2017-2018学年高二数学人教版（选修1-2）课时同步专题2.2+直接证明与间接证明

第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．实数不全为0等价于
A．均不为0 B．中至多有一个为0
C．中至少有一个为0 D．中至少有一个不为0
【答案】D
【解析】“不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．故选D．
2．若，则的大小关系是
A． B．
C． D．由的取值确定
【答案】C
3．要证成立，应满足的条件是
A．且 B．且
C．且 D．,或,
【答案】D
【解析】要证，只需证，即，即证，只需证，即．只需，或，．故选D．
4．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为
A．锐角三角形　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】由正弦定理得，所以，所以，而，所以，故，所以是直角三角形．故选B．
5．有以下结论：
①已知，求证：，用反证法证明时，可假设；
②已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设．
下列说法中正确的是
A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确
【答案】D
6．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“已知，且，求证：”索的因应是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】要证明，只需证，只需证，只需证，即证，即证，即证．故选C．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
7．命题“若，”，则______________．
【答案】
【解析】条件变为，，两式平方相加可推得结论．
8．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；
③假设直线AC、BD是共面直线．
则正确的序号顺序为______________．
【答案】③①②
【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②．
9．已知是方程的根，是方程的根，则的值是______________．
【答案】4
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．（1）证明：，，不可能成等差数列；
（2）证明：，，不可能为同一等差数列中的三项．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）假设，，成等差数列，则，
即，即，
因为，矛盾，所以，，不可能成等差数列．
（2）假设，，为同一等差数列中的三项，
则存在正整数，满足，
得，
两边平方得? ③，
由于③式左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数，故假设不正确，
即，，不可能为同一等差数列中的三项．
11．用分析法证明：若的三内角成等差数列，求证：+=．
【答案】证明见解析．
12．已知非零向量，满足，求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】因为，所以，
要证，只需证，
只需证，
只需证，
只需证，即证，
上式显然成立，故．
13．在中，三个内角所对的边分别为，且成等差数列，成等比数列，求证：为等边三角形．
【答案】证明见解析．
14．已知函数．
（1）证明：函数在为增函数；
（2）用反证法证明方程没有负实根．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）任取，不妨设，则，，且．
所以．
又，所以，
于是，故函数在上为增函数．
（2）设存在满足，则．
又，所以，即，与假设矛盾，故没有负实根．