析式的相同点和不同点。
（3）（k≠0）还可以写成（k≠0）或xy＝k（k≠0）的形式
教学过程与师生互动
一、创设情境、导入新课
1．回忆一下什么是函数？什么是正比例函数、什么是一次函数？它们的一般形式是怎样的？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y ，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
一般地，形如y=kx+b(k、b是常数， k≠0）的函数，叫做一次函数。
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
2．思考：下列问题中，变量间的对应关系可以用怎样的函数关系表示？这些函数有什么共同特点？
1、京沪铁路全程为1463km，某次列车的平均速度为v（km/h）随此次列车的全程运行时间t（h）的变化而变化。
2、某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y(单位:m)随宽x (单位:m)的变化而变化。
3、已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积s(单位:平方千米/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化。
学生小组合作写出函数关系式并讨论，（找出共同点）再进行全班性的问答或交流，学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式（教师组织学生讨论,提问学生）
其中t是自变量，v是t的函数；
x是自变量，y是x的函数；
n是自变量，s是n的函数；
上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数。
【反比例函数概念】如果两个变量x，y之间的关系可以表示成的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x的取值范围是不等于零的一切实数。
学生探究反比例函数变量的相依关系，领会其概念。
学生小组合作将变形：
二、联系生活，丰富联想
完成课本P3练习1：
学生先独立思考，在进行全班交流。
教师提出问题，关注学生能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系；
能否积极主动地参与小组活动；能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念。
三、举例应用 创新提高：
例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数
（1） （2） （3）xy＝21 （4）
（5）（6） （7）y＝x－4
学生独立思考，然后小组合作交流。教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导。
分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（k为常数，k≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式
例2：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6
（1）写出y与x之间的函数解析式：
（2）求当x=4时y的值。
这是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。
分析：因为y是x的反比例函数，所以先设，再把x＝2和y＝6代入上式求出常数k，即利用了待定系数法确定函数解析式。
四、随堂练习
1、课本3练习2、3
2、同步学习
小结：
反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解。在概念的形成过程中，从感性认识到理发认识一旦建立概念，即已摆脱其原型成为数学对象。反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象。
教学反思
反比例函数的图象和性质
课题
26．1．2反比例函数的图象和性质（1）
课型
新授
教学
目标
1、体会并了解反比例函数的图象的意义
2、能描点画出反比例函数的图象
3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质。
4、结合正比例函数y＝kx（k≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容注意让学生体会数形结合的思想方法。
5、以积极探索的思想，逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。
重点
会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。
难点
探索并掌握反比例函数的主要性质。
教学过程与师生互动
一：课堂引入
提问： 1．一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y＝kx（k≠0）呢？
2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？
方法与步骤——利用描点作图；
列表：取自变量x的哪些值? ——x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。
描点：依据什么(数据、方法)找点?
连线：在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来。
二：探索新知：
问题：我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，那么反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？
尝试 用描点法来画出反比例函数的图象．
探索活动【例2】 画出反比例函数与的图象．
解：1、列表（完成课本表格中的空白）
2、描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．
3、连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．
注意强调：（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数
无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值；（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大
的顺序连接，切忌画成折线；（4）由于x≠0，k≠0，
所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，
只是无限靠近两坐标轴
思考：反比例函数y=和y=-的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？
做一做 把y=和y=-的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称
归纳 反比例函数y=和y=-的图象的共同特征：（1）它们都由两条曲线组成．（2）随着的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）．（3）反比例函数的图象属于双曲线．
此外，y=的图象和y=-的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．
做一做 ：课本练习
在平面直角坐标系中画出反比例函数y=和y=-的图象．学生画图
交流 两个函数图象都用描点法画出？
【思考】 由y=和y=-的图象及y=和y=-的图象知道，
（1）它们有什么共同特征和不同点？
（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？
（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？
猜想 反比例函数y=（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？
【归纳】反比例函数图象的特征及性质：
（1）反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小．
（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大．
三：应用迁移、巩固提高：
例题 指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=（k≠0）在同一坐标系中的图象 （ ）
四：随堂练习
1、课本练习1、2
2、同步学习 自我尝试
总结：比较正比例函数和反比例函数的性质
正比例函数
反比例函数
解析式
图像
直线
双曲线
位置
k＞0，一、三象限；
k＜0，二、四象限
k＞0，一、三象限
k＜0，二、四象限
增减性
k＞0，y随x的增大而增大
k＜0，y随x的增大而减小
k＞0，在每个象限y随x的增大而减小
k＜0，在每个象限y随x的增大而增大
教学反思
课题
26．1．2反比例函数的图象和性质（2）
课型
新授
教学
目标
1．使学生进一步理解掌握反比例函数及图象与性质
2．灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法
4．经历观察、分析，交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力。
5．提高学生的观察、分析的能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领悟研究函数的一般要求。
重点
理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题
难点
学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质。
难点
突破
方法
在前一节的基础上，可适当增加一些较综合的题目，帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质，要让学生学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方法，以便更好的理解数形结合的思想，最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。
教学过程与师生互动
一：复习引入：
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？
（一）提出问题、创设情境
问题：已知点（2，5）在反比例函数y=的图象上，试判断点（-5，-2）是否也在此图象上．题中的？是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下？代表什么数，并解答此题目．
（二）合作交流
探究 点（2，5）在反比例函数图象上，其坐标当然满足函数解析式，因此，代入后易求得？=10，即反比例函数关系式为y=，再当x=-5时，代入易求得y=-2，说明点（-5，-2）适合此函数解析式，进而说明点（-5，-2）一定在其函数图象上
三、应用迁移，巩固提高
【例3】已知反比例函数的图象经过点A（2，6）
（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大而如何变化？
（2）点B（3，4）、C（-2，-4）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？
例3一是让学生理解点在图象上的含义，掌握如何用待定系数法去求解析式，复习巩固反比例函数的意义；二是通过函数解析式去分析图象及性质，由“数”到“形”，体会数形结合思想，加深学生对反比例函数图象和性质的理解。
分析：反比例函数的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号，因此要先求常数k，而题中已知图象经过点A（2，6），即表明把A点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k，这样解析式也就确定了。
解：（1）设这个反比例函数为y=，因为它过点A（2，6），所以把坐标代入得6=，解得k=12，此反比例函数式为y=，又因k=12>0，所以图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小．
（2）把点B、C、D的坐标分别代入y=，知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上．
【例4】如图是反比例函数的图像的一支，根据图像回答下列问题：
（1）图像的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）在这个函数图像的某一支上任取点A(a,b)和点B(a',b')。如果a
例4是已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的变化趋势分析函数值y随x的变化情况，此过程是由“形”到“数”，目的是为了提高学生从函数图象中获取信息的能力，加深对函数图象及性质的理解。
分析：反比例函数的图像只有两种可能位于第一、三象限，或位于第二、四象限，这个函数的图像一支位于第一象限，另一支比位于第三象限。
解：（1）这个函数的图像一支在第一象限，另一支在第三象限，
所以 m-5>0
解得 m>5
（2）因为m-5>0，
在这个函数图像的任一支上，y随x的增大而减小，
所以当时
三：随堂练习：
课本练习1、2
同步学习 自我尝试
四：课后作业
同步学习 开放性作业
总结：
反比例函数的性质及运用
（1）k的符号决定图象所在象限．
（2）在每一象限内，y随x的变化情况，在不同象限，不能运用此性质．
（3）从反比例函数y=的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S△=│k│．
（4）性质与图象在涉及点的坐标，确定解析式方面的运用．
教学反思
26.2 实际问题与反比例函数
课题
26.2 实际问题与反比例函数（一）
课型
新授
教学
目标
1、能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题。
2、经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程发展学生分析问题，解决问题的能力。
3、经历观察、分析讨论法，交流的过程，逐步提高从实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型的过程，认识反比例函数性质的应用方法。
4、从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识。体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，体验数学的实用性，提高学数学的兴趣。
重点
运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。
难点
从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，注意分析过程，渗透转化的数学思想。
难点
突破
方法
用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。
教学过程与师生行为
一、提问引入、创设情景
【例1】市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室。
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深？
（3）当施工队施工的计划掘进到地下15m时，碰到了岩石，为了节约资金，公司临时改设计，把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积改为多少才能满足需要。（保留两位小数）？
例1数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。让学生从实际问题中寻找变量之间的关系．而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题．
分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积 ＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）则是与（2）相反。
先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合作完成。
解：（1）根据圆柱的体积公式，有S·d＝104．
变形得 S＝．
所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数．
（2）把S=500代入S＝，得
500＝
解得 d=20
即施工队施工时应该向下挖进20米．
（3）根据题意，把d＝15代入S＝，得
S＝≈666.67．
当储存室的探为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要．
当我们把这个“煤气公司修建地下煤气储存室”的问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题变得迎刃而解二：应用举例
【例2】码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间．
(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?
学生先独立思考，然后小组交流合作．教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系
例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。
引导学生分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少？
从题设中，不难发现：v和t之间的函数关系，实际上是卸货速度与卸货时间之间的关系．根据卸货速度＝货物的总量÷卸货时间，就可得到v和t的函数关系．但货物的总量题中并未直接告诉，如何求得．
让学生回答：题中告诉了我们码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间，根据装货速度×装货时间＝货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量，即货物的总量为30×8＝240吨．
下面同学们来自己完成．
解：
三：课堂练习：
课本练习1
两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助
解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm，，漏斗的深为dcm，则容积为1升＝l立方分米＝1000立方厘米．
所以，S·d＝1000， S＝．
(2)根据题意把S＝100cm2代入S＝,中，得
100＝． d＝30(cm)．
所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm．
2、同步学习
四：课后作业
同步学习
小结：
本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以是什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想
课题
26.2 实际问题与反比例函数（二）
课型
新授
教学
目标
1、学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题．
2、感受实际问题的探索方法，培养化归的数学思想和分析问题的能力
3、体验函数思想在解决实际问题中的应用，养成用数学的良好习惯．
重点
用反比例函数解决实际问题．
难点
构建反比例函数的数学模型．
难点
突破
方法
本节的两个例题与学生的日常生活联系紧密，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，不但能巩固所学的知识，还能提高学生学习数学的兴趣。本节的教学，要引导学生从已有的生活经验出发，按照上一节所讲的基本思路去分析、解决实际问题，注意体会数形结合及转化的思想方法，要告诉学生充分利用函数图象的直观性，这对分析和解决实际问题很有帮助。
教学过程与师生行为
（一）创设情境，导入新课
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡．也可这样描述：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．
为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！
（二）合作交流，解读探究
【例3】小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200N和0.5m．
（1）动力F和动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？
（2）若想使动力F不超过第（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
【分析】分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F是自变量动力臂的反比例函数，当＝1.5时，代入解析式中求F的值；（2）问要利用反比例函数的性质，越大F越小，先求出当F＝200时，其相应的值的大小，从而得出结果。
解： （1）由杠杆定律有
FL=1200×0.5
得函数解析式 F=，
当L=1.5时， F==400．
（2）由（1）可知 FL=600
得函数解析式L=
当F=×400=200时， =3（m），
∴要加长3-1.5=1.5（m）．
若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米
思考 你能由此题，利用反比例函数知识解释：为什么使用撬棍时，动力臂越长越省力？
【例4】一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆，已知电压为220伏，这个用电器的电路图如上图所示。
（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？
（2）用电器输出功率的范围多大？
可先由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用，教师不断地引导学生完成。
分析：根据物理公式PR＝U2，当电压U一定时，输出功率P是电阻R的反比例函数，则，（2）问中是已知自变量R的取值范围，即110≤R≤220，求函数P的取值范围，根据反比例函数的性质，电阻越大则功率越小，得220≤P≤440
解：（1）根据电学知识，当U=220时，有①
即输出功率P是电阻R的反比例函数，函数式为P=
（2）从①式可以看出，电阻越大，功率越小。
把电阻的最小值R=110代入①式，得到输出功率的最大值：P=
把电阻的最大值R=220代入①式，则得到输出功率的最小值P=；
因此用电器的输出功率在220瓦到440瓦之间。
结合例4，想一想为什么收音机的音量可以调节，台灯的亮度及风扇的转速可以调节？音量、亮度、及转速随 的减小而增大，随 的增大而减小。
利用反比例函数可以解决实际生活中的很多问题，大大地方便我们的生活。
课堂练习：
课本练习
同步学习
小结．
反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础．用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系．
课后作业
同步学习
教学反思
反比例函数
教学
目标
通过知识点与相应题目相结合，进一步巩固本章知识点；
2、体会反比例函数的意义，会根据已知条件确定反比例函数表达式；
3、会画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质；
4、能用反比例函数解决某些实际问题。
重点
（1）反比例函数的概念；（2）反比例函数的图象和性质；
（3）反比例函数的图像和性质在实际问题中的运用。
难点
运用函数的性质和图像解综合题，要善于识别图形，勤于思考，获取有用的信息，灵活的运用数学思想方法。
教学过程与师生行为
一、知识回顾
1、什么是反比例函数？
一般地，形如 ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）自变量 x 次数不是 1；x 与 y 的积是非零常数， 即 xy = k，k = 0；
（3）解析式有二种常见的表达形式。和（）
在反比例函数中，两个变量x、y和常数均不能为0，另外要注意的是实际问题中自变量的取值范围；变式k=xy反比例函数中的常数是就是两个变量x、y的乘积，这一点在求反比例函数解析式时要经常运用．例1、（1）下列函数，① ②.
③ ④. ⑤ ⑥ ；
其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。
（2）如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数
（3）反比例函数的图象经过（—2，5）和（， ），
求（1）的值；（2）判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由。
（4）函数，其中与成正比例, 与成反比例，且当＝1时，＝1；＝3时，＝5．
求： （1）求关于的函数解析式；（2）当＝2时，的值．
2、你能回顾与总结反比例函数的图象性质与特征吗？（提问，学生答）
图象
形 状
图象是双曲线
位 置
当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内
当k<0时, 双曲线分别位于第二,四象限内
增减性
当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大
变化趋势
双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
对称性
双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.
面积不变性
任意一组变量的乘积是一个定值,
即xy=k
长方形面积 ︳m n︱ ＝︳K︱
例2、（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ．
（2）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是（ ）
A、 －1或1; B、小于的任意实数; C、－1; Ｄ、不能确定
（3正比例函数和反比例函数的图象有 个交点．
（4）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，），
则＝ ．
典型题型：反比例函数交点问题：
如图在坐标系中，直线与双曲线在第一象限交
与点A， 与x轴交于点C，AB垂直x轴，垂足为B，且S△AOB＝1
（1）求两个函数解析式；
（2）求△ABC的面积。
交流与探索
1）反比例函数的图象位于第( ) 象限
A、一二 B、一三 C、二三 D 、二四
2）若反比例函数 经过点A(m,-2m),则m的值为( )
A、 B、3 C、 D、±3
3）函数 的图象经过(2，-2)，则此函数的图象在平面直角坐标系中的第( ) 象限
A、一、三 B、三、四 C、一、二 D、二、四
4）已知反比例函数 的图象在第一、三象限，那么 m的取值范围是__________ 。
5）如反比例函数图象经过点(1，-2)，那么这个反比例函数的解析式__。
红 花 中 学 教（学）案 总课时:___________
学 科： 数学 年级： 九年级 执教人：
时间
月 日 第 周 第 课时
课题
第二十六章 反比例函数复习二
课型
复习
综合应用、创新提高：
灵活运用反比例函数的有关知识解决实际问题 运用反比例函数的有关知识去解决实际问题，首先要对实际问题进行观察、分析、抽象，从实际问题中寻找两个变量之间的关系，建立反比例函数模型，即把实际问题抽象成数学问题，再运用反比例函数的有关知识去解决这个数学问题．
例1 在函数y=的图象上有三点（-1，y1），（-，y2），（，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（D）
【解析】由于k=-2<0，所以此函数的图象在二、四象限，且在每个象限中函数值随着自变量值的增加而增加，根据所给出的三点的横坐标知道其中的两个点在第三象限，一个点在第四象限，那么在第四象限的纵坐标y最小，第二象限内的两个点，横坐标大的，其纵坐标也大，所以y1 【提升】 对于函数值与自变量值的对应关系，前提是在每个象限内，本题给出的三个点不在同一象限内，所以不能简单地用“y随x的增大而增大”，这是容易疏忽的地方．另外，本题也可由已知各点的自变量的值，求出相应的函数值来比较大小．
例2 如图所示，在反比例函数y=的图象上取一点B，过B作AB垂直x轴于点A，作BC垂直y轴于点C．
（1）求矩形OABC的面积S1； （2）作类似矩形OA1B1C1，求矩形OA1B1C1的面积S2； （3）你发现了什么？（4）利用（3）的结论解决：在y=的图象上有一点M，作MN垂直x轴于N点，MH垂直y轴于H，已知矩形OMNH面积为9，求解析式．
【提升】 对于函数y=，在其图象上任取一点，过这个点分别作x轴、y轴的垂线，它们与两条坐标轴围成的面积为定值│k│．
例3 如图所示是某个函数图象的一部分，根据图象回答下列问题：
（1）这个函数图象所反映的两个变量之间是怎样的函数关系？
（2）请你根据所给出的图象，举出一个合乎情理且符合图象所给出的情形的实际例子． （3）写出你所举的例子中两个变量的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（4）说出图象中A点在你所举例子中的实际意义．
解：（1）由图象知：两个变量成反比例函数关系．
（2）例如：路程一定时，速度与时间之间
（质量一定时，物体的体积与密度之间等）．
（3）v=，1≤t≤6（p=，1≤V≤6）
（4）当t=2时，v=3．
【提升】 反比例函数和其他数学知识一样，
都不是彼此孤立的，掌握反比例函数与其他知识
之间的内在联系，既有利于我们学好反比例函数和其他知识本身，更有利于提高我们综合运用数学知识解决问题的能力．同时“函数”内容的本身，就较好的体现了数形结合思想．
做做看：
1. 如图,点P是x轴上的一个动点,过点P作x轴
的垂线PQ交双曲线于点Q,连结OQ, 当点P
沿x轴正半方向运动时,Rt△QOP面积( )
A.逐渐增大 B.逐渐减小
C.保持不变 D.无法确定
2、如图，过双曲线y＝(k是常数，k＞0，x＞0)的图象上两点A、B分别
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则△AOC的面积S1和△BOD的面积S2
的大小关系为( )
A．S1>S2 B．S1＝S2
C．S13. 正比例函数与反比例函数的图象相交
于A,C两点ABX轴于B,CDX轴于 于D,
如图则四边形ABCD的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4、已知直线与某反比例函数图象的一个交点的横坐标为2。
⑴求这个反比例函数的关系式；
⑵在直角坐标系内画出这条直线和这个反比例函数的图象；
⑶试比较这两个函数性质的相似处与不同处；
⑷根据图象写出：使这两个函数值均为非负数且反比例函数大于正比例函数值的x的取值范围。
5、若反比例函数与一次函数
的图象都经过点A（，2）
（1）求点A的坐标；
（2）求一次函数的解析式；
（3）设O为坐标原点，若两个函数图像
的另一个交点为B，求△AOB的面积。
6、 如图,△P1OA1、△P2A1P2是等腰直角
三角形,点、在函数
的图象上,斜边、都在轴上,
则点的坐标是____________.
7、已知直线与x轴交于点A、与y轴交于点B、
与双曲线交于点C，CD⊥x轴于D；，
求：（1）双曲线的解析式。
（2）在双曲线上有一点E，使得EOC
为以O为顶角的顶点的等腰三角形直接
写出E点的坐标.
课堂小结
1、主要复习本章学生应知应会的概念、图像、性质、应用等内容；
2、充分利用“图象”这个载体，随时随地渗透数形结合的数学思想。
