4.5 一次函数的应用（1）同步练习

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4.5 一次函数的应用（1）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１.运用一次函数的图象和性质解决实际问题时,应注意函数表达式的求法以及结合实际确定自变量的取值范围 ．
2.分段函数中,自变量在不同的 取值范围内函数的关系或不同,因此,要注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．下列关系：①面积一定的长方形的长s与宽a；②圆的周长s与半径a；③正方形的面积s与边长a；④速度一定时行驶的路程s与行驶时间a，其中s是a的正比例函数的有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．已知两点M（4，2），N（1，1），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P为（ ）
A. （2，0） B. （2.5，0） C. （3，0） D. （4，0）
3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，M在BA的延长线上，PA平分∠MAO，PB平分∠ABO，则∠P的度数是（ ）
A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°
4．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿直线y＝－x平移后，点O′的纵坐标为6，则点B平移的距离为( )
A. 4.5 B. 6 C. 8 D. 10
5．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙先到达青少年宫；②乙的速度是甲速度的2.5倍；③b=480；④a=24．其中正确的是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
6．甲、乙两地间的路程为118 km，汽车从甲地驶往乙地，它的平均速度是75 km/h，则汽车距乙地的路程s(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是(　　)
A. s＝75t(t≥0) B. s＝75t
C. s＝118－75t(t≥0) D. s＝118－75t
7．2006年的夏天，某地旱情严重．该地10号，15号的人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号，15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为（　　）
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26
8．小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y（km）与已用时间x（h）之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是（　　）
A. 3km/h和4km/h B. 3km/h和3km/h C. 4km/h和4km/h D. 4km/h和3km/h
二、填空题
9．已知等腰三角形的腰长为xcm，顶角平分线与对边的交点到一腰的距离为4cm，这个等腰三角形的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为____________.
10．如图，在弹簧的弹性范围内，弹簧总长y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间是一次函数关系，则弹簧不挂物体时的长度是_______cm.
11．汽车行驶前，油箱中有油55升，已知每百千米汽车耗油10升，油箱中的余油量Q（升）与它行驶的距离s（百千米）之间的函数关系式为_______________；为了保证行车安全，油箱中至少存油5升，则汽车最多可行驶____________千米．
12．一次函数分别交轴、轴于、两点，在轴上取一点，使为等腰三角形，则这样的点有__________个．
13．（2016山东省泰安市）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为________________．
三、解答题
14．某批发商计划将一批海产品由A地运往B地．汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务．已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米／时、100千米／时．两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：
运输工具 运输费单价／ (元／吨·千米) 冷藏费单价／ (元／吨·小时) 过路费／元 装卸及管理费／元
汽 车 2 5 200 0
火 车 1.8 5 0 1600
注：“元／吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元／吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费．
(1)设该批发商待运的海产品有x(吨)，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1(元)和y2(元)，试求y1、y2与x之间的函数关系式．
(2)若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务
15．如图是一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发行驶到乙港的过程中路程
y随时间x变化的图象．根据图象解答下列问题：
(1)在轮船和快艇中，哪一艘的速度较快
(2)当时间x在什么范围内时，快艇在轮船的后面 当时间x在什么范围内时，快艇在轮船的前面
(3)快艇出发多长时间后赶上轮船
16．在平面直角坐标系中，将直线向下平移个单位后，与一次函数的图象相交于点．
（）求点的坐标．
（）若是轴上一点，且满足是等腰三角形，直接写出点的坐标．
17．李刚家去年养殖的“丰收一号”多宝鱼喜获丰收，上市20天全部售完，李刚对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，多宝鱼价格z（单位：元/件）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图2所示．
（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；
（2）求李刚家多宝鱼的日销售量y与上市时间x的函数解析式；
（3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？
18．如图，直线y＝kx＋6与x轴，y轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，点A的坐标为(－8，0)．
(1)求k的值；
(2)若点P(x，y)是第二象限内直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)若点P(0，m)为射线BO(B，O两点除外)上的一动点，过点P作PC⊥y轴交直线AB于C，连接PA.设△PAC的面积为S′，求S′与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．
19．已知函数y＝(m＋1)x＋2m－6.
(1)若函数图象过(－1，2)，求此函数的解析式；
(2)若函数图象与直线y＝2x＋5平行，求其函数的解析式；
(3)求满足(2)条件的直线与直线y＝－3x＋1的交点，并求这两条直线与y轴所围成的三角形面积．
参考答案
1．B
【解析】试题解析：①设该面积为k,则面积一定的长方形的长s与宽a的关系式为： 则s与a成反比例关系；
②依题意得s=2πa，s与a成正比例关系；
③依题意得，s与a是二次函数关系；
④设速度为v，则依题意得s=av，则s与a成正比例关系。
综上所述，s是a的正比例函数的有2个.
故选B.
2．A
【解析】解：作M点关于x轴的对称点M′．∵M（4，2），∴M′（4，-2）．
设直线M′N的解析式为y=kx+b，∴ ，解得：，∴直线M′N的解析式为y=-x+2．∵P的纵坐标为0，∴-x+2=0，解得：x=2，∴P（2，0）．故选A．
点睛：本题考查了轴对称的性质、坐标与图形的性质，要注意利用一次函数的特点以及平面坐标系中点的坐标的特点解题．
3．B
【解析】∵OA⊥OB，
∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．
∵PA平分∠MAO，
∴∠PAO=∠OAM=（180°﹣∠OAB）．
∵PB平分∠ABO，
∴∠ABP=∠ABO，
∴∠P=180°﹣∠PAO﹣∠OAB﹣∠ABP=180°﹣（180°﹣∠OAB）﹣∠OAB﹣∠ABO=90°﹣（∠OAB+∠ABO）=45°．
故选B．
4．D
【解析】根据题意得出O′点的纵坐标进而得出其横坐标，再得出O点到O′的距离，最后得出点B与其对应点B′之间的距离．
解：∵点O的坐标为(0,0),△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′,点O的对应点O′在直线y=－x上，
且O′点纵坐标为：6，
故6=－x，
解得：x= 8，
即O到O′的距离为10，
则点B与其对应点B′之间的距离为10.
故选：D
点睛：本题考查了函数图象上的点及平移的性质.根据函数解析式求出点的坐标是解题的关键.
5．A
【解析】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，
所以甲的运动速度为：720÷9=80（米/分），
当第15分钟时，乙运动15-9=6（分钟），
运动距离为：15×80=1200（米），
∴乙的运动速度为：1200÷6=200（米/分），
∴200÷80=2.5，（故②正确）；
当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫，（故①正确）；
此时乙运动19-9=10（分钟），
运动总距离为：10×200=2000（米），
∴甲运动时间为：2000÷80=25（分钟），
故a的值为25，（故④错误）；
∵甲19分钟运动距离为：19×80=1520（米），
∴b=2000-1520=480，（故③正确）．
故正确的有：①②③．
故选：A．
点睛：
根据问题情景建立一次函数模型，并可以比较几个一次函数的变化率，应用一次函数的性质和图像解决问题，从而感受到函数模型的应用价值．
6．D
【解析】∵汽车的平均速度是75km/h，
∴t小时行驶75tkm.
∵甲乙两地相距118km，
∴汽车距乙地的路程s（km）与行驶时间t（h）之间的函数解析式为：s=118-75t.
∵时间为非负数，汽车距乙地路程为非负数，
∴t≥0，118-75t≥0，
解得0≤t≤，
∴s=118-75t（0≤t≤）.
故选：D.
点睛：此题主要考查了根据实际问题列函数关系式.关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.
7．B
【解析】设号数为x,用水量为y千克,直线解析式为y=kx+b.
根据题意得,解之得,
所以直线解析式为,
当y=10时,有,解之得,
根据实际情况,应在24号开始送水.
故选B.
点睛：本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．应用题应根据实际情况求解，此题总体来讲比较简单．
8．D
【解析】设小敏的速度为：m，则函数式为，y=mx+b，
由已知小敏经过两点(1.6,4.8)和(2.8,0)，
所以得：4.8=1.6m+b，0=2.8m+b，
解得：m= 4，b=11.2，
小敏离B地的距离y(km)与已用时间x(h)之间的关系为：y= 4x+11.2；
由实际问题得小敏的速度为4km/h.
设小聪的速度为：n，则函数图象过原点则函数式为，y=nx，
由已知经过点(1.6,4.8)，
所以得：4.8=1.6n，
则n=3，
即小聪的速度为3km/h.
故选D.
9．y=4x
【解析】试题解析：根据题意得：.
故答案为：y=4x.
10．10
【解析】解：设解析式为y=kx+b，把（5，13）（20，22）代入得： ，解得： k＝0.6， b＝10，∴y=0.6x+10，当x=0时，y=10．即弹簧不挂物体时的长度为10cm．故答案为：10．
点睛：本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．
11． 500
【解析】根据“余油量=原有油量减消耗量”得：，当Q=5时，则s=5百千米.
故答案：(1). (2). 500.
12．4
【解析】试题解析：当时， ， 时， ，
∴， ，
，
①当时， ，
∴．
②当时， ， ．
③当时， ，
∴共有个．
故答案为：4.
13．．
【解析】由题意得OA=OA1=2，
∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，
∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，
2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，…
∴Bn的横坐标为，
故答案为：．
14．(1)y1=250x+200、y2=222x+1 600 ；(2)50吨以下选汽车，50吨以上选火车，50吨时费用相同
【解析】试题分析：
（1）根据表格中提供的数据按题中所给数量关系列出两个函数关系式即可；
（2）根据（1）中所得函数解析式，分别由列出对应的不等式和方程，解不等式和方程即可求得本题答案.
试题解析：
（1）由题意可得： ，即；
，即；
（2）由得： ，解得： ；
由可得： ，解得： ；
由可得： ，解得： ；
即：当运送量少于50吨时，选汽车运输；当运送量为50吨时，两种运输方式花费一样多；的运送量多于50吨时，选火车运输更合算.
点睛：解本题列两个函数解析式时，需注意“冷藏费是按时间和货物的重量计算的”，故要根据“路程”和“行驶速度”分别表达出汽车和火车的行驶时间，解题时不要忽略了这一点.
15．(1)快艇 (2)4小时内轮船在前；4小时后快艇在前 (3)2小时
【解析】试题分析：
（1）由图可知，快艇从甲到乙的时间少于轮船，故快艇的速度更快一些；
（2）根据图中的信息先分别求出快艇和轮船行驶的路程与时间的函数解析式，再解由两个解析式组成的方程组，即可求得快艇追上轮船的时间，即可结合图中的信息解答本题所提问题了；
（3）由（2）中结论结合图形中的信息即可得到本题答案了.
试题解析：
（1）由图中信息可知，快艇后出发，但先到，由此可知，快艇的速度较快；
（2）设轮船行驶的路程与时间的函数关系式为： ，由图中信息可得： ，解得：k=20，由此可得：y=20x；
设快艇行驶的路程与时间的函数关系式为：y=ax+b，由图中信息可得：
，解得： ，由此可得：y=40x-80；
由 解得： ，
∴在第4小时时，快艇追上轮船，
∴第4小时前轮船在前，第4小时后快艇在前；
（3）由图可知，快艇是在轮船出发2小时后出发的；由（2）可知，快艇在轮船出发4小时时追上了轮船，
∴快艇从出发到追上轮船用的时间为：4-2=2（小时）.
答：（1）快艇速度更快；（2）第4小时前，轮船在前；第4小时后，快艇在前；（3）快艇出发2小时追上了轮船.
16．（）点为；（）点的坐标为，，，．
【解析】试题分析：（1）利用一次函数平移的性质得出平移后解析式，进而求出两函数交点坐标；
（2）利用等腰直角三角形的性质直接分类讨论，进而得出答案．
试题解析：（）解：∵直线向下平移个单位，
∴，
∵与一次函数的图象交于点，
∴，
∴解得，
∴点为．
（）点的坐标为，，，．
∵是等腰三角形，且点在轴上，
∴①当时，，
此点为或．
②当时，点为．
③当时，点为．
17．（1）120千克；（2）；（3）第10天的销售金额多
【解析】试题分析：（1）观察函数图象，找出拐点坐标即可得出结论；
（2）设李刚家多宝鱼的日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=kx+b，分0≤x≤12和12＜x≤20，找出图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式；
（3）设多宝鱼价格z与上市时间x的函数解析式为z=mx+n，找出在5≤x≤15图象上点的坐标，利用待定系数法求出z关于x的函数解析式，分别代入x=10、x=12求出y与z得值，二者相乘后比较即可得出结论．
试题解析：
（1）观察图象，发现当x=12时，y=120为最大值，
∴日销售量的最大值为120千克．
（2）设李刚家多宝鱼的日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=kx+b，
当0≤x≤12时，有，解得：，
∴此时日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=10x；
当12＜x≤20时，有，解得：，
∴此时日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=﹣15x+300．
综上可知：李刚家多宝鱼的日销售量y与上市时间x的函数解析式为 ．
（3）设多宝鱼价格z与上市时间x的函数解析式为z=mx+n，
当5≤x≤15时，有，解得：，
∴此时多宝鱼价格z与上市时间x的函数解析式为y=﹣2x+42．
当x=10时，y=10×10=100，z=﹣2×10+42=22，
当天的销售金额为：100×22=2200（元）；
当x=12时，y=10×12=120，z=﹣2×12+42=18，
当天的销售金额为：120×18=2160（元）．
∵2200＞2160，
∴第10天的销售金额多．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出最高点；（2）分段利用待定系数法求出函数解析式；（3）利用待定系数法求出z关于x的函数解析式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．
18．(1)(2)S＝3x＋24(－8＜x＜0)(3) S′＝
【解析】（1）将点A的坐标代入直线y=kx+6中，即可求得k的值．
（2）点P的纵坐标就是三角形OPA的高，直接写出面积公式．
（3）P，C两点的纵坐标相等，求出C点的横坐标，用m表示PC，再用面积公式．分0解：(1)将A(－8，0)代入直线y＝kx＋6，得k＝.
(2)由题意，得S＝OA·y＝×8(x＋6)＝3x＋24(－8＜x＜0)．
(3)∵PC⊥y轴，P(0，m)，∴C点的纵坐标为m.
则x＋6＝m，
∴x＝.∴C(，m)．∴PC＝.
　　
图1　　　　　　　　　　图2
分两种情况：①如图1，当0＜m＜6时，
S′＝OP·PC＝m·＝－m2＋4m.
②如图2，当m＜0时，
S′＝OP·PC＝ (－m)·＝m2－4m.
综上S′＝.
点睛：本题主要考查待定系数法及在平面直角坐标系中三角形的面积.将点的坐标转化为线段的长是解题的关键.
19．(1)y＝10x＋12(2)y＝2x－4(3)
【解析】（1）将点（-1，2）代入函数解析式求出m即可；
（2）根据两直线平行即斜率相等，即可得关于m的方程，解方程即可得；
（3）联立方程组求得两直线交点坐标，再求出两直线与y轴的交点坐标，根据三角形面积公式列式计算即可．
解：(1)依题意，得2＝(m＋1)×(－1)＋2m－6.
解得m＝9，
∴此函数的解析式为y＝10x＋12.
(2)依题意，得m＋1＝2，∴m＝1.
∴函数的解析式为y＝2x－4.
(3)联立,解得 ,
∴交点坐标是(1，－2)．
当x＝0时，2×0－4＝－4，－3×0＋1＝1，
即两条直线与y轴的交点分别为(0，－4)，(0，1)．
∴所求三角形面积是×(4＋1)×1＝..
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