第五单元
课题
第五单元 复习
课型
新授课
教学目标
1、二元一次方程组及它的解。
2、一次函数与二元一次方程组的联系。
3、理解三元一次方程组的解。
重点
一次函数与二元一次方程组关系
难点
利用数形结合的思想解方程。
教学用具
教学环节
二次备课
复习
课 程 讲 授
专题一：认识二元一次方程组 知识点精讲：
含有 未知数，并且所含有未知数的项的次数都是 的方程叫做二元一次方程。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
典型例题：
【例1】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）。
A． B． C． D．
【习题1】方程2x﹣=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y﹣2x=0，x2﹣x+1=0中，二元一次方程的个数是（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【例2】已知二元一次方程2x﹣7y=5，用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【习题2】已知关于的方程是二元一次方程，则的值为（ ）
A. B. C. D.
规律与小结：
1.牢牢把握二元一次方程组的概念：①两个未知数②未知数项的次数为1.
课 程 讲 授
专题二：求解二元一次方程组：
1.解二元一次方程组的方法：代入消元法、加减消元法。
典型例题：
【例1】（1）． （2） （3）．
专题三：应用二元一次方程组
课题1 鸡兔同笼
【例1】鸡兔同笼．上有35头，下有94足，问鸡兔各几只？设鸡为x只，兔为y只，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【习题1】小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x元和每盒笔芯y元，根据题意列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
课题2 增加收支
【例2】老王家去年收入x元,支出y元,而今年收入比去年高15%,支出比去年低10%,结果今年结余3000元.根据题意可列出的方程为( ).
A.15%x-10%y=3000 B.(1+15%)x-(1_10%)y=3000 C.=3000 D.(1-15%)x-(1+10%)y=3000
课题3 里程碑上的数
【例3】已知一个两位数,如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调,则所得的两位数比原两位数小9,设原两位数的十位数字为x,个位数字为y,则可得到方程正确的是( )
A.xy-yx=9 B.(10x+y)-(10y+x) C.(10y+x)-(10x+y)=9 D.x-y=9
专题四：二元一次方程组确定一次函数表达式
知识点精讲：
1.先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法。
典型例题：
【例1】以方程组的解为坐标点在平面直角坐标系中的位置是（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三角限 D．第四象限
【习题1】若是方程组的解，则一次函数y=mx+n的解析式为（ ）.
A.y=－x+2 B.y=x－2 C.y=－x－2 D.y=x+2
【例2】已知函数y=kx+b的图象经过点A（-3，-2）及点B（1，6）
（1）求此一次函数解析式；
（2）求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积。
小结
第五章 二元一次方程组 及解方程的方法，数形结合的思想来解我二元一次方程组，二元一次方程来解决实际问题。
作业布置
总复习 1、3、6、7
课后反思
认识二元一次方程组
课题
5.1认识二元一次方程组
课型
新授课
教学目标
1、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程及方程 组是刻画现实世界的有效数学模型。
2、了解二元一次方程组、二元一次方程组及其解的概念，并会判定一个数是不是已给出的二元一次方程组的解。
重点
二元一次方程组、二元一次方程组及其解的概念
难点
判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识.；
教学用具
教学环节
说 明
二次备课
复习
(1)方程的概念_____________________
(2)方程的解的概念___________________________
(3)一元一次方程的概念____________________________
新课导入
二元一次方程的概念
某天，在八年级办公室门口，刘杰和袁汉中正吃力的帮庞老抱着全班的《天府前沿》下楼，刘：“累死我了！”袁：“你还累？你这么大个，才比我多抱了10本”； 刘：“哼，我从你手上拿来5本，我的练习册数就是你的2倍！”“真的?”,到底他们二人分别抱了多少练习册呢？
要求：1、尝试设两个未知数列方程；只列不解（请组内学有余力同学自行解决，其余同学按学案提示进行）
思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设刘所抱练习册数是x，袁所抱练习册数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
刘所抱练习册数-袁所抱练习册数＝ ，
刘所抱练习册数＋ ＝2*袁所抱练习册数.
这两个条件可以用方程 ， 表示.
2、请将1所列方程与一元一次方程对照，给新方程命名，并尝试写出定义
提示：①上面所列方程各含有____个未知数，未知数的项的次数是______。像这样，含有____个未知数，并且所含有未知项的 都是____的方程叫做二元一次方程。
在这个问题中，可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答，我们要肯定学生的做法，并将学生的答案保留下来，放到第二节二元一次方程组解法的学习中去，让学生更有学习的好奇心与积极性.同时告诉学生在某些有两个等量关系的实际问题中，列二元一次方程组比列一元一次方程更快捷、清楚.
目的：通过现实情景再现，让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.
设计效果：学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出关注两个未知数的方程，为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材，同时，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣.
课 程 讲 授
二元一次方程概念的概括
提请学生思考：上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？从而归纳出二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程.教师对概念进行解析，要求学生注意：这个定义有两个要求：
①含有两个未知数；
②所含未知数的项的最高次数是一次.
再呈现一些关于二元一次方程概念的辨析题，进行巩固练习：
1.下列方程有哪些是二元一次方程：
（1），（2），（3），
（4），（5），（6）.
2.如果方程是二元一次方程，那么m＝ ，n＝ .
（二）二元一次方程组概念的概括
师提请学生思考：上面的方程 中的x含义相同吗？y呢？（两个方程中x的表示老牛驮的包裹数，y表示小马的包裹数，x、y的含义分别相同.）由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足和，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成，从而得出二元一次方程组的概念：像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.如：
注意：在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象.
再呈现一些辨析题，让学生进行巩固练习：
判断下列方程组是否是二元一次方程组：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（三）因承上面的情境，得出有关方程的解的概念
1.适合方程吗？呢？呢？你还能找到其他x,y值适合方程吗？
2. 适合方程吗？呢？
3.你能找到一组值x,y同时适合方程和吗？各小组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论.
由学生回答上面3个问题，老师作出结论：
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.
如x=6, y=2是方程x+ y =8的一个解，记作 ；同样，也是方程的一个解，同时 又是方程的一个解.
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
例如，就是二元一次方程组的解.
然后，同样呈现一些辨析性练习：（投影）
1.下列四组数值中，哪些是二元一次方程的解？
（A） （B） （C） （D）
2.二元一次方程的解有：
……
3.二元一次方程组的解是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4.以为解的二元一次方程组是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5.二元一次方程的正整数解为 .
6.如果是的解，那么m＝ ，n＝ .
7.写出一个以为解的二元一次方程组为 . （答案不唯一）
目的：通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.
设计效果：通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.
小结
内容：
1.含有两未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解.
3.含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值.
目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
设计效果：本环节虽然用时不多，却是必不可少的教学环节，对学生回顾与整理本节课的知识效果明显.
作业布置
板书设计
课后反思
5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
课题
5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
课型
教学目标
1.会用二元一次方程组解决实际问题.
2.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决现实问题的意识和应用能力.
3.体会方程组是刻画现实世界的有关数学模型,培养应用数学的意识.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.
重点
让学生经历和体验到方程组解决实际问题的过程,进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生的数学应用能力.
难点
用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题,即数学建模的过程.
教学用具
新课导入
课 程 讲 授
一、创设情境,引入新课
师:“鸡兔同笼”是经典的数学问题,在小学阶段同学们曾探究过它的多种解法,这节课我们用本单元学习的方程来解决此问题,看结果如何.
二、讲授新课
教师多媒体出示课件:
今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?
(1)“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”是什么意思?
(2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗?
(3)你能解决这个有趣的问题吗?请与同伴进行交流.
根据(1)中的数量关系,我们可以设鸡有x只,兔有y只,可得x+y=35①,2x+4y=94②,把①和②联立方程组,得
解这个方程组,得
即笼中有鸡23只,兔12只.
下面我们再来看一个问题,同学们思考一下,并尝试解决这个问题.
问题:有2元、5元、10元的人民币共50张,合计305元,其中2元的张数和5元的张数相同,三种人民币共有多少张?
师:这个问题和上面的“鸡兔同笼”问题有联系吗?
生:有联系,可以采取相同的方式解决这个问题.
师:你准备设几个未知数?
生:设2个未知数就可以了,因为题中2元的张数和5元的张数相同.
师:对,那你能根据题目中的已知量、未知量及它们之间的关系列出方程组吗?
生:可以设2元的人民币x张,5元的人民币x张,10元的人民币y张,根据题意可列出方程
由②得y=50-2x.③
把③代入①得7x+10(50-2x)=305,解得x=15.
把x=15代入③中,得y=20.
即2元的人民币有15张,5元的人民币有15张、10元的人民币有20张.
三、例题讲解
【例】以绳测井.若将绳三折测之,绳多五尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?
题目大意是:用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份,一份绳长比井深多5尺;如果将绳子折成四等份,一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺?
小结
作业布置
课后反思
5.2求解二元一次方程组
课题
5.2求解二元一次方程组
课型
新授课
教学目标
知识与技能：会用代入消元法解二元一次方程组
过程与方法：了解解二元一次方程组的消元思想,初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想,从而“变陌生为熟悉”
情感态度与价值观：利用小组合作探讨学习,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想
重点
用代入法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元.
难点
用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉
教学用具
教学环节
说 明
二次备课
复习
新课导入
（一）课前探究
预习教材，探究如何用代入消元法解二元一次方程。
课 程 讲 授
（二）课中展示
x-y=2 ①
x+1=2(y-1) ②
二元一次方程只需要消去一个未知数就可变为一元一次方程,那么我们发现：
由①得y=x-2
由于方程组相同的字母表示同一个未知数,所以方程②中的y也等于x-2,可以用x-2代替方程②中的y.这样就得到大家会解的一元一次方程了.
应用新知
解方程组 3x+ 2y=8 ①
x= ②
解：将②代入①,得3(y+3)+2y = 14
3y+9+2y=14
5y =5
y=1
将y=1代入②,得x=4
所以原方程组的解是 x=4
y=1
小结
（四）小结梳理
1、解二元一次方程组的思路是消元，把二元变为一元
2、解题步骤概括为三步即：①变、②代、③解、
3、方程组的解的表示方法，应用大括号把一对未知数的值连在一起，表示同时成立，不要写成x=？y=？
4、由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中去，否则会出现一个恒等式。
作业布置
板书设计
课后反思
5.8 三元一次方程组
课题
5.8 三元一次方程组
课型
新授课
教学目标
1、了解三 元一次方程、三元一次方程组及其解的概念。
2、能解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”思想。
3、会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力。
重点
三元一次方程组的概念及三元一次方程组的解法。
难点
利用三元一次方程组解决实际问题。
教学用具
教学环节
二次备课
复习
方程组概念
新课导入
一、学习准备
1、二元一次方程：含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组：含有 个未知数的两个 所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解法： 和 ；它们都是通过 使方程组转化为一元一次方程。
4、阅读教材：第8节《三元一次方程组》
课 程 讲 授
二、教材精读
5、三元一次方程的概念 例如：方程x+y+z=5、x-y+2z=0的特点是：
①都是 式方程；②都含有 个未知数；③未知数的项的次数都是 。
归纳：含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 ，这样的整式方程叫做三元一次方程。
6、三元一次议程组的概念
概念：共含有 个未知数的 个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组。
注意：满足三元一次方程组的条件是：
①方程组中一共含有 个未知数②含未知数的项的次数都是 ；
③方程组中共有 个整式方程。
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、三元一次方程组的解
概念：三元一次方程组中各个方程的 解，叫做这个三元一次方程组的解。8、三元一次方程组的解法
阅读并完成下列解三元一次方程组的解法
例2 解方程组：
解：①+②得 ④
①+③得 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组，
解这个方程组得
把代入 得y= 所以方程组的解是
⑴通过“代入”或“加减”进行消元，把解三元一次方程组转化为解二元一次方程组
⑵解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
⑶把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程
⑷解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值
⑸将求得的三个未知数的值用符号“”合写在一起。
实践练习：解方程组
小结
本节课主要学习了三元一次方程组的概念和解方程组。
作业布置
习题5.8随堂练习、2、4
课后反思
5.6 二元一次方程与一次函数
课题
5.6 二元一次方程与一次函数
课型
新授课
教学目标
1．理解一次函数与二元一次方程组的关系,会用图象法解二元一次方程组.
2．培养学生的数形结合的思想以及用函数观点看待数学问题的辩证思想.
重点
二元一次方程组与两直线交点坐标之间的关系的理解.
难点
对应关系的理解以及对实际问题的探究.
教学用具
教学环节
二次备课
复习
一次函数概念
新课导入
一、回顾旧知,引入新课
我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法,比如可以用代入法,也可以用加减法,我们如何用函数的观点来看待方程组的解呢?
二、讲授新课
想一想:根据下列图象,你能说出这些图象表示的是哪些方程组的解?这些解是什么?
注:此题忽略解方程组与画图象这些已会环节,让学生直观感受本节课的主题.
练一练:利用函数图象解方程组:
师分析:这两个二元一次方程各对应一个一次函数,也就是各对应一条直线.如果这两条直线有交点,那么交点坐标就是这个方程组的解.
让学生自己练习画直线,再求出方程组的解.
学生解:由2x-y=0可得y=2x;由3x+2y=7可得y=-x+.
在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x的图象l1和y=-x+的图象l2,如右图所示.观察图象,得出l1和l2的交点为(1,2).
所以方程组的解为
总结1:两个一次函数图象的交点坐标?二元一次方程组的解.
再想想:你能不通过画图象求直线y=3x+9与直线y=2x-7的交点坐标吗?
总结2:二元一次方程组的解?两个一次函数图象的交点坐标.
课 程 讲 授
三、巩固练习
1.方程组的解为 ,则直线y=-x+15和y=x-7的交点的坐标是 .?
【答案】 (11,4)
2.利用函数图象解方程组
【答案】 图象略
小结
课堂小结
本节课通过分析探究得出结论:两条直线的交点坐标就是这两条直线所对应的一次函数的表达式所组成的二元一次方程组的解.这有两个方面的应用:一方面,可以根据图象的交点坐标求出方程组的解;另一方面,先求出方程组的解,也就知道了这两条直线的交点坐标.这进一步体现了数形结合的思想.
作业布置
习题5.6 课堂练一、1、3
课后反思
5.6 二元一次方程与一次函数
课题
5.6 二元一次方程与一次函数
课型
教学目标
、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系
2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式
重点
1、二元一次方程和一次函数的关系
2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解
难点
方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力
教学用具
教材，课件，电脑
新课导入
忆一忆
同学们:什么叫二元一次方程的解?
一次函数的图象是什么?
如图,求一次函数的图象的解析式
课 程 讲 授
做一做
在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x和y=2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组
x+y=5
2x－ y=1
的解有什么关系？你能说明理由吗？
一次函数y=5－x和y=2x－1的图象的交点为（2，3），因此， x=2 就是方程组的解。
用作图象的方法解方程组 x-2y= - 2
2x – y=2
解：由x-2y= - 2可得y= ，同理，
由2x – y=2可得y=2x – 2，在同坐标系中作出
一次函数y= 的图象和y=2x – 2的图象，
观察图象，得两直线交于点（2，2），所以方程组
x-2y= - 2
2x – y=2
的解是 x = 2
y= 3
同学们你从本题中感悟到什么？
原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法 外还可以用图象法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：
把二元一次方程化成一次函数的形式
在直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并标出交点。
交点坐标就是方程组的解。
练一练
1、用作图象的方法解方程组 2x+y=4
2x-3y=12
由2x+y=4 得 y= -2x+4 由 2x-3y=12 可得 y= 在同一直角坐标系中作出函数y= -2x+4和函数y=的图象，观察图象可得交点为（3，-2），所以方程组的解是x =3,y=-2
我们可以得到：
二元一次方程组无解<=>一次函数的图象平行（无交点）
二元一次方程组有一解<=>一次函数的图象相交（有一个交点）
二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图象重合（有无数个交点
小结
二元一次方程的图象实际上就是一次函数的图象
2、用图象法可以解二元一次方程组，原来我们还可以用几何的图象法来解代数问题。
作业布置
课后反思
5.4 应用二元一次方程组——增收节支
课题
5.4 应用二元一次方程组——增收节支
课型
教学目标
1.进一步掌握利用二元一次方程组解决实际问题的方法.
2.根据具体问题的数量关系,形成方程模型,培养利用方程的观点认识现实世界的意识和能力.
3.通过由具体实例的分析、思考与合作学习的过程,培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想以及善于分析问题、解决问题的良好习惯.
重点
让学生熟练掌握利用二元一次方程解决实际问题的方法.
难点
分析未知量,正确列出二元一次方程组.
教学用具
新课导入
课 程 讲 授
一、新课引入
1.复习上节课中应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤.
2.某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?
设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有
总收入/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
x
y
200
今年
根据上表,可以列出方程组_______________ .?
解得___________ .?
因此,去年的总收入是___________ .?
总支出是_______________. .?
二、例题讲解
【例1】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?
甲原料x g
乙原料y g
所配制的营养品
其中所含铁质
分析:设每餐需甲原料x g、需乙原料y g,则有______
【答案】设每餐需甲原料x g、需乙原料y g,根据题意,得
化简,得
①-②,得5y=150,
y=30.
将y=30代入①,得x=28.
所以每餐需要甲原料28 g、乙原料30 g.
小结
解信息量大、关系复杂的实际问题时,要仔细分析题意,找出等量关系,利用它们的数量关系适当地设元,然后列方程组解题.
作业布置
课后反思
