备考2018中考数学高频考点剖析
专题十七 平面几何之全等三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
全等三角形，是每年中考的必考 ( http: / / www.21cnjy.com )内容之一，考查的知识点包括全等三角形的判定、性质和全等三角形的综合应用两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。涉及到的综合性问题主要体现在和几何图形的综合考查上。解析题主要以证明为主。结合2016、2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行全等三角形的探讨：21·cn·jy·com
（1）全等三角形的性质；
（2）全等三角形的判定；
（3）涉及到全等三角形的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1下面是五个全等的正五边形，请你仔细观察，判断出下面四个图案中与已知图案是全等图形的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )A. ( http: / / www.21cnjy.com )B. ( http: / / www.21cnjy.com ). ( http: / / www.21cnjy.com )D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】：Awww-2-1-cnjy-com
【解析】：
本题考查全等 ( http: / / www.21cnjy.com )图形的概念：能够完全重合的两个图形称为全等图形．
观察图形，可以先看空心圆圈以及它对的弧，排除B、D选项，
再观察实心圆圈的位置，排除C选项．
故选A．
例2（2017 黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 AB=DE或BC=EF或AC=DF ，使得△ABC≌△DEF．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证 ( http: / / www.21cnjy.com )∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠ABC=∠E，
∵AC∥DF，
∴∠A=∠EDF，
∵在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF，
同理，BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF．
故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF均可．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两 ( http: / / www.21cnjy.com )个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21世纪教育网版权所有
例3 （2017 温州）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．
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【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；
（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．
【解答】解：（1）∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠ADE，
在△ABC和△AED中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）当∠B=140°时，∠E=140°，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
例4（2016·山东省德州市·3分）在矩形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出下列四个结论：
①AM=CN；
②∠AME=∠BNE；
③BN﹣AM=2；
④S△EMN=．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
【分析】①作辅助线EF⊥BC于点F，然后证明Rt△AME≌Rt△FNE，从而求出AM=FN，所以BM与CN的长度相等．
②由①Rt△AME≌Rt△FNE，即可得到结论正确；
③经过简单的计算得到BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，
④用面积的和和差进行计算，用数值代换即可．
【解答】解：①如图，
在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，
作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，
∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，
∴∠AEM=∠FEN，
在Rt△AME和Rt△FNE中，
，
∴Rt△AME≌Rt△FNE，
∴AM=FN，
∴MB=CN．
∵AM不一定等于CN，
∴AM不一定等于CN，
∴①错误，
②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，
∴∠AME=∠BNE，
∴②正确，
③由①得，BM=CN，
∵AD=2AB=4，
∴BC=4，AB=2
∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，
∴③正确，
④如图，
由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN
∵tanα=，
∴AM=AEtanα
∵cosα==，
∴cos2α=，
∴=1+=1+（）2=1+tan2α，
∴=2（1+tan2α）
∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN
=（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM
= （AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN
=（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）
=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM）
=AE+AM﹣AE×AM+AM2
=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α
=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α
=2（1+tan2α）
=．
∴④正确．
故选C．
【点评】此题是全等三角形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质和判定题，主要考查了全等三角形的性质和判定，图形面积的计算锐角三角函数，解本题的关键是Rt△AME≌Rt△FNE，难点是计算S△EMN．
考点过关☆专项突破
类型一 全等三角形的性质
1. 下列说法：①全等三角形的形 ( http: / / www.21cnjy.com )状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④形状相同的两个三角形是全等三角形．其中正确的说法有( )
A.②③ B.①②③ C.①③④ D.①②③④
答案：B21cnjy.com
解题思路：
全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
所以①②③正确．对于④，形状相同的两个三角形不一定是全等三角形，
比如一张照片，放大以后还是原来的形状，但是不全等，
所以④错误．所以正确的说法有①②③．故选B．2. 下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定全等
B．腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．形状相同的两个三角形全等
D．全等三角形的面积一定相等
解析：两个等边三角形边长不一定相等，所以不 ( http: / / www.21cnjy.com )一定全等，A错误；腰对应相等的两个等腰三角形对应角不一定相等，所以不一定全等，B错误；形状相同的两个三角形对应边不一定相等，所以不一定全等，C错误；全等三角形的面积一定相等，所以D正确．
故选D
3. 如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（ ）
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A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE
解析：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE
故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．
故选D
4. △ABC中，∠BAC：∠ACB：∠ABC=4：3：2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF= 度．
解析：设∠BAC为4x，则∠ACB为3x，∠ABC为2x∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°∴4x+3x+2x=180，
解得x=20∴∠ABC=2x=40°∵△ABC≌△DEF∴∠DEF=∠ABC=40°．
答案：40．
5. 如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠BEA=135°，求∠C的度数．
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解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠C=∠D，∠OBC=∠OAD，
∵∠0=65°，
∴∠OBC=180°-65°-∠C=115°-∠C，
在四边形AOBE中，∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360°，
∴65°+115°-∠C+135°+115°-∠C=360°，
解得∠C=35°．
6. 如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB延长线上一点．
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（1）求∠EBG的度数．
（2）求CE的长．
解：（1）∵△ABE≌△ACD，
∴∠EBA=∠C=42°，
∴∠EBG=180°-42°=138°；
（2）∵△ABE≌△ACD，
∴AC=AB=9，AE=AD=6，
∴CE=AC-AE=9-6=3．
类型二 全等三角形的判定
1. （2017黑龙江鹤岗）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 AB=DE或BC=EF或AC=DF ，使得△ABC≌△DEF．
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【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF， ( http: / / www.21cnjy.com )易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠ABC=∠E，
∵AC∥DF，
∴∠A=∠EDF，
∵在△ABC和△DEF中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△DEF，
同理，BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF．
故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF均可．
2．（2017 日照）铁路部门消息：2017年“端午节”小长假期间，全国铁路客流量达到4640万人次，4640万用科学记数法表示为（ ）
A．4.64×105 B．4.64×106 C．4.64×107 D．4.64×108
【答案】C．
【解析】4640万=46 400 000=4.64×107．故选：C．
3．（2016·山东省济宁市·3分 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： AH=CB等（只要符合要求即可） ，使△AEH≌△CEB．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；
根据ASA添加AE=CE．
可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．
4. （2017.湖南怀化）如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件： CE=BC ，使得△ABC≌△DEC．
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【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC=DC，BC=EC，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．
【解答】解：添加条件是：CE=BC，
在△ABC与△DEC中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△DEC．
故答案为：CE=BC．本题答案不唯一．
5. （2017黑龙江佳木斯）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可） ，使得△ABC≌△DEF．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF， ( http: / / www.21cnjy.com )易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠ABC=∠E，
∵AC∥DF，
∴∠A=∠EDF，
∵在△ABC和△DEF中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△DEF，
同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．
故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．
6. （2017贵州）如图，点B、 ( http: / / www.21cnjy.com )F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件 ∠A=∠D 使得△ABC≌△DEF．
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【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理填空．
【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下：
∵FB=CE，
∴BC=EF．
又∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∴在△ABC与△DEF中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案是：∠A=∠D．
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7 . （2017 新疆）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD．
正确的是 ①④ （填写所有正确结论的序号）
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；
②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；
④根据面积和求四边形的面积即可．
【解答】解：①在△ABC和△ADC中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴OB=OD，AC⊥BD，
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，
故②结论不正确；
③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；
故③结论不正确；
④∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD= ( http: / / www.21cnjy.com )BD AO+ ( http: / / www.21cnjy.com )BD CO= ( http: / / www.21cnjy.com )BD （AO+CO）= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD．
故④结论正确；
所以正确的有：①④；
故答案为：①④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，第1问可以利用等边对等角，由等量加等量和相等来解决．
8. （2017山东聊城）如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．
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【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边边边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．2·1·c·n·j·y
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DEF，
又∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即：BC=EF，
在△ABC和△DEF中
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∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF．
9. （2017齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．2-1-c-n-j-y
（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；
（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．
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【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．
【分析】（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；
（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△BDG和△ADC中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG=AC，∠BGD=∠C，
∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE= ( http: / / www.21cnjy.com )BG=EG，DF= ( http: / / www.21cnjy.com )AC=AF，
∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA=90°，
∴DE⊥DF；
（2）解：∵AC=10，
∴DE=DF=5，
由勾股定理得，EF= ( http: / / www.21cnjy.com )=5 ( http: / / www.21cnjy.com )．
类型三 全等三角形和其它几何图形的综合应用
1．（2017四川南充）如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．
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【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】欲证明AC∥BD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠DEB=∠AFC=90°，
∵AE=BF，
∴AF=BE，
在△DEB和△CFA中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
△DEB≌△CFA，
∴∠A=∠B，
∴AC∥DB．
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2．（2017 益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．21*cnjy*com
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【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等 ( http: / / www.21cnjy.com )可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．
【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
又∵F是CD的中点，即DF=CF，
∴△ADF≌△ECF，
∴AD=CE，
∴BC=CE．
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【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．【版权所有：21教育】
3．（2016·云南省昆明市）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB
求证：AE=CE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．
【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AE=CE．
4. （2016·四川泸州）如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：∠D=∠E．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由CD∥BE，可证得∠ACD=∠B，然后由C是线段AB的中点，CD=BE，利用SAS即可证得△ACD≌△CBE，继而证得结论．
【解答】证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC=CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD=∠B，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠D=∠E．
5. （2016·广西桂林·8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF
（1）根据题意，补全原形；
（2）求证：BE=DF．
SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）如图所示；
（2）由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的对应边相等即可．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OB=OD，OA=OC．
又∵E，F分别是OA、OC的中点，
∴OE=OA，OF=OC，
∴OE=OF．
∵在△BEO与△DFO中，，
∴△BEO≌△DFO（SAS），
∴BE=DF．
6. （2016·浙江省绍兴市·8分）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．21·世纪*教育网
（1）若固定三根木条AB ( http: / / www.21cnjy.com )，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．21教育名师原创作品
（2）若固定一根木条AB不动，AB ( http: / / www.21cnjy.com )=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．
【考点】全等三角形的应用；二元一次方程组的应用；三角形三边关系．
【分析】（1）相等．连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可．
（2）分两种情形①当点C在点D右侧时，②当点C在点D左侧时，分别列出方程组即可解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：（1）相等．
理由：连接AC，
在△ACD和△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB，
∴∠B=∠D．
（2）设AD=x，BC=y，
当点C在点D右侧时，，解得，
当点C在点D左侧时，解得，
此时AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17，
∴不合题意，
∴AD=13cm，BC=10cm．
7. （2016·广西百色·8分）已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．
SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；
（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠1=∠DCE，
∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠ECB，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠ECB，
∴∠AFB=∠1，
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，
∴∠1=∠DCE=65°，
∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．
8. （2016·黑龙江哈尔滨·8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．【出处：21教育名师】
（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据正方形的性质得出 ( http: / / www.21cnjy.com )AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD
∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP+∠DAP=90°
∴∠BAQ=∠ADP
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P
∴∠AQB=∠DPA=90°
∴△AQB≌△DPA（AAS）
∴AP=BQ
（2）①AQ﹣AP=PQ
②AQ﹣BQ=PQ
③DP﹣AP=PQ
④DP﹣BQ=PQ
9. （2016广西南宁）已知四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．
（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．21教育网
【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF．
（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，
∴BG=2，AG=2，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=2，
∴EB=EG﹣BG=2﹣2，
∵△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，
∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=∠AFE=60°
∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，
∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，
在RT△EFH中，∠CEF=15°，
∴∠EFH=75°，
∵∠AFE=60°，
∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，
∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，
在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，
∴FH=CF cos30°=（2﹣2） =3﹣．
∴点F到BC的距离为3﹣．
【点评】本题考查四边形综合题、菱形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．【来源：21·世纪·教育·网】
10. （2017呼和浩特）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
（1）求证：BD=CE；
（2）设BD与CE相交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；K5：三角形的重心；KH：等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，MN∥BC，MN= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，根据直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到结论．21*cnjy*com
【解答】（1）解：由题意得，AB=AC，
∵BD，CE分别是两腰上的中线，
∴AD= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，
∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴BD=CE；
（2）四边形DEMN是正方形，
证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，AD= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，ED是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，ED= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，
∵点M、N分别为线段BO和CO中点，
∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，
∴MN∥BC，MN= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，
∴ED∥MN，ED=MN，
∴四边形EDNM是平行四边形，
由（1）知BD=CE，
又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，
∴DM=EN，
∴四边形EDNM是矩形，
在△BDC与△CEB中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BDC≌△CEB，
∴∠BCE=∠CBD，
∴OB=OC，
∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，
∴O到BC的距离= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，
∴BD⊥CE，
∴四边形DEMN是正方形．
( http: / / www.21cnjy.com )
11. 如图，△ABC是直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：www.21-cn-jy.com
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．
【解答】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴ED∥BC，ED=BC．
∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，
∴AG=BG，DG⊥AB．
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．
又BF=BC，
∴BF=DE．
∴在△AED与△DFB中，，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴AE=DF，即DF=AE；
（2）设AC与FD交于点O．
∵由（1）知，△AED≌△DFB，
∴∠AED=∠DFB，
∴∠DEO=∠DFG．
∵∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
( http: / / www.21cnjy.com )
27备考2018中考数学高频考点剖析
专题十七 平面几何之全等三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
全等三角形，是每年中考的必考内容之一，考 ( http: / / www.21cnjy.com )查的知识点包括全等三角形的判定、性质和全等三角形的综合应用两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。涉及到的综合性问题主要体现在和几何图形的综合考查上。解析题主要以证明为主。结合2016、2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行全等三角形的探讨：21cnjy.com
（1）全等三角形的性质；
（2）全等三角形的判定；
（3）涉及到全等三角形的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1下面是五个全等的正五边形，请你仔细观察，判断出下面四个图案中与已知图案是全等图形的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )A. ( http: / / www.21cnjy.com )B. ( http: / / www.21cnjy.com ). ( http: / / www.21cnjy.com )D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】：A2·1·c·n·j·y
【解析】：
本题考查全等图形的概念：能够完 ( http: / / www.21cnjy.com )全重合的两个图形称为全等图形．
观察图形，可以先看空心圆圈以及它对的弧，排除B、D选项，
再观察实心圆圈的位置，排除C选项．
故选A．
例2（2017 黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 AB=DE或BC=EF或AC=DF ，使得△ABC≌△DEF．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证 ( http: / / www.21cnjy.com )∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【出处：21教育名师】
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠ABC=∠E，
∵AC∥DF，
∴∠A=∠EDF，
∵在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF，
同理，BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF．
故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF均可．
【点评】本题考查三角形全等 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21*cnjy*com
例3 （2017 温州）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．
【解答】解：（1）∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠ADE，
在△ABC和△AED中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）当∠B=140°时，∠E=140°，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．21*cnjy*com
例4（2016·山东省德州市·3分）在 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出下列四个结论：
①AM=CN；
②∠AME=∠BNE；
③BN﹣AM=2；
④S△EMN=．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
【分析】①作辅助线EF⊥BC于点F，然后证明Rt△AME≌Rt△FNE，从而求出AM=FN，所以BM与CN的长度相等．
②由①Rt△AME≌Rt△FNE，即可得到结论正确；
③经过简单的计算得到BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，
④用面积的和和差进行计算，用数值代换即可．
【解答】解：①如图，
在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，
作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，
∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，
∴∠AEM=∠FEN，
在Rt△AME和Rt△FNE中，
，
∴Rt△AME≌Rt△FNE，
∴AM=FN，
∴MB=CN．
∵AM不一定等于CN，
∴AM不一定等于CN，
∴①错误，
②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，
∴∠AME=∠BNE，
∴②正确，
③由①得，BM=CN，
∵AD=2AB=4，
∴BC=4，AB=2
∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，
∴③正确，
④如图，
由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN
∵tanα=，
∴AM=AEtanα
∵cosα==，
∴cos2α=，
∴=1+=1+（）2=1+tan2α，
∴=2（1+tan2α）
∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN
=（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM
= （AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN
=（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）
=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM）
=AE+AM﹣AE×AM+AM2
=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α
=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α
=2（1+tan2α）
=．
∴④正确．
故选C．
【点评】此题是全等三角形的性质和判 ( http: / / www.21cnjy.com )定题，主要考查了全等三角形的性质和判定，图形面积的计算锐角三角函数，解本题的关键是Rt△AME≌Rt△FNE，难点是计算S△EMN．
考点过关☆专项突破
类型一 全等三角形的性质
1. 下列说法：①全等三角形的形状 ( http: / / www.21cnjy.com )相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④形状相同的两个三角形是全等三角形．其中正确的说法有( )
A.②③ B.①②③ C.①③④ D.①②③④
2. 下列说法正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．两个等边三角形一定全等
B．腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．形状相同的两个三角形全等
D．全等三角形的面积一定相等
3. 如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE
4. △ABC中，∠BAC：∠ACB：∠ABC=4：3：2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF= 度．
5. 如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠BEA=135°，求∠C的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
6. 如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB延长线上一点．
( http: / / www.21cnjy.com )
类型二 全等三角形的判定
1. （2017黑龙江鹤岗）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 ，使得△ABC≌△DEF．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2016·山东省济宁市·3分）如图，△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH≌△CEB．
3. （2017.湖南怀化）如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC≌△DEC．
( http: / / www.21cnjy.com )
4. （2017黑龙江佳木斯）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 ，使得△ABC≌△DEF．
( http: / / www.21cnjy.com )
5. （2017贵州）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件 使得△ABC≌△DEF．21教育名师原创作品
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6.（2017 新疆）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD．
正确的是 （填写所有正确结论的序号）
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7. （2017山东聊城）如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．
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8. （2017齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；
（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．
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类型三 全等三角形和其它几何图形的综合应用
1．（2017四川南充）如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．2-1-c-n-j-y
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2．（2017 益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．
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3．（2016·云南省昆明市）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB
求证：AE=CE．
4. （2016·四川泸州）如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：∠D=∠E．
5. （2016·广西桂林·8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF21世纪教育网版权所有
（1）根据题意，补全原形；
（2）求证：BE=DF．
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6. （2016·浙江省绍兴市·8分）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．21·世纪*教育网
（1）若固定三根木条AB ( http: / / www.21cnjy.com )，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．www.21-cn-jy.com
（2）若固定一根木条AB不动，AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．
7. （2016·广西百色·8分）已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．
SHAPE \* MERGEFORMAT
8. （2016·黑龙江哈尔滨·8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．21教育网
（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．【版权所有：21教育】
SHAPE \* MERGEFORMAT
9. （2016广西南宁）已知四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
10. （2017呼和浩特）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
（1）求证：BD=CE；
（2）设BD与CE相交于点O，点M ( http: / / www.21cnjy.com )，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．
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11. 如图，△ABC是直角三角形，且∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：21·cn·jy·com
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．
( http: / / www.21cnjy.com )
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