备考2018中考数学高频考点剖析
专题九 函数之反比例函数问题
考点扫描☆聚焦中考
关于反比例函数问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括反比例图像与性质和反比例的综合应用两方面，总体来看，难度系数比较低，以选择填空和解析题为主。解析题主要以一次函数与反比例函数的综合应用为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行实数的概念和计算问题的探讨：
（1）反比例函数的图像与性质；
（2）反比例函数中“K”值的意义；
（3）反比例函数与其它函数的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1（2017内蒙古赤峰）点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数图象的增减性进行填空．
【解答】解：∵反比例函数y=中的9＞0，
∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
又∵A（1，y1）、B（3，y2）都位于第一象限，且1＜3，
∴y1＞y2，
故选A．
例2（2017湖北江汉）如图，P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质． 【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】易求得点P的坐标，即可求得点B坐标，即可解题．
【解答】解：作PD⊥OB，
∵P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，
∴m=，解得：m=3，
∴PD=3，
∵△ABP是等边三角形，
∴BD=PD=，
∴S△POB=OB?PD=（OD+BD）?PD=，
故选 D．
例3（2017张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与y=（m≠0）的图象可能是（ ）21教育网
A． B． C． D．
【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象．
【分析】在各选项中，先利用反比例函数图象确定m的符号，再利用m的符号对一次函数图象的位置进行判断，从而判断该选项是否正确．21*cnjy*com
【解答】解：A、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以A选项错误；
B、由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以C选项错误；
D、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以D选项正确．
故选D．
例4（2017宁夏）直线y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．【出处：21教育名师】
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
【分析】（1）首先确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）分两种情形讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），21cnjy.com
∴m=2，n=1，
∴A（2，3），B（6，1），
则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+94
（2）如图①当PA⊥OD时，∵PA∥CC，
∴△ADP∽△CDO，
此时p（2，0）．
②当AP′⊥CD时，易知△P′DA∽△CDO，
∵直线AB的解析式为y=﹣x+4，
∴直线P′A的解析式为y=2x﹣1，
令y=0，解得x=，
∴P′（，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，0）或（，0）．
【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．【版权所有：21教育】
例5（2017?乐山）某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年 度
2013
2014
2015
2016
投入技改资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．
【考点】GA：反比例函数的应用．
【分析】（1）根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；
②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解；
【解答】解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b，
当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6，
∴，
解得k=﹣2.4，b=13.2
∴一次函数解析式为y=﹣2.4x+13.2
把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，
左边≠右边．
∴其不是一次函数．
同理．其也不是二次函数．
设其为反比例函数．解析式为y=．
当x=2.5时，y=7.2，可得：7.2=，
解得k=18
∴反比例函数是y=．
验证：当x=3时，y==6，符合反比例函数．
同理可验证x=4时，y=4.5，x=4.5时，y=4成立．
可用反比例函数y=表示其变化规律．
（2）①当x=5万元时，y=3.6．
4﹣3.6=0.4（万元），
∴生产成本每件比2009年降低0.4万元．
②当y=3.2万元时，3.2=，
∴x=5.625，
∴5.625﹣4.5=1.125≈1.13（万元）
∴还约需投入1.13万元．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．要注意用排除法确定函数的类型．www-2-1-cnjy-com
考点过关☆专项突破
类型一 反比例函数的图像与性质；
1.（2017广西河池）点P（﹣3，1）在双曲线y=上，则k的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2. （2017黑龙江佳木斯）反比例函数y=图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ）2-1-c-n-j-y
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
3. （2017广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2）
4. （2017.湖南怀化）如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是（ ）21*cnjy*com
A．6 B．4 C．3 D．2
5. （2017山东滨州）在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y=x和双曲线y=相交于点A、B，且AC+BC=4，则△OAB的面积为（ ）
A．2+3或2﹣3 B． +1或﹣1 C．2﹣3 D．﹣1
6. (2017湖北咸宁)在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0）
7. （2017浙江衢州）如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
8. （2017?宁德）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，AC与OB交于点D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D．若将菱形OABC向左平移n个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n的值为 ．
9. （2017浙江湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数y=和y=在第一象限的图象于点A，B，过点B作 BD⊥x轴于点D，交y=的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 ．
10. （2017贵州）如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=﹣和y2=的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为 ．
类型二 反比例函数中“K”值的意义；
1. （2017湖北江汉）如图，P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
2. （2017山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（ ）
A．6 B．10 C．2 D．2
3. （2017湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=，则BN的长为 3 ．
4 （2017齐齐哈尔）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于 ．
5. （2017广西百色）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D．21世纪教育网版权所有
（1）求这个反比函数的解析式；
（2）求△ACD的面积．
6. （2017山东聊城）如图，分别位于反比例函数y=，y=在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且=．21·世纪*教育网
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）过点A作x轴的平行线交y=的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．
类型三 反比例函数与其它函数的综合应用．
1．（2017深圳）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D． 21·cn·jy·com
（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=（x＞0）的表达式；
（2）求证：AD=BC．
2．（2017湖北随州）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B，AB=．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．21教育名师原创作品
3．（2017山东泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=，OB=2，反比例函数y=的图象经过点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．
4. （2017湖南岳阳）如图，直线y=x+b与双曲线y=（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．www.21-cn-jy.com
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．
5. （2017甘肃张掖）已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）写出点P关于原点的对称点P'的坐标；
（3）求∠P'AO的正弦值．
6. （2017重庆B）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=4，cos∠ACH=，点B的坐标为（4，n）
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△BCH的面积．
7. （2017湖南株洲）
如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．2·1·c·n·j·y
①求k的值以及w关于t的表达式；
②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin．
8. （2017甘肃天水）如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
备考2018中考数学高频考点剖析
专题九 函数之反比例函数问题
考点扫描☆聚焦中考
关于反比例函数问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括反比例图像与性质和反比例的综合应用两方面，总体来看，难度系数比较低，以选择填空和解析题为主。解析题主要以一次函数与反比例函数的综合应用为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行实数的概念和计算问题的探讨：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）反比例函数的图像与性质；
（2）反比例函数中“K”值的意义；
（3）反比例函数与其它函数的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1（2017内蒙古赤峰）点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数图象的增减性进行填空．
【解答】解：∵反比例函数y=中的9＞0，
∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
又∵A（1，y1）、B（3，y2）都位于第一象限，且1＜3，
∴y1＞y2，
故选A．
例2（2017湖北江汉）如图，P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质．
【分析】易求得点P的坐标，即可求得点B坐标，即可解题．
【解答】解：作PD⊥OB，
∵P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，
∴m=，解得：m=3，
∴PD=3，
∵△ABP是等边三角形，
∴BD=PD=，
∴S△POB=OB?PD=（OD+BD）?PD=，
故选 D．
例3（2017张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与y=（m≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象．
【分析】在各选项中，先利用反比例函数图象确定m的符号，再利用m的符号对一次函数图象的位置进行判断，从而判断该选项是否正确．
【解答】解：A、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以A选项错误；
B、由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以C选项错误；
D、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以D选项正确．
故选D．
例4（2017宁夏）直线y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
【分析】（1）首先确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）分两种情形讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），
∴m=2，n=1，
∴A（2，3），B（6，1），
则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+94
（2）如图①当PA⊥OD时，∵PA∥CC，
∴△ADP∽△CDO，
此时p（2，0）．
②当AP′⊥CD时，易知△P′DA∽△CDO，
∵直线AB的解析式为y=﹣x+4，
∴直线P′A的解析式为y=2x﹣1，
令y=0，解得x=，
∴P′（，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，0）或（，0）．
【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
例5（2017?乐山）某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年 度
2013
2014
2015
2016
投入技改资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；21·世纪*教育网
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．【出处：21教育名师】
【考点】GA：反比例函数的应用．
【分析】（1）根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；
②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解；
【解答】解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b，
当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6，
∴，
解得k=﹣2.4，b=13.2
∴一次函数解析式为y=﹣2.4x+13.2
把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，
左边≠右边．
∴其不是一次函数．
同理．其也不是二次函数．
设其为反比例函数．解析式为y=．
当x=2.5时，y=7.2，可得：7.2=，
解得k=18
∴反比例函数是y=．
验证：当x=3时，y==6，符合反比例函数．
同理可验证x=4时，y=4.5，x=4.5时，y=4成立．
可用反比例函数y=表示其变化规律．
（2）①当x=5万元时，y=3.6．
4﹣3.6=0.4（万元），
∴生产成本每件比2009年降低0.4万元．
②当y=3.2万元时，3.2=，
∴x=5.625，
∴5.625﹣4.5=1.125≈1.13（万元）
∴还约需投入1.13万元．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．要注意用排除法确定函数的类型．
考点过关☆专项突破
类型一 反比例函数的图像与性质；
1.（2017广西河池）点P（﹣3，1）在双曲线y=上，则k的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可得答案．
【解答】解：∵点P（﹣3，1）在双曲线y=上，
∴k=﹣3×1=﹣3，
故选：A．
2. （2017黑龙江佳木斯）反比例函数y=图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=中，k=3＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴（x1，y1）、（x2，y2）在第三象限，（x3，y3）在第一象限，
∴y2＜y1＜0＜y3．
故选B．
3. （2017广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2）
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：∵点A与B关于原点对称，
∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：A．
4. （2017.湖南怀化）如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=k1，S△COE=S△DOF=﹣k2，结合S△AOC=S△AOE+S△COE和S△BOD=S△DOF+S△BOF可求得k1﹣k2的值．
【解答】解：连接OA、OC、OD、OB，如图：
由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=|k1|=k1，S△COE=S△DOF=|k2|=﹣k2，
∵S△AOC=S△AOE+S△COE，
∴AC?OE=×2OE=OE=（k1﹣k2）…①，
∵S△BOD=S△DOF+S△BOF，
∴BD?OF=×（EF﹣OE）=×（3﹣OE）=﹣OE=（k1﹣k2）…②，
由①②两式解得OE=1，
则k1﹣k2=2．
故选D．
5. （2017山东滨州）在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y=x和双曲线y=相交于点A、B，且AC+BC=4，则△OAB的面积为（ ）
A．2+3或2﹣3 B． +1或﹣1 C．2﹣3 D．﹣1
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据题意表示出AB，BC的长，进而得出等式求出m的值，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：设点C的坐标为（m，0），则A（m，m），B（m，），
所以AB=m，BC=．
∵AC+BC=4，
∴可列方程m+=4，
解得：m=2±．所以A（2+，2+），B（2+，2﹣）或A（2﹣，2﹣），B（2﹣，2+），
∴AB=2．
∴△OAB的面积=×2×（2±）=2±3
故选：A．
6. (2017湖北咸宁)在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0）
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．21教育网
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠BCD=90°，
∠OAC+ACO=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△ACO与△BCD中，
∴△ACO≌△BCD（AAS）
∴OC=BD，OA=CD，
∵A（0，2），C（1，0）
∴OD=3，BD=1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y=，
将B（3，1）代入y=，
∴k=3，
∴y=，
∴把y=2代入y=，
∴x=，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了个单位长度，
∴C也移动了个单位长度，
此时点C的对应点C′的坐标为（，0）
故选（C）
7. （2017浙江衢州）如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）www.21-cn-jy.com
A．2 B．2 C．4 D．4
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】设A（a，），可求出B（2a，），由于对角线垂直，计算对角线长积的一半即可．
【解答】解：设A（a，），可求出B（2a，），
∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD=AC?BD=×2a×=4，
故选C．
8. （2017?宁德）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，AC与OB交于点D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D．若将菱形OABC向左平移n个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n的值为 2 ．【版权所有：21教育】
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L8：菱形的性质；Q3：坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有21*cnjy*com
【分析】根据菱形的性质得出CD=AD，BC∥OA，根据D （8，4）和反比例函数y=的图象经过点D求出k=32，C点的纵坐标是2×4=8，求出C的坐标，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCO是菱形，
∴CD=AD，BC∥OA，
∵D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D，
∴k=32，C点的纵坐标是2×4=8，
∴y=，
把y=8代入得：x=4，
∴n=4﹣2=2，
∴向左平移2个单位长度，反比例函数能过C点，
故答案为：2．
【点评】本题考查了菱形的性质，平移的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，能求出C的坐标是解此题的关键．
9. （2017浙江湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数y=和y=在第一象限的图象于点A，B，过点B作 BD⊥x轴于点D，交y=的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 或 ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；KH：等腰三角形的性质．
【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k表示），再讨论①AB=BC，②AC=BC，即可解题．
【解答】解：∵点B是y=kx和y=的交点，y=kx=，
解得：x=，y=3，
∴点B坐标为（，3），
点A是y=kx和y=的交点，y=kx=，
解得：x=，y=，
∴点A坐标为（，），
∵BD⊥x轴，
∴点C横坐标为，纵坐标为=，
∴点A坐标为（，），
∴BA≠AC，
若△ABC是等腰三角形，
①AB=BC，则=3﹣，
解得：k=；
②AC=BC，则=3﹣，
解得：k=；
故答案为 k=或．
10. （2017贵州）如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=﹣和y2=的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为 ﹣8 ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】设A（a，b），则B（2a，2b），将点A、B分别代入所在的双曲线方程进行解答．
【解答】解：设A（a，b），则B（2a，2b），
∵点A在反比例函数y1=﹣的图象上，
∴ab=﹣2；
∵B点在反比例函数y2=的图象上，
∴k=2a?2b=4ab=﹣8．
故答案是：﹣8．
类型二 反比例函数中“K”值的意义；
1. （2017湖北江汉）如图，P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质． 21*cnjy*com
【分析】易求得点P的坐标，即可求得点B坐标，即可解题．
【解答】解：作PD⊥OB，
∵P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，
∴m=，解得：m=3，
∴PD=3，
∵△ABP是等边三角形，
∴BD=PD=，
∴S△POB=OB?PD=（OD+BD）?PD=，
故选 D．
2. （2017山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（ ）21cnjy.com
A．6 B．10 C．2 D．2
【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M（6，），N（，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，4），N（4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，
∴M（6，），N（，6），
∴BN=6﹣，BM=6﹣，
∵△OMN的面积为10，
∴6×6﹣×6×﹣6×﹣×（6﹣）2=10，
∴k=24，
∴M（6，4），N（4，6），
作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，
∵AM=AM′=4，
∴BM′=10，BN=2，
∴NM′===2，
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称﹣最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
3. （2017湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=，则BN的长为 3 ．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数k的几何意义；T7：解直角三角形．
【分析】利用矩形的面积公式得到AB?BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到an∠DOE==，所以DE?2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在Rt△OCM中利用正切定义得到MC=2，则M（﹣2，4），易得反比例函数解析式为y=﹣，然后确定N点坐标，最后计算BN的长．
【解答】解：∵S矩形OABC=32，
∴AB?BC=32，
∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，
∴AB=DE，OD=OA，
在Rt△ODE中，tan∠DOE==，即OD=2DE，
∴DE?2DE=32，解得DE=4，
∴AB=4，OA=8，
在Rt△OCM中，∵tan∠COM==，
而OC=AB=4，
∴MC=2，
∴M（﹣2，4），
把M（﹣2，4）代入y=得k=﹣2×4=﹣8，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
当x=﹣8时，y=﹣=1，则N（﹣8，1），
∴BN=4﹣1=3．
故答案为3．
4 （2017齐齐哈尔）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于 ﹣24 ．www.21-cn-jy.comwww-2-1-cnjy-com
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】易证S菱形ABCO=2S△CDO，再根据tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，代入反比例函数即可解题．
【解答】解：作DE∥AO，CF⊥AO，设CF=4x，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∵DE∥AO，
∴S△ADO=S△DEO，
同理S△BCD=S△CDE，
∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，
∴S菱形ABCO=2（S△DEO+S△CDE）=2S△CDO=40，
∵tan∠AOC=，
∴OF=3x，
∴OC==5x，
∴OA=OC=5x，
∵S菱形ABCO=AO?CF=20x2，解得：x=，
∴OF=，CF=，
∴点C坐标为（﹣，），
∵反比例函数y=的图象经过点C，
∴代入点C得：k=﹣24，
故答案为﹣24．
5. （2017广西百色）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D．
（1）求这个反比函数的解析式；
（2）求△ACD的面积．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）将B点坐标代入函数解析式，得
=2，
解得k=6，
反比例函数的解析式为y=；
（2）由B（3，2），点B与点C关于原点O对称，得
C（﹣3，﹣2）．
由BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D，
得A（3，0），D（﹣3，0）．
S△ACD=AD?CD= [3﹣（﹣3）]×|﹣2|=6．
6. （2017山东聊城）如图，分别位于反比例函数y=，y=在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且=．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）过点A作x轴的平行线交y=的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式；G5：反比例函数系数k的几何意义．
【分析】（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F，根据△AOE∽△BOF，则设A的横坐标是m，则可利用m表示出A和B的坐标，利用待定系数法求得k的值；
（2）根据AC∥x轴，则可利用m表示出C的坐标，利用三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F．
∵△AOE∽△BOF，又=，
∴===．
由点A在函数y=的图象上，
设A的坐标是（m，），
∴==， ==，
∴OF=3m，BF=，即B的坐标是（3m，）．
又点B在y=的图象上，
∴=，
解得k=9，
则反比例函数y=的表达式是y=；
（2）由（1）可知，A（m，），B（3m，），
又已知过A作x轴的平行线交y=的图象于点C．
∴C的纵坐标是，
把y=代入y=得x=9m，
∴C的坐标是（9m，），
∴AC=9m﹣m=8m．
∴S△ABC=×8m×=8．
类型三 反比例函数与其它函数的综合应用．
1．（2017深圳）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=（x＞0）的表达式；
（2）求证：AD=BC．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；www-2-1-cnjy-com21·cn·jy·com
（2）由（1）知，直线AB的解析式，进而求出C，D坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=中，得，m=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=，
将点B（a，1）代入y=中，得，a=8，
∴B（8，1），
将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得，，
∴，
∴一次函数解析式为y=﹣x+5；
（2）∵直线AB的解析式为y=﹣x+5，
∴C（10，0），D（0，5），
如图，
过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∴E（0，4），F（8，0），
∴AE=2，DE=1，BF=1，CF=2，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD==，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BC==，
∴AD=BC．
2．（2017湖北随州）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B，AB=．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．2·1·c·n·j·y
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；Q3：坐标与图形变化﹣平移．【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】（1）求出点B坐标即可解决问题；
（2）结论：P在第二象限，Q在第三象限．利用反比例函数的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意B（﹣2，），
把B（﹣2，）代入y=中，得到k=﹣3，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
（2）结论：P在第二象限，Q在第三象限．
理由：∵k=﹣3＜0，
∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大，
∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，
∴P、Q在不同的象限，
∴P在第二象限，Q在第三象限．
3．（2017山东泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=，OB=2，反比例函数y=的图象经过点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．2-1-c-n-j-y
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F8：一次函数图象上点的坐标特征；T7：解直角三角形．
【分析】（1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a，通过解直角△OBD得到OD=2BD．然后利用勾股定理列出关于a的方程并解答即可；21教育名师原创作品
（2）欲求直线AM的表达式，只需推知点A、M的坐标即可．通过解直角△AOB求得OA=5，则A（5，0）．根据对称的性质得到：OM=2OB，结合B（4，2）求得M（8，4）．然后由待定系数法求一次函数解析式即可．
【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，
设BD=a，
∵tan∠AOB==，
∴OD=2BD．
∵∠ODB=90°，OB=2，
∴a2+（2a）2=（2）2，
解得a=±2（舍去﹣2），
∴a=2．
∴OD=4，
∴B（4，2），
∴k=4×2=8，
∴反比例函数表达式为：y=；
（2）∵tan∠AOB=，OB=2，
∴AB=OB=，
∴OA===5，
∴A（5，0）．
又△AMB与△AOB关于直线AB对称，B（4，2），
∴OM=2OB，
∴M（8，4）．
把点M、A的坐标分别代入y=mx+n，得
，
解得，
故一次函数表达式为：y=x﹣．
4. （2017湖南岳阳）如图，直线y=x+b与双曲线y=（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．21世纪教育网版权所有
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．
【分析】（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y=x+b，分别可得k，b的值；
（2）先根据直线解析式得到BO=CO=1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P的坐标．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入双曲线y=，可得k=2，
∴双曲线的解析式为y=；
把A（1，2）代入直线y=x+b，可得b=1，
∴直线的解析式为y=x+1；
（2）设P点的坐标为（x，0），
在y=x+1中，令y=0，则x=﹣1；令x=0，则y=1，
∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO=1=CO，
∵△BCP的面积等于2，
∴BP×CO=2，即|x﹣（﹣1）|×1=2，
解得x=3或﹣5，
∴P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．
5. （2017甘肃张掖）已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）写出点P关于原点的对称点P'的坐标；
（3）求∠P'AO的正弦值．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）根据P（，8），可得反比例函数解析式，根据P（，8），Q（4，1）两点可得一次函数解析式；
（2）根据中心对称的性质，可得点P关于原点的对称点P'的坐标；
（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，构造直角三角形，依据P'D以及AP'的长，即可得到∠P'AO的正弦值．
【解答】 解：（1）∵点P在反比例函数的图象上，
∴把点P（，8）代入可得：k2=4，
∴反比例函数的表达式为，
∴Q （4，1）．
把P（，8），Q （4，1）分别代入y=k1x+b中，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为y=﹣2x+9；
（2）点P关于原点的对称点P'的坐标为（，﹣8）；
（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D．
∵P′（，﹣8），
∴OD=，P′D=8，
∵点A在y=﹣2x+9的图象上，
∴点A（，0），即OA=，
∴DA=5，
∴P′A=，
∴sin∠P′AD=，
∴sin∠P′AO=．
6. （2017重庆B）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=4，cos∠ACH=，点B的坐标为（4，n）
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△BCH的面积．
【分析】（1）首先利用锐角三角函数关系得出HC的长，再利用勾股定理得出AH的长，即可得出A点坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出B点坐标，即可得出一次函数解析式；
（2）利用B点坐标的纵坐标再利用HC的长即可得出△BCH的面积．
【解答】解：（1）∵AH⊥x轴于点H，AC=4，cos∠ACH=，
∴==，
解得：HC=4，
∵点O是线段CH的中点，
∴HO=CO=2，
∴AH==8，
∴A（﹣2，8），
∴反比例函数解析式为：y=﹣，
∴B（4，﹣4），
∴设一次函数解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+4；
（2）由（1）得：△BCH的面积为：×4×4=8．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数解析式求法以及三角形面积求法，正确得出A点坐标是解题关键．
7. （2017湖南株洲）
如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．
①求k的值以及w关于t的表达式；
②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S△PAB=?PA?PB=（4﹣）（3﹣），再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；21教育网
（2）将（1）中所得解析式配方求得wmax=，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点P（3，4），
∴在y=中，当x=3时，y=，即点A（3，），
当y=4时，x=，即点B（，4），
则S△PAB=?PA?PB=（4﹣）（3﹣），
如图，延长PA交x轴于点C，
则PC⊥x轴，
又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=×3×4﹣t=6﹣t，
∴w=6﹣t﹣（4﹣）（3﹣）=﹣t2+t；
（2）∵w=﹣t2+t=﹣（t﹣6）2+，
∴wmax=，
则T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+=（a﹣）2+，
∴当a=时，Tmin=．
8. （2017甘肃天水）如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；
（2）根据点B坐标可得底边BC=2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．
【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=，得：m=8，
则反比例函数解析式为y=，
当x=﹣4时，y=﹣2，
则点B（﹣4，﹣2），
将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b，
得：，
解得：，
则一次函数解析式为y=x+2；
（2）由题意知BC=2，
则△ACB的面积=×2×6=6．
