探索勾股定理
课题
1.探索勾股定理（第1课时）
课型
探究课
教学目标
知识技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程．
数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
解决问题：1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维．
2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果．
情感态度：1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．
2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．
重点
重难点是探索和证明勾股定理.
难点
重难点是探索和证明勾股定理.
教学用具
教学环节
说 明
二次备课
新课导入
情景引入
如图：一块长约80 m、宽约60 m的长方形草坪，被几个不自觉
的学生沿对角线踏出了一条斜“路”，这种情况在生活中时有发
生.请问同学们：(中学生一步的距离大约0.5m)
这几位同学为什么不走正路，走斜“路”？ （2）你们知道走斜“路”比正路少走几步吗？
（第二个问题学生无法解决，意在激发学生学习新知识的兴趣）
课 程 讲 授
探索发现勾股定理
1．探究活动一
内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？（学生展示）
结论1：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
2．探究活动二
内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
（1）观察下面两幅图：
（2）填表：
A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
左图
右图
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（小组合作展示）
图1 图2 图3
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
3．议一议（先独立思考，后个人展示）
内容：（1）你能用直角三角形的边长，，来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）
勾股定理的简单应用
例2：如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？
后测达标
下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)
2、受台风影响，一棵9米高的树断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断后离地面有多高?
小结
小结梳理
知识：勾股定理：
方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
（2）“割、补、拼、接”法.
3．思想：（1） 特殊—一般—特殊；
（2） 数形结合思想．
作业布置
（七）作业布置
习题1.1 1、2、3、4
板书设计
1.探索勾股定理（第1课时）
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
课后反思
1探索勾股定理
课题
1探索勾股定理（第2课时）
课型
探究课
教学目标
知识技能：掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
过程方法：在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
情感态度和价值观：在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；
重点
用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点和难点.
难点
用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点和难点.
教学用具
制作四个全等直角三角形
教学环节
说 明
二次备课
复习
教师提出问题：
（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）
（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.
课 程 讲 授
活动1： （小组合作展示）
今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.
活动2：
学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：
图2
（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（先思考，后小组交流）；
（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？
活动3 ： 自主探究，完成验证二.
我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？
（三）勾股定理的简单应用
例1、议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
例2、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
例3、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB’C’D’的位置，连接CC’，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC’D’的面积证明勾股定理（小组合作交流展示）
课后达标
1.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________________
2.以直角三角形的两直角边为边长向外作正方形，所作的正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为_________________
（五）拓展延伸
1、在得出勾股定理时，我们知道以直角三角形三边为边长得到三个正方形，三个正方形的面积之间存在；若推广为以直角三角形三边为直径的半圆的面积，是否仍存在类似的结论呢？
2、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长
小结
知识上：
思想方法上：
作业布置
随堂练习1,、习题1.2 知识技能1 问题解决3 联系拓广5
板书设计
1探索勾股定理（第2课时）
课后反思
1.3 勾股定理的应用
课题
1.3 勾股定理的应用
课型
新授课
教学目标
知识技能：通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
过程与方法：在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模 的思想．
情感态度价值观：在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
重难点
利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点
教学用具
圆柱体纸筒 正方体盒子 长方体盒子
教学环节
说 明
二次备课
复习
新课导入
课 程 讲 授
（一）情景引入
活动1：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
（合作探究：学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．)
方法汇总：汇总了四种方案：
（1） （2） （3） （4）
（1）中A→B的路线长为：．
（2）中A→B的路线长为：>AB．
（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB．
（4）中A→B的路线长为：AB．
活动2：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，
AD边垂直于AB边吗？为什么？
小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD
边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
（二）简单应用
例1：甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？
例2：有一个高为1.5 m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？
当堂检测
如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
拓展延伸
如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，
现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同
同伴交流设计方案?
小结
学生畅谈收获：知识上和方法上的。
作业布置
知识技能1,2 问题解决 3,4,5
板书设计
1.3 勾股定理的应用
例1：甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？
例2：有一个高为1.5 m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？
课后反思
能得到直角三角形吗
课题
1.2 能得到直角三角形吗
课型
探究课
教学目标
知识与技能1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；
2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形；
过程与方法．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力；
情感态度价值观．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发 学生学数学、用数学的兴趣；
重点
理解勾股定理逆定理的具体内容
难点
探究勾股定理逆定理的过程
教学用具
教学环节
说 明
二次备课
复习
情境：1．直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？
2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
新课导入
活动1：请你画出以下列长度作为边的三角形(小组合作并展示）
（1）3,4,3 （2) 3,4,5 (3) 6,8,10 (4) 3,4,6
问题1 请你用量角器测量出上述三角形的最大内角
（1）__________ （2）___________ (3)___________ (4)______________
问题2 判断上述三角形的形状
（1）__________ （2）___________ (3)___________ (4)______________
问题3 请找出最长边的平方和其它两边平方和的关系
（1）__________ （2）___________ (3)___________ (4)______________
猜想：如果一个三角形的三边长a,b,c，满足，那么这个三角形是直角三角形
满足的三个正整数，称为勾股数。
辨误区 勾股定理的逆定理的条件
(1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”．
(2)当满足a2＋b2＝c2时，c是斜边，∠C是直角
课 程 讲 授
活动2 寻找勾股数的规律
1. 下列几组数是否为勾股数？说说你的理由。
（1） 9,12,15 （2） 5,12,13 （3） 8,15,17
2.如果将直角三角形的三条边扩大相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？
填写下表，并验证你所填的数是否满足“勾股数”（小组合作并展示）
2倍
3倍
4倍
3,4,5
6,8,10
5,12,13
15,36,39
8,15,17
32,60,68
3.根据你所验证的结果，你可以得到怎样的结论？
简单应用
例1 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 12 , BC=13，这个零件符合要求吗？
分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。
解：在△ABD中，
所以△ABD为直角三角形 ∠A =90°
在△BDC中,
所以△BDC是直角三角形∠CDB =90°
因此这个零件符合要求。
（三）后测达标
１、下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A、4，5，6 B、12，16，20 C、-10，24，26 D、2.4，4.5，5.1
2、将直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D 、都有可能
3、如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900, 求这块草地的面积。
（四）拓展延伸
给你一根长绳子，没有其它工具，你能方便的得到一根直角吗
小结
学生小结本节课收获
作业布置
随堂练习 1,2 知识技能1,2，4
板书设计
1.2 能得到直角三角形吗
如果一个三角形的三边长a,b,c，满足，那么这个三角形是直角三角形
满足的三个正整数，称为勾股数。
例1 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 12 , BC=13，这个零件符合要求吗？
课后反思
