4.5 一次函数的应用（2）同步练习

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4.5 一次函数的应用（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．一般地,一次函数y＝kx＋b(k≠０)图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝０的一个解,以二元一次方程kx－y＋b＝０的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图象上．
２．一般地,一次函数y＝kx＋b(k≠０)的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx＋b＝０的解,任何一个一元一次方程kx＋b＝０的解,都是一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标 ．
3. 任何一个一元一次不等式都可转化为ax＋b＞０或ax＋b＜０(a、b为常数且a≠０)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数y＝ax＋b(a≠０)的函数值大(小)于０时,求自变量相应的取值范围．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．一次函数y＝ax＋b交x轴于点(－5，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解是( )
A. x＝5 B. x＝－5 C. x＝0 D. 无法求解
2．直线过点和点，则方程的解是（ ）．
A. B. C. D.
3．若函数y=3x-6和y=-x+4有相等的函数值，则x的值为（ ）
A. B. C. 1 D. -
4．若点（3，m）在函数y= x+2的图象上．则m的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
6．一次函数y=mx+n的图象如图所示，则方程mx+n=0的解为（　　）
A. x=2 B. y=2 C. x=-3 D. y=-3
7．已知方程－的解是－2，下列可能为直线－－的图象是（　　）
A. B. C. D.
8．直线向下平移4个单位后与x轴的交点坐标是（ ）
A. （0，1） B. （0，-1） C. （-1，0） D. （1，0）
二、填空题
9．一次函数y＝kx＋b的图象如右图所示，则方程kx＋b＝0的解为___________
10．直线与x轴的交点坐标为________，方程的解为______.
11．一次函数（， 为常数， ）的图像如图所示，根据图像信息可求得关于的方程的解为__________．
12．如图，直线与相交于点 ，则关于x的方程的解为 .
13．如图，观察图象，回答问题：
(1)点D的纵坐标等于____．
(2)点A的横坐标是方程______的解．
(3)大于点B横坐标的x的值是不等式________的解．
(4)点C的横、纵坐标是方程组_________的解．
(5)小于点C横坐标的x的值是不等式__________的解．
14．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解是__________．
三、解答题
15．如图，直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P（x , y）是线段AB上一动点（与Ａ，Ｂ不重合），△PAO的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
16．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：
（1）方程kx+b=0的解；
（2）式子k+b的值；
（3）方程kx+b=-3的解．
17．如图，在平面直角坐标系中，存在直线y1＝2x和直线y2＝－x＋3
(1) 直接写出直线y2＝－x＋3与坐标轴的交点坐标：__________、__________
(2) 求出直线y1＝2x和直线y2＝－x＋3的交点坐标
(3) 结合图象，直接写出0＜y2＜y1的解集：_________________
18．在直角坐标系中，直线经过点(2，3)和(-1，-3)，直线经过原点，且与直线交于点P(-2，a)．
(1)求a的值．
(2)(-2，a)可看成怎样的二元一次方程组的解
(3)设直线与x轴交于点A，你能求出△APO的面积吗
19．已知：直线与轴交于点，与轴交于点，坐标原点为．
（）求点，点的坐标．
（）求直线与轴、轴围成的三角形的面积．
（）求原点到直线的距离．
参考答案
1．B
【解析】∵一次函数y＝ax＋b交x轴于点(－5，0)，
∴关于x的方程ax＋b＝0的解是x＝－5.
故选B.
2．D
【解析】∵方程ax+b=0的解是直线y=ax+b与x轴的交点横坐标，
∴方程ax+b=0的解是x=-3.
故选D.
3．B
【解析】依题意得：3x 6= x+4，
解得x=依题意得：3x 6= x+4，
解得x=，
两函数值相等时,x的值为.
故选：B.
4．D
【解析】点(3，m)在函数y= x+2有m=,m=1,所以选B.
5．C
【解析】试题解析：由于方程kx+b=0的解是x=3，即x=3时，y=0，所以直线y=kx+b经过点（3，0），
故选C.
6．C
【解析】试题解析：∵一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（-3，0），
∴当mx+n=0时，x=-3．
故选C．
点睛：一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
7．B
【解析】∵方程－的解是－2，
∴直线y=－过点（-2，0），
∵系数k=〉0，
∴直线y=－经过第一、二、三象限，且与x轴相交于点（-2,0）．
故选B．
【点睛】任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
8．D
【解析】∵直线y=2x+2沿y轴向下平移4个单位，
∴平移后解析式为：y=2x 2，
当y=0时，0=2x 2，
解得：x=1.
故新直线与x轴的交点坐标是：(1,0).
故选：D.
点睛：本题主要考查了一次函数与几何变换，关键是计算出平移后的函数解析式. 直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而利用y=0时求出直线与x轴交点坐标即可．
9．X=-1
【解析】由图像可知，方程kx＋b＝0的解为x=-1.
故答案为：x=-1.
10． ； k＜0
【解析】试题解析：令y=0，则x=
∴直线与x轴的交点坐标为（，0）
方程的解为x=
11．
【解析】∵与轴交点为，
∴当时， ，
故答案为：x=-1.
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是要明确求方程的解就是求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.
12．x=-1
【解析】试题解析：直线与相交于点 ，则关于x的方程的解为
故答案为：
13．(1)b;(2)k1x＋b1＝0;(3)kx＋b＜0;(4) ;(5)kx＋b>k1x＋b1
【解析】试题分析：(1)(2)一次函数图象与x轴的交点，令y=0.
(3) 大于点B横坐标kx＋b＜0的解.
（4）图像交点问题需要联立方程组.
(5) 小于点C横坐标的x的值是 kx＋b>k1x＋b1
试题解析：(1) 令x=0，解得y=b;(2)由图知k1x＋b1＝0;(3)由图知kx＋b＜0;
(4)由图知， ;(5)由图知kx＋b>k1x＋b1。
点睛：（1）一次函数与方程的关系：求一次函数图象与x轴交点，令y=0(与x轴的方程联立),求一次函数图象与y轴的交点，令x=0(与y轴的方程联立).
（2）两个一次函数图象的交点坐标问题，可以看作二元一次方程组的解的问.
(3)利用一次函数图象求解一元一次不等式组问题.
14．﹣3
【解析】令时，解得，故与轴的交点为。由函数图象可得，当时，函数的图象在轴上方，且其函数图象在函数图象的下方，故解集是，所以关于的不等式的整数解为。
15．
【解析】试题分析：首先求得点A的坐标，然后根据点P在直线y=x+2上，从而表示出点P的坐标为（x，x+2），然后利用三角形的面积计算方法表示出三角形的面积即可．
解：∵令y=x+2=0，解得：x=-4，
∴点A的坐标为（-4，0），
∵令x=0，得y=2，
∴点B的坐标为（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵点P（x，y）是线段AB上一动点（与A，B不重合），
∴点P的坐标可表示为（x，x+2），
如右图，作PC⊥AO于点C，
∵点P（x，x+2）在第二象限，
∴x+2＞0
∴PC=x+2
∴S=AO PC
=×4×（x+2）
=x+4．
∴S与x的函数关系式为S=x+4（-4＜x＜0）．
16．（1）x=2；（2）-1；（3）-1.
【解析】试题分析：（1）直线与x轴交点的纵坐标是0；
（2）利用待定系数法求得k、b的值；
（3）根据图形直接得到y=-3时x的值．
试题解析：（1）如图所示，当y=0时，x=2．
故方程kx+b=0的解是x=2；
（2）根据图示知，该直线经过点（2，0）和点（0，-2），则，
解得，
故k+b=1-2=-1，即k+b=-1；
（3）根据图示知，当y=-3时，x=-1．
故方程kx+b=-3的解是x=-1．
17．（1）（3，0）（0，3）；（2）交点坐标（1，2）；（3）1＜x＜3
【解析】试题分析：（1）令y2＝－x＋3中x=0求得y值即可得直线与y轴交点坐标，令y0求得x值即可得直线与x轴交点坐标；（2）由直线y1＝2x和直线y2＝－x＋3联立得方程组，解方程组即可得两直线的交点坐标；（3）由图像可知当0＜y2＜y1，即在 x轴上方及直线y1下方的图象所对应的区间，结合（1）（2）可得.
试题解析：（1）令y=0，得x=3，令x=0，得y=3，所以直线和x轴交点为（3，0），和y轴交点为（0，3）；
（2）由，解得，所以两直线交点坐标为（1，2）；
（3）
由图象可知0＜y2＜y1的解集为1＜x＜3.
18．（1）a=-5;(2);（3）.
【解析】试题分析：（1）首先利用待定系数法求得直线的解析式，然后直接把P点坐标代入可求出a的值；
（2）利用待定系数法确定L2得解析式，由于P（-2，a）是L1与L2的交点，所以点（-2，-5）可以看作是解二元一次方程组所得；
（3）先确定A点坐标，然后根据三角形面积公式计算；
试题解析：
（1）解：设： 过(2，3)和(-1，-3)
∴
∴k=2；b=-1
∴:y=2x-1,
∵过点P(-2，a)
∴a=-2×2-1=-5
设l2：y=mx且过点P(-2，-5)
∴
∴(-2，a)可看成二元一次方程组 的解；
（3）直线11与x轴的交点坐标，即当y=0时，x=0.5,
∴A（0.5,0）
∴OA=0.5
∵(-2，a)可看成二元一次方程组 的解,
∴a=-5,
作PF⊥x轴，
∴PF＝5
∴S POA＝.
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值。
19．（1）（2）4（3）
【解析】试题分析：（1）分别令x=0、y=0求解即可得到与坐标轴的交点坐标；
（2）根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）先根据勾股定理求出AB的长，再利用面积法可求出原点到直线的距离．
（）∵，
当时，
．
∴．
当时，，
∴．
（）∵
∴
∴
（）作于点．
∵
,
∴,
∴
,
∴点到直线的距离为．
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