第五章 分式与分式方程典题解析学案

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第五章 分式与分式方程典题解析
1．知识点：
（一）分式方程的增根具有以下性质：1.能使分式方程 ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的最简公分母 ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )为0
2.增根虽然不是原方程的根，但它却是去分母后所得整式方程 ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的解
（2）验根方法：
1。把求得的未知数的值代入最简公分母 ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中，若这个最简公分母 ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的值为0，它是原方程的增跟，则原方程无解；反之，它就是原方程的解。
2.把求得的未知数的值代入方程左右两边，若左边等于右边，则是原方程的解；若不相等，则计算错误或此方程无解。21教育网
（三）解分式方程的步骤：一去分母 二解整式方程 三检验 四写出解的情况
1. 在方程的两边同时乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
2. 解这个整式方程。
3. 把整式方程方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根（此时原方程无解）21cnjy.com
4. 写出原方程的解的情况。
2．例题：
例1 解方程：
解：方程两边同乘(x+1)(x-1),得
(x+1)2－4=(x+1)(x-1)
解这个方程，得
x=1
检验：当x=1时 (x+1)(x-1)=0，x=1是原方程的增根
所以原方程无解。
小结：.增根是使最简公分母的值为零的未知数的值。增根是去分母后整式方程的解但不是原分式方程的解，所以解分式方程一定要验根。21·cn·jy·com
例2. 关于x的方程有增根，求常数m
解：方程两边同乘（x-2），得
m+2x=x-2
即：x=－m－2
令x－2=0,得x=2
把x=2代入x=－m－2，得
m=－4
小结：已知分式方程有增根求参数的值，方法：
1.去分母，化成整式方程。
2.令最简公分母为零，求出可能的增根
3.把增根代入整式方程，求出字母的值。
例3. 关于x的分式方程无解，求常数a
解：方程两边同乘(x+1),得
x－a=ax+a
即:(1－a)x=2a
因为原方程无解，所以方程(1－a)x=2a无解或原方程有增根
（1）当方程(1－a)x=2a无解时，a-1=0,a=1
(2)当原方程有增根有增根时，令x+1=0,得x=-1，
把x=-1代入 x－a=ax+a，得a=-1
综上所述，a的值为1或-1
小结：已知分式方程无解求参数的值，方法：
1.去分母，化成整式方程。
2.解题思路：分式方程可能在两种情形下无解：
①去分母后所得的整式方程无解；
②整式方程有解，但整式方程的解是原分式方程的增根．
例4：关于x的分式方程有解，求常数a
解：方程两边同乘x(x-2),得
5（x-2）=ax
即 （5-a）x=10
因为原方程有解，所以5-a≠0,且x≠0,x≠2
即 a≠5,≠0,≠2
解得， a≠5且 a≠0
小结：分式方程有解的条件：
1.去分母后的整式方程有解
2.分式方程不能有增根（即分母不为零）
例5.若分式方程的解是正数，求a的取值范围
解：方程两边同乘(x-2),得
2x+a=2-x
解得， x=
由题意得，x>0且x≠2
即 >0,且 ≠2
解得，a<2且a≠－4
小结.已知分式方程的解满足的条件，求参数取值范围，思路如下：
1.化为整式方程，并解方程，但不能是增根
2.再根据题目其他要求，综合1列不等式组。
练习：
1.解方程 =﹣3．
2.若方程有增根，求 m的值
3．若关于的分式方程无解，求的值
4．若关于x的方程=3的解为非负数，求m的取值范围
5．关于x的方程有增根，则m及增根的值分别为 .
6、若关于x的方程有增根，则k的值是________
7.分式方程的解为_____________
8. 关于x的方程无解，则m的值为 .
9.已知的值为正整数，则整数的值为 .
练习解析：
1. 解方程 =﹣3．
解：方程两边同乘（x-2），得
1= x－1－3(x－2)
解得， x=2
检验：把x=2代入x－2=2-2=0
所以x=2是原方程的增根，故原方程无解
2.若方程有增根，求 m的值
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x-3=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．21世纪教育网版权所有
解：方程两边同乘（x-3），得
x=2(x-3)+m
即，x=6-m
因为方程有增根，所以令x-3=0，得x=3
把x=3代入x=6-m，得m=3
所以m=3
3．关于x的方程无解，求m的值
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．www.21-cn-jy.com
解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m，
由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，
代入整式方程得：﹣5=﹣2+2+m，
解得：m=﹣5，
点评：此题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
4．若关于x的方程=3的解为非负数，求m的取值范围
【分析】分式方程有解且解非负，故x-3≠0，x≥0
解：方程两边同乘（x-3），得
x+m-3m=3(x-3)
即，2x=9-2m
由题意得，9-2m≥0,且 9-2m≠3
解得，m≤且m≠3
5．关于x的方程 有增根，则m及增根的值分别为 .
解析：增根是指使分母为零的未知数的值，故令x+3=0,解得x=-3,
去分母后，把x=-3代入得m=-1
6、若关于x的方程有增根，则k的值是________
解析：去分母，得
X-8+k=8(x-7)
即， 7x=48+k
令x-7=0,解得x=7
把x=7代入7x=48+k，求得k=1
答案: 1
7.分式方程的解为_____________
解析：去分母，得
12-2(x+3)=x-3
解得，x=3
检验：x=3时，(x+3)(x-3)=0
所以x=3是原方程的增根，故原方程无解
8.若关于的分式方程无解，则的值_____________
解析：去分母，得
（2m+1）x=-6
由题意，2m+1=0或x(x-3)=0时，原方程无解
求得，m=±
答案: ±
10、已知的值为正整数，则整数的值为 .
解析：即是m-6是6的负约数，故m-6=-1,-2,-3或-6
答案: m=5,4,3或0
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