2017-2018学年高二数学人教版（选修2-2）K三关专题2.2+直接证明与间接证明

2.2 直接证明与间接证明
1．综合法的定义
利用___________和某些数学___________、__________、___________等，经过一系列的
_____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．综合法的特点
从“已知”看“___________”，逐步推向“___________”，其逐步推理，是由_________导_________，实际上是寻找“已知”的___________条件．
3．综合法的基本思路
用_________表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，_________表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为
→→→…→
其逻辑依据是三段论式演绎推理．
4．分析法定义
从要证明的_________出发，逐步寻求使它成立的_________条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.
5．分析法的特点
分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“_________”，执果索因，逐步靠拢“_________”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的_________条件．
分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．
6．分析法的基本思路
分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件．若用_________表示要证明的结论，则分析法的推理形式为
→→→…→
7．分析法与综合法的区别与联系
（1）区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．
（2）联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归结为已被证明了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明过程就是综合法．
（3）分析法便于思考，叙述较繁；综合法叙述条理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清楚．所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：分析找思路，综合写过程．
8．反证法的定义
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设________，从而证明了原命题________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．
9．反证法证题的原理
（1）反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
（2）用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．
10．反证法常见的矛盾类型
（1）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公认的简单事实矛盾等．矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．
（2）反证法的适用对象
作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：
①直接证明需分多种情况的；
②结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；
③关于唯一性、存在性的命题；
④结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；
⑤条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．
K知识参考答案：
1．已知条件 定义 公理 定理 推理论证 2．可知 未知 因 果 必要
3．P Q 4．结论 充分 5．需知 已知 充分 6．P
8．矛盾 错误 成立
K—重点
综合法和分析法的思维过程及特点，反证法的特点
K—难点
综合法和分析法的应用，反证法的应用
K—易错
忽视隐含条件导致错误
综合法的应用
求证：．
【答案】见解析．
【名师点睛】综合法的证明步骤如下：
（1）分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
（2）转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
分析法的应用
当时，求证：．
【答案】见解析．
【解析】要证，只需证，
即证，即证．
因为对一切实数恒成立，所以成立．
综上所述，不等式得证．
【名师点睛】分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行
转化，直到获得一个显而易见的命题即可．
反证法的应用
设数列是公比为的等比数列，是它的前项和．
（1）求证：数列不是等比数列；
（2）数列是等差数列吗？为什么？
【答案】（1）见解析；（2）当时，数列是等差数列，当时，不是等差数列．
方法2：只需证明，
因为，
所以．
（2）当时，是等差数列．
当时，不是等差数列，否则有成等差数列．即，
所以．
由于，所以，
因为，所以，与矛盾．
综上，当时，数列是等差数列，当时，不是等差数列．．
【名师点睛】应用反证法的注意事项：
（1）用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若，则”的过程中，虽然否定了结论，但是在证明过程中没有把“”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．
（2）用反证法证题，最后要产生一个矛盾命题，常见的主要矛盾有：①与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；②与假设矛盾；③与已知条件矛盾；④与公认的简单事实矛盾．
（3）矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．
忽视隐含条件导致错误
设，为偶数，求证：．
【错解】．
∵为偶数，∴．
又∵和同号，∴，
∴．
【错因分析】这里题目中的条件为，而不是，因此，应分且和有一个为负值两种情况加以讨论．
②当中有一个为负值时，不妨设，且，∴．
∴，
故，∴，∴，
∴由①②知结论成立．
【名师点睛】审题过程中注意将条件等价转化，要将所有可能情形找全，不要漏掉隐含的条件．
已知，，，求证：．
【错解】假设，，，则，与题设条件，
矛盾．∴假设不成立，∴原命题成立．
【错因分析】错解没有弄清原题待证的结论是什么,导致反设错误．“求证：a>0，b>0，c>0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0．”．
证法2：假设是不全为正的实数，由于，所以中只能是两负一正，
不妨设，，∵，∴，
∵，∵，∴，
∴，这与矛盾，故假设不成立，原结论成立．
即全为正实数．
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的表述有
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
2．用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是
A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度
3．要证明，可选择的方法有多种，其中最合理的是
A．综合法 B．类比法
C．分析法 D．归纳法
4．用反证法证明“如果，那么”，假设的内容应是
A． B．且
C． D．或
5．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
6．用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是
A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根
C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根
7．用反证法证明命题“，如果可以被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”假设的内容是
A．，都能被5整除 B．，都不能被5整除
C．不能被5整除 D．，有1个不能被5整除
8．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是
A．(－∞，－2] B．[－2，2]
C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞)
9．________________．(填“＞”或“＜”)
10．用反证法证明命题“若，则或”时，应假设________________．
11．补足下面用分析法证明基本不等式的步骤：
要证明，只需证明，只需证________________，
只需证________________，由于________________，显然成立，因此原不等式成立．
12．求证：．
13．设a，b>0，且a≠b，用分析法证明：a3＋b3>a2b＋ab2．
14．已知正数成等差数列，且公差，用反证法证明：不可能是等差数列．
15．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的假设为
A．自然数都是奇数 B．自然数都是偶数
C．自然数中至少有两个偶数 D．自然数中至少有两个偶数或都是奇数
16．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
17．要使成立，则a，b应满足的条件是
A．ab＜0且a＞b B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0且a＜b D．ab＜0且a＜b或ab>0且a>b
18．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b为异面直线，则
A．a，b都与l相交 B．a，b至少有一条与l相交
C．a，b至多有一条与l相交 D．a，b都与l不相交
19．已知a>0，且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是
A．P>Q B．P＝Q
C．P20．若定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0，2]上是递增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是
A．0≤m≤4 B．0≤m≤2
C．m≤0 D．m≤0或m≥4
21．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2．以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________________．(用序号及“?”表示)
22．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°．上述步骤的正确顺序为________________．
23．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E－ABC的体积V．
24．已知函数．
（1）证明：函数f(x)在上为增函数；
（2）用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．

1．【答案】C
【解析】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．故选C．
2．【答案】B
【解析】由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，故选B．
3．【答案】C
【解析】要证，只需证2a＋7＋＜2a＋7＋
，
只需证，只需证a(a＋7)＜(a＋3)(a＋4)，只需证0＜12，故选用分析法最合理．故选C．
4．【答案】D
【解析】原命题的结论为，反证法需假设结论的反面，应为小于或等于，即或．故选D．
5．【答案】A
【解析】若满足题目中的条件，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在A、B、C、D四个选项中，只有A满足，故选A．
6．【答案】A
7．【答案】B
【解析】用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设，都不能被5整除．故选B．
8．【答案】C
【解析】用分离参数法可得a≥－(|x|＋)(x≠0)，而|x|＋≥2，∴a≥－2，当x＝0时原不等式显然成立．故选C．
9．【答案】＜
【解析】∵，，
显然，∴．
10．【答案】且
【解析】反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以应假设“且”．
11．【答案】a2＋b2－2ab≥0 　(a－b)2≥0 　(a－b)2≥0
【解析】要证明，只需证明a2＋b2≥2ab，只需证a2＋b2－2ab≥0，
只需证(a－b)2≥0，由于(a－b)2≥0显然成立，因此原不等式成立．
12．【答案】证明见解析．
13．【答案】证明见解析．
【解析】证明：要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立．
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立，又因为a＋b＞0，
所以只需证a2－ab＋b2＞ab成立，只需证a2－2ab＋b2＞0成立，
即需证(a－b)2＞0成立．而a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．
由此命题得证．
14．【答案】证明见解析．
【解析】证明：假设成等差数列，则，即，
两边乘以b，得，
又a，b，c成等差数列，且公差不为零，∴，
∴，两边都乘以ac，得．
这与已知数列a，b，c的公差不为零，相矛盾，
所以数列不可能成等差数列．
15．【答案】D
【解析】反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数中至少有两个偶数或都是奇数．故选D．
16．【答案】B
【解析】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．故选B．
17．【答案】D
18．【答案】B
【解析】若a，b都与l不相交，则a∥l，b∥l，∴a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，∴a，b至少有一条与l相交．故选B．
19．【答案】A
【解析】当a>1时，a3＋1>a2＋1，所以P>Q；当0Q．故选A．
20．【答案】A
【解析】∵二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b的对称轴为x＝2，f(x)在[0，2]上是递增函数，∴a＜0，∵f(m)≥f(0)，∴0≤m≤4，故选A．
21．【答案】①③?②
【解析】∵αβ>0，|α|>2，|β|>2，∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25．∴|α＋β|>5．
22．【答案】③①②
【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，步骤的顺序应为③①②．
23．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）∵在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD．
（2）如图，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA．
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
∴AP＝AB＝，EG＝，∴S△ABC＝AB·BC＝××2＝，
∴VE—ABC＝S△ABC·EG＝××＝．
24．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
（2）设存在满足，则，且，
所以，解得，与假设矛盾．
故方程没有负数根．