备考2018中考数学高频考点剖析
专题十八 平面几何之等腰（边）三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
等腰（边）三角形，是每年中考的必考重点内容之一，考查的知识点包括等腰三角形的性质与判定和等边三角形的性质与判定两方面，总体来看，难度系数中游，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以三角形与四边形和变换相结合进行考查为主。结合2016、2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行等腰（边）三角形问题的探讨：
（1）等腰三角形性质与判定；
（2）等边三角形性质与判定；
（3）等腰（边）三角形与四边形及其变换综合问题．
考点剖析☆典型例题
例1（2017?宁德）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED
C．∠CDE=∠BAD D．∠AED=2∠ECD
【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD，选项A正确；
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，选项B正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠AED=∠CDE+∠C，
∴∠CDE+∠C+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，选项C正确；
∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∠ECD≠∠CDE，
∴选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．
例2（2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为 ．
【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
【解答】解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
例3如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．21·cn·jy·com
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；
（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；
（3）分三种情况进行讨论：
①当AD=DE时，如图2，
由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x；
②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）；
③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，
∴∠ABD=∠ACB=30°，
∴∠ABD=∠ADE=30°，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC=∠DAB，
∴△ABD∽△DCE；
（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
过A作AF⊥BC于F，
∴∠AFB=90°，
∵AB=2，∠ABF=30°，
∴AF=AB=1，
∴BF=，
∴BC=2BF=2，
则DC=2﹣x，EC=2﹣y，
∵△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
化简得：y=x+2（0＜x＜2）；
（3）当AD=DE时，如图2，
由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，
则AB=CD，即2=2﹣x，
x=2﹣2，代入y=x+2，
解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，
当AE=ED时，如图3，
∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，
∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，
则ED=EC，即y=（2﹣y），
解得：y=，即AE=，
当AD=AE时，
∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，
∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．
例4（2017?乐山）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．21世纪教育网版权所有
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
【分析】（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；
（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；www.21-cn-jy.com
（3）结论：．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；www-2-1-cnjy-com
【解答】解：（1）AC=AD+AB．
理由如下：如图1中，
在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，
∴∠D=90°，
∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∵∠B=90°，
∴，同理．
∴AC=AD+AB．
（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，2·1·c·n·j·y
∵∠BAC=60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴AC=AE=CE，
∵∠D+∠B=180°，∠DAB=120°，
∴∠DCB=60°，
∴∠DCA=∠BCE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠D=∠CBE，∵CA=CB，
∴△DAC≌△BEC，
∴AD=BE，
∴AC=AD+AB．
（3）结论：．理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，
∴DCB=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠DCA=∠BCE，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB=45°，
∴∠E=45°．
∴AC=CE．
又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE，
∴△CDA≌△CBE，
∴AD=BE，
∴AD+AB=AE．
在Rt△ACE中，∠CAB=45°，
∴，
∴．
【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21教育网
考点过关☆专项突破
类型一 等腰三角形性质与判定
1. （2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1 B． C． D．2
2. （2017湖北荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）21·世纪*教育网
A．30° B．45° C．50° D．75°
3. （2017山东聊城）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）21*cnjy*com
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4. （2017山东滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ）21cnjy.com
A．40° B．36° C．30° D．25°
5. （2017?营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（ ）【版权所有：21教育】
A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB=CD
6. （2017浙江义乌）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ．
7.（2017内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
8. （2017重庆B）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．
（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；
（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．21教育名师原创作品
类型二 等边三角形性质与判定
1. （2017广西河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
2．（2017四川南充）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）
3．（2017年江苏扬州）如图，把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC= cm．2-1-c-n-j-y
4. （2016·山东省滨州市·4分）如图，△ABC是等边三角形，AB=2，分别以A，B，C为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是 ．21*cnjy*com
5. 2016·广西百色·3分）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2+
6. （2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
7. （2017浙江衢州）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．【来源：21cnj*y.co*m】
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
类型三 等腰（边）三角形的其他问题的综合考查
1．（2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．2
2．（2016·湖北武汉·3分）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2016·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
4. （2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．
5. （2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 ．
6. （2016·福建龙岩·3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．
7. （2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证：AD=BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．【出处：21教育名师】
备考2018中考数学高频考点剖析
专题十八 平面几何之等腰（边）三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
等腰（边）三角形，是每年中考的必考重点内容之一，考查的知识点包括等腰三角形的性质与判定和等边三角形的性质与判定两方面，总体来看，难度系数中游，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以三角形与四边形和变换相结合进行考查为主。结合2016、2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行等腰（边）三角形问题的探讨：
（1）等腰三角形性质与判定；
（2）等边三角形性质与判定；
（3）等腰（边）三角形与四边形及其变换综合问题．
考点剖析☆典型例题
例1（2017?宁德）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED
C．∠CDE=∠BAD D．∠AED=2∠ECD
【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD，选项A正确；
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，选项B正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠AED=∠CDE+∠C，
∴∠CDE+∠C+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，选项C正确；
∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∠ECD≠∠CDE，
∴选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．
例2（2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为 ．
【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
【解答】解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
例3如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；
（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；
（3）分三种情况进行讨论：
①当AD=DE时，如图2，
由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x；
②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）；
③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，
∴∠ABD=∠ACB=30°，
∴∠ABD=∠ADE=30°，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC=∠DAB，
∴△ABD∽△DCE；
（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
过A作AF⊥BC于F，
∴∠AFB=90°，
∵AB=2，∠ABF=30°，
∴AF=AB=1，
∴BF=，
∴BC=2BF=2，
则DC=2﹣x，EC=2﹣y，
∵△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
化简得：y=x+2（0＜x＜2）；
（3）当AD=DE时，如图2，
由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，
则AB=CD，即2=2﹣x，
x=2﹣2，代入y=x+2，
解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，
当AE=ED时，如图3，
∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，
∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，
则ED=EC，即y=（2﹣y），
解得：y=，即AE=，
当AD=AE时，
∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，
∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．
例4（2017?乐山）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
【分析】（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；
（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；【版权所有：21教育】
（3）结论：．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；
【解答】解：（1）AC=AD+AB．
理由如下：如图1中，
在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，
∴∠D=90°，
∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∵∠B=90°，
∴，同理．
∴AC=AD+AB．
（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，
∵∠BAC=60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴AC=AE=CE，
∵∠D+∠B=180°，∠DAB=120°，
∴∠DCB=60°，
∴∠DCA=∠BCE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠D=∠CBE，∵CA=CB，
∴△DAC≌△BEC，
∴AD=BE，
∴AC=AD+AB．
（3）结论：．理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，
∴DCB=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠DCA=∠BCE，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB=45°，
∴∠E=45°．
∴AC=CE．
又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE，
∴△CDA≌△CBE，
∴AD=BE，
∴AD+AB=AE．
在Rt△ACE中，∠CAB=45°，
∴，
∴．
【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
考点过关☆专项突破
类型一 等腰三角形性质与判定
1. （2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．
【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，
∵P是Rt△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，PD=CD，
∵∠C=90°，
∴CD=AB=3，
∵AC=BC，CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB，
∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，
故选：A．
2. （2017湖北荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75°
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．
故选B．
3. （2017山东聊城）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．
【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，
故选B．
4. （2017山东滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ）
A．40° B．36° C．30° D．25°
【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CD=DA，
∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
故选B．
5. （2017?营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB=CD
【分析】由AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确；
根据三角形的中位线定理得到FE=AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确；
由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；
在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=CD，又AB=AC，等量代换得到AB=CD，从而判断D正确．
【解答】解：∵AB=AC，∠CAB=45°，
∴∠B=∠ACB=67.5°．
∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，AD=DC，
∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，不符合题意；
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FE=AB，FE∥AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．
∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，
∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，
∵AB=AC，
∴FE=FD，
∴∠FDE=∠FED=（180°﹣∠EFD）=（180°﹣135°）=22.5°，
∴∠FDE=∠FDC，
∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；
∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，
∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；
∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，
∴AC=CD，
∵AB=AC，
∴AB=CD，故D正确，不符合题意．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
6. （2017浙江义乌）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ．
【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，
①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；
②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；
③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．
【解答】解：分三种情况：
①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；
②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，
∴MC⊥OB，
∵∠AOB=45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC=OC=4，
∴OM=4，
当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；
③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，
则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；
点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；
∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；
综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．
故答案为：x=0或x=4﹣4或4．
7.（2017内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．21教育网
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
8. （2017重庆B）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．
（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；
（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=AB=4，根据勾股定理得到CE==3，于是得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴AC=BC=AB=4，
∵BE=5，
∴CE==3，
∴AE=4﹣3=1；
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴A，F，C，B四点共圆，
∴∠CFB=∠CAB=45°，
∴∠DFC=∠AFC=135°，
在△ACF与△DCF中，，
∴△ACF≌△DCF，
∴CD=AC，
∵AC=BC，
∴AC=BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．21世纪教育网版权所有
类型二 等边三角形性质与判定
1. （2017广西河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【分析】设AD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．21*cnjy*com
【解答】解：设AD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，
∴AF=2x，
∴CF=12﹣2x，
∴CE=2CF=24﹣4x，
∴BE=12﹣CE=4x﹣12，
∴BD=2BE=8x﹣24，
∵AD+BD=AB，
∴x+8x﹣24=12，
∴x=4，
∴AD=4．
故选B．
2．（2017四川南充）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）
【分析】先过B作BC⊥AO于C，则根据等边三角形的性质，即可得到OC以及BC的长，进而得出点B的坐标．21·cn·jy·com
【解答】解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，则
∵△AOB是等边三角形，
∴OC=AO=1，
∴Rt△BOC中，BC==，
∴B（1，），
故选：D．
3．（2017年江苏扬州）如图，把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC= （2+2） cm．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，根据直角三角形的性质得到BD=8cm，PD=4cm，根据折叠的性质得到AD=PD=4cm，∠DPE=∠A=60°，解直角三角形即可得到结论．www.21-cn-jy.com
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，
∵DP⊥BC，
∴∠BPD=90°，
∵PB=4cm，
∴BD=8cm，PD=4cm，
∵把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，
∴AD=PD=4cm，∠DPE=∠A=60°，
∴AB=（8+4）cm，
∴BC=（8+4）cm，
∴PC=BC﹣BP=（4+4）cm，
∵∠EPC=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴∠PEC=90°，
∴CE=PC=（2+2）cm，
故答案为：2+2．
4. （2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．21·世纪*教育网
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
【分析】（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴ABCD=ABPM+ACPN，
∴PM+PN=CD，
即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）设BP=x，则CP=2﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），
∴四边形AMPN的面积=×（2﹣x）x+ [2﹣（2﹣x）]（2﹣x）=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+，2-1-c-n-j-y
∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5. （2017浙江衢州）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
【分析】（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
∴c2=a2+ab+b2．
6. （2016·山东省滨州市·4分）如图，△ABC是等边三角形，AB=2，分别以A，B，C为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是 2π﹣3 ．
【分析】根据等边三角形的面积公式求出正△ABC的面积，根据扇形的面积公式S=求出扇形的面积，求差得到答案．
【解答】解：∵正△ABC的边长为2，
∴△ABC的面积为×2×=，
扇形ABC的面积为=π，
则图中阴影部分的面积=3×（π﹣）=2π﹣3，
故答案为：2π﹣3．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质和扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．
7. 2016·广西百色·3分）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2+
【分析】连接CC′，连接A′C交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C的长度，从而得出结论．
【解答】解：连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．
∵△ABC与△A′BC′为正三角形，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°，
∴A′C=2×A′B=2．
故选C．
类型三 等腰（边）三角形的其他问题的综合考查
1．（2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．2
【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ABC，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∴=，
∴CD=，BD=BC﹣CD=，
∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，
∴△ADM∽△BDA，
∴=，即=，
∴DM=，MB=BD﹣DM=，
∵∠ABM=∠C=∠MED，
∴A、B、E、D四点共圆，
∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，
∴△ABD∽△MBE，
∴=，
∴BE===．
故选B．
2．（2016·湖北武汉·3分）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。
3．（2016·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选：D．
4. （2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 20和20 ．21cnjy.com
【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．
【解答】解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，
作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，
∴BD=AB=a，
∴?a?a=5，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，
在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，
∴BD=a，
∴?a?a=5，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
故答案为20或20．
5. （2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 ．【出处：21教育名师】
【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．21教育名师原创作品
【解答】解：
∵反比例函数y=图象关于原点对称，
∴A、B两点关于O对称，
∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），
∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，
设P点坐标为（x，0），
∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），
∴AB==2，PA=，PB=，
当PA=AB时，则有=2，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；
当PB=AB时，则有=2，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；
综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），
故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．
6. （2016·福建龙岩·3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．
【分析】先证明BC=2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴BC=2DC，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=∠E=30°，
∴CD=CE=1，
∴BC=2CD=2，
故答案为2
7. （2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证：AD=BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．
【分析】（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE；
②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；
（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．
【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
在△ACD和△BCE中，有，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC．
∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，
∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，
∴∠BEC=130°．
∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．
（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，
∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=90°，DM=EM．
在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，
∴DE=2DM=2×=2CM．
∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，
∴∠BEN=180°﹣120°=60°．
在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，
∴BE==BN．
∵AD=BE，AE=AD+DE，
∴AE=BE+DE=BN+2CM．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；（2）找出线段AD、DE的长．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键．21*cnjy*com
