备考2018中考数学高频考点剖析
专题十 函数之二次函数问题
考点扫描☆聚焦中考
二次函数问题，是每年中考的必考内容之一，也是每种类型题中的重头戏、压轴题，考查的知识点包括二次函数的图像与性质、二次函数的应用和二次函数和几何图形的综合应用等三个大方面，总体来看，难度系数较高，以选择、填空、解析压轴为主。解析题主要以二次函数的综合应用为主，侧重于二次函数、一次函数和几何图形的综合应用为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行二次函数问题的探讨：
（1）二次函数的图像与性质问题；
（2）二次函数的应用；
（3）二次函数与几何图形的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1（2017湖北随州）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（ ）
A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．x＜m时，y随x的增大而减小
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H3：二次函数的性质．
【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；
B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为： =﹣3，故此选项正确，不合题意；
C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；
D、∵a=1＞0，对称轴x=m，
∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；
故选：C．
例2（2017湖南株洲）
如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为 ①④ ．
【考点】：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），可得c=﹣2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），可得a﹣b﹣2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．
【解答】解：由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，
∵开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴﹣＞0，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2；
∴0＜a＜2；
∴①正确；
∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），
∴c=﹣2，故③错误；
∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②错误；
∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，
∴x2=2＞﹣1，故④正确．
故答案为：①④．
例3（2017山东临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：www.21-cn-jy.com
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（ ）21世纪教育网版权所有
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．
∴正确的有②③，
故选B．
【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．
例4（2017毕节）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．www-2-1-cnjy-com
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；2-1-c-n-j-y
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；
（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．
【解答】解：
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；
（3）∵点P在抛物线上，
∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC解析式为y=x﹣4，
∴F（t，t﹣4），
∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，21·世纪*教育网
∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，
∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．
例5（2017山东临沂）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．21*cnjy*com
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法即可得到结论；
（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m即可得到结论；21教育名师原创作品
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．
【解答】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），
∴OC=3，
∵OC=3OB，
∴OB=1，
∴B（﹣1，0），
把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，
∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），
∴AF∥x轴，
∴F（﹣1，﹣3），
∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设D（0，m），则OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），
①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，
则△ABF≌△NME，
∴NE=AF=3，ME=BF=3，
∴|a﹣1|=3，
∴a=3或a=﹣2，
∴M（4，5）或（﹣2，11）；
②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，
则N在x轴上，M与C重合，
∴M（0，﹣3），
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．【版权所有：21教育】
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
考点过关☆专项突破
类型一 二次函数的图像与性质
1. 已知二次函数y = (x+m)2 - n的图象如图所示，则一次函数y = mx + n 与反比例函数 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
2. （2017.江苏宿迁）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）
A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣1
3. （2017?乐山）已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A．﹣2 B． C．或 D．或
4. （2017四川眉山）若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2﹣ax（ ）
A．有最大值 B．有最大值﹣ C．有最小值 D．有最小值﹣
5. （2017齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6. （2017江苏盐城）如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A． B． C．D．
7. （2017山东泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8. （2017甘肃天水）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：【来源：21cnj*y.co*m】
①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是 ．（只填写序号）21*cnjy*com
类型二 二次函数的应用
1. （2017湖北江汉）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒．
2．（2017山东泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
3．（2017.江苏宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm
4. （2017?温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为 cm．
5. （2017浙江湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）
6（2017湖北荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：
，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
7. （2017湖北随州）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？21教育网
8 （2017?温州）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．
（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；
（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等
①求AB，BC的长；
②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．
类型三 二次函数与几何图形的综合应用
1．（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
2．（2017内蒙古赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．2·1·c·n·j·y
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；www.21-cn-jy.com
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
3．（2017深圳）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；21·cn·jy·com
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
4. （2017乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．
①当PE=2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5. （2017张家界）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．
6. （2017浙江衢州）定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．【出处：21教育名师】
（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．
（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．
7. （2017湖南岳阳）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
8. （2017山东烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9. （2017贵州）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：直线l是⊙M的切线；
（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
10. （2017日照）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．21cnjy.com
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
备考2018中考数学高频考点剖析
专题十 函数之二次函数问题
考点扫描☆聚焦中考
二次函数问题，是每年中考的必考内容之一，也是每种类型题中的重头戏、压轴题，考查的知识点包括二次函数的图像与性质、二次函数的应用和二次函数和几何图形的综合应用等三个大方面，总体来看，难度系数较高，以选择、填空、解析压轴为主。解析题主要以二次函数的综合应用为主，侧重于二次函数、一次函数和几何图形的综合应用为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行二次函数问题的探讨：
（1）二次函数的图像与性质问题；
（2）二次函数的应用；
（3）二次函数与几何图形的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1（2017湖北随州）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（ ）
A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．x＜m时，y随x的增大而减小
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H3：二次函数的性质．
【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；
B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为： =﹣3，故此选项正确，不合题意；
C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；
D、∵a=1＞0，对称轴x=m，
∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；
故选：C．
例2（2017湖南株洲）
如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为 ①④ ．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），可得c=﹣2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），可得a﹣b﹣2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．21·cn·jy·com
【解答】解：由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，
∵开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴﹣＞0，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2；
∴0＜a＜2；
∴①正确；
∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），
∴c=﹣2，故③错误；
∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②错误；
∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，
∴x2=2＞﹣1，故④正确．
故答案为：①④．
例3（2017山东临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．
【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．
∴正确的有②③，
故选B．
【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．
例4（2017毕节）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；
（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．
【解答】解：
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；
（3）∵点P在抛物线上，
∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC解析式为y=x﹣4，
∴F（t，t﹣4），
∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，
∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，
∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．
例5（2017山东临沂）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法即可得到结论；
（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m即可得到结论；2-1-c-n-j-y
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．
【解答】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），
∴OC=3，
∵OC=3OB，
∴OB=1，
∴B（﹣1，0），
把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，
∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），
∴AF∥x轴，
∴F（﹣1，﹣3），
∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设D（0，m），则OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），
①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，
则△ABF≌△NME，
∴NE=AF=3，ME=BF=3，
∴|a﹣1|=3，
∴a=3或a=﹣2，
∴M（4，5）或（﹣2，11）；
②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，
则N在x轴上，M与C重合，
∴M（0，﹣3），
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．21教育网
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
考点过关☆专项突破
类型一 二次函数的图像与性质
1. 已知二次函数y = (x+m)2 - n的图象如图所示，则一次函数y = mx + n 与反比例函数 的图象可能是（ ）
（第7题图） A. B. C. D.
【分析】先根据二次函数的图象，确定m，n的符号，再根据m，n的符号判断一次函数y = mx + n 与反比例函数的图象经过的象限即可．
【解答】解：
由对称轴x=﹣m<0，可知m>0，
由顶点在第二象限-n>0，n<0当x=1时，
所以mn<0，反比例函数图象经过二四象限，
由于m>0，n<0，一次函数y = mx + n 经过一三四象限，
故选C．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出m，n的取值范围．
2. （2017.江苏宿迁）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）
A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣1
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】由抛物线平移不改变y的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
【解答】解：将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y=（x﹣2）2+1．
故选B．
3. （2017?乐山）已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【考点】H7：二次函数的最值．
【分析】将二次函数配方成顶点式，分m＜﹣1、m＞2和﹣1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为﹣2，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：y=x2﹣2mx=（x﹣m）2﹣m2，
①若m＜﹣1，当x=﹣1时，y=1+2m=﹣2，
解得：m=﹣；
②若m＞2，当x=2时，y=4﹣4m=﹣2，
解得：m=＜2（舍）；
③若﹣1≤m≤2，当x=m时，y=﹣m2=﹣2，
解得：m=或m=﹣＜﹣1（舍），
∴m的值为﹣或，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
4. （2017四川眉山）若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2﹣ax（ ）21·世纪*教育网
A．有最大值 B．有最大值﹣ C．有最小值 D．有最小值﹣
【考点】H7：二次函数的最值；F7：一次函数图象与系数的关系．
【分析】一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，得到﹣1＜a＜0，于是得到结论．
【解答】解：∵一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，
∴a+1＞0且a＜0，
∴﹣1＜a＜0，
∴二次函数y=ax2﹣ax由有最小值﹣，
故选D．
5. （2017齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（ ）21教育名师原创作品
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由x=﹣1时y＞0可判断③，由x=﹣2时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2，
∴4a﹣b=0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；
∵由②知，x=﹣1时y＞0，且b=4a，
即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＞0，
所以③正确；
由函数图象知当x=﹣2时，函数取得最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y1＜y3＜y2，故⑤错误；
故选：B．
6. （2017江苏盐城）如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．
【解答】
解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，
∴A（1，1），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），
∴AC=4﹣1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC?AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，
即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+4．
故选D．
7. （2017山东泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H3：二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x==，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=﹣1时，y=﹣3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格可知，
二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值，
∴抛物线的开口向下，故①正确，
其图象的对称轴是直线x=，故②错误，
当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，
方程ax2+bx+c=0的一个根大于﹣1，小于0，则方程的另一个根大于=3，小于3+1=4，故④错误，
故选B．
8. （2017甘肃天水）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是 ②⑤ ．（只填写序号）
【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．
观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，
观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，
因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，
所以②⑤正确，
故答案为②⑤．
类型二 二次函数的应用
1. （2017湖北江汉）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 20 秒．
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】将s=60t﹣1.5t2，化为顶点式，即可求得s的最大值，从而可以解答本题．
【解答】解：解：s=60t﹣t2=﹣（t﹣20）2+600，
∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600．
故答案是：20．
2．（2017山东泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
【考点】H7：二次函数的最值．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC==6cm．
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，
∴S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ=AC?BC﹣PC?CQ=×6×8﹣（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，
∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．
故选C．
3．（2017.江苏宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm
【考点】H7：二次函数的最值；KQ：勾股定理．
【分析】根据已知条件得到CP=6﹣t，得到PQ===，于是得到结论．
【解答】解：∵AP=CQ=t，
∴CP=6﹣t，
∴PQ===，
∵0≤t≤2，
∴当t=2时，PQ的值最小，
∴线段PQ的最小值是2，
故选C．
4. （2017?温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为 24﹣8 cm．
【考点】HE：二次函数的应用．
【专题】153：代数几何综合题．
【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣x2+x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，
由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，
∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，
∴BQ=12﹣8=4，
由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，
∴=，即=，
∴CG=12，OC=12+8=20，
∴C（20，0），
又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），
∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，
把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得
，解得，
∴抛物线为y=﹣x2+x+24，
又∵点E的纵坐标为10.2，
∴令y=10.2，则10.2=﹣x2+x+24，
解得x1=6+8，x2=6﹣8（舍去），
∴点E的横坐标为6+8，
又∵ON=30，
∴EH=30﹣（6+8）=24﹣8．
故答案为：24﹣8．
【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．21*cnjy*com
5. （2017浙江湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．【出处：21教育名师】
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；
（2）①分0≤t≤50、50＜t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；
②就以上两种情况，根据“利润=销售总额﹣总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．
【解答】解：（1）由题意，得：，
解得，
答：a的值为0.04，b的值为30；
（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y=k1t+n1，
将（0，15）、（50，25）代入，得：，
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=t+15；
当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=k2t+n2，
将点（50，25）、代入，得：，
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=﹣t+30；
②由题意，当0≤t≤50时，
W=20000（t+15）﹣=3600t，
∵3600＞0，
∴当t=50时，W最大值=180000（元）；
当50＜t≤100时，W=（﹣t+30）﹣
=﹣10t2+1100t+150000
=﹣10（t﹣55）2+180250，
∵﹣10＜0，
∴当t=55时，W最大值=180250（元），
综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．
6（2017湖北荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：2·1·c·n·j·y
，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．21cnjy.com
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；
（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；
（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；
（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，
将（1，198）、（80，40）代入，得：
，
解得：，
∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；
（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，
①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，
∴当t=30时，w最大=2450；
②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，
∴当t=41时，w最大=2301，
∵2450＞2301，
∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．
（3）由（2）得：当1≤t≤40时，
w=﹣（t﹣30）2+2450，
令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，
解得：t1=20、t2=40，
由函数w=﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，
而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，
∴t的取值范围是20≤t≤40，
∴共有21天符合条件．
（4）设日销售利润为w，根据题意，得：
w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，
其函数图象的对称轴为t=2m+30，
∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，
∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，
解得：m≥5，
又m＜7，
∴5≤m＜7．
7. （2017湖北随州）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；
（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价﹣进价）×销量﹣费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；
（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，根据第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，列不等式可得结论．
【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，
10（1﹣x）2=8.1，
x=10%或x=190%（舍去），
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，
∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，
∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=1时，y有最大值，
y大=﹣17.7×1+352=334.3（元），
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，
∴y=（8.1﹣4.1）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，
∵﹣3＜0，
∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，
当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，
∴当x=10时，y有最大值，
y大=380（元），
综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：y=，
第10天时销售利润最大；
（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，
由题意得：380﹣127.5≤（4﹣a）﹣（3×152﹣64×15+400），
252.5≤105（4﹣a）﹣115，
a≤0.5，
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．
8 （2017?温州）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．
（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；【版权所有：21教育】
（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等
①求AB，BC的长；
②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．
【考点】C9：一元一次不等式的应用；HE：二次函数的应用；LB：矩形的性质．
【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；
（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；
②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，由PQ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x?s+3x?（12﹣s）=4800，解得s=，由0＜s＜12，可得0＜＜12，解不等式即可；
【解答】解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，
解得S≤24．
∴S的最大值为24．
（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，
∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．
②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，
∵PQ∥AD，
∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），
由题意12（300﹣3x）+5x?s+3x?（12﹣s）=4800，
解得s=，
∵0＜s＜12，
∴0＜＜12，
∴0＜x＜50，
∴丙瓷砖单价3x的范围为0＜3x＜150元/m2．
【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型．
类型三 二次函数与几何图形的综合应用
1．（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式；T7：解直角三角形．
【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；
（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；
（3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．
【解答】解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，
，
解得，a=4，b=﹣3，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；
（2）∵点C在y轴上，
所以C点横坐标x=0，
∵点P是线段BC的中点，
∴点P横坐标xP==，
∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，
∴yP=﹣3=，
∴点P的坐标为（，）；
（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为2×﹣0=，
∴点C的坐标为（0，），
∴BC==，
∴sin∠OCB===．
2．（2017内蒙古赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；www.21-cn-jy.com
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．21世纪教育网版权所有
【解答】解：
（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，
∴直线BD解析式为y=﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，
∴当m=时，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO=45°，
∴∠HGQ=∠BGE=45°，
当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，
∴QG=×2=4，
∴|﹣x2+3x|=4，
当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，
当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，
∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．
3．（2017深圳）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB=5，OC=2，
∴S△ABC=AB?OC=×5×2=5，
∵S△ABC=S△ABD，
∴S△ABD=×5=，
设D（x，y），
∴AB?|y|=×5|y|=，解得|y|=3，
当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；
（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC==，BC==2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，
由题意可知∠FBC=45°，
∴∠CFB=45°，
∴CF=BC=2，
∴=，即=，解得OM=2， =，即=，解得FM=6，
∴F（2，6），且B（4，0），
设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，
∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，﹣3），
∴BE==．
4. （2017乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．21*cnjy*com
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．
①当PE=2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵点B（4，m）在直线y=x+1上，
∴m=4+1=5，
∴B（4，5），
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）①设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），
则PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，
∵PE=2ED，
∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，
当﹣x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（2，9）；
当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（6，﹣7）；
综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；
②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），
∴BE==|x﹣4|，CE==，BC==，
当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，
当BE=CE时，则|x﹣4|=，解得x=，此时P点坐标为（，）；
当BE=BC时，则|x﹣4|=，解得x=4+或x=4﹣，此时P点坐标为（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；
当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．
5. （2017张家界）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到结论；www.21-cn-jy.com
（2）解方程组得到x2+3x+m﹣3=0，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；
（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；
（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB==4，①当AP=AB，②当AB=BP=4时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），
∴设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，
把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，
∴a=﹣1，
∴抛物线c1的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；
（2）解得x2+3x+m﹣3=0，
∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，
∴△=9﹣4m+12=0，
∴m=；
（3）∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，
∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），
∴抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；
②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；
③当3＜n＜4或n＞3时，l2与c1和c2共有四个交点；
（4）如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，
∴B（3，0），
∴OB=3，
∴AB==4，
①当AP=AB=4时，PB=8，
∴P1（﹣5，0），
②当AB=BP=4时，
P2（3﹣4，0）或P3（3+4，0），
③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB=4，
∴P4（﹣1，0），
综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．
6. （2017浙江衢州）定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．
（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．
（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）根据抛物线勾股点的定义即可得；
（2）作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG=1、PG=、PA=2，由tan∠PAB==知∠PAG=60°，从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得；
（3）由S△ABQ=S△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此求解可得．
【解答】解：（1）抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；
（2）抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0），
如图，作PG⊥x轴于点G，
∵点P的坐标为（1，），
∴AG=1、PG=，PA===2，
∵tan∠PAB==，
∴∠PAG=60°，
在Rt△PAB中，AB===4，
∴点B坐标为（4，0），
设y=ax（x﹣4），
将点P（1，）代入得：a=﹣，
∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x；
（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为，
则有﹣x2+x=，
解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（3，）；
②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣，
则有﹣x2+x=﹣，
解得：x1=2+，x2=2﹣，
∴点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；
综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．
7. （2017湖南岳阳）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）设P（m， m2﹣m﹣2），得到N（m，﹣ m﹣），M（﹣m2+2m+2， m2﹣m﹣2），根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）求得E（0，﹣），得到CE=，设P（m， m2﹣m﹣2），①以CE为边，根据CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，﹣），设P（m， m2﹣m﹣2），则F（﹣m， m﹣），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．
【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c得，，
∴
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
（2）设P（m， m2﹣m﹣2），
∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，
∴N（m，﹣ m﹣），M（﹣m2+2m+2， m2﹣m﹣2），
∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣m﹣﹣m2+m+2=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，
∴当m=时，PM+PN的最大值是；
（3）能，
理由：∵y=﹣x﹣交y轴于点E，
∴E（0，﹣），
∴CE=，
设P（m， m2﹣m﹣2），
∵以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，
①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，
∴F（m，﹣ m﹣），
∴﹣m﹣﹣m2+m+2=，
∴m=1，m=0（舍去），
②以CE为对角线，连接PF交CE于G，
∴CG=GE，PG=FG，
∴G（0，﹣），
设P（m， m2﹣m﹣2），则F（﹣m， m﹣），
∴×（m2﹣m﹣2+m﹣）=﹣，
∵△＜0，
∴此方程无实数根，
综上所述，当m=1时，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
8. （2017山东烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．
【解答】解：
（1）∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；
（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y=﹣x，
由题意可得P（m，﹣ m2﹣m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，
∵直线OE解析式为y=﹣x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l=PG= [﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，
∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，
则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=﹣x2﹣x+2，
∴抛物线对称轴为x=﹣1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，
当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，
∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴K（﹣，1），
∵点N在对称轴上，
∴点N的横坐标为﹣1，
设M点横坐标为x，
∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，
∴M（﹣2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
9. （2017贵州）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：直线l是⊙M的切线；
（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG=∠ABD，故此可证明AM⊥AB；
（3））先证明∠FPE=∠FBD．则PF：PE：EF=：2：1．则△PEF的面积=PF2，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．然后可得到PF与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+．
（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．
把x=0代入y=﹣x+4得：y=4，
∴A（0，4）．
将y=0代入得：0=﹣x+4，解得x=8，
∴B（8，0）．
∴OA=4，OB=8．
∵M（﹣1，2），A（0，4），
∴MG=1，AG=2．
∴tan∠MAG=tan∠ABO=．
∴∠MAG=∠ABO．
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．
∴l是⊙M的切线．
（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，
∴∠FPE=∠FBD．
∴tan∠FPE=．
∴PF：PE：EF=：2：1．
∴△PEF的面积=PE?EF=×PF?PF=PF2．
∴当PF最小时，△PEF的面积最小．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．
∴PF=（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）=﹣x+4+x2+x﹣=x2﹣x+=（x﹣）2+．
∴当x=时，PF有最小值，PF的最小值为．
∴P（，）．
∴△PEF的面积的最小值为=×（）2=．
10. （2017日照）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）连接OC，由勾股定理可求得MN的长，则可求得OC的长，由垂径定理可求得OD的长，在Rt△OCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；
（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；
（3）由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S四边形OPMN=8S△QAB可求得点Q到x轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QAB∽△OBN即可．
【解答】解：
（1）如图，连接OC，
∵M（4，0），N（0，3），
∴OM=4，ON=3，
∴MN=5，
∴OC=MN=，
∵CD为抛物线对称轴，
∴OD=MD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD===，
∴PD=PC﹣CD=﹣=1，
∴P（2，﹣1）；
（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），
∴设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线过N（0，3），
∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，
∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；
（3）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3﹣1=2，
∵ON=3，OM=4，PD=1，
∴S四边形OPMN=S△OMP+S△OMN=OM?PD+OM?ON=×4×1+×4×3=8=8S△QAB，
∴S△QAB=1，
设Q点纵坐标为y，则×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1，
当y=1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，
当y=﹣1时，可知P点即为所求的Q点，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD=QD，
∴△QAB为等腰直角三角形，
∵ON=OB=3，
∴△OBN为等腰直角三角形，
∴△QAB∽△OBN，
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．
