第三章 位置与坐标 1 确定位置
教学目标
明确确定位置的必要性,掌握确定位置的基本方法.
2.经历生活中确定位置实例认识过程,培养学生观察问题、解决问题的能力.
3.让学生主动地参与观察、操作与活动,感受丰富的现实背景,体验形式多样的确定位置的方式,增强学习的兴趣.
重点
感受确定物体位置的多种方式与方法.
难点
能比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置.
教学用具
教学环节
二次备课
新课导入
一、创设情境,引入新课
教师出示以下几个情景,并请学生思考它们的共同之处.
1.一位居民打电话供电部门“卫星路第8根电线杆的路灯坏了”,维修人员很快修好了路灯.
2.地质部门在某地埋下一标志桩,上面写着“北纬44.2°,东经125.7°”.
3.某人买了一张6排3号的电影票,很快找到了自己的座位.
分析以上情景中,他们都是利用哪些数据找到位置的?
课 程 讲 授
1.教师出示问题展示生活中确定物体位置的几种常见方法.
问题1:如图点A表示3街与5大道的十字路口,点B表示5街与3大道的十字路口,如果用(3,5)→(4,5)→(5,5)→(5,4)→(5,3)表示由A到B的一条路径,那么你能用同样的方法写出由A到B的其他几条路径吗?
6大道
5大道
A
4大道
3大道
B
2大道
1大道
1街
2街
3街
4街
5街
6街
分析、寻找规律,确定路线.
图中确定点用前一个数表示街,后一个数表示大道.
解:其他的路径可以是:
(3,5)→(4,5)→(4,4)→(5,4)→(5,3);
(3,5)→(4,5)→(4,4)→(4,3)→(5,3);
(3,5)→(3,4)→(4,4)→(5,4)→(5,3);
(3,5)→(3,4)→(4,4)→(4,3)→(5,3);
(3,5)→(3,4)→(3,3)→(4,3)→(5,3).
根据所学的知识,请同学们观察自己在班级里的位置,思考应该怎样表示.
小结:利用有序数对,表示一个确定的位置.
问题2:如图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图(图中1 cm表示20n mile).对我方潜艇O来说:
(1)北偏东40°的方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置,还需要什么数据?
(2)距离我方潜艇20n mile的敌舰有哪几艘?
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要几个数据?
解:(1)如图,对我方潜艇来说,北偏东40°的方向上有两个目标:敌舰B和小岛.
要想确定敌舰B的位置,仅用北偏东40°的方向是不够的,还需要知道敌舰B距我方潜艇的距离.
(2)距离我方潜艇20n mile的敌舰有两艘:敌舰A和敌舰C.
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要两个数据:距离和方位角.例如,对我方潜艇来说,敌舰A在正南方向,距离为20n mile处,敌舰B在北偏东40°的方向,距离为28n mile处;敌舰C在正东方向,距离为20n mile处.
小结:利用距离和方位角来确定位置.
问题3:(1)据新华社报道,2008年5月12日14:28,我国四川省发生里氏8.0级强烈地震,震中位于阿坝洲汶川县境内,即北纬31.4°,东经103.6°.在这次地震中有69 142人遇难,17 551人失踪.这是新中国成立以来破坏性最强、波及范围最大的一次地震.地震重创约50万km2的中国大地!你能在图(1)中找到震中的大致位置吗?
(2)图(2)是广州市地图简图的一部分,如何向同伴介绍“广州起义烈士陵园”所在的区域?“广州火车站”呢?
解:(1)先找出北纬31.4°所在的横线,然后找到东经103.6°所在的竖线,地震的位置在横线和竖线相交的地方.
(2)“广州起义烈士陵园”在C4区,“广州火车站”在B3区.
小结:类似于有序数对的方法,将平面分成若干个小正方形的方格,利用点所在行与列的位置来确定点的位置.
2.议一议.
在平面内,确定一个物体的位置一般需要几个数据?(2个)
三、巩固练习
仿照前面的方法确定位置关系,学生尝试描述位置.
1.如图是某城市市区的一部分示意图,对市政府来说:
(1)北偏东60°的方向有哪些单位?要想确定单位的位置,还需要哪些数据?
(2)火车站与学校分别位于市政府的什么方向?怎样确定它们的位置?
2.如图,“马”所处的位置为(2,3).
(1)你能表示出“象”的位置吗?
(2)写出“马”下一步可以到达的位置.
教师提示:可以变化出其他的象棋盘上的位置,也可以引申到围棋盘或其他棋类.
小结
师:本节课主要学习了几种常用的表示物体的位置的方法?
作业布置
57页1.2题
板书设计
在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。
课后反思
3.3 轴对称与坐标变化
课题
3.3 轴对称与坐标变化
课型
教学目标
1、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系。
2、经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。
3、丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。
重点
经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间关系。
难点
由坐标的变化探索新旧图形之间的变化探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。
教学用具
教学环节
二次备课
复习
1、复习上节课平面直角坐标系内容。
2、我们知道点的位置不同写出的坐标就不同，反过来，不同的坐标确定不同的点。如果坐标中的横（纵）坐标不变，纵（横）坐标按一定的规律变化，或者横纵坐标都按一定的规律变化，那么图形是否会变化，变化的规律是怎样的，这将是本节课中我们要研究的问题。
新课导入
1.在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗。
两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A与A1的坐标又有什么特点？其它对应的点也有这个特点吗？
2.在右边的坐标系内，任取一点，做出这个点关于y轴对称的点，看看两个点的坐标有什么样的位置关系，说说其中的道理。
3.如果关于x轴对称呢？
在这个坐标系里作出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系？
4.关于x轴对称的两点，它们的横坐标 ，纵坐标 ；
关于y轴对称的两点，它们的横坐标 ，纵坐标 。
课 程 讲 授
例1 将上图中的点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），
（4，－2），（0，0）做以下变化：
（1）纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？
（2）横坐标保持不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？
先根据题意把变化前后的坐标作一对比。如下：
（1）（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）
（0，0），（-5，4），（-3，0），（-5，1），（-5，－1），（-3，0），（-4，－2），（0，0）
（2）（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）
（0，0），（5，-4），（3，0），（5，-1），（5，+1），（3，0），（4，+2），（0，0）
根据变化后的坐标，把变化后的图形在自己准备的方格纸上画出来。
你们画出的图形与右面的图形相同吗？
（指导学生做第（2）题，方法同上）图略
（3）横坐标、纵坐标都分别乘以-1，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？
拓展练习：
1.点 A（2，- 3）关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是（ ）.
2.点 B（ - 2，1）关 于 y 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是（ ）.
3.点（4，3）与点（4，- 3）的关系是（ ） .
A.关于原点对称 B.关于 x轴对称 C.关于 y轴对称 D.不能构成对称关系 4.点（m，- 1）和点（2，n）关于 x轴对称，则 mn等于( )
A.- 2 B.2 C.1 D.- 1
5.(1)若 mn = 0，则点 P（m，n）必定在 上. (2)已知点 P（ a，b），Q（3，6），且 PQ ∥ x轴，则b的值为 .
6.点 A 在第一象限，当 m 为 时，点 A（ m + 1，3m - 5）到 x轴的距离是它到y轴距离的一半 .
8.一束光线从点Ａ（３，３）出发，经过ｙ轴上点Ｃ反射后经过点Ｂ（１，0）则光线从Ａ点到Ｂ点经过的路线长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
小结
1、关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)——(- x , y)
2、关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)——(x , - y)
3、关于原点对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)——(- x , -y)
作业布置
习题3.5 1，2
板书设计
课后反思
平面直角坐标系
课题
2 平面直角坐标系（1）
课型
教学目标
认识平面直角坐标系,了解点的坐标的意义,会用坐标表示点,能根据点的坐标画出点的
2.经历对平面直角坐标系的探讨过程,使学生初步认识平面直角坐标系及其意义.
3.通过对平面直角坐标系的探讨,培养学生善于观察问题的习惯及数学应用意识.
重点
平面直角坐标系和点的坐标.
难点
正确画出坐标并找出对应点
教学用具
直尺
教学环节
二次备课
新课导入
启发学生,在地图上要确定一个地点的位置,需要借助经线和纬线,这两条线从局部上可以看成是平面内两条互相垂直的直线,有刻度、有方向的直线,进而抽象成数轴.而平面内,两条互相垂直的且有公共原点的数轴,就如同地图上的经线和纬线,可以帮助我们确定平面内任何一个点的位置.这就是我们今天要学习的知识:平面直角坐标系.
课 程 讲 授
1.定义:在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系.其中水平的数轴称为x轴,竖直方向的数轴称为y轴或纵轴.两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.
注:(1)横轴取向右为正方向,纵轴取向上为正方向,一般情况下,横轴和纵轴的单位长度取一致;
(2)建立平面直角坐标系,必须满足三个条件;
a.两条数轴 b.互相垂直 c.公共原点
请同学们在草稿纸上画一个平面直角坐标系.
2.点的坐标:
过平面内任一点M分别作x轴、y轴的垂线段,设垂足所在位置对应的数分别为x、y,则x叫做点M的横坐标、y叫做点M的纵坐标,有序数对(x,y)叫做点M的坐标.
3.探究活动.
将任意点A放入直角坐标系中,由其所处的位置让学生确定点的坐标.在此过程中,学生将对由点确定坐标的方法不断深化,并逐渐理解并掌握点的坐标是一对有序的实数.并介绍象限的含义,同时,通过观察,让学生发现点在各个象限内以及点在坐标轴上的坐标特点.
教师提出问题:
(1)点在各个象限的坐标有什么特点?
(2)坐标轴上的点有什么特点?
(3)坐标轴上的点属于第几象限呢?
4.(1)各象限内点的坐标的符号的确定:
点在第一象限 P(a,b ) a>0,b>0 符号特征(+,+)
点在第二象限 P(a,b) a<0,b>0 符号特征(-,+)
点在第三象限 P(a,b) a<0,b<0 符号特征(-,-)
点在第 四象限 P(a,b) a>0,b<0 符号特征(+,-)
(2)坐标轴上的点的坐标特征:
点P(a,b)在x轴上时记作P(a,0) 点P(a,b)在y轴上时记作P(0,b) 原点记作(0,0)
(3)在平面直角坐标系中的点和有序数对是一一对应的关系.
即:对于平面直内任意一点,都有唯一的有序数对与它对应.
对于任意的有序数对,平面上都有唯一的一个点与它对应.
5.根据坐标描点的步骤:
(1)找到该点的横坐标在x轴上对应的位置,过该位置作x轴的垂线;
(2)找到该点的纵坐标在y轴上对应的位置,过该位置作y轴的垂线;
(3)两线的交点即为要描出的点的位置.
三、例题讲解
【例1】 写出下图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标.
【答案】 如图,各个顶点的坐标分别为:A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3),D(4,0),E(3,3),F(0,3).
五、巩固练习
1.点(-3,2)在第 象限;点(-1.5,-1)在第 象限;点(0,3)在 轴上;若点(a+1,-5)在y轴上,则a= .?
【答案】 二 三 y -1
2.在x轴上,且与原点的距离为3个单位长度的点的坐标为 .?
【答案】 (3,0)或(-3,0)
3.若点P在第二象限,它的横坐标与纵坐标的和为-1,则点P的坐标可以是 .?
【答案】 (-2,1)(答案不唯一)
4.若点(a,b-1)在第二象限,则a的取值范围是 ,b的取值范围是 .?
【答案】 a<0 b>1
5.如果同一直角坐标系中两个点的横坐标相同,那么过这两点的直线( )
A.平行于x轴 B.平等于y轴
C.经过原点 D.以上都不对
【答案】 B
小结
本节课主要学习了平面直角坐标系;点的坐标及其表示;各象限内点的坐标的特征;坐标的简单应用.
作业布置
习题3.2第1.2题
板书设计
在平面内。两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的平面直角坐标系.
课后反思
平面直角坐标系
课题
3.2平面直角坐标系（2）
课型
教学目标
1．在给定的直角坐标系下，会根据坐标描出点的位置；
2．通过找点、连线、观察，确定图形的大致形状的问题，能进一步掌握平面直角坐标系的基本内容。
3.经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合思想，培养学生的合作交流能力；
4.通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程，进一步培养学生的转化意识。
通过生动有趣的教学活动，发展学生的合情推理能力和丰富的情感、态度，提高学生学习数学的兴趣。
重点
在已知的直角坐标系下找点、连线、观察，确定图形的大致形状
难点
在已知的直角坐标系下找点、连线、观察，确定图形的大致形状
教学用具
直尺
新课导入
（一）课前研究：
学生自学教材62页,并回答下列问题:
1.同学们拿出准备好的方格纸，自己建立直角坐标系，然后按照给出的坐标，在直角坐标系中描点，并依次用线段连接起来．
O(0，0)，B(4，4)，A(4，0)，C(0，4)．这是一个什么图形呢？
2. 学会在直角坐标系中描点，并依次用线段连接起来．
（二）课中展示：
自主合作学习：例1在直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．
(1) (－6，5)，(－10，3)，(－9，3)，(－3，3)，(－2，3)，(－6，5)；
(2) (－9，3)，(－9，0)，(－3，0)，(－3，3)；
(3) (3．5，9)，(2，7)，(3，7)，(4，7)，(5，7)，(3．5，9)；
(4) (3，7)，(1，5)，(2，5)，(5，5)，(6，5)，(4，7)；
(5) (2，5)，(0，3)，(3，3)，(3，0)，(4，0)，(4，3)，(7，3)，(5，5)．
观察所得的图形，你觉得它像什么？
这个图形像一栋“房子”旁边还有一棵“大树”，其中，第(1)(2)组点连成一栋“房子”，第(3)(4)(5)组点连成一棵“大树”．
课 程 讲 授
（三）应用新知：
例1：
在下面的直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连结起来．
(1)(2，0)，(4，0)，(6，2)，(6，6)，(5，8)，(4，6)，(2，6)，(1，8)，(0，6)，(0，2)，(2，0)；
(2)(1，3)，(2，2)，(4，2)，(5，3)；
(3)(1，4)，(2，4)，(2，5)，(1，5)，(1，4)；
(4)(4，4)，(5，4)，(5，5)，(4，5)，(4，4)；
(5)(3，3)．
2．在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段顺次连结起来．
(1)(0，3)，(－4，0)，(0，－3)，(4，0)，(0，3)；
(2)(0，0)，(4，－3)，(8，0)，(4，3)，(0，0)；
(3)(2，0)．
观察所得的图形，你觉得它像什么？
如下图所示
观察所得的图形像移动的菱形
小结
首先，通过学生小组交流，谈一谈你有什么收获？（提示学生从三方面入手：知识方面、思考方面、思想方法）使学生对本节内容有一个更系统、深刻的认识，实现从感性认识到理性认识的飞跃．
作业布置
习题3.3第1.2.3
板书设计
坐标轴上的点的坐标中至少有一个是0，即横轴上的点的纵坐标为0，纵轴上的点的横坐标为0.
课后反思
平面直角坐标系
教学目标
1．进一步巩固画平面直角坐标系，在给定的直角坐标系中，会根据坐标轴描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。
2．能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
3．能结合具体情景灵活运用多种方式确定物体的位置。
4．通过学习建立直角坐标系的多种方法，让学生体验数学活动充满着探索与创造，激发学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强学生的数学应用意识。
重点
根据实际问题建立适当的坐标系，并能写出各点的坐标
难点
根据已知条件，建立适当的坐标系
教学用具
教学环节
本节课设计了六个教学环节：（1）课前复习；（2）情境引入；（3）探索新知（4）练习提高；（5）课堂小结；（6）布置作业。
二次备课
复习
内容：在已知坐标系中描出以下各点，并将各点用线段依次连接起来，观察A点与其他各点有什么特殊的位置关系：
A（-1，2），B（1，2），C（-1，-2），D（1，-2）。
目的：巩固前两节所学知识，使学生能准确熟练的在坐标系中描出相应的点，同时观察图形特点，体会坐标与对应点之间的位置，理解数形结合的思想。
课前给每位学生准备好一张带有直角坐标系的纸张。
新课导入
内容：在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2）和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4，4），除此外不知道其他信息。如何确定直角坐标系找到宝藏？
目的：这个情境具有一定趣味性和探究性，这样可以大大激发学生的思维，增强学生的学习兴趣，使学生进入快乐的学习中来，提高学生学习的积极性和主动性，同时引导学生进入新课的学习。
教师出示课件，演示图片，以便学生直观的感受问题。
这里仅仅提出问题，激发兴趣，并不要求现在解决，而希望在本节课后面再回解该问题。
课 程 讲 授
1．【例】如图，矩形ABCD的长与宽分别是6，4，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。
『师』：在没有直角坐标系的情况下不能写出各个顶点的坐标，所以应先建立直角坐标系，那么应如何选取直角坐标系呢？请大家思考。
『生1』：如下图所示，以点C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系。
由CD的长为6，CB长为4，可得A，B，C，D的坐标分别为A（6，4），B（0，4），C（0，0），D（6，0）。
『生2』 ：如下图所示，以点D为坐标原点，分别以CD，AD所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系。
『师』：这两位同学选取坐标系的方式都是以矩形的某一个顶点为坐标原点，矩形的相邻两边所在直线分别作为x轴、y轴，建立直角坐标系的。这样建立直角坐标系的方式还有两种，即以A，B为原点，矩形两邻边分别为x轴、y轴建立直角坐标系。除此之外，还有其他方式吗？
『生3』：有，如下图所示，以矩形的中心（即对角线的交点）为坐标原点，平行于矩形相邻两边的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A，B，C，D的坐标分别为A（3，2），B（－3，2），C（－3，－2），D（3，－2）。
『师』：从刚才我们讨论的情况看，大家能发现什么？
『生』：建立直角坐标系有多种方法。
2．【例】对于边长为4的整三角形ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标。
解：以边所在直线为轴，以边的中垂线为轴建立直角坐标系。
由正三角形的性质可知,正各个顶点的坐标分别为，，。
『师』：正三角形的边长已经确定是4，则它一边上的高是不是会因
所处位置的不同而发生变化？
『生』：不会，只是位置变化，而长度不会变。
『师』：除了上面的直角坐标系的选取外，是否还有其他的选取
方法？
『生』：有，……
3．议一议
你认为怎样建立适合的直角坐标系?
上面三个活动的目的：
（1）体会不同的坐标系同一图形的位置不同，那么，关键点的坐标也不同。
（2）确定坐标系时，一方面是看点的位置，同时也与此点到坐标轴有关，而距离往往需要进行计算。
（3）培养学生综合应用知识解决问题的能力。
4．回解情境问题（寻宝问题）
教学处理：（1）让学生分组讨论如何找到宝藏。（2）让每组选一名代表发言，阐述本组讨论的结果。
活动目的：（1）通过小组讨论活动，让学生理解坐标系的特点，并能应用特点解决问题。（2）培养学生逆向思维的习惯。（3）在小组讨论中培养学生勇于探索，团结协作的精神。
第四环节：练习提高
随堂练习 （体现建立直角坐标系的多样性）
（补充）某地为了发展城市群，在现有的四个中小城市A，B，C，D附近新建机场E，试建立适当的直角坐标系，并写出各点的坐标。
教师提醒有不同的方法可以建立平面直角坐标系
学生分组讨论，得出结果进行展示。
教师提醒：把左图中的横坐标逐渐向上、下移动，纵坐标左、右移动，则可得到不同的坐标系，从而得到A，B，C，D四点的不同坐标。
最后教师要强调建立直角坐标系有很多方法，方法不同，计算所得的坐标也不同。
再次强调虽然建立直角坐标系有多种方法，但是我们要选择简单易算的方式建立直角坐标系。
最后在回顾刚开始的寻宝问题，教师要和学生共同完成
小结
这节课有什么收获？谈谈自己的感悟。
作业布置
习题3.4 第1、2题
补充：
（1）已知点A到轴、轴的距离均为4，求A点坐标；
（2）已知轴上一点A（3，0），B(3，)，且AB=5，求的值。
板书设计
课后反思
通过这节课小组合作交流，发现学生特别积极活跃，学生与学生之间的相互交流，使每一位学生都有均等的参与交流展示的机会。我感到非常高兴，由于运用“自主、合作、探究“的学习方式，不仅为学生自主发展拓展了空间，而作为教师已不必告诉他们应当学什么东西，学生已经有了兴趣学习更多的知识和探究更深入的问题的强烈愿望。
然而，由于受学习习惯的影响，以及课堂组织还不是很到位，导致小组合作交流中还存在着一些问题：
（1）、从学生的参与情况来看，有部分小组成员没有积极参与到交流过程中，把自己作为个体孤立起来；
（2）、从交流的结果看，在小组交流后进行班级交流，学生反馈出来的还不是小组合作交流的结果，而是学生个人的想法。
针对以上存在的问题，在今后的教学中将采取一些改进措施：
(1)、 教学中要尽量激发学生参与的积极性，引导学生从交流中体验合作的快乐；
（2）、积极引导学生掌握一些基本的合作交流技能，让每个学生都有机会说出自己的想法和展示自己，引导小组成员互相评价；
（3）、根据学生的实际和教材的特点，尽量创设合作交流的机会，加强小组同学之间的互动，培养学生的情感交流和合作意识。
