二次根式
教学目标
(1).认识二次根式和最简二次根式的概念.
(2).探索二次根式的性质．
(3).利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．
重点
七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．
难点
学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．
教学用具
教学环节
二次备课
复习
有理数
新课导入
复习引入新课
问题1 ：，，，，（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？
课 程 讲 授
第二环节：探究性质
（一）内容：通过探究得出，．
具体过程如下：
（1）＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ； ＝ ，＝ ．
（2）用计算器计算：
＝ ，＝ ；＝ ，＝ ．
问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？
意图：最终归纳出（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．
说明：公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．
第三环节：知识巩固
例1 化简（1）；（2）；（3）。
观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
例2.化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
问题：（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。
第四环节：知识拓展
1.下列平方根中, 已经简化的是（ ）
A. B. C. D.
2.判断下列各式是否成立。你认为成立的请在（）内打对号 ，不成立的打错号 。
① （ ） ； ② ( )
③ （ ）； ④( )
你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并说明n的取值范围？
小结
通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？本节课主要内容：
（1）掌握并会运用公式：（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．
（2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结．
作业布置
习题2.7课堂练一、1、3
板书设计
课后反思
。
二次根式
课题：
二次根式（第1课时）
授课时间
主备人
课型
新授课
教学目标
1.认识二次根式和最简二次根式的概念.
2.探索二次根式的性质．
3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式
重点
难点
理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念,化简二次根式.
教学创设
一、知识回顾,引入新课
二、讲授新课
师:请同学们观察下列代数式,你能发现它们有什么共同特征吗?
,,,,(其中b=24,c=25).
生:它们都含有开方运算,并且被开方数都是非负数.
师:很好!一般地,例如(a≥0)的式子,叫做二次根式,a叫做被开方数.那么二次根式具有什么性质呢?下面我们一起来探究一下.请同学们完成以下填空:
= ,×= ;?
= ,×= ;?
= ,×= ;?
= ,÷= .?
学生独立完成填空,然后集体订正.并根据上面的猜想,估计下列式子是否相等,再借助计算器验证.
= ,÷= .?
师:请同学们比较左右两边的等式,你发现了什么?你能用字母表示你发现的规律吗?
学生分组讨论交流,然后由小组代表发言,教师予以补充完善.
师:通过刚才的探究,我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质.即:
(1)积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数),即=·(a≥0,b≥0);
(2)商的算术平方根的性质:商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.(被除式必须是非负数,除式必须是正数),即=(a≥0,b>0).
师:知道了二次根式的这些性质,下面我们来看几个例题,加深理解.
三、例题讲解
【例1】 化简:
(1);(2);(3).
【答案】 (1)=×=9×8=72;
(2)=×=5;
(3)==.
例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.
【例2】 化简:
(1);(2);(3) .
【答案】 (1)==×=5;
(2)===;
(3)==.
判断最简二次根式的方法:通常将不含分母的被开方数分解因数或因式后,不含能开得尽方的因数或因式,即为最简二次根式.
【例3】 先化简,再求出下面算式的近似值(精确到0.01).
(1);(2);(3).
(合理应用二次根式的性质,可以帮助我们简化实数的运算.)
【答案】 (1)===·=12≈20.78;
(2)===≈1.01;
(3)===×=10-2×=0.01×≈0.02.
四、巩固练习
1.化简:
;(2);(3);(4)
2.化简:-
3.若b>0,x<0,化简:-.
五、课堂小结
师 :通过这节课的学习,同学们有什么收获?能与大家分享一下吗?
学生发言,教师予以点评.
成最简二次根式.
家庭作业：2.9课本习题
二次根式
课题：
二次根式（第2课时）
授课时间
主备人
课型
新授课
教学目标
(1).通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法．
(2).在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识．
(3).通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
重点
难点
利用公式：（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）进行简单的实数四则运算．
教学创设
第一环节：复习引入
内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？
这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。
第二环节：知识探究
1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．
2．提出问题：能否根据该公式将化成？
例3 计算：
（1）；（2）；（3）。
解：（1）略
（2）＝＝＝＝3
（3）＝＝＝=
说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数．
第三环节：巩固练习
例4 计算：
（1）3（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）。
解：（1）3=3=6；
（2）＝＝＝6－5＝1；
（3）＝＝5＋＋1＝6＋；
（4）＝＝4；
（5）；
（6）。
例5 计算：
（1）；（2）；（3）。
解：（1）＝＝＝＝；
（2）＝＝＝＝；
（3）。
课堂练习1：
1.化简：（1）；（2）；（3）；（4）．（5）
第五环节：课堂小结
在进行根式乘除运算时，你有哪些体会与收获？
家庭作业：2.10课本习题
二次根式
课题：
二次根式（3）
授课时间
主备人
课型
新授课
教学目标
1.巩固对二次根式的四则混合运算的掌握.
2.进一步学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.
3. 引导学生从特殊到一般,用总结归纳的方法以及类比的方法解决数学问题.
重点
难点
1.进一步应用二次根式的运算法则进行二次根式的四则混合运算.
2.熟练进行二次根式的四则混合运算.
教学创设
一、引入新课
师:通过上节课的学习,同学们已经掌握了二次根式的相关运算法则,这节课我们进一步来学习二次根式的加减乘除混合运算.
二、例题讲解
【例1】 先化简,再求出近似值(精确到0.01).
--
(二次根式加减运算的一般步骤是:先化简,再合并.)
【答案】 原式=--=2--=(2--)=≈1.73.
【例2】 计算.
(1)-3×;
(2)(-3)·;
(3)(-)÷.
(说明:(1)二次根式混合运算的运算次序是:先乘除,后加减;(2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用;(3)二次根式的运算结果能化简的必须化简.)
【答案】 (1)原式=3-6=-3;
(2)原式=·-3·=-3=-9;
(3)原式=÷-÷=-=4-3=1.
【例3】 计算:
(1)-;(2)-8+;
(3)(-)÷;(4)+-.
【答案】 (1)-=-
=-=;
(2)-+=-+
=3-2+=;
(3)(-)÷=÷-÷
=-=-=-=2-=;
(4)+-=+-=+-3=-+.
在上面第(4)题中,很容易看出,化成最简二次根式后与,化简后的被开方数不可能相同,因此,结果中可以保留,不必将它化成最简二次根式.
三、课堂小结
师:本堂课我们学到了什么新知识?
学生发言,教师予以补充.
家庭作业：课本习题2.11。
