2017-2018学年高二数学人教版（选修2-2）K三关专题2.1+合情推理与演绎推理
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年高二数学人教版（选修2-2）K三关专题2.1+合情推理与演绎推理 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 723.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-04-02 10:24:04 | ||
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文档简介
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
1．归纳推理
（1）由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由__________概括出__________的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由__________到__________、由__________到__________的推理．如金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为__________．
（2）归纳推理是依据__________现象，归纳推出__________结论，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．
由归纳推理所得的结论未必是正确的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的．通过观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一．
2．类比推理
由两类对象具有某些__________特征和其中一类对象的某些____________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由__________到__________的推理．
（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；
（3）类比的结果不一定可靠，但它却具有发现的功能．
（4）归纳推理是由部分到_________，由具体到__________，由特殊到__________，从个别事实中概括出________的思维模式．
类比推理是在__________的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在___________之处的一种推理模式．
3．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过__________、__________、__________、_________，再进行__________、__________，然后提出__________的推理，我们把它们统称为合情推理．
4．演绎推理
（1）从__________________出发，推出___________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由___________的推理．
（2）演绎推理与合情推理的主要区别与联系
（i）合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由________到________、________到________的推理，类比是由________到________的推理；而演绎推理是由________到________的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
（ii）人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色．
（iii）就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．
（3）三段论
（i）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的________；
②小前提——所研究的________；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________．
其一般推理形式为
大前提：M是P．
小前提：S是M．
结论：________．
（ii）利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么_________________．
（iii）为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的________作为下一个三段论的前提．
5．其他演绎推理形式
（1）假言推理：“若p?q，p真，则q真”．
（2）关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”，R表示一种传递性关系，如a∥b，b∥c?a∥c，a≥b，b≥c?a≥c等．
注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以供学生扩展知识面．
（3）完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推理规则．
K知识参考答案：
1．（1）部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 部分 整体 个别 一般 归纳推理
（2）特殊 一般
2．类似 已知特征 特殊 特殊
（4）整体 抽象 一般 一般结论 两类不同 相同或相似
3．观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想
4．（1）一般性的原理 某个特殊 一般到特殊
（2）部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 一般 特殊
（3）一般原理 特殊情况 判断 S是P S中所有元素也都具有性质P 结论
K—重点
合情推理及归纳推理的定义、演绎推理的含义
K—难点
归纳推理的基本方法、三段论模式及其应用
K—易错
误将类比所得结论作为推理依据
归纳推理在数、式、数列中的应用
观察下列式子：
；
；
；
……
则归纳猜想一般的不等式为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【名师点睛】归纳推理的一般步骤：
（1）观察分析，发现规律，通过观察个别情况发现某些相同性质；
（2）猜想结论并检验：从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（或猜想）．
归纳推理在图形中的应用
有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有灰色的正六边形的个数是
A．26 B．31
C．32 D．36
……
【答案】B
【解析】有灰色的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有灰色的正六边形的个数依次组成一个以6为首项， 5为公差的等差数列，所以第6个图案中有灰色的正六边形的个数是．故选B．
【名师点睛】通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
归纳推理在不等式中的应用
对任意正整数，猜想与的大小．
【答案】见解析．
【名师点睛】对于与正整数有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形（通分、因式分解等），变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．
类比推理
在下列类比推理中，正确的有_____________．
①把与类比，则有；
②把与类比，则有；
③把实数满足：“若，则”．类比平面向量的数量积，“若，，则”；
④平面内，“在中，的平分线将三角形分成两部分的面积比”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥中，平面平分二面角，且与交于点，则平面将三棱锥分成两部分的体积比．
【答案】④
【名师点睛】类比推理的步骤与方法
第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的（细微）差别．
第二步：把两个系统之间的某一种一致性（相似性）确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．
演绎推理的基本形式（三段论）
用三段论的形式写出下列演绎推理．
（1）菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．
（2）若两角是对顶角，则这两个角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角．
【答案】见解析．
【解析】（1）每个菱形的对角线都相互垂直………………………………大前提
正方形是菱形…………………………………………………………………小前提
正方形的对角线相互垂直……………………………………………………结论
（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等 ………………………………大前提
∠1和∠2不相等……………………………………………………………小前提
∠1和∠2不是对顶角 ………………………………………………………结论
【名师点睛】分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．
在三段论中，“大前提”提供了一般的原理，“小前提”指出了一个特殊场合的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原则和特殊情况间的联系，平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理，学习三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法．
已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：
①对任意的，总有；
②；
③若“当且时，有成立”，则称为“友谊函数”．
（1）若已知为“友谊函数”，求的值．
（2）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由．
（3）已知为“友谊函数”，且，求证：．
【答案】见解析．
③若，且，
则有
．
故满足条件①②③，
所以函数在区间上为“友谊函数”．
（3）因为，则，
所以．
【名师点睛】（1）应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据（大前提），验证条件是否满足（小前提），然后得出结论．
（2）在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际应用中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范．
不能从所给各数中发现规律而致错
已知数列：根据它的前10项的规律，则的值为
A． B．
C． D．
【错解】各数分子的构成规律是
由于,,，
∴，，
∴，故选B．
【错因分析】本题常见错误是不能从所给各数中发现规律，错解虽然注意到了{an}各项的构成规律，但在计数项数时出现错误，a99应是分子从14开始的第8项，其分子应为，而不是6．
利用三段论推理时，大前提错误而致错
如图所示，在中，，是边上的高，求证：．
【错解】在中，因为，所以，所以．
【错因分析】错误的原因在于虽然运用的大前提正确，即在同一个三角形中，大边对大角，但与并不是在同一个三角形内的两条边，即小前提不成立，所以推理过程错误．
【名师点睛】利用三段论推理时，（一）大前提必须是真命题；（2）小前提是大前提的特殊情形．
1．“三段论”推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是
A．① B．②
C．③ D．①②
2．下列推理是类比推理的是
A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆
B．由a1=1，，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2=r2的面积，猜想出椭圆的面积为
D．以上均不正确
3．下列推理是演绎推理的是
A．M，N是平面内两定点，动点P满足|PM|＋|PN|＝2a＞|MN|，得点P的轨迹是椭圆
B．由a1＝1，an＝2n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆的面积为πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
4．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式，可推知扇形面积公式等于
A． B．
C． D．不可类比
5．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是
A．白色 B．黑色
C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大
6．在平面几何中有如下结论：设正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则
A． B．
C． D．
7．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数，………………大前提
整数是有理数，…………………小前提
整数是真分数．…………………结论
结论显然是错误的，是因为
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
8．“因为四边形是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”补充以上推理的大前提
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
9．已知推理：“因为的三边长依次为3，4，5，所以是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________．
10．已知：；．
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明．
11．已知，分别求，，的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．
12．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明：|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．
13．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a．结论显然是错误的，这是因为
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
14．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
15．设，计算可得，，，．观察上面结果，可得出的一般结论是
A．
B．
C．
D．
16．如图，第个图形是由正边形“扩展”而来（），则在第个图形中共有个顶点
A． B．
C． D．
17．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间的关系为________________．
18．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系是
________________．
19．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF．
20．（1）证明：当时，不等式成立；
（2）要使上述不等式成立，能否将条件“”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；
（3）请根据（1），（2），试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．
21．（2017新课标全国II）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
22．（2016北京）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远（单位：米）
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳（单位：次）
63
a
75
60
63
72
70
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
23．（2016新课标全国II）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________．
24．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________________；
②该小组人数的最小值为________________．
25．（2016山东）观察下列等式：
；
；
；
；
……
照此规律，________________．
1．【答案】B
【解析】此推理的小前提是“三角形不是平行四边形”．故选B．
2．【答案】C
【解析】A是演绎推理，B是归纳推理，C是类比推理．故选C．
3．【答案】A
【解析】B是归纳推理，C、D是类比推理，只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理．故选A．
4．【答案】C
【解析】将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，所以S扇＝．故选C．
5．【答案】A
6．【答案】D
【解析】由平面图形的面积类比立体图形的体积，得出在空间内，若两个正四面体的外内切球、外接球的半径比为1∶3，则它们体积比为1∶27．故选D．
7．【答案】A
【解析】推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．故选A．
8．【答案】B
【解析】结合已知，可得所填的条件一定与矩形有关，并且应为矩形对角线的有关性质，结合选项可知选B．
9．【答案】一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
【解析】大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；
小前提：的三边长依次为3，4，5，满足32＋42＝52；
结论：是直角三角形．
10．【答案】，证明见解析．
【解析】一般性的命题为．证明如下：
左边
，
所以等式成立．
11．【答案】，证明见解析．
12．【答案】证明见解析．
【解析】∵|x|≤1时，|f(x)|≤1．x＝0满足|x|≤1，∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1．
证明过程中的三段论分析如下：
大前提是|x|≤1时，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1．
13．【答案】A
【解析】大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．故选A．
14．【答案】C
【解析】∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，
∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．故选C．
15．【答案】D
【解析】，，，，
所以推得一般结论是，故选D．
16．【答案】B
【解析】第一个图形是正三角形的每边变成4条线段，第二个图形是正方形的每边变成5条线段，第三个图形是正五边形的每边变成6条线段，第四个图形是正六边形的每边变成7条线段，…，因此，第个图形是正边形的每边变成条线段，从而它是边形，共有个顶点．故选B．
17．【答案】
【解析】将直角三角形的一条直角边长类比为与棱AD垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比为△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积，可得．
18．【答案】m＜n
【解析】当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax为减函数，∵a＝∈(0，1)，∴函数f(x)＝为减函数．故由f(m)＞f(n)，得m＜n．
19．【答案】证明见解析．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）能，可放宽为且，理由见解析；（3）若且，，，则有
【解析】（1），
因为，所以，所以，所以不等式成立．
（2）因为，则对任意且，式子与同号，
所以条件可放宽为且．
（3）根据（1）（2）可推知：若且，，，则有．
证明如下：
，
若，则由不等式成立；
若，则由不等式成立．
综上得：若且，，，则有成立．
21．【答案】D
【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D．
22．【答案】B
23．【答案】1和3
【解析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2．
24．【答案】6 12
【解析】设男生人数、女生人数、教师人数分别为，则.
①，②
25．【答案】
【解析】通过类比，可以发现，最前面的数字是，接下来是和项数有关的两项的乘积，即，故答案为．
2.1 合情推理与演绎推理
1．归纳推理
（1）由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由__________概括出__________的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由__________到__________、由__________到__________的推理．如金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为__________．
（2）归纳推理是依据__________现象，归纳推出__________结论，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．
由归纳推理所得的结论未必是正确的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的．通过观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一．
2．类比推理
由两类对象具有某些__________特征和其中一类对象的某些____________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由__________到__________的推理．
（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；
（3）类比的结果不一定可靠，但它却具有发现的功能．
（4）归纳推理是由部分到_________，由具体到__________，由特殊到__________，从个别事实中概括出________的思维模式．
类比推理是在__________的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在___________之处的一种推理模式．
3．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过__________、__________、__________、_________，再进行__________、__________，然后提出__________的推理，我们把它们统称为合情推理．
4．演绎推理
（1）从__________________出发，推出___________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由___________的推理．
（2）演绎推理与合情推理的主要区别与联系
（i）合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由________到________、________到________的推理，类比是由________到________的推理；而演绎推理是由________到________的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
（ii）人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色．
（iii）就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．
（3）三段论
（i）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的________；
②小前提——所研究的________；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________．
其一般推理形式为
大前提：M是P．
小前提：S是M．
结论：________．
（ii）利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么_________________．
（iii）为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的________作为下一个三段论的前提．
5．其他演绎推理形式
（1）假言推理：“若p?q，p真，则q真”．
（2）关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”，R表示一种传递性关系，如a∥b，b∥c?a∥c，a≥b，b≥c?a≥c等．
注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以供学生扩展知识面．
（3）完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推理规则．
K知识参考答案：
1．（1）部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 部分 整体 个别 一般 归纳推理
（2）特殊 一般
2．类似 已知特征 特殊 特殊
（4）整体 抽象 一般 一般结论 两类不同 相同或相似
3．观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想
4．（1）一般性的原理 某个特殊 一般到特殊
（2）部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 一般 特殊
（3）一般原理 特殊情况 判断 S是P S中所有元素也都具有性质P 结论
K—重点
合情推理及归纳推理的定义、演绎推理的含义
K—难点
归纳推理的基本方法、三段论模式及其应用
K—易错
误将类比所得结论作为推理依据
归纳推理在数、式、数列中的应用
观察下列式子：
；
；
；
……
则归纳猜想一般的不等式为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【名师点睛】归纳推理的一般步骤：
（1）观察分析，发现规律，通过观察个别情况发现某些相同性质；
（2）猜想结论并检验：从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（或猜想）．
归纳推理在图形中的应用
有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有灰色的正六边形的个数是
A．26 B．31
C．32 D．36
……
【答案】B
【解析】有灰色的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有灰色的正六边形的个数依次组成一个以6为首项， 5为公差的等差数列，所以第6个图案中有灰色的正六边形的个数是．故选B．
【名师点睛】通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
归纳推理在不等式中的应用
对任意正整数，猜想与的大小．
【答案】见解析．
【名师点睛】对于与正整数有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形（通分、因式分解等），变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．
类比推理
在下列类比推理中，正确的有_____________．
①把与类比，则有；
②把与类比，则有；
③把实数满足：“若，则”．类比平面向量的数量积，“若，，则”；
④平面内，“在中，的平分线将三角形分成两部分的面积比”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥中，平面平分二面角，且与交于点，则平面将三棱锥分成两部分的体积比．
【答案】④
【名师点睛】类比推理的步骤与方法
第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的（细微）差别．
第二步：把两个系统之间的某一种一致性（相似性）确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．
演绎推理的基本形式（三段论）
用三段论的形式写出下列演绎推理．
（1）菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．
（2）若两角是对顶角，则这两个角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角．
【答案】见解析．
【解析】（1）每个菱形的对角线都相互垂直………………………………大前提
正方形是菱形…………………………………………………………………小前提
正方形的对角线相互垂直……………………………………………………结论
（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等 ………………………………大前提
∠1和∠2不相等……………………………………………………………小前提
∠1和∠2不是对顶角 ………………………………………………………结论
【名师点睛】分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．
在三段论中，“大前提”提供了一般的原理，“小前提”指出了一个特殊场合的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原则和特殊情况间的联系，平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理，学习三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法．
已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：
①对任意的，总有；
②；
③若“当且时，有成立”，则称为“友谊函数”．
（1）若已知为“友谊函数”，求的值．
（2）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由．
（3）已知为“友谊函数”，且，求证：．
【答案】见解析．
③若，且，
则有
．
故满足条件①②③，
所以函数在区间上为“友谊函数”．
（3）因为，则，
所以．
【名师点睛】（1）应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据（大前提），验证条件是否满足（小前提），然后得出结论．
（2）在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际应用中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范．
不能从所给各数中发现规律而致错
已知数列：根据它的前10项的规律，则的值为
A． B．
C． D．
【错解】各数分子的构成规律是
由于,,，
∴，，
∴，故选B．
【错因分析】本题常见错误是不能从所给各数中发现规律，错解虽然注意到了{an}各项的构成规律，但在计数项数时出现错误，a99应是分子从14开始的第8项，其分子应为，而不是6．
利用三段论推理时，大前提错误而致错
如图所示，在中，，是边上的高，求证：．
【错解】在中，因为，所以，所以．
【错因分析】错误的原因在于虽然运用的大前提正确，即在同一个三角形中，大边对大角，但与并不是在同一个三角形内的两条边，即小前提不成立，所以推理过程错误．
【名师点睛】利用三段论推理时，（一）大前提必须是真命题；（2）小前提是大前提的特殊情形．
1．“三段论”推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是
A．① B．②
C．③ D．①②
2．下列推理是类比推理的是
A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆
B．由a1=1，，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2=r2的面积，猜想出椭圆的面积为
D．以上均不正确
3．下列推理是演绎推理的是
A．M，N是平面内两定点，动点P满足|PM|＋|PN|＝2a＞|MN|，得点P的轨迹是椭圆
B．由a1＝1，an＝2n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆的面积为πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
4．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式，可推知扇形面积公式等于
A． B．
C． D．不可类比
5．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是
A．白色 B．黑色
C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大
6．在平面几何中有如下结论：设正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则
A． B．
C． D．
7．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数，………………大前提
整数是有理数，…………………小前提
整数是真分数．…………………结论
结论显然是错误的，是因为
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
8．“因为四边形是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”补充以上推理的大前提
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
9．已知推理：“因为的三边长依次为3，4，5，所以是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________．
10．已知：；．
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明．
11．已知，分别求，，的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．
12．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明：|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．
13．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a．结论显然是错误的，这是因为
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
14．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
15．设，计算可得，，，．观察上面结果，可得出的一般结论是
A．
B．
C．
D．
16．如图，第个图形是由正边形“扩展”而来（），则在第个图形中共有个顶点
A． B．
C． D．
17．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间的关系为________________．
18．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系是
________________．
19．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF．
20．（1）证明：当时，不等式成立；
（2）要使上述不等式成立，能否将条件“”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；
（3）请根据（1），（2），试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．
21．（2017新课标全国II）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
22．（2016北京）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远（单位：米）
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳（单位：次）
63
a
75
60
63
72
70
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
23．（2016新课标全国II）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________．
24．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________________；
②该小组人数的最小值为________________．
25．（2016山东）观察下列等式：
；
；
；
；
……
照此规律，________________．
1．【答案】B
【解析】此推理的小前提是“三角形不是平行四边形”．故选B．
2．【答案】C
【解析】A是演绎推理，B是归纳推理，C是类比推理．故选C．
3．【答案】A
【解析】B是归纳推理，C、D是类比推理，只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理．故选A．
4．【答案】C
【解析】将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，所以S扇＝．故选C．
5．【答案】A
6．【答案】D
【解析】由平面图形的面积类比立体图形的体积，得出在空间内，若两个正四面体的外内切球、外接球的半径比为1∶3，则它们体积比为1∶27．故选D．
7．【答案】A
【解析】推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．故选A．
8．【答案】B
【解析】结合已知，可得所填的条件一定与矩形有关，并且应为矩形对角线的有关性质，结合选项可知选B．
9．【答案】一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
【解析】大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；
小前提：的三边长依次为3，4，5，满足32＋42＝52；
结论：是直角三角形．
10．【答案】，证明见解析．
【解析】一般性的命题为．证明如下：
左边
，
所以等式成立．
11．【答案】，证明见解析．
12．【答案】证明见解析．
【解析】∵|x|≤1时，|f(x)|≤1．x＝0满足|x|≤1，∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1．
证明过程中的三段论分析如下：
大前提是|x|≤1时，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1．
13．【答案】A
【解析】大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．故选A．
14．【答案】C
【解析】∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，
∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．故选C．
15．【答案】D
【解析】，，，，
所以推得一般结论是，故选D．
16．【答案】B
【解析】第一个图形是正三角形的每边变成4条线段，第二个图形是正方形的每边变成5条线段，第三个图形是正五边形的每边变成6条线段，第四个图形是正六边形的每边变成7条线段，…，因此，第个图形是正边形的每边变成条线段，从而它是边形，共有个顶点．故选B．
17．【答案】
【解析】将直角三角形的一条直角边长类比为与棱AD垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比为△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积，可得．
18．【答案】m＜n
【解析】当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax为减函数，∵a＝∈(0，1)，∴函数f(x)＝为减函数．故由f(m)＞f(n)，得m＜n．
19．【答案】证明见解析．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）能，可放宽为且，理由见解析；（3）若且，，，则有
【解析】（1），
因为，所以，所以，所以不等式成立．
（2）因为，则对任意且，式子与同号，
所以条件可放宽为且．
（3）根据（1）（2）可推知：若且，，，则有．
证明如下：
，
若，则由不等式成立；
若，则由不等式成立．
综上得：若且，，，则有成立．
21．【答案】D
【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D．
22．【答案】B
23．【答案】1和3
【解析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2．
24．【答案】6 12
【解析】设男生人数、女生人数、教师人数分别为，则.
①，②
25．【答案】
【解析】通过类比，可以发现，最前面的数字是，接下来是和项数有关的两项的乘积，即，故答案为．