2017_2018版高中数学全一册学案（打包17套）新人教A版选修1_2

1.1　回归分析的基本思想及其初步应用
1．了解回归分析的思想和方法．(重点)
2．掌握相关系数的计算和判断线性相关的方法．(重点)
3．了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　线性回归模型
阅读教材P2～P4“探究”以上内容，完成下列问题．
1．在线性回归方程＝＋x中＝，＝－.其中＝i，＝i，(，)称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心．
2．线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差．
3．随机误差产生的原因主要有以下几种：
(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；
(2)忽略了某些因素的影响；
(3)存在观测误差．
设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是________(填序号)．
(1)y与x具有正的线性相关关系；
(2)回归直线过样本点的中心(，)；
(3)若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；
(4)若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg.
【解析】　回归方程中x的系数为0.85>0，因此y与x具有正的线性相关关系，(1)正确；
由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(，)，(2)正确；
依据回归方程中的含义可知，x每变化1个单位，相应变化约0.85个单位，(3)正确；
用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故(4)不正确．
【答案】　(1)(2)(3)
教材整理2　刻画回归效果的方式
阅读教材P4“探究”以下至P6“例2”以上内容，完成下列问题．
残差
对于样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的随机误差的估计值i＝yi－i，称为相应于点(xi，yi)的残差
残差图
利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图
续表
残差
图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高
残差平
方和
残差平方和为，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
相关指
数R2
R2＝1－，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好
　甲、乙、丙、丁4位同学各自对A、B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2如表所示：
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
____(填“甲”“乙”“丙”“丁”)同学的试验结果体现拟合A、B两变量关系的模型拟合精度高．
【解析】　根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R2表达式中(yi－)2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果就越好，由试验结果知丁要好些．
【答案】　丁
[小组合作型]
回归分析的有关概念
　(1)有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；
③通过回归方程＝x＋，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；
④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程＝x＋＋e(单位：亿元)，其中＝0.8，＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，则今年支出预计不会超过________亿. 【导学号：81092000】
【自主解答】　(1)①反映的是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点图的作用，也正确．③解释的是回归方程＝x＋的作用，故也正确．④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．
(2)由题意可得：＝0.8x＋2＋e，当x＝10时，＝0.8×10＋2＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，∴9.5≤≤10.5.
故今年支出预计不会超过10.5亿．
【答案】　(1)C　(2)10.5
1．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程．
2．由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．
3．随机误差的主要来源
(1)线性回归模型与真实情况引起的误差；
(2)忽略了一些因素的影响产生的误差；
(3)观测与计算产生的误差．
4．残差分析是回归分析的一种方法．
[再练一题]
1．下列有关线性回归的说法，不正确的是________(填序号)．
①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；
②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图；
③线性回归方程最能代表观测值x，y之间的关系；
④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程．
【解析】　只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程．
【答案】　④
线性回归分析
　为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x
5
10
15
20
25
30
y
7.25
8.12
8.95
9.90
10.9
11.8
(1)作出散点图并求线性回归方程；
(2)求出R2；
(3)进行残差分析．
【精彩点拨】　→→→
【自主解答】　(1)散点图如图．
＝(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，
＝(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
＝2 275，iyi＝1 076.2，
计算得，≈0.183，≈6.285，
所求回归直线方程为＝0.183x＋6.285.
(2)列表如下：
yi－i
0.05
0.005
－0.08
－0.045
0.04
0.025
yi－
－2.24
－1.37
－0.54
0.41
1.41
2.31
所以(yi－i)2≈0.013 18，(yi－)2＝14.678 4.
所以，R2＝1－≈0.999 1，
回归模型的拟合效果较好．
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．
“相关指数R2、残差图”在回归分析中的作用
1．相关指数R2是用来刻画回归效果的，由R2＝1－可知，R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．
2．残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报的精度也越高．
[再练一题]
2．已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏.
【导学号：81092001】
【解】　＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以＝＝＝－1.15.
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求回归直线方程是＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
yi－i
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
所以，(yi－i)2＝0.3，(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回归模型的拟合效果很好．
[探究共研型]
非线性回归分析
探究1　在研究两个变量的相关关系时，观察散点图样本点集中于某一条指数曲线y＝cax(a＞0且a≠1，c＞0，a，c为常数)的周围，如何进行适当变换化为线性关系？
【提示】　对y＝cax两边取自然对数ln y＝ln(cax)，
即ln y＝ln c＋xln a，
令原方程变为y′＝ln c＋x′ln a，
然后按线性回归模型求出ln a，ln c即可．
探究2　已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的为哪一个？
x
1
2
3
y
3
5.99
12.01
①y＝3×2x－1; ②y＝log2x；
③y＝4x; ④y＝x2.
【提示】　观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y＝3×2x－1附近．所以模拟效果最好的为①.
　某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x(cm)
60
70
80
90
100
110
体重y(kg)
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x(cm)
120
130
140
150
160
170
体重y(kg)
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)试建立y与x之间的回归方程；
(2)如果一名在校男生身高为168 cm，预测他的体重约为多少？
【精彩点拨】　先由散点图确定相应的拟合模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解．
【自主解答】　(1)根据表中的数据画出散点图，如下：
由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y，列表如下：
x
60
70
80
90
100
110
z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
x
120
130
140
150
160
170
z
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
作出散点图，如下：
由表中数据可求得z与x之间的回归直线方程为＝0.693＋0.020x，则有＝e0.693＋0.020x.
(2)由(1)知，当x＝168时，＝e0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高为168 cm，预测他的体重约为57.57 kg.
两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如y＝c1ec2x，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a?a＝ln c1，b＝c2?的周围.
[再练一题]
3．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数据如下表：
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
试建立y与x之间的回归方程．
【解】　作出变量y与x之间的散点图如图所示．
由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系．
设y＝，令t＝，则y＝kt.由y与x的数据表可得y与t的数据表：
t
4
2
1
0.5
0.25
y
16
12
5
2
1
作出y与t的散点图如图所示．
由图可知y与t呈近似的线性相关关系．
又＝1.55，＝7.2，iyi＝94.25，＝21.312 5，
＝＝≈4.134 4，
＝－＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8，
∴＝4.134 4t＋0.8.
所以y与x的回归方程是＝＋0.8.
1．下列结论正确的是(　　)
①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
【解析】　函数关系和相关关系的区别是前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故①②正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故③错误，④正确．
【答案】　C
2．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过点(　　)
x
1
2
3
4
y
1
3
5
7
A.(2,3) B．(1.5,4)
C．(2.5,4) D．(2.5,5)
【解析】　线性回归方程必过样本点的中心(，)，
即(2.5,4)，故选C.
【答案】　C
3．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型．它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
【解析】　相关指数R2越接近于1，则该模型的拟合效果就越好，精度越高．
【答案】　A
4．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________.
【导学号：81092002】
【解析】　由题意知＝2，＝3，＝6.5，所以＝－＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为＝－10＋6.5x.
【答案】　＝－10＋6.5x
5．某零售店近五个月的销售额和利润额资料如下表：
月份
A
B
C
D
E
销售额x(千万元)
3
5
6
7
9
利润额y(百万元)
2
3
3
4
5
(1)画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；
(2)用最小二乘法求利润额y关于销售额x的线性回归方程；
(3)当销售额为4(千万元)时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元)．
【解】　(1)散点图如下．
两个变量呈正线性相关关系．
(2)设线性回归方程是＝x＋.
由题中的数据可知＝3.4，＝6.
所以＝
＝
＝＝.
＝－＝3.4－×6＝0.4.
所以利润额y关于销售额x的线性回归方程为＝0.5x＋0.4.
(3)由(2)知，当x＝4时，＝0.5×4＋0.4＝2.4，
所以当销售额为4千万元时，可以估计该店的利润额为2.4百万元．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是(　　)
A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上
B．解释变量在x轴上，预报变量在y轴上
C．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上
D．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上
【解析】　结合线性回归模型y＝bx＋a＋e可知，解释变量在x轴上，预报变量在y轴上，故选B.
【答案】　B
2．在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和(　　)
A．越大　 B．越小
C．可能大也可能小 D．以上均错
【解析】　∵R2＝1－，∴当R2越大时，
(yi－i)2越小，即残差平方和越小，故选B.
【答案】　B
3．已知x和y之间的一组数据
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程＝x＋必过点(　　)
A．(2,2) B.
C．(1,2) D.
【解析】　∵＝(0＋1＋2＋3)＝，＝(1＋3＋5＋7)＝4，
∴回归方程＝x＋必过点.
【答案】　D
4．已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归方程为＝0.577x－0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量(　　) 【导学号：81092003】
A．一定是20.3%
B．在20.3%附近的可能性比较大
C．无任何参考数据
D．以上解释都无道理
【解析】　将x＝36代入回归方程得＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.
【答案】　B
5．若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，为将y转化为t的线性回归方程，则需作变换t＝(　　)
A．x2 B．(x＋a)2
C.2 D．以上都不对
【解析】　y关于t的线性回归方程，实际上就是y关于t的一次函数，又因为y＝a2＋，所以可知选项C正确．
【答案】　C
二、填空题
6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．
【解析】　根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.
【答案】　1
7．已知方程＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体(160,53)的残差是________．
【解析】　把x＝160代入＝0.85x－82.71，
得＝0.85×160－82.71＝53.29，
所以残差＝y－＝53－53.29＝－0.29.
【答案】　－0.29
8．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
【解析】　以x＋1代x，得＝0.254(x＋1)＋0.321，与＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
【答案】　0.254
三、解答题
9．关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
如由资料可知y对x呈线性相关关系．试求：
(1)线性回归方程：
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【解】　(1)＝＝4，
＝＝5，
＝90，iyi＝112.3，
＝＝＝1.23.
于是＝－ ＝5－1.23×4＝0.08.
所以线性回归方程为＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，
即估计使用10年时维修费用是12.38万元．
10．关于x与y有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲模型＝6.5x＋17.5，乙模型＝7x＋17，试比较哪一个模型拟合的效果更好．
【解】　R＝1－＝1－＝0.845，
R＝1－＝1－＝0.82，
因为84.5%>82%，所以甲模型拟合效果更好．
[能力提升]
1．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：
考试次数x
1
2
3
4
所减分数y
4.5
4
3
2.5
显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为(　　)
A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25
C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25
【解析】　由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A.考试次数的平均数为＝×(1＋2＋3＋4)＝2.5，所减分数的平均数为＝×(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5.即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线y＝－0.7x＋5.25成立，选D.
【答案】　D
2．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是
(　　)
A.>b′，>a′ B.>b′，C.a′ D.【解析】　根据所给数据求出直线方程y＝b′x＋a′和回归直线方程的系数，并比较大小．
由(1,0)，(2,2)求b′，a′.
b′＝＝2，
a′＝0－2×1＝－2.
求，时，
iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝3.5，＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴＝＝，
＝－×3.5＝－＝－，
∴a′.
【答案】　C
3．已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且线性回归方程为y＝0.95x＋2.6，那么表格中的数据m的值为________.
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
m
【解析】　＝＝2，＝＝，把(，)代入回归方程得＝0.95×2＋2.6，解得m＝6.7.
【答案】　6.7
4．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验．
(1)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？
(3)请预测温差为14 ℃的发芽数．
【解】　(1)由数据求得，＝12，＝27，
＝434，iyi＝977.
由公式求得，＝，＝－＝－3.
所以y关于x的线性回归方程为＝x－3.
(2)当x＝10时，＝×10－3＝22，|22－23|<2；
当x＝8时，＝×8－3＝17，|17－16|<2.
所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．
(3)当x＝14时，有＝×14－3＝35－3＝32，
所以当温差为14 ℃时的发芽数约为32颗.
1.2　独立性检验的基本思想及其初步应用
1．理解独立性检验的基本思想及其实施步骤．(重点)
2．能利用条形图、列联表探讨两个分类变量的关系．(易混点)
3．了解K2的含义及其应用．
4．通过对数据的处理，来提高解决实际问题的能力．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　分类变量与列联表
阅读教材P10～P13的内容，完成下列问题．
1．分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2．列联表
(1)定义：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．
(2)2×2列联表：一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
　下面是一个2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
8
25
33
总计
b
46
则表中a，b处的值分别为________．
【解析】　∵a＋21＝73，∴a＝52.
又b＝a＋8＝52＋8＝60.
【答案】　52,60
教材整理2　等高条形图
阅读教材P14的内容，完成下列问题．
1．定义：将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高条形图．
2．等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．
3．观察等高条形图发现和相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．
观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是________．
图1-2-1
【解析】　在四幅图中图(4)中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选(4)．
【答案】　(4)
教材整理3　独立性检验
阅读教材P12的内容，完成下列问题．
1．定义
利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
2．公式
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
1．关于分类变量x与y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是________(填序号)．
(1)k的值越大，“X和Y有关系”可信程度越小；
(2)k的值越小，“X和Y有关系”可信程度越小；
(3)k的值越接近于0，“X和Y无关”程度越小；
(4)k的值越大，“X和Y无关”程度越大．
【解析】　k的值越大，X和Y有关系的可能性就越大，也就意味着X和Y无关系的可能性就越小．
【答案】　(2)
2．式子|ad－bc|越大，K2的值就越________．(填“大”或“小”)
【解析】　由K2的表达式知|ad－bc|越大，(ad－bc)2就越大，K2就越大．
【答案】　大
[小组合作型]
用2×2列联表分析两变量间的关系
　在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系．
【精彩点拨】　→→
→
【自主解答】　2×2列联表如下：
年龄在六十岁以上
年龄在六十岁以下
总计
饮食以蔬菜为主
43
21
64
饮食以肉类为主
27
33
60
总计
70
54
124
将表中数据代入公式得＝＝0.671 875.
＝＝0.45.
显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系．
1．作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．注意应该是4行4列，计算时要准确无误．
2．利用2×2列联表分析两变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．
[再练一题]
1．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众与年龄________．(填“有关”或“无关”)
【解析】　因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄有关．
【答案】　有关
用等高条形图分析两变量间的关系
　某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．
【精彩点拨】　―→―→
【自主解答】　作列联表如下：
性格内向
性格外向
总计
考前心情紧张
332
213
545
考前心情不紧张
94
381
475
总计
426
594
1 020
相应的等高条形图如图所示：
图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出，考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．
1．判断两个分类变量是否有关系的两种常用方法
(1)利用数形结合思想，借助等高条形图来判断两个分类变量是否相关是判断变量相关的常见方法．
(2)一般地，在等高条形图中，与相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大．
2．利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤
[再练一题]
2．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表：
药物效果试验列联表
患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
没有服用药
20
30
50
总计
30
75
105
试用图形判断服用药与患病之间是否有关系？
【解】　相应的等高条形图如下：
从图形可以看出，服用药的样本中患病的比例明显低于没有服用药的样本中患病的比例，因此可以认为：服用药和患病之间有关系．
独立性检验
　在对人们休闲方式的一次调查中，共调查120人，其中女性70人、男性50人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)休闲方式与性别是否有关？
【精彩点拨】　先根据已知数据建立2×2列联表，再通过列联表中的数值求K2，再根据K2的值作出判断．
【自主解答】　(1)2×2的列联表为
看电视
运动
总计
女性
40
30
70
男性
20
30
50
总计
60
60
120
(2)计算K2的观测值为
k＝＝≈3.429.
而2.706<3.429<3.841.
因为P(K2>2.706)≈0.10.
所以，在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为休闲方式与性别有关．
解决一般的独立性检验问题的步骤
[再练一题]
3．为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？ 【导学号：81092004】
【解】　根据题目所给的数据得到如下列联表：
理科
文科
总计
有兴趣
138
73
211
无兴趣
98
52
150
总计
236
125
361
根据列联表中数据由公式计算得K2的观测值为
k＝≈1.871×10－4.
因为1.871×10－4<2.706，所以据目前的数据不能认为学生选报文、理科与对外语的兴趣有关，即可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．
[探究共研型]
独立性检验的综合应用
探究1　利用K2进行独立性检验，估计值的准确度与样本容量有关吗？
【提示】　利用K2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n越大，这个估计值越准确，如果抽取的样本容量很小，那么利用K2进行独立性检验的结果就不具有可靠性．
探究2　在K2运算后，得到K2的值为29.78，在判断变量相关时，P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥7.879)≈0.005，哪种说法是正确的？
【提示】　两种说法均正确．P(K2≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量相关；而P(K2≥7.879)≈0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量相关．
　为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试分别用列联表、独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关？
【精彩点拨】　解答本题可先列出2×2列联表，然后具体分析．
【自主解答】　(1)2×2列联表如下：
合格品数
次品数
总计
甲在生产现场
982
8
990
甲不在生产现场
493
17
510
合计
1 475
25
1 500
由列联表可得|ad－bc|＝|982×17－493×8|＝12 750，相差较大，可在某种程度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．
(2)由2×2列联表中数据，计算得到K2的观测值为
k＝≈13.097>10.828，
因此在犯错误不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关．
判断两个变量是否有关的三种方法
[再练一题]
4．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据：出生时间在晚上的男婴为24人，女婴为8人；出生时间在白天的男婴为31人，女婴为26人．
(1)将下面的2×2列联表补充完整；
晚上
白天
总计
男婴
女婴
总计
(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿性别与出生时间有关系？
【解】　(1)2×2列联表如下：
晚上
白天
总计
男婴
24
31
55
女婴
8
26
34
总计
32
57
89
(2)由所给数据计算K2的观测值
k＝
≈3.689>2.706.
根据临界值表知P(K2≥2.706)≈0.10.
因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为婴儿的性别与出生时间有关系．
1．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(　　)
A．平均数与方差 B．回归分析
C．独立性检验 D．概率
【解析】　判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C.
【答案】　C
2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为(　　)
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
A.0.1% B．1%
C．99% D．99.9%
【解析】　因为 K2＝8.01>6.635，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．
【答案】　C
3．以下关于独立性检验的说法中，错误的是(　　)
A．独立性检验依赖小概率原理
B．独立性检验得到的结论一定正确
C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异
D．独立性检验不是判定两事物是否相关的唯一方法
【解析】　受样本选取的影响，独立性检验得到的结论不一定正确，选B.
【答案】　B
4．在2×2列联表中，两个比值与________相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大. 【导学号：81092005】
【解析】　根据2×2列联表可知，比值与相差越大，则|ad－bc|就越大，那么两个分类变量有关系的可能性就越大．
【答案】　
5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
【解】　将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
k＝＝＝≈4.762.
因为4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如果在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A和B有关，那么具体算出的数据满足(　　)
A．K2>3.841 B．K2<3.841
C．K2>6.635 D．K2<6.635
【解析】　对应P(K2≥k0)的临界值表可知，当K2>3.841时，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A与B有关．
【答案】　A
2．下列关于等高条形图的叙述正确的是(　　)
A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D．以上说法都不对
【解析】　在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．
【答案】　C
3．分类变量X和Y的列联表如下，则(　　)
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
A.ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强
【解析】　结合独立性检验的思想可知|ad－bc|越大，X与Y的相关性越强，从而(ad－bc)2越大，说明X与Y的相关性越强．
【答案】　C
4．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是(　　)
A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾
B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾
C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有
【解析】　这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.
【答案】　D
5．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
作文成绩优秀
作文成绩一般
总计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
总计
30
30
60
由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是(　　) 【导学号：81092006】
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
【解析】　根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．
【答案】　D
二、填空题
6．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如表所示：
死亡
存活
总计
第一种剂量
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
总计
20
30
50
进行统计分析时的统计假设是__________．
【解析】　由独立性检验的步骤知第一步先假设两分类变量无关，即假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关．
【答案】　 假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关
7．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：
无效
有效
总计
男性患者
15
35
50
女性患者
6
44
50
总计
21
79
100
设H0：服用此药的效果与患者性别无关，则K2的观测值k≈________，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．
【解析】　由公式计算得K2的观测值k≈4.882，
∵k>3.841，∴有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．
【答案】　4.882　5%
8．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：
吃零食
不吃零食
总计
男生
27
34
61
女生
12
29
41
总计
39
63
102
根据上述数据分析，我们得出的K2的观测值k约为________．
【解析】　由公式可计算得k＝
≈2.334.
【答案】　2.334
三、解答题
9．对某校小学生进行心理障碍测试得到如下列联表：
有心理障碍
没有心理障碍
总计
女生
10
30
男生
70
80
总计
20
110
将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？
附：
P(K2
≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解】　将列联表补充完整如下：
有心理障碍
没有心理障碍
总计
女生
10
20
30
男生
10
70
80
总计
20
90
110
k＝≈6.366>5.024，
所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关．
10．某市地铁即将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：
月收入(单
位：百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
赞成定价
者人数
1
2
3
5
3
4
认为价格偏
高者人数
4
8
12
5
2
1
(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.
月收入不低于
55百元的人数
月收入低于55
百元的人数
总计
认为价格
偏高者
赞成定价者
总计
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.05
0.01
k0
3.841
6.635
【解】　(1)“赞成定价者”的月平均收入为
x1＝
≈50.56.
“认为价格偏高者”的月平均收入为
x2＝
＝38.75，
∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．
(2)根据条件可得2×2列联表如下：
月收入不低于
55百元的人数
月收入低于55
百元的人数
总计
认为价格偏高者　
3
29
32
赞成定价者
7
11
18
总计
10
40
50
K2＝≈6.27＜6.635，
∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．
[能力提升]
1．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
Y
X　　
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5
【解析】　对于同一样本，|ad－bc|越小，说明x与y相关性越弱，而|ad－bc|越大，说明x与y相关性越强，通过计算知，对于A，B，C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2.对于选项D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，显然7＞2.
【答案】　D
2．有两个分类变量X，Y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：
Y1
Y2
X1
a
20－a
X2
15－a
30＋a
其中a,15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为(　　)
A．8　 B．9
C．8,9 D．6,8
【解析】　根据公式，得
k＝
＝>3.841，
根据a>5且15－a>5，a∈Z，求得a＝8,9满足题意．
【答案】　C
3．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到K2＝________(保留三位小数)，所以判定________(填“有”或“没有”)95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．
参考公式：K2＝；
P(K2≥k)
0.050
0.010
k
3.841
6.625
【解析】　根据提供的表格，得k＝≈4.844＞3.841，
∴可以判定有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．
【答案】　4.844　有
4．某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行1 700次观测，列联表如下：
有震
无震
总计
水位有变化
98
902
1 000
水位无变化
82
618
700
总计
180
1 520
1 700
利用图形判断地下水位的变化与地震的发生是否有关系，并用独立性检验分析是否有充分的证据显示二者有关系．
【解】　相应的等高条形图如图所示．
图中两个阴影条的高分别表示水位有变化和水位无变化的样本中有震的频率．由图可看出，水位有变化样本中有震的频率与水位无变化样本中有震的频率相差不大，因此不能判断地震与水位变化有关系．
根据列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈1.594＜2.072，
所以题中数据没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生有关系，但也不能认为二者无关系．
第一章 统计案例
[自我校对]
①散点图　
②　
③－　
④残差分析　
⑤分类变量　
⑥等高条形图　
⑦K2＝
　
　线性回归直线方程
在回归直线方程＝x＋中，代表x每增加一个单位，y平均增加的单位数．一般来说，当回归系数>0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时，y就平均增加个单位；当回归系数<0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时，y就平均减少||个单位．
　某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2008
2010
2012
2014
2016
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2018年的粮食需求量．
【精彩点拨】　正确利用求回归直线方程的步骤求解，注意数据计算的准确性．
【规范解答】　(1)由所给数据看出，把年份看作点的横坐标，对应的需求量看作点的纵坐标，画出散点图草图，通过观察知这些点大致分布在一条直线附近，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：
年份—2012
－4
－2
0
2
4
需求量—257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2，
＝
＝＝6.5，
＝－ ＝3.2，
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
－257＝(x－2 012)＋＝6.5(x－2 012)＋3.2，
即＝6.5(x－2 012)＋260.2.(*)
(2)利用直线方程(*)，可预测2018年的粮食需求量为6.5×(2 018－2 012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
[再练一题]
1．某企业的某种产品产量与单位成本统计数据如下：
月份
1
2
3
4
5
6
产量(千件)
2
3
4
3
4
5
单位成本(元/件)
73
72
71
73
69
68
b＝，a＝－b(用最小二乘法求线性回归方程系数公式注：iyi＝x1y1＋x2y2＋…＋xiyi＋…＋xnyn，＝x＋x＋…＋x＋…＋x)．
(1)试确定回归方程；
(2)指出产量每增加1件时，单位成本下降多少？
(3)假定产量为6件时，单位成本是多少？单位成本为70元/件时，产量应为多少件？
【解】　(1)设x表示每月产量(单位：千件)，y表示单位成本(单位：元/件)，作散点图．由图知y与x间呈线性相关关系，设线性回归方程为y＝bx＋a.
由公式可求得b≈－1.818，a＝77.364，∴回归方程为y＝－1.818x＋77.364.
(2)由回归方程知，每增加1 件产量，单位成本下降1.818元．
(3)当x＝6时，y＝－1.818×6＋77.364＝66.456；
当y＝70时，70＝－1.818x＋77.364，得x≈4.051千件．
∴产量为6件时，单位成本是66.456元/件，单位成本是70元/件时，产量约为4 051件.
线性回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出散点图，并对样本点进行相关性检验，在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数据，从而建立较好的回归方程，并且用该方程对变量值进行分析；有时回归模型可能会有多种选择(如非线性回归模型)，此时可通过残差分析或利用相关指数R2来检查模型的拟合效果，从而得到最佳模型．
　一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下表：
零件数x/个
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y/min
62
72
75
81
85
95
103
108
112
127
经分析加工时间y与零件个数x线性相关，并求得回归直线方程为＝0.670x＋55.133.
(1)求出相关指数；
(2)作出残差图；
(3)进行残差分析．
【精彩点拨】　作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：(1)散点图；(2)相关系数；(3)相关指数；(4)残差图中异常点样本点的带状分布区域的宽窄．
【规范解答】　(1)利用所给回归直线方程求出下列数据．
i
61.833
68.533
75.233
81.933
88.633
yi－i
0.167
3.467
－0.233
－0.933
－3.633
yi－
－30
－20
－17
－11
－7
i
95.333
102.033
108.733
115.433
122.133
yi－i
－0.333
0.967
－0.733
－3.433
4.867
yi－
3
11
16
20
35
∴R2＝1－≈0.983.
(2)∵i＝yi－i，利用上表中数据作出残差图，如图所示．
(3)由R2的值可以看出回归效果很好．
由残差图也可以观察到，第2、5、9、10个样本点的残差比较大，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误．
[再练一题]
2．已知x，y之间的一组数据如下表：
x
1
3
6
7
8
y
1
2
3
4
5
(1)从x，y中各取一个数，求x＋y≥10的概率；
(2)针对表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y＝x＋1与y＝x＋，试利用“最小二乘法”判断哪条直线拟合程度更好. 【导学号：81092007】
【解】　(1)从x，y中各取一个数组成数对(x，y)，共有25对，其中满足x＋y≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对，故所求概率为P＝，所以使x＋y≥10的概率为.
(2)用y＝x＋1作为拟合直线时，y的实际值与所得的y值的差的平方和为s1＝2＋(2－2)2＋(3－3)2＋2＋2＝.
用y＝x＋作为拟合直线时，y的实际值与所得的y值的差的平方和为s2＝(1－1)2＋(2－2)2＋2＋(4－4)2＋2＝.
因为s1>s2，故直线y＝x＋的拟合程度更好.
独立性检验
独立性检验是判断两个分类变量之间是否有关系的一种方法．在判断两个分类变量之间是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论．
独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式计算K2的观测值k.
(3)比较k与临界值的大小关系作统计推断．
　某防疫站对屠宰场及肉食零售点的猪肉检查沙门氏菌带菌情况，结果如下表，试检验屠宰场与零售点猪肉带菌率有无差异．
带菌头数
不带菌头数
总计
屠宰场
8
32
40
零售点
14
18
32
总计
22
50
72
【精彩点拨】　这是一个2×2列联表，可以用K2来检验屠宰场与零售点猪肉带菌率有无差异．
【规范解答】　k＝≈4.726.
因为4.726>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为屠宰场与零售点猪肉带菌率有差异．
[再练一题]
3．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多
认为作业不多
总计
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总计
26
24
50
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关系的把握大约为(　　)
A．99% B．95%
C．90% D．无充分依据
【解析】　由表中数据计算
k＝≈5.059，
而k≈5.059>3.841，所以约有95%的把握认为两变量之间有关．
【答案】　B
转化与化归思想
非线性回归方程转化为线性回归问题求解步骤．
(1)确定变量，作出散点图．
(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．
(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．
(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．
(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．
　某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：
x
1
2
3
5
10
20
30
50
100
200
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系．如有，求出y对x的回归方程．
【精彩点拨】　令z＝，使问题转化为z与y的关系，然后用回归分析的方法，求z与y的回归方程，进而得出x与y的回归方程．
【规范解答】　把置换为z，则有z＝，
从而z与y的数据为
z
1
0.5
0.333
0.2
0.1
0.05
0.033
0.02
0.01
0.005
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
可作出散点图(图略)，从图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合．
＝×(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225 1，
＝×(10.15＋5.52＋4.08＋…＋1.15)＝3.14，
＝12＋0.52＋0.3332＋…＋0.012＋0.0052≈1.415，
＝10.152＋5.522＋…＋1.212＋1.152＝171.803，
iyi＝1×10.15＋0.5×5.52＋…＋0.005×1.15
＝15.221 02，
所以＝≈8.976，
＝－＝3.14－8.976×0.225 1≈1.120，
所以所求的z与y的回归方程为＝8.976z＋1.120.
又因为z＝，所以＝＋1.120.
[再练一题]
4．在某化学试验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单位：mg)表示未转化物质的质量．
x/min
1
2
3
4
5
6
y/mg
39.8
32.2
25.4
20.3
16.2
13.3
(1)设y与x之间具有关系y＝cdx，试根据测量数据估计c和d的值(精确到0.001)；
(2)估计化学反应进行到10 min时未转化物质的质量(精确到0.1)．
【解】　(1)在y＝cdx两边取自然对数，令ln y＝z，ln c＝a，ln d＝b，则z＝a＋bx.由已知数据，得
x
1
2
3
4
5
6
y
39.8
32.2
25.4
20.3
16.2
13.3
z
3.684
3.472
3.235
3.011
2.785
2.588
由公式得≈3.905 5，≈－0.221 9，则线性回归方程为＝3.905 5－0.221 9x.而ln c＝3.905 5，ln d＝－0.221 9，
故c≈49.675，d≈0.801，
所以c，d的估计值分别为49.675和0.801.
(2)当x＝10时，由(1)所得公式可得y≈5.4(mg)．
所以，化学反应进行到10 min时未转化物质的质量约为5.4 mg.
1．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
【解析】　由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
【答案】　B
2．根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则(　　)
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【解析】　作出散点图如下：
观察图象可知，回归直线＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，＝a＞0.故a＞0，b＜0.
【答案】　B
3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【解析】　由正负相关性的定义知①④一定不正确．
【答案】　D
4．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(　　)
表1
成绩
性别　　
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别　　
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商
性别　　
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量
性别　　
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力
C．智商 D．阅读量
注：K2＝.
【解析】　A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
k＝＝.
B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
k＝＝.
C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
k＝＝.
D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
k＝＝.
∵<<<，
∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．
【答案】　D
5．下图1是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
图1
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
【解】　(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
＝4， (ti－)2＝28，＝0.55，
(ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝＝≈0.103，
＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
章末综合测评(一)　统计案例
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为(　　)
①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．
A．①②③　 B．③④
C．④⑤ D．②③④
【解析】　①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④正确．
【答案】　D
2．散点图在回归分析过程中的作用是(　　)
A．查找个体个数
B．比较个体数据大小关系
C．探究个体分类
D．粗略判断变量是否线性相关
【解析】　由散点图可以粗略地判断两个变量是否线性相关，故选D.
【答案】　D
3．身高与体重有关系可以用________来分析．(　　)
A．残差 B．回归分析
C．等高条形图 D．独立性检验
【解析】　因为身高与体重是两个具有相关关系的变量，所以要用回归分析来解决．
【答案】　B
4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型＝73.93＋7.19x，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是(　　)
A．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm
B．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以上
C．她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右
D．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以下
【解析】　由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C.
【答案】　C
5．在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】　由等高条形图的解可知与的值相差越大，|ad－bc|就越大，相关性就越强．
【答案】　C
6．已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则＝(　　)
A．58.5 B．46.5
C．60 D．75
【解析】　∵＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(，)，
∴＝1.5×9＋45＝58.5.
【答案】　A
7．若两个变量的残差平方和是325，(yi－i)2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为(　　)
A．64.8% B．60%
C．35.2% D．40%
【解析】　相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，故随机误差对预报变量的贡献率为×100%＝×100%≈35.2%，故选C.
【答案】　C
8．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据并整理、分析，得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%的把握认为这个结论成立．下列说法正确的个数是(　　)
①在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌；②如果一个人吸烟，那么这个人有99%的概率患肺癌；③在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；④在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有. 【导学号：81092008】
A．4 B．3
C．2 D．1
【解析】　有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，指的是“吸烟与患肺癌有关”这个结论成立的可能性或者可信程度有99%，并不表明在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌，也不能说如果一个人吸烟，那么这个人就有99%的概率患肺癌；更不能说在100个吸烟者中一定有患肺癌的人，反而有可能在100个吸烟者中，一个患肺癌的人也没有．故正确的说法仅有④，选D.
【答案】　D
9．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图1中可以看出(　　)
图1
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的百分比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的百分比为60%
【解析】　从题图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．
【答案】　C
10．下列关于K2的说法中正确的是(　　)
A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关
B．K2的值越大，两个分类变量相关的可能性就越小
C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对两个分类变量适用
D．K2的计算公式为
K2＝
【解析】　K2只适用于2×2列联表问题，故A错；K2越大两个分类变量相关的可能性越大，故B错；选项D中公式错误，分子应为n(ad－bc)2.
【答案】　C
11．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的试验，测试结果见下表，则试验效果与教学措施(　　)
优、良、中
差
总计
实验班
48
2
50
对比班
38
12
50
总计
86
14
100
A.有关 B．无关
C．关系不明确 D．以上都不正确
【解析】　随机变量K2的观测值为
k＝≈8.306>7.879，则认为“试验效果与教学措施有关”的概率为0.995.
【答案】　A
12．为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观测值．计算知i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，则y对x的回归方程是(　　)
A.＝11.47＋2.62x B.＝－11.47＋2.62x
C.＝2.62＋11.47x D.＝11.47－2.62x
【解析】　由已知数据计算可得＝2.62，＝11.47，所以回归方程是＝11.47＋2.62x，故选A.
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)
13．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒为0，则R2的值为________．
【解析】　由ei恒为0，知yi＝i，即yi－i＝0，故R2＝1－＝1－0＝1.
【答案】　1
14．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得回归直线方程＝x＋中的＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量为________℃.
【解析】　根据题意知＝＝10，＝＝40，因为回归直线过样本点的中心，所以＝40－(－2)×10＝60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量为68度．
【答案】　68
15．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到k＝≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________．
【解析】　k≈4.844>3.841，故判断出错的概率为0.05.
【答案】　0.05
16．若对于变量y与x的10组统计数据的回归模型中，相关指数R2＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么(yi－)2的值为________．
【解析】　∵R2＝1－，
残差平方和(yi－i)2＝120.53，
∴0.95＝1－，
∴(yi－)2＝2 410.6.
【答案】　2 410.6
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：
组别
阳性数
阴性数
总计
铅中毒病人
29
7
36
对照组
9
28
37
总计
38
35
73
试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系．
【解】　等高条形图如图所示：
其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．
由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比较尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．
18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：
男
女
总计
喜欢吃零食
5
12
17
不喜欢吃零食
40
28
68
总计
45
40
85
请问喜欢吃零食与性别是否有关？
【解】　k＝，
把相关数据代入公式，得
k＝≈4.722>3.841.
因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．
19．(本小题满分12分)为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
m
75
68
根据最小二乘法建立的回归直线方程为＝－20x＋250.
(1)试求表格中m的值；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从建立的回归方程，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 【导学号：81092009】
【解】　(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
所以＝－20×8.5＋250＝80，
故(90＋84＋83＋m＋75＋68)＝80，
解得m＝80.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝(x－5)(－20x＋250)
＝－20(x>0)，
所以x＝8.75时，L取得最大值．
故当单价定为8.75元/件时，工厂可获得最大利润．
20．(本小题满分12分)如图2是对用药与不用药，感冒已好与未好进行统计的等高条形图．若此次统计中，用药的患者是70人，不用药的患者是40人，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“感冒已好与用药有关”？
图2
【解】　根据题中的等高条形图，可得在用药的患者中感冒已好的人数为70×＝56，在不用药的患者中感冒已好的人数为40×＝12.
2×2列联表如下：
感冒已好
感冒未好
总计
用药
56
14
70
不用药
12
28
40
总计
68
42
110
根据表中数据，得到
k＝≈26.96>10.828.
因此，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为感冒已好与用药有关系．
21．(本小题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
图3
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图3所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
【解】　(1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2＝＝≈4.762＞3.841.
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
22．(本小题满分12分)在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组数据如下表：
年龄x
23
27
39
41
45
49
50
53
54
56
57
58
60
61
脂肪
含量y
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
(1)作出散点图，并判断y与x是否线性相关，若线性相关，求线性回归方程；
(2)求相关指数R2，并说明其含义；
(3)给出37岁时人的脂肪含量的预测值．
【解】　(1)散点图如图所示．由散点图可知样本点呈条状分布，脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．
设线性回归方程为＝x＋，
则由计算器算得≈0.576，≈－0.448，
所以线性回归方程为＝0.576x－0.448.
(2)残差平方和： ＝ (yi－i)2≈37.20，
总偏差平方和： (yi－)2≈644.99，
R2＝1－≈0.942，
表明年龄解释了94.2%的脂肪含量变化．
(3)当x＝37时，＝0.576×37－0.448≈20.9，故37岁时人的脂肪含量约为20.9%.
3.1.1　数系的扩充和复数的概念
1．了解数系的扩充过程.
2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点)
3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念并能够进行简单应用．(难点、易混点)
[基础·初探]
教材整理1　复数的有关概念及复数相等的充
要条件
阅读教材P50～P51“思考”以上内容，完成下列问题．
1．复数
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
2．复数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．
(2)表示：通常用大写字母C表示．
3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d，a＋bi＝0?a＝b＝0.
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)
A．－2　　　 B.　　　
C．－　　　 D．2
【解析】　2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.
【答案】　 D
2．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝________.
【解析】　由复数相等的条件，得解得∴m＋n＝－10.
【答案】　－10
教材整理2　复数的分类
阅读教材P51“思考”以下至“例”题以上内容，完成下列问题．
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)
2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：
图3-1-1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)
(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．(　　)
(3)两个虚数不能比较大小．(　　)
【解析】　(1)错误．若b＝0，则z＝a＋bi为实数．
(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i不是纯虚数．
(3)正确．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
[小组合作型]
复数的有关概念
　(1)下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1　　　　
C．2　　　　 D．3
(2)给出下列三个命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0.
其中真命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【精彩点拨】　首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．
【自主解答】　(1)①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．
③当x＝1，y＝i时，
x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．
(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i, 其实部是0，所以③为真命题．
【答案】　(1)A　(2)B
正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答.
[再练一题]
1．(1)给出下列复数：2＋，0.618，i2,5i＋4，i，其中为实数的是________．
(2)给出下列几个命题：
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________．
【解析】　(1)2＋，0.618，i2为实数，5i＋4，i为虚数．
(2)因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；故答案为1.
【答案】　(1)2＋，0.618，i2
(2)1
复数的分类
　已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【精彩点拨】　根据复数z为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解．
【自主解答】　(1)当z为实数时，则
∴
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，
则
∴
∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，
则
∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式?等式或不等式?组??，求解参数时，注意考虑问题要全面.
[再练一题]
2．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
(1)z为实数？(2)z为虚数？(3)z为纯虚数？
【解】　(1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
复数相等的条件
　(1)设复数z1＝(x－y)＋(x＋3)i，z2＝(3x＋2y)－yi，若z1＝z2，实数x＝________，y＝________.
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________．
【精彩点拨】　(1)根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解；
(2)设出方程的实数解，代入原式整理为a＋bi＝0(a，b∈R)的形式解决．
【自主解答】　(1)由复数相等的充要条件得
解得
【答案】　－9　6
(2)设a是原方程的实根，
则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
所以a＝－且2＋＋3m＝0，
所以m＝.
【答案】　　－
应用复数相等的充要条件时，要注意：?
???必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部的相等，虚部与虚部相等列方程组.?
?2?利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.
[再练一题]
3．(1)适合x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为(　　)
A．x＝0，且y＝3 B．x＝0，且y＝－3
C．x＝5，且y＝3 D．x＝3，且y＝0
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值为________．
【解析】　(1)由复数相等的条件，可知解得
(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴解得a＝11或a＝－.
【答案】　(1)A　(2)11或－
[探究共研型]
复数的不相等关系
探究1　若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i成立吗？
【提示】　不成立．如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．
探究2　若(a－2)＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
【提示】　b＝0，a>2.
　已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋3＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
【精彩点拨】　两复数若能比较大小，则两复数的虚部都为零．只需满足一复数的实部大于另一复数的实部．
【自主解答】　因为x2－1＋(y＋1)i>2x＋3＋(y2－1)i，
所以即
解不等式x2－2x－4>0，得x>1＋或x<1－.
所以实数x，y的取值范围分别是{x|x<1－或x>1＋}，{y|y＝－1}．
实数属于复数，但复数不一定是实数，因此实数的有些性质不适用于复数，如实数能比较大小，而复数中只有等与不等的关系，不能比较大小.只有当两个复数都是实数时才能比较大小.换言之，若两个复数能比较大小，则它们必为实数，即若a＋bi>c＋di?a，b，c，d∈R?，则
[再练一题]
4．已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i>0，求实数x的值．
【解】　∵z>0，∴z∈R.
∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.
∵z>0，∴－x>0.
对于不等式－x>0，x＝1适合，x＝3不适合．
∴x＝1.
1．复数i的虚部为(　　)
A．2　 B．－
C．2－ D．0
【解析】　由复数定义知C正确．
【答案】　C
2．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是(　　)
A．A∪B＝C B．A＝B
C．A∩(?SB)＝? D．(?SA)∪(?SB)＝C
【解析】　集合A，B，C的关系如图，可知只有(?SA)∪(?SB)＝C正确．
【答案】　D
3．若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为(　　)
【导学号：81092036】
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
【解析】　由复数相等的条件得
∴a＝－4.
【答案】　C
4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，求实数m的值为________．
【解析】　∵(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，
∴(m2－1)＋(m2－2m)i是实数，且符号为正，
∴
解得m＝2.
【答案】　2
5．若x∈R，试确定实数a的值，使等式3x2－x＋(2x2＋x)i＝1＋10i成立．
【解】　由复数相等的充要条件，得
由②得x＝2或x＝－，
分别代入①得a＝11或a＝－.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．复数－2i的实部与虚部分别是(　　)
A．0,2 B．0,0
C．0，－2 D．－2,0
【解析】　－2i的实部为0，虚部为－2.
【答案】　C
2．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．1 B．2
C．－1或－2 D．1或2
【解析】　由得a＝2.
【答案】　B
3．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.
【答案】　D
4．在下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①两个复数不能比较大小；
②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；
③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数．
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】　两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；
设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋bi.
当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②错误；
③当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A.
【答案】　A
5．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】　因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)为纯虚数??a＝±2, 所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．
【答案】　A
二、填空题
6．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是________．
【解析】　3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i，实部为－3，故应填3－3i.
【答案】　3－3i
7．若x是实数，y是纯虚数，且(2x－1)＋2i＝y，则x，y的值为________.
【导学号：81092037】
【解析】　由(2x－1)＋2i＝y，得
∴x＝，y＝2i.
【答案】　x＝，y＝2i
8．给出下列说法：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；
②满足x2＝－1的数x只有i；
③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数；
④复数m＋ni的实部一定是m.
其中正确说法的个数为________．
【解析】　③中，b＝0时，bi＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i；④中，m，n不一定为实数，故①②④错误．
【答案】　1
三、解答题
9．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时：(1)复数z是零；(2)复数z是纯虚数．
【解】　(1)∵z是零，
∴
解得m＝1.
(2)∵z是纯虚数，
∴解得m＝0.
综上，当m＝1时，z是零；当m＝0时，z是纯虚数．
10．已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
【解】　因为M∪P＝P，所以M?P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得
解得m＝2.
综上可知，m＝1或m＝2.
[能力提升]
1．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是
(　　)
A．－1或3 B．{a|a>3或a<－1}
C．{a|a>－3或a<1} D．{a|a>3或a＝－1}
【解析】　由已知可以得到a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．
【答案】　B
2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为(　　)
A. B.或π
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
【解析】　由复数相等定义得
∴tan θ＝1，
∴θ＝kπ＋(k∈Z)．
【答案】　D
3．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．
【解析】　∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，
∴
∴
∴
∴x＝－2.
【答案】　－2
4．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根x0，求x0以及实数k的值.
【解】　x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得
(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件，得
解得或
∴方程的实根为x0＝或x0＝－，相应的k值为k＝－2或k＝2
3.1.2　复数的几何意义
1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．
2．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)
3．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)
[基础·初探]
教材整理　复数的几何意义及复数的模
阅读教材P52～P53内容，完成下列问题．
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数．
3．复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，且r＝(r≥0，且r∈R)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　　)
(2)复数的模一定是正实数．(　　)
(3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.(　　)
【解析】　(1)正确．根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2.
(2)错误．复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数．
(3)错误．两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
[小组合作型]
复数与复平面内点的关系
　已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上；
(2)在第三象限；
(3)在抛物线y2＝4x上．
【精彩点拨】　解答本题可先确定复数z的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解．
【自主解答】　复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1，在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)．
(1)若z对应的点在实轴上，则有
2a－1＝0，解得a＝.
(2)若z对应的点在第三象限，则有
解得－1(3)若z对应的点在抛物线y2＝4x上，
则有(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a2－4a＋1＝4a2－4，
解得a＝.
复数与点的对应关系及应用
(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．
(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)得出结论．
[再练一题]
1．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.
【导学号：81092039】
【解】　复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得
∴
∴－1(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，
∴m＝2.
复数与向量的对应关系
　(1)已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i(a∈R)对应的点分别为Z1和Z2，且⊥，则a的值为________．
(2)已知向量对应的复数是4＋3i，点A关于实轴的对称点为A1，将向量平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2.
①求向量对应的复数；
②求点A2对应的复数．
【精彩点拨】　(1)利用复数与向量的对应关系，转化为向量的数量积求解．
(2)根据复数与点，复数与向量的对应关系求解．
【自主解答】　(1)依题意可知＝(－3,4)，＝(2a,1)，
因为⊥，所以·＝0，
即－6a＋4＝0，解得a＝.
【答案】　
(2)①因为向量对应的复数是4＋3i，
所以点A对应的复数也是4＋3i，
因为点A坐标为(4,3)，
所以点A关于实轴的对称点A1为(4，－3)，
故向量对应的复数是4－3i.
②依题意知＝，而＝(4，－3)，
设A2(x，y)，则有(4，－3)＝(x－4，y－3)，
所以x＝8，y＝0，即A2(8,0)．
所以点A2对应的复数是8.
1．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
2．解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
[再练一题]
2．在复平面内，O是原点，若向量对应的复数z的实部为3，且||＝3，如果点A关于原点的对称点为点B，求向量对应的复数．
【解】　根据题意设复数z＝3＋bi(b∈R)，
由复数与复平面内的点、向量的对应关系得＝(3，b)，已知||＝3，即＝3，
解得b＝0，故z＝3，点A的坐标为(3,0)．
因此，点A关于原点的对称点为B(－3,0)，
所以向量对应的复数为z′＝－3.
[探究共研型]
复数模的几何意义及应用
探究1　若z∈C，则满足|z|＝2的点Z的集合是什么图形？
【提示】　(1)因为|z|＝2，即||＝2，所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图所示．
探究2　若z∈C，则满足2<|z|<3的点Z的集合是什么图形？
【提示】　不等式2<|z|<3可化为不等式组不等式|z|>2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z|<3的解集是圆|z|＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．
因此，满足条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．
　已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i.
(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小；
(2)设复平面内，复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？
【精彩点拨】　(1)利用复数模的定义来求解．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝.
(2)先确定|z|的范围，再确定点Z满足的条件，从而确定点Z的图形．
【自主解答】　(1)|z1|＝＝2.
|z2|＝＝1.
∵2＞1，∴|z1|＞|z2|.
(2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，
则1≤|z|≤2.
因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．
1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模可比较大小．
2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．
3．|z1－z2|表示点Z1，Z2两点间的距离，|z|＝r表示以原点为圆心，以r为半径的圆．
[再练一题]
3．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|<2，那么实数a的取值范围是________．
【解析】　由|z|<2知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包括边界)，由z＝1＋ai知z对应的点在直线x＝1上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合，由图可知－【答案】　(－， )
1．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为(　　)
A．0 B．－5
C．－5i D．5
【解析】　对应的复数z＝0－5i＝－5i.
【答案】　C
2．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】　∵<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.
故z＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．
【答案】　D
3．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|是(　　)
A．5 B．8
C．6 D.
【解析】　|z|＝＝.
【答案】　D
4．已知复数z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
【解析】　∵|z|＝2，
∴＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
【答案】　(x－2)2＋y2＝8
5．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. 【导学号：81092041】
【解】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得，a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝－15＋8i.
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[学业达标]
一、选择题
1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
【解析】　由题意知A(6,5)，B(－2,3)，则AB中点C(2,4)对应的复数为2＋4i.
【答案】　C
2．复数z＝1＋3i的模等于(　　)
A．2 B．4
C. D．2
【解析】　|z|＝|1＋3i|＝＝，故选C.
【答案】　C
3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】　∵|z1|＝，|z2|＝，
∴<，∴－1【答案】　A
4．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
【解析】　因为A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以向量对应的复数为－2＋i.
【答案】　B
5．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－，则z为
(　　) 【导学号：81092042】
A．－＋2i B．－－2i
C．－＋3i D．－－3i
【解析】　设z＝－＋bi(b∈R)，由|z|＝＝3，解得b＝±2，又复数z对应的点在第二象限，则b＝2，
∴z＝－＋2i.
【答案】　A
二、填空题
6．在复平面内，复数z与向量(－3,4)相对应，则|z|＝________.
【解析】　由题意知z＝－3＋4i，
∴|z|＝＝5.
【答案】　5
7．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是________．
【解析】　由已知得∴
∴1【答案】　(1,2)
8．已知△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________．
【解析】　因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，
所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)．
又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.
【答案】　－1－5i
三、解答题
9．若复数z＝x＋3＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝2，则点(x，y)的轨迹是什么图形？
【解】　∵|z|＝2，
∴＝2，
即(x＋3)2＋(y－2)2＝4.
∴点(x，y)的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．
10．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一、三象限；
(3)位于直线y＝x上．
【解】　(1)由题意得
得3(2)由题意得或
∴m>7或－2此时复数z对应的点位于第一、三象限．
(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需
m2－5m－14＝m－3，
∴m2－6m－11＝0，
∴m＝3±2，
此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．
[能力提升]
1．已知a∈R，且0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】　∵00，且a－1<0，
故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．
【答案】　D
2．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是
(　　)
A．直线
B．圆心在原点的圆
C．圆心不在原点的圆
D．椭圆
【解析】　因为a，x，y∈R，所以a2＋2a＋2xy∈R，a＋x－y∈R.又a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，所以消去a得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，即x2＋y2－2x＋2y＝0，亦即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为的圆．
【答案】　C
3．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝________.
【解析】　依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
【答案】　1＋2i或－1－2i
4．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
【解】　根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(－1,0)，，则向量，，如图所示．
|z1|＝＝1，
|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝＝1.
如图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．
3.2.1　复数代数形式的加减运算及其几何意义
1．熟练掌握复数的代数形式的加减运算法则．(重点)
2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点、易混点)
[基础·初探]
教材整理1　复数代数形式的加法运算及几何意义
阅读教材P56～P57“思考”以上内容，完成下列问题．
1．运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i.
2．加法运算律
交换律
z1＋z2＝z2＋z1
结合律
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
3.复数加法的几何意义
如图3-2-1，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是.
图3-2-1
在复平面内，向量对应的复数为－1－i，向量对应的复数为1－i，则＋对应的复数为________．
【解析】　由复数加法运算的几何意义知，＋对应的复数即为(－1－i)＋(1－i)＝－2i.
【答案】　－2i
教材整理2　复数代数形式的减法运算及几何意义
阅读教材P57“思考”以下至“例1”以上内容，完成下列问题．
1．运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．复数减法的几何意义
如图3-2-2所示，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且，不共线，则这两个复数的差z1－z2与向量－(即)对应，这就是复数减法的几何意义．
图3-2-2
这表明两个复数的差z1－z2(即－)与连接两个终点Z1，Z2且指向被减数的向量对应．
已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z1－z2对应的点位于第________象限．
【解析】　z＝z1－z2＝(2＋i)－(1＋2i)＝(2－1)＋(1－2)i＝1－i，对应的点为(1，－1)位于第四象限．
【答案】　四
[小组合作型]
复数的加减运算
　计算：
(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；
(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；
(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(4)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)．
【精彩点拨】　解答本题可根据复数加减运算的法则进行．
【自主解答】　(1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i.
(2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i.
(3)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(4)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.
1．复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行．
2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加．
3．准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率．
[再练一题]
1．计算：
(1)(－2＋3i)＋(5－i)；
(2)(－1＋i)＋(1＋i)；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
【解】　(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.
(2)(－1＋i)＋(1＋i)＝(－1＋1)＋(＋)i＝2i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
复数加减运算的几何意义
　在复平面内，A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．
【精彩点拨】　→→→
【自主解答】　如图所示：
对应复数z3－z1，
对应复数z2－z1，
对应复数z4－z1，
由复数加减运算的几何意义得＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1
＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，
∴AD的长为||＝|z4－z1|
＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．
2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．
[再练一题]
2．复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求点C对应的复数．
【解】　∵对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i，
∴＝－对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵＝＋，
∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
[探究共研型]
复数加减法几何意义的综合应用
探究1　|z1－z2|的几何意义是什么？
【提示】　|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．
探究2　满足条件|z＋2－2i|＝1的复数z在复平面上对应点的轨迹是什么？
【提示】　法一　(代数法)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|(x＋yi)＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1，
∴＝1.
∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1，即复数z对应复平面上的点Z的轨迹为以(－2,2)为圆心，1为半径的圆．
法二　(几何法)
|z＋2－2i|＝|z－(－2＋2i)|＝1，
∴复数z在复平面内的对应点的轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆．
　已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．
【精彩点拨】　利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．
【自主解答】　法一：设w＝z－3＋4i，
∴z＝w＋3－4i，
∴z＋1－i＝w＋4－5i.
又|z＋1－i|＝1，
∴|w＋4－5i|＝1.
可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．
如图(1)所示，∴|w|max＝＋1，|w|min＝－1.
图(1)　　　　　　　　图(2)
法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，
而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，
在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，
所以|z－3＋4i|max＝＋1，|z－3＋4i|min＝－1.
复数模的最值问题解法
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
[再练一题]
3．已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值与最小值．
【解】　由复数及其模的几何意义知：
满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1.
复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，r＝1为半径的圆．
而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r，最大值为|AC|＋r.
∴|z－3－2i|min＝－1＝4.
|z－3－2i|max＝＋1＝6.
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
【解析】　(1－i)－(2＋i)＋3i
＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
【答案】　A
2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】　∵z＝z2－z1＝(1＋5i)－(3＋i)
＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i.
【答案】　B
3．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z(　　)
A．在实轴上 B．在虚轴上
C．在第一象限 D．在第二象限
【解析】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－1|＝|z＋1|，得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，
化简得x＝0.
【答案】　B
4．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________. 【导学号：81092045】
【解析】　∵＝－(－＋)，∴对应的复数为－[(－2＋i)－(3＋2i)＋(1＋5i)]
＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i]
＝－(－4＋4i)＝4－4i.
【答案】　4－4i
5．如图3-2-3所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.
图3-2-3
求：(1)表示的复数；
(2)表示的复数；
(3)表示的复数．
【解】　(1)因为＝－，
所以表示的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为(　　)
A．5－3i　 B．3＋5i
C．7－8i D．7－2i
【解析】　(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)
＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i
＝7－8i.
【答案】　C
2．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝(　　)
A. B．2
C. D．4
【解析】　由复数减法运算的几何意义知，
对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，
∴||＝2.
【答案】　B
3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为(　　)
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
【解析】　由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故
解得a＝－3，b＝－4.
【答案】　A
4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】　根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．
【答案】　B
5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】　∵z＝3－4i，
∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－＋1－i
＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.
【答案】　C
二、填空题
6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝_________.
【解析】　原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.
【答案】　16i
7．z为纯虚数且|z－1－i|＝1，则z＝________.
【解析】　设z＝bi(b∈R且b≠0)，|z－1－i|＝|－1＋(b－1)i|＝＝1，解得b＝1，
∴z＝i.
【答案】　i
8．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
【解析】　|z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为2＋1.
【答案】　2＋1
三、解答题
9．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，且z1－z2＝4，求复数z＝a＋bi.
【解】　z1－z2＝－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i，
∴
解得
∴z＝2＋i.
10．如图3-2-4，已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
图3-2-4
【解】　法一：设正方形的第四个点D对应的复数为 x＋yi(x，y∈R)，
∴＝－对应的复数为
(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，
＝－对应的复数为
(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
∵＝，
∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，
即解得
故点D对应的复数为2－i.
法二：∵点A与点C关于原点对称，
∴原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0，
∴x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i.
[能力提升]
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．－1
【解析】　z1－z2＝(y＋xi)－(－x＋yi)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，
∴
∴x＝y＝1，∴xy＝1.
【答案】　A
2．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的(　　) 【导学号：81092047】
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
【解析】　由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等．所以z对应的点为△ABC的外心．
【答案】　D
3．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________．
【解析】　|z－2|＝
＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知max＝.
【答案】　
4．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
【解】　(1)∵A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
∴，，对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，
∴＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)．
∴＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，
＝－＝(－3,1)．
即对应的复数为1＋i，对应的复数为－2＋2i，对应的复数为－3＋i.
(2)∵||＝＝，||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝10＝||2.
又∵||≠||，
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.
3.2.2　复数代数形式的乘除运算
1．掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)
3．理解共轭复数的概念．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　复数的乘法法则及运算律
阅读教材P58至“例2”以上内容，完成下列问题．
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)交换律：z1·z2＝z2·z1.
(2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)．
(3)乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
【解析】　因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.
【答案】　1＋2i
教材整理2　共轭复数
阅读教材P59“例3”以下至“探究”以上内容，完成下列问题．
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z的共轭复数用表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________.
【解析】　由题意可得
∴
【答案】　－1　1
教材整理3　复数的除法法则
阅读教材P59“探究”以下至P60“例4”以上内容，完成下列问题．
设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c＋di≠0且c，d∈R)，则＝＝＋i(c＋di≠0)．
i是虚数单位，复数＝________.
【解析】　＝＝＝2－i.
【答案】　2－i
[小组合作型]
复数代数形式的乘除法运算
　(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)
A．－3　　 B．－2
C．2 D．3
(2)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
(3)计算：＝________.
【精彩点拨】　(1)利用复数的乘法运算法则进行计算．
(2)利用复数的除法运算法则进行计算．
(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．
【自主解答】　(1)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.
(2)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，
∴z＝2－i，故选C.
(3)
＝
＝＝
＝
＝＝－1＋i.
【答案】　(1)A　(2)C　(3)－1＋i
1．复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
2．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i，3＝1，＝－i，＝i，＝－i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．
[再练一题]
1．(1)复数等于(　　)
A．i　 B．－i
C.＋i D.－i
(2)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
(3)计算：＝________.
【解析】　(1)＝＝
＝i.
(2)因为z＝(5＋2i)2＝25＋20i＋(2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，所以z的实部为21.
(3)
＝
＝
＝
＝＋i.
【答案】　(1)A　(2)21　(3)＋i
共轭复数及其应用
　已知复数z的共轭复数是，且z－＝－4i，z·＝13，试求.
【精彩点拨】　→→
【自主解答】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得
即
解得或
因此z＝3－2i或z＝－3－2i.
于是＝＝＝＝－i，或＝＝＝＝＋i.
1．已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
2．关于共轭复数的常用结论
(1)z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质；
(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R?z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数；
(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
[再练一题]
2．已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z.
【解】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，
由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i
＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
[探究共研型]
in的值的周期性及其应用
探究1　i4n，i4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的结果分别是什么？
【提示】　1，i，－1，－i.
探究2　in(n∈N)有几种不同的结果？
【提示】　四种：1，i，－1，－i.
探究3　in＋in＋1＋in＋2＋in＋3(n∈N)结果是多少？
【提示】　in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝i(1＋i－1＋i)＝0.
　(1)计算：＋2 016；
(2)若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 016的值．
【精彩点拨】　将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解．
【自主解答】　(1)原式＝＋1 008
＝i＋1 008＝i＋i1 008＝i＋i4×252＝i＋1.
(2)1＋z＋z2＋…＋z2 016＝，
而z＝＝＝＝i，
所以1＋z＋z2＋…＋z2 016＝＝＝1.
1．要熟记in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．
2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．
[再练一题]
3．在上例(2)中，若z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 016的值．
【解】　∵z＝＝＝＝－i.
∴1＋z＋z2＋…＋z2 016＝＝＝＝＝＝1.
1．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　)
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
【解析】　z＝＝＝－1＋i.
【答案】　A
2．复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】　∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．
【答案】　B
3．复数z＝的共轭复数是(　　)
【导学号：81092049】
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
【解析】　∵z＝＝＝＝－1＋i，
∴＝－1－i.
【答案】　D
4．已知a为实数，是纯虚数，则a＝________.
【解析】　＝＝，因为
是纯虚数，所以a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1.
【答案】　1
5．计算：－.
【解】　法一：－
＝
＝＝＝2i.
法二：－＝－
＝i＋i＝2i.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)
A．5　 B.
C．3 D.
【解析】　z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.
【答案】　A
2．i是虚数单位，复数＝(　　)
A．1－i B．－1＋i
C.＋i D．－＋i
【解析】　＝＝＝1－i，故选A.
【答案】　A
3．z1，z2是复数，且z＋z<0，则正确的是(　　)
A．z<－z
B．z1，z2中至少有一个是虚数
C．z1，z2中至少有一个是实数
D．z1，z2都不是实数
【解析】　取z1＝1，z2＝2i满足z＋z<0，从而排除A和D；取z1＝i，z2＝2i，满足z＋z<0，排除C，从而选B.
【答案】　B
4．若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
【解析】　法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.
法二：由已知条件2z＋＝3－2i①，得2＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，的方程组，得z＝1－2i.故选B.
【答案】　B
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝(　　)
【导学号：81092050】
A. B.
C．1 D．2
【解析】　法一：z＝＝＝
＝＝－＋i，∴＝－－i.
∴z·＝
＝＋＝.
法二：∵z＝
∴|z|＝＝＝.
∴z·＝|z|2＝.
【答案】　A
二、填空题
6．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.
【解析】　由题意，得x＋i＝＝＝＝2＋i，
所以x＝2.
【答案】　2
7．复数的共轭复数是________．
【解析】　＝＝＝2＋i，其共轭复数为2－i.
【答案】　2－i
8．复数的模为，则实数a的值是________．
【解析】　＝＝＝，解得a＝±.
【答案】　±
三、解答题
9．若z满足z－1＝(1＋z)i，求z＋z2的值. 【导学号：81092051】
【解】　∵z－1＝(1＋z)i，
∴z＝＝＝－＋i，
∴z＋z2＝－＋i＋2＝－＋i＋＝－1.
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
【解】　(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应的向量为(－2,4＋a)，其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，
所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.
[能力提升]
1．若z＝1＋2i，则＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
【解析】　因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.
【答案】　C
2．设z的共轭复数为，z＝1＋i，z1＝z·，则＋等于(　　)
A.＋i B.－i
C. D.
【解析】　由题意得＝1－i，∴z1＝z·＝(1＋i)(1－i)＝2.
∴＋＝＋＝－＝.
【答案】　C
3．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．
①|z－|＝2y；
②z2＝x2＋y2；
③|z－|≥2x；
④|z|≤|x|＋|y|.
【解析】　对于①，＝x－yi(x，y∈R)，
|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，
故不正确；
对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；
对于③，|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，故不正确；
对于④，|z|＝≤|x|＋|y|，故正确．
【答案】　④
4．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
【解】　∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1－2＝＝＝＝－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
又∵z1·z2∈R，∴a＝4.
∴z2＝4＋2i.
第三章 数系的扩充与复数的引入
[自我校对]
①i2＝－1　②a＝c，b＝d　
③＝a－bi④Z(a，b)　⑤　
⑥a＋c　⑦(b＋d)i　⑧(a－c)＋(b－d)i
　
　复数的概念及分类
1.复数a＋bi(a，b∈R)
2．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(或不等式)即可．
　当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i：
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)对应的点在第一象限内；
(4)对应的点在直线x－y＝0上．
【精彩点拨】　解答本题可根据复数的分类标准，列出方程(不等式)求解．
【规范解答】　(1)由z∈R，得a2－3a＋2＝0，
解得a＝1或a＝2.
(2)z为纯虚数，
即
故a＝0.
(3)z对应的点在第一象限，
则
∴
∴a<0或a>2.
∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(4)依题得(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，
∴a＝2.
[再练一题]
1．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
【解】　(1)当
即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0，
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
　复数的四则运算
复数的运算是复数学习的核心，主要有加、减、乘、除运算，加减法是对应实、虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法实质上是分母实数化，可类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.
　计算：12＋8.
【精彩点拨】　先由－－i＝i，1－i＝(－2)，将原式化简，再利用－＋i的特殊性进行求解．
【规范解答】　原式＝i1212＋＝1×1＋
＝1＋16＝－7＋8i.
[再练一题]
2．计算：(1)；
(2)－.
【解】　(1)原式＝＝－·＝－·(－4)·
＝－1＋i.
(2)原式＝－
＝－
＝－i＝i－i＝0.
　共轭复数与复数的模
共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：
(1)|z|＝1?z＝.
(2)z∈R?＝z.
(3)z≠0，z为纯虚数?＝－z.
　设z是虚数，且|z|＝1，求证：u＝为纯虚数．
【精彩点拨】　利用共轭复数的性质证明u＋＝0.
【规范解答】　∵z为虚数，且|z|＝1，∴z·＝1，即＝.
∵u＋＝＋＝＋＝＋＝0，
∴u为纯虚数．
[再练一题]
3．设|z|＝1，且z≠±i，求证：为实数．
【证明】　由条件可知z≠0，则z·＝|z|2＝1，
所以＝＝z－1，
＝＝＝＝＝，所以为实数．
　复数的几何意义
1.点Z(a，b)或向量称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的几何表示，因此复平面的点与复平面的向量是复数的两个几何形象．
2．复数形式的基本轨迹
(1)当|z－z1|＝r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|＝1.
(2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．
(3)|z1－z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离．
　若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是(　　)
A．2　 B．3
C．4 D．5
【精彩点拨】　常规方法是运用复数的代数形式，把复数最值问题转化为一般函数最值问题再解决，而运用|z－z0|的几何意义解决更为简便．
【规范解答】　如图，|z＋2－2i|＝1表示以C(－2,2)为圆心，1为半径的圆，则|z－2－2i|的最小值是指点A(2,2)到圆的最短距离，显然|AB|＝|AC|－1＝3，即为最小值，故选B.
【答案】　B
[再练一题]
4．已知|z|＝2，则|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为________.
【导学号：81092053】
【解析】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，
故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
又|z＋1＋i|表示点(x，y)到点(－1，－)的距离．
又因为点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，
即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.
【答案】　4,0
1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
【解析】　由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．
【答案】　A
2．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)
A．1　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D．2
【解析】　∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.
【答案】　B
3．复数＝(　　)
A．i B．1＋i
C．－i D．1－i
【解析】　方法1：＝＝＝i.
方法2：＝＝＝i.
【答案】　A
4．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
【解析】　因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以＝2.
【答案】　2
5．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.
【解析】　(1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i.
∵其对应点在实轴上，
∴a＋1＝0，即a＝－1.
【答案】　－1
章末综合测评(三)　
数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设复数z满足z＋i＝3－i，则＝(　　)
A．－1＋2i　 B．1－2i
C．3＋2i D．3－2i
【解析】　由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴＝3＋2i，故选C.
【答案】　C
2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝(　　)
A．2－3i B．2＋3i
C．3＋2i D．3－2i
【解析】　∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.
【答案】　A
3．若i(x＋yi)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋yi 的模是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】　由i(x＋yi)＝3＋4i，得－y＋xi＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x＋yi的模为＝5.
【答案】　D
4．若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
【解析】　∵z＝＝＝＝1＋i，∴＝1－i.
【答案】　B
5．“m＝1”是“复数z＝(1＋mi)(1＋i)(m∈R，i为虚数单位)为纯虚数”的
(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　z＝(1＋mi)(1＋i)＝1＋i＋mi－m＝(1－m)＋(1＋m)i，若m＝1，则z＝2i为纯虚数；若z为纯虚数，则m＝1.故选C.
【答案】　C
6．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在(　　)
【导学号：81092054】
A．实轴上 B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上 D．以上都不对
【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z2＝a2－b2＋2abi为纯虚数，∴
∴a＝±b，即z在复平面上的对应点在直线y＝±x(x≠0)上．
【答案】　C
7．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
【解析】　∵＝i，
∴z＝＝＝－i，
∴|z＋1|＝|1－i|＝.
【答案】　C
8．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z·i＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，由复数相等的条件得得
∴z＝1＋i.
【答案】　A
9．若z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　z2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos2θ－sin2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，
∴
∴2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴θ＝kπ＋(k∈Z)，令k＝0知选D.
【答案】　D
10．当z＝－时，z100＋z50＋1的值是(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
【解析】　原式＝100＋50＋1＝50＋25＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.
【答案】　D
11．在复平面上，正方形OBCA的三个顶点A，B，O对应的复数分别为1＋2i，－2＋i,0，则这个正方形的第四个顶点C对应的复数是(　　)
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
【解析】　∵正方形的三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(－2,1)，O(0,0)，
∴设第四个顶点C的坐标为(x，y)，
则＝，
∴(x＋2，y－1)＝(1,2)．
∴
∴
∴第四个顶点C的坐标为(－1,3)．
【答案】　D
12．复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应向量的模为2，则|z＋2|的最大值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】　由于|z|＝2，所以＝2，即(x－2)2＋y2＝4，故点(x，y)在以(2,0)为圆心，2为半径的圆上，而|z＋2|＝|x＋yi|＝，它表示点(x，y)与原点的距离，结合图形易知|z＋2|的最大值为4，故选B.
【答案】　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)
13．复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
【解析】　因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.
【答案】　5
14．复数z1＝2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是________．
【解析】　∵z1＝2＝－1，z2＝2－i3＝2＋i，
∴P(－1,0)，Q(2,1)，
∴＝(3,1)，即对应的复数为3＋i.
【答案】　3＋i
15．定义运算＝ad－bc，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R)符合条件＝3＋2i的复数z等于_________．
【导学号：81092055】
【解析】　由定义运算，得＝2zi－z＝3＋2i，则z＝＝＝－i.
【答案】　－i
16．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．
【解析】　复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，
所以解得－1由条件得|z|＝
＝
＝
＝，
因为－1【答案】　
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x的值．
【解】　∵复数4－20i的共轭复数为4＋20i，
∴x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，
∴
∴x＝－3.
18．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是：
(1)虚数；(2)纯虚数．
【解】　z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
(1)当m2－3m＋2≠0，即m≠2且m≠1时，z为虚数．
(2)当
即m＝－时，z为纯虚数．
19．(本小题满分12分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
【解】　z＝＝
＝＝＝1－i.
将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得
(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，
所以
所以
20．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
【解】　设z＝x＋yi，x，y∈R，
因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，
所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
因为|OA|≠|BC|，
所以x2＝－3，y2＝4(舍去)，
故z＝－5.
21．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
【解】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
而|z|＝1＋3i－z，
即－1－3i＋a＋bi＝0，
则
解得，∴z＝－4＋3i，
∴
＝＝＝3＋4i.
22．(本小题满分12分)已知关于x的方程：x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值. 【导学号：81092056】
【解】　(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，
∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
∴
解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|－3－3i|＝2|z|，
得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴复数z对应的点Z的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆，如图所示．
当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，
∵|OO1|＝，半径r＝2，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值且|z|min＝.
2.1.1　合情推理
1．了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理．(重点、易混点)
2．能用归纳和类比进行简单的推理．(难点)
3．了解合情推理在数学发现中的作用．
[基础·初探]
教材整理1　归纳推理和类比推理
阅读教材P22～P26“例4”以上内容，完成下列问题.
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
类比推理是由特殊到特殊的推理
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理．(　　)
(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．(　　)
(3)归纳推理是由个别到一般的推理．(　　)
【解析】　(1)错误．它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理．
(2)错误．类比推理不一定正确．
(3)正确．由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
教材整理2　合情推理
阅读教材P27～P29的内容，完成下列问题．
1．含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
2．合情推理的过程
→→→
类比a(b＋c)＝ab＋ac，则下列结论正确的是(　　)
A．loga(x＋y)＝logax＋logay
B．sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．ax＋y＝ax＋ay
D．a·(b＋c)＝a·b＋a·c
【解析】　由类比推理的定义知两类比对象具有某些相似特征时，才能用类比推理，而A、B、C中的两对象没有相似特征，故不适合应用类比推理．
【答案】　D
[小组合作型]
归纳推理
　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，则a2 017等于(　　)
A．2　 B．－
C．－2 D．1
(2)根据图2-1-1中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________. 【导学号：81092010】
图2-1-1
【解析】　(1)a1＝1，a2＝－，a3＝－2，a4＝1，…，数列{an}是周期为3的数列，2 017＝672×3＋1，∴a2 017＝a1＝1.
(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.
【答案】　(1)D　(2)509
1．由已知数式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．
(4)运用归纳推理得出一般结论．
2．归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
续表
[再练一题]
1．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图2-1-2的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)
图2-1-2
A．26　　　B．31　　　C．32　　　D．36
(2)把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图2-1-3)，试求第六个三角形数是________．
图2-1-3
【解析】　(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.
(2)第六个三角形数为3＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
【答案】　(1)B　(2)28
类比推理在几何中的应用
　如图2-1-4所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论＋＋＝1. 【导学号：81092011】
图2-1-4
证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．
【精彩点拨】　三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．
【自主解答】　＝＝，
同理，＝，＝.
∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，
∴＋＋＝＝1.
类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论＋＋＋＝1.
证明如下：＝＝，
同理，＝，＝，＝.
∵VP-BCD＋VP-ACD＋VP-ABD＋VP-ABC＝VA-BCD，
∴＋＋＋
＝＝1.
1．一般地，平面图形与空间图形类比如下：
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四面体
2.类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．
[再练一题]
2．在上例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cos C＋c·cos B可类比四面体的什么性质？
【解】　在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，
α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
猜想S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
[探究共研型]
类比推理在其他问题中的应用
探究1　鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？
【提示】　类比推理．
探究2　在等差数列{an}中，对任意的正整数n，有＝an.类比这一性质，在正项等比数列{bn}中，有什么性质？
【提示】　由a1＋a2＋…＋a2n－1类比成b1·b2·b3…b2n－1，除以n，即商类比成开n次方，即在正项等比数列{bn}中，有＝bn.
探究3　观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式是什么？
【提示】　观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
　已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线－＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．
【精彩点拨】　→→
→
【自主解答】　类似性质：若M，N为双曲线－＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则
N(－m，－n)．因为点M(m，n)是双曲线上的点，
所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．
1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．
2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．
[再练一题]
3．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．可类比得到的结论是________.
【导学号：81092012】
【解析】　因为等差数列{an}的公差d＝3，
所以(S30－S20)－(S20－S10)
＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)
＝＝100d＝300，
同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.
即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.
【答案】　数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300
1．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2-1-5)．
图2-1-5
则第n个正方形数是(　　)
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．n2 D．(n＋1)2
【解析】　观察前4个正方形数，恰好是序号加1的平方，所以第n个正方形数应为(n＋1)2.
【答案】　D
2．如图2-1-6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为(　　)
图2-1-6
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
【解析】　∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.
【答案】　A
3．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积公式为(　　) 【导学号：81092013】
A. B.
C. D．无法确定
【解析】　扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝.
【答案】　C
4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
【解析】　由平面和空间的知识，可知面积之比与边长
之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.
【答案】　1∶8
5．已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝.
(1)求a2，a3，a4，a5的值；
(2)猜想an.
【解】　(1)a2＝＝＝，
同理a3＝＝，a4＝，a5＝.
(2)由a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，可猜想an＝.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论无法判定正误
【解析】　合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错．
【答案】　B
2．下面使用类比推理恰当的是(　　)
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
【解析】　由实数运算的知识易得C项正确．
【答案】　C
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图2-1-7所示，
图2-1-7
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2　 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
【解析】　从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
【答案】　C
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的(　　)
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
【解析】　由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．
【答案】　D
5．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是(　　)
A．(2,10) B．(10,2)
C．(3,5) D．(5,3)
【解析】　由题意，发现所给数对有如下规律：
(1,1)的和为2，共1个；
(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；
(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；
(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．
由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．
【答案】　A
二、填空题
6．观察下列特殊的不等式：
≥2×，
≥×3，
≥×5，
≥2×75，
…
由以上特殊不等式，可以猜测：当a>b>0，s，r∈Z时，有≥________.
【解析】　≥2×＝×2－1，
≥×3＝×5－2，
≥×5＝×8－3，
≥2×75＝×10－5，
由以上特殊不等式，可以猜测：当a>b>0，s，r∈Z时，有≥
s－r.
【答案】　s－r
7．二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.
【解析】　因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.
【答案】　2πr4
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．
【解析】　结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.
【答案】　a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
【解】　先化简递推关系：n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，
∴＋Sn－1＋2＝0.
当n＝1时，S1＝a1＝－.
当n＝2时，＝－2－S1＝－，∴S2＝－.
当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－.
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－，n∈N＋.
10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
【证明】　如图所示，由射影定理，得
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，∴＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.
猜想，在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD，
又AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋，∴＝＋＋.
[能力提升]
1．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于(　　)
1×9＋2＝11；
12×9＋3＝111；
123×9＋4＝1 111；
1 234×9＋5＝11 111；
12 345×9＋6＝111 111；
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
【解析】　由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111，故选B.
【答案】　B
2．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4××r＝××?r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3∶1.
【答案】　C
3．如图2-1-8所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_____________________________________．
【导学号：81092015】
图2-1-8
【解析】　如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，
所以＝(c，b)，＝(－a，b)．
又因为⊥，
所以·＝b2－ac＝0，
所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，
所以e＝或e＝(舍去)．
【答案】　
4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【解】　(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
2.1.2　演绎推理
1．理解演绎推理的意义．(重点)
2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．(难点)
3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．(易混点)
[基础·初探]
教材整理　演绎推理
阅读教材P30～P32的内容，完成下列问题．
1．演绎推理
(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．
(2)特点：由一般到特殊的推理．
2．三段论
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
S是P
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)演绎推理一般模式是“三段论”形式．(　　)
(2)演绎推理的结论是一定正确的．(　　)
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．(　　)
【解析】　(1)正确．演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论．
(2)错误．在演绎推理中，只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下，其结论才是正确的．
(3)错误．演绎推理是由一般到特殊的推理．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
[小组合作型]
把演绎推理写成三段论的形式
　将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；
(3)菱形的对角线互相平分；
(4)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
【精彩点拨】　首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．
【自主解答】　(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)
75不能被2整除．(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)三角形的内角和为180°.(大前提)
Rt△ABC是三角形．(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)平行四边形的对角线互相平分．(大前提)
菱形是平行四边形．(小前提)
菱形的对角线互相平分．(结论)
(4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)
1．三段论推理的根据，从集合的观点来讲，若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
2．演绎推理最常用的模式是三段论，在大前提和小前提正确，推理形式也正确时，其结论一定是正确的．
[再练一题]
1．把下列推断写成三段论的形式．
(1)三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是(　　)
A．①　　 B．②　　
C．①②　　 D．③
(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．
【解析】　(1) 大前提为①，小前提为③，结论为②.
【答案】　D
(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提)
∠1和∠2是对顶角，(小前提)
∠1和∠2相等．(结论)
演绎推理的应用
　如图2-1-9所示，D、E、F分别是BC、CA、AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
图2-1-9
【精彩点拨】　用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE；(2)四边形AEDF为平行四边形；(3)DE＝AF.
【自主解答】　(1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥AE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
(3)平行四边形的对边相等，(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)
所以ED＝AF.(结论)
1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
2．数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．
[再练一题]
2．已知：在如图2-1-10所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝DC＝AB，AC和BD是它的对角线．
图2-1-10
求证：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA.
【证明】　大前提：等腰三角形的两底角相等；
小前提：△ADC是等腰三角形，DA，DC是两腰；
结论：∠1＝∠2.
大前提：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
小前提：∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角；
结论：∠1＝∠3.
大前提：等于同一个量的两个量相等；
小前提：∠2和∠3都等于∠1；
结论：∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.
同理可证BD平分∠ABC.
[探究共研型]
合情推理与演绎推理的综合应用
探究1　我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．
【提示】　如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．
探究2　若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．
【提示】　由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为an＝
其前n项和公式Sn＝
探究3　设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．
【提示】　f(0)＋f(1)＝＋
＝＋
＝＋＝.
同理f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
由此猜想：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝.
证明：设x1＋x2＝1，
则f(x1)＋f(x2)＝＋
＝
＝
＝＝.
故猜想成立．
　如图2-1-11所示，三棱锥A-BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．
(1)求证：O为△BCD的垂心；
(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．
图2-1-11
【精彩点拨】　(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的重心．
(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明．
【自主解答】　(1)证明：∵AB⊥AD，AC⊥AD，
∴AD⊥平面ABC，
∴AD⊥BC，
又∵AO⊥平面BCD，
∴AO⊥BC，
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，
∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心．
(2)猜想：S＋S＋S＝S.
证明：连接DO并延长交BC于E，
连接AE，BO，CO，
由(1)知AD⊥平面ABC，
AE?平面ABC，
∴AD⊥AE，又AO⊥ED，
∴AE2＝EO·ED，
2＝·，
即S＝S△BOC·S△BCD.
同理可证：S＝S△COD·S△BCD，S＝S△BOD·S△BCD.
∴S＋S＋S△ABD＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S.
合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确?前提和推理形式都正确的前提下?.
[再练一题]
3．已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝(n∈N*)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论. 【导学号：81092016】
【解】　类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：
若数列{an}是等差数列，则数列bn＝也是等差数列．
证明如下：
设等差数列{an}的公差为d，则bn＝＝＝a1＋(n－1)，
所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列．
1．演绎推理中的“一般性原理”包括(　　)
①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【解析】　演绎推理中的“一般性原理”包括“已有的事实”“定义、定理、公理等”．
【答案】　A
2．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级中的人数都超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式
【解析】　A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．
【答案】　A
3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
【解析】　这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．
【答案】　A
4．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：________________________________________________________；
小前提：________________________________________________________；
结论：___________________________________________________________.
【答案】　一次函数的图象是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线
5．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(2)y＝cos x(x∈R)是周期函数．
【解】　(1)因为矩形的对角线相等，(大前提)
而正方形是矩形，(小前提)
所以正方形的对角线相等．(结论)
(3)因为三角函数是周期函数，(大前提)
而y＝cos x(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝cos x(x∈R)是周期函数．(结论)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下面几种推理中是演绎推理的为(　　)
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N＋)
C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
【解析】　A，B为归纳推理，D为类比推理，C为演绎推理．
【答案】　C
2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.
证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的(　　)
A．大前提 B．小前提
C．结论 D．三段论
【解析】　结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．
【答案】　B
3．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝x是对数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)．”上面推理错误的是(　　)
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
【解析】　大前提y＝logax是增函数错误，当0【答案】　A
4．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(　　)
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF为中位线
D．EF∥CB
【解析】　三段论中的大前提是指一个已知的一般性结论，本题中指：三角形的中位线平行于第三边，故选A.
【答案】　A
5．已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.
【答案】　B
二、填空题
6．以下推理过程省略的大前提为________．
因为a2＋b2≥2ab，
所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
【解析】　由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
【答案】　若a≥b，则a＋c≥b＋c
7．命题：“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”．学生小夏这样证明：
设a，b与面α分别相交于A，B，连接A，B，
∵a⊥α，b⊥α，AB?α， ①
∴a⊥AB，b⊥AB， ②
∴a∥b. ③
这里的证明有两个推理，即：①?②和②?③.老师认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．
【解析】　②?③时，大前提错误，导致结论错误．
【答案】　②?③
8．“如图2-1-12，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．
图2-1-12
证明：在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC>BC， ①
所以AD>BD， ②
于是∠ACD>∠BCD ③
则在上面证明的过程中错误的是________(填序号)．
【解析】　由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
【答案】　③
三、解答题
9．用三段论证明通项公式为an＝cqn(c，q为常数，且cq≠0)的数列{an}是等比数列．
【证明】　设an＋1，an是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提)，
因为＝＝q(常数)(小前提)，
所以{an}是等比数列(结论)．
10．已知a>0且函数f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．
【解】　由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对x∈R恒成立，即＋＝＋，所以＋a·2x＝＋，整理得(2x－2－x)＝0，必有a－＝0.又因为a>0，所以a＝1.
[能力提升]
1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．结论正确 D．推理形式错误
【解析】　f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误，选A.
【答案】　A
2．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(　　)
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
【解析】　A错，因为自然数集对减法不封闭；B错，因
为整数集对除法不封闭；C对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
【答案】　C
3．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.
【解析】　∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)．
令b＝1，则＝f(1)＝2(小前提)．
∴＝＝…＝＝2(结论)，
∴原式＝＝2 018.
【答案】　2 018
4．在同一平面内，若P，A，B三点共线，则对于平面上任意一点O，有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.对这个命题证明如下：
【证明】　因为P，A，B三点共线，所以＝m，即－＝m(－)，整理得＝(1－m)＋m，因为(1－m)＋m＝1，所以λ＋μ＝1.
请把上述结论和证明过程类比到空间向量．
【解】　类比到空间向量，所得结论为：在空间中，若P，A，B，C四点共面，则对于空间中任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.对这个命题证明如下：
证明：因为P，A，B，C四点共面，
所以＝λ＋μ，
即－＝λ(－)＋μ(－)，
整理得＝(1－λ－μ)＋λ＋μ，
因为(1－λ－μ)＋λ＋μ＝1，
所以x＋y＋z＝1.
2.2.1　第1课时　综合法及其应用
1．了解直接证明的基本方法——综合法，掌握其证明方法、步骤．(重点)
2．理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题．(难点、易混点)
[基础·初探]
教材整理　综合法
阅读教材P36的内容，完成下列问题．
1．综合法的定义
利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．综合法的框图表示
→→→…→
(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)综合法是由因导果的顺推证法．(　　)
(2)综合法证明的依据是三段论．(　　)
(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．(　　)
【解析】　(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．
(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．
(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√
[小组合作型]
用综合法证明三角问题
　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求证：A的大小为60°；
(2)若sin B＋sin C＝.证明：△ABC为等边三角形．
【精彩点拨】　(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A；
(2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明A＝B＝C＝60°.
【自主解答】　(1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)·sin C，
得2a2＝(2b－c)·b＋(2c－b)c，
即bc＝b2＋c2－a2，
所以cos A＝＝.
所以A＝60°.
(2)由A＋B＋C＝180°，得B＋C＝120°，
由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝，
sin B＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝，
sin B＋cos B＝，
即sin(B＋30°)＝1.
因为0°所以30°所以B＋30°＝90°，即B＝60°，
所以A＝B＝C＝60°.
即△ABC为等边三角形．
证明三角等式的主要依据
1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．
2．和、差、倍角的三角函数公式．
3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理．
4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．
[再练一题]
1．求证：3－2cos2α＝.
【证明】　原式右边＝＝1＋＝1＋2sin2α＝1＋2(1－cos2α)
＝3－2cos2α＝左边．
所以原式成立．
用综合法证明几何问题
　如图2-2-1，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，E，F分别是AB，BD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD. 【导学号：81092018】
图2-2-1
【精彩点拨】　(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD，只需在平面ACD内找出一条直线和直线EF平行即可；
(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．
【自主解答】　(1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥AD，又EF?平面ACD，AD?平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.
(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.
因为CB＝CD，F是BD的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC.
因为BD?平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.
本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用.在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言.这也是证明空间位置关系问题的一般模式.
[再练一题]
2．如图2-2-2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝a，AB＝2a，E，F分别为C1D1，A1D1的中点．
图2-2-2
(1)求证：DE⊥平面BCE；
(2)求证：AF∥平面BDE.
【证明】　(1)∵BC⊥侧面CDD1C1，DE?侧面CDD1C1，∴DE⊥BC.
在△CDE中，CD＝2a，CE＝DE＝a，则有CD2＝DE2＋CE2，
∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC，
又BC∩EC＝C，∴DE⊥平面BCE.
(2)连接EF，A1C1，设AC交BD于O，连接EO，
∵EF綊A1C1，AO綊A1C1，
∴EF綊AO，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴AF∥OE.
又∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
[探究共研型]
用综合法证明不等式问题
探究1　已知a，b＞0，试用综合法证明：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
【提示】　因为b2＋c2≥2bc，a＞0，所以a(b2＋c2)≥2abc，
又因为c2＋a2≥2ac，b＞0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
探究2　综合法证明不等式的主要依据有哪些？
【提示】　(1)a2≥0(a∈R)．
(2)a2＋b2≥2ab，2≥ab，a2＋b2≥.
(3)a，b∈(0，＋∞)，则≥，特别地，＋≥2.
(4)a－b≥0?a≥b；a－b≤0?a≤b.
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
　已知x>0，y>0，x＋y＝1，求证：≥9.
【精彩点拨】　解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明．
【自主解答】　法一：因为x>0，y>0,1＝x＋y≥2，
所以xy≤.
所以＝1＋＋＋
＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.
法二：因为1＝x＋y，
所以＝
＝＝5＋2.
又因为x>0，y>0，所以＋≥2，当且仅当x＝y时，取“＝”号．
所以≥5＋2×2＝9.
综合法的证明步骤
1．分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
[再练一题]
3．已知a，b，c是正实数，a，b，c互不相等且abc＝1.证明：＋＋＜＋＋.
【证明】　因为a，b，c是正实数，a，b，c互不相等且abc＝1，所以＋＞2＝2，＋＞2＝2，＋＞2＝2，
所以2＞2(＋＋)，
即＋＋＜＋＋.
1．已知等差数列{an}中，a5＋a11＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)
A．15　　　 B．30　　　
C．31　　　 D．64
【解析】　∵{an}为等差数列，
∴a5＋a11＝a4＋a12.
又∵a5＋a11＝16，a4＝1，∴a12＝15.
【答案】　A
2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确的命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又m?β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行，③不正确；
若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m?β，所以α⊥β，④正确．
【答案】　B
3．若a，b，c是常数，则“a>0且b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　因为a>0且b2－4ac<0?ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立．反之，ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立不能推出a>0且b2－4ac<0，反例为：当a＝b＝0且c>0时也有ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立，
所以“a>0且b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c>0对任意实数x∈R恒成立”的充分不必要条件．
【答案】　A
4．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p与q的大小关系是________．
【解析】　p＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，
－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.
【答案】　p>q
5．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
【证明】　因为a，b，c∈(0，＋∞)，
所以≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
所以··＞abc成立．
上式两边同时取常用对数，
得lg＞lg(abc)，
所以lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分而不必要条件是(　　)
A．a·b>0　 B．a·b<0
C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
【解析】　∵＋≤－2，∴≤－2.
∵a2＋b2>0，
∴ab<0，则a，b异号，故选C.
【答案】　C
2．平面内有四边形ABCD和点O，＋＝＋，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
【解析】　∵＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【答案】　D
3．若实数a，b满足0 【导学号：81092019】
A. B．a2＋b2
C．2ab D．a
【解析】　∵a＋b＝1，a＋b>2，
∴2ab<.
而a2＋b2>＝，
又∵0∴a<，∴a2＋b2最大，故选B.
【答案】　B
4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　若A>B，则a>b，
又＝，∴sin A>sin B；
若sin A>sin B，则由正弦定理得a>b，
∴A>B.
【答案】　C
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
【解析】　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0.故选A.
【答案】　A
二、填空题
6．设e1，e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，则k＝________.
【解析】　若A，B，C三点共线，则＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)＝λe1＋3λe2，
∴
∴
【答案】　6
7．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
【解析】　∵a2－c2＝2－(8－4)＝－>0，∴a>c，
又∵＝＝>1，∴c>b，∴a>c>b.
【答案】　a>c>b
8．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．
【解析】　对不等式②作等价变形：>?>0.于是，若ab>0，bc>ad，则>0，故①③?②.若ab>0，>0，则bc>ad，故①②?③.若bc>ad，>0，则ab>0，故②③?①.因此可组成3个正确的命题．
【答案】　3
三、解答题
9．如图2-2-3，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E，F分别为AB，CD的中点，求证：AF∥平面PEC.
图2-2-3
【证明】　∵四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，
∴AB綊CD.
又∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴CF綊AE.
∴四边形AECF为平行四边形．
∴AF∥EC.
又AF?平面PEC，EC?平面PEC，
∴AF∥平面PEC.
10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列．求证：△ABC为等边三角形．
【证明】　由A，B，C成等差数列知，B＝，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，
又a，b，c也成等差数列，∴b＝，
代入上式得＝a2＋c2－ac，
整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，
而B＝，则A＝B＝C＝，
从而△ABC为等边三角形．
[能力提升]
1．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　)
A．2 B.
C．1 D.
【解析】　∵ax＝by＝3，x＝loga3，y＝logb3，
∴＋＝log3(ab)≤log32＝1.故选C.
【答案】　C
2．在△ABC中，tan A·tan B>1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【解析】　因为tan A·tan B>1，
所以角A，角B只能都是锐角，
所以tan A>0，tan B>0,1－tan A·tan B<0，
所以tan(A＋B)＝<0.
所以A＋B是钝角，即角C为锐角．
【答案】　A
3．若0【导学号：81092020】
【解析】　由0且a≠b，得a＋b>2，a2＋b2>2ab.
又a>a2，b>b2，
知a＋b>a2＋b2，从而a＋b最大．
【答案】　a＋b
4．在三角形ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2＋ccos2≥b.
【证明】　∵在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
∵左边＝＋
＝(a＋c)＋(acos C＋ccos A)
＝(a＋c)＋
＝(a＋c)＋b≥＋
＝b＋＝b＝右边，
∴acos2＋ccos2≥b.
2.2.1 第2课时　分析法及其应用
1．了解分析法证明数学问题的格式、步骤．(重点)
2．理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题．(难点、易混点)
[基础·初探]
教材整理　分析法
阅读教材P38～P39“例4”以上内容，完成下列问题．
1．分析法的定义
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．
2．分析法的框图表示
→→→…→
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分析法就是从结论推向已知．(　　)
(2)分析法的推理过程要比综合法优越．(　　)
(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．(　　)
【解析】　(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．
(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．
(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
[小组合作型]
应用分析法证明不等式
　已知a>b>0，求证：<－<.
【精彩点拨】　本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．
【自主解答】　要证<－<，
只需证<<.
∵a>b>0，
∴同时除以，得<1<，
同时开方，得<1<，
只需证＋<2，且＋>2，
即证<，即证b∵a>b>0，∴原不等式成立，
即<－<.
1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．
2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论?…?…?…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．
[再练一题]
1．已知a＞0，b＞0，求证＋≥＋.
【证明】　要证＋≥＋，
只需证a＋b≥(＋)，
只需证()3＋()3≥(＋)，
只需证(＋)(a－＋b)≥(＋)，
只需证a－＋b≥，
只需证(－)2≥0，
(－)2≥0显然成立，故原不等式成立．
用分析法证明其他问题
　求证：以过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切．
【精彩点拨】　
【自主解答】　如右图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|.由抛物线的定义有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)．
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切．
1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．
2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．
[再练一题]
2．已知＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．
【证明】　要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－.
∵＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.
∴tan α＝－显然成立，∴结论得证．
[探究共研型]
综合法与分析法的综合应用
探究1　综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
【提示】　综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
探究2　综合法与分析法有什么区别？
【提示】　综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
　在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
【精彩点拨】　可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来．
【自主解答】　由已知条件得
消去x，y得2a＝＋，
且a>0，b>0，c>0.
要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，
只需证a＋1≥，因≤，
只需证a＋1≥，
即证2a≥b＋c.
由于2a＝＋，
故只需证＋≥b＋c，
只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，
即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.
因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.
[再练一题]
3．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：＋＝.
【导学号：81092022】
【证明】　要证＋＝，
即证＋＝3，
即证＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
只需证c2＋a2＝ac＋b2.
∵A，B，C成等差数列，
∴2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
∵c2＋a2－b2＝2accos B，
∴c2＋a2－b2＝ac，
∴c2＋a2＝ac＋b2，
∴＋＝成立．
1．要证明＋>2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)
A．综合法 B．分析法
C．比较法 D．归纳法
【解析】　由分析法和综合法定义可知选B.
【答案】　B
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)
A．a≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
【解析】　∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
【答案】　C
3.－<成立的充要条件是(　　)
A．ab(b－a)>0 B．ab>0且a>b
C．ab<0且a【解析】　－?ab2【答案】　D
4．设n∈N，a＝－，b＝－，则a，b的大小关系是________．
【解析】　要比较－与－的大小，即判断(－)－(－)
＝(＋)－(＋)的符号，
∵(＋)2－(＋)2
＝2[－]
＝2(－)＜0，
∴－＜－.
【答案】　a＜b
5．已知a，b，c，d∈R，求证：
ac＋bd≤.
【证明】　(分析法)
①当ac＋bd≤0时，显然成立．
②当ac＋bd＞0时，欲证原不等式成立，
只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2.
即证2abcd≤b2c2＋a2d2.
即证0≤(bc－ad)2.
因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立．
故原不等式成立，综合①②知，命题得证．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．ab>0 B．b>a
C．a【解析】　由a，但>不能推出a∴a的一个充分不必要条件．
【答案】　C
2．求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只需证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，
∵35>11，
∴原不等式成立．
以上证明应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法配合使用
D．间接证法
【解析】　该证明方法符合分析法的定义，故选A.
【答案】　A
3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】　要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.
【答案】　D
4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件(　　)
A．a2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
【解析】　由余弦定理得
cos A＝<0，
∴b2＋c2－a2<0，
即b2＋c2【答案】　C
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
【解析】　由题意知?b2＋a(a＋b)<3a2?b2＋a2＋ab<3a2
?b2＋ab<2a2?2a2－ab－b2>0
?a2－ab＋a2－b2>0?a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0
?a(a－b)－c(a－b)>0?(a－b)(a－c)>0，故选C.
【答案】　C
二、填空题
6．设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．
【解析】　∵A－B＝－＝＝≥0，∴A≥B.
【答案】　A≥B
7．如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________. 【导学号：81092024】
【解析】　要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.
【答案】　a>b>0
8．如图2-2-4，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
图2-2-4
【解析】　要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
【答案】　AC⊥BD(或底面为菱形)
三、解答题
9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
【证明】　法一：分析法
要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
又因a＋b>0，
只需证a2－ab＋b2>ab成立，
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，
由此命题得证．
法二：综合法
a≠b?a－b≠0?(a－b)2>0?a2－2ab＋b2>0?a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
10．已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
【证明】　要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)≥2absin C，
即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，
因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升]
1．已知a，b，c，d为正实数，且<，则(　　)
A.<<　　　 B.<<
C.<< D．以上均可能
【解析】　先取特殊值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.
∴B，C不正确．
要证<，∵a，b，c，d为正实数，
∴只需证a(b＋d)只需证<.而<成立，
∴<.同理可证<.故A正确，D不正确．
【答案】　A
2．下列不等式不成立的是(　　)
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋>(a>0，b>0)
C.－<－(a≥3)
D.＋>2
【解析】　对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
对于B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋>；
对于C，要证－<－(a≥3)成立，只需证明＋<＋，两边平方得2a－3＋2<2a－3＋2，即<，两边平方得a2－3a对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)<0，∴＋<2，故D错误．
【答案】　D
3．使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________.
【导学号：81092025】
【解析】　由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，
所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.
【答案】　12
4．证明：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则＜.
【证明】　∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，
∴a＞0，c＜0.
要证＜，
只需证＜a，
即证b2－ac＜3a2.
因为b＝－a－c，
故只需证(a＋c)2－ac＜3a2，
即证2a2－ac－c2＞0，
即证(2a＋c)(a－c)＞0.
∵2a＋c＞a＋b＋c＝0，a－c＞0，
∴(2a＋c)(a－c)＞0成立．
∴原不等式成立．
2.2.2　反证法
1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．
2．了解反证法的思考过程、特点，理解反证法的推理过程，证明步骤．(重点)
3．体会直接证明与间接证明的区别与联系，会用反证法证明数学问题．(难点、易混点)
[基础·初探]
教材整理　反证法
阅读教材P42～P43的内容，完成下列问题．
1．反证法的定义
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)反证法属于间接证明问题的方法．(　　)
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(　　)
(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾．(　　)
【解析】　(1)正确．反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法．
(2)错误．反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理．
(3)错误．反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
[小组合作型]
用反证法证明否定性命题
　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【精彩点拨】　第(1)问应用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋n(n－1)d两式求解．第(2)问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明．
【自主解答】　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N*，∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
1．当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
3．常见否定词语的否定形式如下表所示：
否定词语
否定词语的否定形式
没有
有
不大于
大于
不等于
等于
不存在
存在
[再练一题]
1．已知方程f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根．
【解】　假设x0是方程f(x)＝0的负数根，则x0<0，x0≠－1且ax0＋＝0，所以ax0＝－.
又当x0<0时，0即0<－1＋<1,1<<2，解得这与x0<0矛盾， 所以假设不成立，故方程f(x)＝0没有负数根．
用反证法证明“至多、至少”问题
　已知x，y，z均大于零，求证：x＋，y＋，z＋这三个数中至少有一个不小于4.
【精彩点拨】　本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明．
【自主解答】　假设x＋，y＋，z＋都小于4，
即x＋<4，y＋<4，z＋<4，
于是得＋＋<12，
而＋＋＝＋＋≥2 ＋2 ＋2 ＝12，
这与＋＋<12矛盾，
因此假设错误，即x＋，y＋，z＋中至少有一个不小于4.
1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．
2．用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x0成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
綈p且綈q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
綈p或綈q
[再练一题]
2．若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与至少有一个小于2.
【导学号：81092026】
【证明】　假设与都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．
∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．故与至少有一个小于2.
[探究共研型]
用反证法证明“唯一性”命题
探究1　用反证法证明命题：“过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行”的过程归纳为以下三个步骤：
①因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误．原命题成立；
②由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行；
③假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.
请指出正确顺序的排列序号．
【提示】　由反证法证明的步骤知，先反设，再推出矛盾，最后作出判断，肯定结论，即正确顺序应为：③②①.
探究2　如何证明两条相交直线有且只有一个交点？
【提示】　假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．所以两条相交直线有且只有一个交点．
　已知一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
【精彩点拨】　
①
【自主解答】　根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．
(1)如图①，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
(2)如图②，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.
②
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直．
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了.
[再练一题]
3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.
【导学号：81092027】
【证明】　由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，
则f(m)＝0，
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，
即f(n)＝0，则n≠m.
若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
1．应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是(　　)
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
【解析】　根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义”等作为条件使用．
【答案】　C
2．实数a，b，c不全为0等价于(　　)
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
【解析】　不全为0即至少有一个不为0，故选D.
【答案】　D
3．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】　①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
【答案】　B
4．用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为________．
【解析】　a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”．
【答案】　a，b，c中至少有一个偶数
5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根. 【导学号：81092028】
【证明】　假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与a，b，c互不相等矛盾．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　)
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
【解析】　“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.
【答案】　C
2．下列命题错误的是(　　)
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四面体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数
【解析】　a＋b为奇数?a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．
【答案】　D
3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为(　　)
【导学号：81092029】
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
【解析】　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
【答案】　D
4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数
(　　)
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
【解析】　若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6， ①
而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6， ②
显然①②矛盾，所以C正确．
【答案】　C
5．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为
(　　)
A．①②③　 B．①③②
C．②③① D．③①②
【解析】　根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．
【答案】　D
二、填空题
6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．
【解析】　“至少有一个”的否定是“没有一个”．
【答案】　任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形
7．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是________．
【解析】　与的关系有三种情况：>，＝和<，所以“>”的反设应为“＝或<”．
【答案】　＝或<
8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
【解析】　若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．
若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
【答案】　③
三、解答题
9．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1. 【导学号：81092030】
【证明】　假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.
而与a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.
10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证： ， ， 不成等差数列．
【证明】　假设， ， 成等差数列，则＋＝2，两边同时平方得a＋c＋2＝4b.
把b2＝ac代入a＋c＋2＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．
所以， ， 不成等差数列．
[能力提升]
1．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
下列说法中正确的是(　　)
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
【解析】　用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．
【答案】　D
2．已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sin A≠sin B”．若用反证法证明，得出的矛盾是(　　)
A．与已知条件矛盾
B．与三角形内角和定理矛盾
C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾
D．与大边对大角定理矛盾
【解析】　证明过程如下：假设sin A＝sin B，因为0【答案】　C
3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
【解析】　因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手．
【答案】　丙
4．用反证法证明：对于直线l：y＝x＋k，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝－x对称．
【证明】　假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝－x对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则线段AB的中点M在直线y＝－x上，由得2x2－2kx－1－k2＝0.
∴x1＋x2＝k，可得M.这与M在直线y＝－x上矛盾．
所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝－x对称．
第二章 推理与证明
[自我校对]
①由部分到整体，由个别到一般
②类比推理　③演绎推理　④由一般到特殊　⑤综合法　⑥执果索因
⑦反证法
　
　归纳推理
1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)．
2．在应用归纳推理时，首先要观察部分对象的整体特征，然后分析所观察对象中哪些元素是不变的，哪些元素是变化的，并将变化的量的变化规律表达出来．
　如图2-1，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是________．
图2-1
【精彩点拨】　列出每行实心圆点的个数，从中归纳出变化规律，然后运用此规律求第11行实心圆点的个数．
【规范解答】　前6行中实心圆点的个数依次为：0,1,1,2,3,5，据此猜想这个数列的规律为：从第3项起，每一项都等于它前面两项的和，故续写这个数列到第11行如下：8,13,21,34,55，所以第11行的实心圆点的个数是55.
【答案】　55
[再练一题]
1．记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，
当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：
S1＝n2＋n，
S2＝n3＋n2＋n，
S3＝n4＋n3＋n2，
S4＝n5＋n4＋n3－n，
S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，…可以推测，A－B＝________.
【解析】　由S1，S2，S3，S4各项系数知，
A＝，A＋＋＋B＝1，
于是B＝－，
所以A－B＝＋＝.
【答案】　
　类比推理
1.类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
2．平面图形与空间图形类比．
平面图形
空间图形
点
线
线
面
边长
面积
面积
体积
线线角
二面角
三角形
四面体
　在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．
【精彩点拨】　利用类比推理时，正三角形可类比成正四面体，归纳出结论再给予证明．
【规范解答】　类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.
证明：设M是正四面体P-ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.
由于正四面体四个面的面积相等，故有：
VP－ABC＝VM－ABC＋VM－PAB＋VM－PAC＋VM－PBC＝·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，
而S△ABC＝a2，VP－ABC＝a3，
故d1＋d2＋d3＋d4＝a(定值)．
[再练一题]
2．在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，则＝＋.在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么？并说明理由. 【导学号：81092031】
【解】　类似的结论是：如图，在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则
＝＋＋.
证明如下：
连接BH并延长交CD于E，连接AE.∵AB，AC，AD两两垂直，
∴AB⊥平面ACD.又∵AE?平面ACD，∴AB⊥AE.
在Rt△ABE中，有＝＋.①
又易证CD⊥AE，
在Rt△ACD中，＝＋.②
将②代入①得＝＋＋.
　演绎推理
演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．
演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确．
　已知平面α∥平面β，直线l⊥α，l∩α＝A，如图2-2所示，求证：l⊥β.
图2-2
【精彩点拨】　分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法证明．
【规范解答】　在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面．设γ∩α＝a.
①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，(大前提)
α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，(小前提)
所以a∥b.(结论)
②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，(大前提)
且l⊥α，a?α，(小前提)
所以l⊥a.(结论)
③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，(大前提)
a∥b，且l⊥a，(小前提)
所以l⊥b.(结论)
④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，(大前提)
因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，(小前提)
所以l⊥β.(结论)
[再练一题]
3．如图2-3，在空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点．
求证：MN∥平面BCD(写出大前提，小前提，结论)
图2-3
【证明】　三角形中位线平行于底边，(大前提)
∵M，N分别为AB与AD的中点，
∴MN为△ABD的中位线．(小前提)
∴MN∥BD.(结论)
又平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，(大前提)
∵MN?平面BCD，BD?平面BCD，MN∥BD，(小前提)
∴MN∥平面BCD.(结论)
　直接证明
综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用．
　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称．求证：f为偶函数．
【精彩点拨】　解答本题可先分析f为偶函数的条件，再利用已知推出满足的条件或寻找结论成立的条件．
【规范解答】　要证f为偶函数，
只需证f的对称轴为x＝0，
只需证－－＝0，
只需证a＝－b.
因为函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，
即x＝－－1与x＝－关于y轴对称，
即－－1－＝0，
整理得－＝1，
即a＝－b成立，
故原命题得证．
[再练一题]
4．已知a，b，c为互不相等的非负数．求证：a2＋b2＋c2＞(＋＋)．
【证明】　(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
又因为a，b，c为互不相等的非负数，
所以上面三个式子中都不能取“＝”，
所以a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac，
因为ab＋bc≥2，bc＋ac≥2，
ab＋ac≥2，
又a，b，c为互不相等的非负数，
所以ab＋bc＋ac＞(＋＋)，
所以a2＋b2＋c2＞(＋＋)．
　“正难则反”思想
当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等等．
　求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交．
【精彩点拨】　直接证明直线与平面相交比较困难，故考虑用反证法．
【规范解答】　不妨设直线a与平面α相交，假设直线b不与平面α相交，则b?α或b∥平面α.
①若b?α，由a∥b，a?α，得a∥α，这与“a与平面α相交”矛盾．
②若b∥α，则平面α内有直线b′，使b′∥b.而a∥b，故a∥b′，
因为a?α，所以a∥α，这与“a与平面α相交”矛盾．
综上所述，假设不成立，则直线b与平面α只能相交．
[再练一题]
5．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
【证明】　假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数.
1．已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则(　　)
A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
【解析】　∵a，b>0且a≠1，b≠1，∴当a>1，即a－1>0时，不等式logab>1可化为alogab>a1，即b>a>1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0，(b－1)(b－a)>0.
当01可化为alogab0，(b－1)(b－a)>0.综上可知，选D.
【答案】　D
2．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【解析】　通过随机事件直接分析出现情况的可能性．
取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．
综上，选B.
【答案】　B
3．观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
…
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
【解析】　通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．
【答案】　n(n＋1)
4．已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2 014(x)的表达式为________．
【解析】　f1(x)＝，f2(x)＝＝，f3(x)＝＝，…，由数学归纳法得f2 014(x)＝.
【答案】　f2 014(x)＝
5．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
【解析】　根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.
【答案】　1和3
章末综合测评(二)　推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)
A．28　 B．32
C．33 D．27
【解析】　观察知数列{an}满足：a1＝2，an＋1－an＝3n，故x＝20＋3×4＝32.
【答案】　B
2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点．以上推理中(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
【解析】　大前提是错误的，若f′(x0)＝0，x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，故选A.
【答案】　A
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设(　　)
A．三角形的三个内角都不大于60°
B．三角形的三个内角都大于60°
C．三角形的三个内角至多有一个大于60°
D．三角形的三个内角至少有两个大于60°
【解析】　其假设应是对“至少有一个角不大于60°”的否定，即“都大于60°”．
【答案】　B
4．下面几种推理是合情推理的是(　　)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③由f(x)＝sin x，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sin x是奇函数；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
【解析】　合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．
【答案】　C
5．设a＝21.5＋22.5，b＝7，则a，b的大小关系是(　　)
A．a>b B．a＝b
C．a2(b＋1)
【解析】　因为a＝21.5＋22.5>2＝8>7，故a>b.
【答案】　A
6．已知点A(x1，x)，B(x2，x)是函数y＝x2图象上任意不同的两点，依据图象知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞2成立，运用类比方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))图象上不同的两点，则类似地有结论(　　)
A.＞sin
B.＜sin
C.≥sin
D.≤sin
【解析】　画出y＝x2的图象，由已知得AB的中点恒在点的上方，画出y＝sin x，x∈(0，π)的图象可得A，B的中点恒在点的下方，故B正确．
【答案】　B
7．证明命题：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－.因为x>0，所以ex>1,0<<1.所以ex－>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是(　　)
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．以上都不是
【解析】　从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法．
【答案】　A
8．对“ a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】　若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．
【答案】　B
9．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出一般结论(　　)
A．f(2n)> B．f(n2)≥
C．f(2n)≥ D．以上都不对
【解析】　f(2)＝，f(4)＝f(22)>，f(8)＝f(23)>，f(16)＝f(24)>，f(32)＝f(25)>.
由此可推知f(2n)≥.故选C.
【答案】　C
10．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图1中a，b对应的运算是(　　)
图1
A．B*D，A*D B．B*D，A*C
C．B*C，A*D D．C*D，A*D
【解析】　根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆．由此可知选B.
【答案】　B
11．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28 B．76
C．123 D．199
【解析】　从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
【答案】　C
12．在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是(　　)
A．b4＋b8>b5＋b7 B．b4＋b8C．b4＋b7>b5＋b8 D．b4＋b7【解析】　在等差数列{an}中，由于4＋6＝3＋7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8因为b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7，
所以(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)
＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)
＝b1q3(q3－1)(q－1)．
因为q>1，bn>0，所以b4＋b8>b5＋b7.
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)
13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________．
【解析】　“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或x≤1且y≤1)．
【答案】　x，y均不大于1(或x≤1且y≤1)
14．如图2，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．
图2
【解析】　设第n个图形中有an个顶点，
则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，
an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.
【答案】　n2＋n
15．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
【解析】　因为(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab
＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0，
所以(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
所以lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
【答案】　≤
16．对于命题“如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝0”将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有_________．
【导学号：81092033】
【解析】　根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VO-BCD·＋VO-ACD·＋VO-ABD·＋VO-ABC·＝0.
【答案】　VO-BCD·＋VO-ACD·＋VO-ABD·＋VO-ABC·＝0
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)在平面几何中，对于Rt△ABC，∠C＝90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
(1)a2＋b2＝c2；
(2)cos2A＋cos2B＝1；
(3)Rt△ABC的外接圆半径r＝.
把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明．
【解】　在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．
(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则S＋S＋S＝S2.
(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球半径R＝.
18．(本题满分12分)设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.
【证明】　假设|f(1)|＜，|f(2)|＜，|f(3)|＜，
于是有－＜1＋a＋b＜， ①
－＜4＋2a＋b＜， ②
－＜9＋3a＋b＜， ③
①＋③，得－1＜10＋4a＋2b＜1，
所以－3＜8＋4a＋2b＜－1，
所以－＜4＋2a＋b＜－.
这与②－＜4＋2a＋b＜矛盾，
所以假设不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
19．(本小题满分12分)已知△ABC的三条边分别为a，b，c，且a>b，求证：<.
【证明】　依题意a>0，b>0，
所以1＋>0,1＋a＋b>0.
所以要证<，
只需证(1＋a＋b)<(1＋)(a＋b)，
只需证因为a>b，所以<2所以<.
20．(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，求a2，a3，a4，并猜想数列的通项公式，并给出证明．
【解】　数列{an}中，a1＝1，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝，…，
所以猜想{an}的通项公式an＝(n∈N*)．
此猜想正确．
证明如下：
因为a1＝1，an＋1＝，
所以＝＝＋，
即－＝，
所以数列是以＝1为首项，
公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)＝＋，
即通项公式an＝(n∈N*)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x2，x∈R.
(1)若正数m，n满足m·n>1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零；
(2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)＝f(b)，求证：a＋b<.
【证明】　(1)假设f(m)<0，f(n)<0，
即m3－m2<0，n3－n2<0，
∵m>0，n>0，
∴m－1<0，n－1<0，
∴0∴mn<1，这与m·n>1矛盾，
∴假设不成立，即f(m)，f(n)至少有一个不小于零．
(2)证明：由f(a)＝f(b)，得a3－a2＝b3－b2，
∴a3－b3＝a2－b2，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)(a＋b)，
∵a≠b，
∴a2＋ab＋b2＝a＋b，
∴(a＋b)2－(a＋b)＝ab<2，
∴(a＋b)2－(a＋b)<0，
解得a＋b<.
22．(本小题满分12分)如图3，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.
图3
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.
【解】　(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．
理由如下：
因为AD∥BC，BC＝AD，
所以BC∥AM，且BC＝AM.
所以四边形AMCB是平行四边形，
所以CM∥AB.
又AB?平面PAB，CM?平面PAB，
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，
因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，
所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.
因为AD∥BC，BC＝AD，M为AD的中点，连接BM，
所以BC∥MD，且BC＝MD，
所以四边形BCDM是平行四边形，
所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.
又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.
4.1　流程图
1．通过具体实例，进一步认识程序框图.
2．了解工序流程图．(重点)
3．会画简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　流程图及工序流程图
阅读教材P66～P69“例3”以上内容，完成下列问题．
1．流程图的定义
由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图．
2．说明
(1)流程图常用来表示一些动态过程．
(2)通常会有一个起点，一个或多个终点．
(3)程序框图是流程图的一种．
(4)通常按照从左到右、从上到下的顺序来画流程图．
3．工序流程图的定义
用于描述工业生产的流程图叫工序流程图．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)工序流程图的画法是唯一的．(　　)
(2)在流程图中，其基本单元之间用直线连接．(　　)
(3)工序流程图是流程图的一种．(　　)
【解析】　(1)错误．工序流程图的画法不是唯一的，因为有的工序可以没有先后顺序，可并列进行．
(2)错误．流程图的基本单元之间用流程线连接．
(3)正确．由工序流程图的定义可知，工序流程图是流程图的一种．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
教材整理2　流程图的构成及功能
阅读教材P70“思考”以下至P71内容，完成下列问题．
1．流程图通常用来描述一个过程性的活动．活动的每一个明确的步骤构成流程图的一个基本单元，基本单元之间通过流程线产生联系．
2．流程图可以比较直观地表达数学计算或证明过程中的主要思路．
下面是求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的流程图，则空白处应填________．
图4-1-1
【解析】　根据过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的定义知，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．故应填“x1＝x2？”．
【答案】　x1＝x2?
[小组合作型]
程序框图
　到银行办理个人异地汇款(不超过100万)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5 000元，一律收取50元手续费．设计算法求汇款额为x元时，银行收取的手续费y元，画出流程图．
【精彩点拨】　根据题意写出算法步骤，然后用流程图表示该算法即可．
【自主解答】　依题意知
y＝流程图如图所示．
程序框图的一般读法
(1)按照从左到右，从上到下的顺序．
(2)理清算法的输入、输出、条件、循环等基本单元，并注意各要素之间的流向是如何建立的．
(3)当程序框图中含有循环结构时需要首先明确循环的判断条件是什么，以便确定循环的次数．
[再练一题]
1．某市的士收费办法如下：不超过2.3公里收7元，超过2.3公里的里程每公里收2.6元，另每车次收燃油附加费1元(其他因素不考虑)．画出相应收费系统的程序框图．
【解】　设收费为y，
则y＝
程序框图如图所示．
工序流程图
　机床的大修有如下的工作项目：拆卸清洗，部件检查，零件加工，零件修理，床身和工作台研合，部件组装(不含电器)，变速器组装，试车．画出工序的流程图．
【精彩点拨】　解答本题可先明确各项工序之间的关系，再画出工序流程图．
【自主解答】　工序流程图如图所示．
画工序流程图的步骤
1．从需要管理的任务的总进度着眼，进行合理的工作或工序的划分．
2．明确各工作或工序之间的关系．即
(1)衔接关系，各工作或各工序之间的先后顺序．
(2)平等关系，各工作或各工序之间可以独立进行，根据实际情况，可以安排它们同时进行．
(3)交叉关系，一次工作或工序进行时，另外一些工作或工序可以穿插进行．
3．根据各工作或各工序所需要的工时进行统筹安排．
4．开始时流程图可以画得粗疏，然后再对每一框进行逐步细化．
特别地：在程序框图中允许有闭合回路，而在工序流程图中不允许有闭合回路．
[再练一题]
2．高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间申请查分：
(1)本人填写《查分登记表》，交县(区)招办申请查分，县(区)招办呈交市招办，再报省招办；
(2)省招办复查，无误，则查分工作结束后通知；有误，则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知；
(3)市招办接通知，再由县(区)招办通知考生．
试画出该事件流程图. 【导学号：81092057】
【解】　流程图如下：
[探究共研型]
流程图的综合应用
探究1　工序流程图具有什么特点？
【提示】　工序流程图不仅具有简单明了、直观形象等优点，而且能够清晰地展示工序的流程顺序，从而为安排工程作业进度，分配工程作业人员，节省时间、提高效率、缩短工期提供了帮助．
探究2　流程图和程序框图有什么联系和区别？
【提示】　(1)流程图的范围更广一些，程序框图是流程图的一种．
(2)程序框图是辅助程序员编写计算机程序的算法流程图，也是计算机程序执行的流程图．程序框图有一定的书写标准，而一般流程图的书写则相对比较自由．
　如图4-1-2是2016年山东各类成人高考学校招生网上报名流程图．试叙述一名考生报名时所要做的工作．
【精彩点拨】　→→
【自主解答】　要完成报名，需依次做好以下工作：
(1)网上登记，阅读报名须知．
(2)填写考生报名身份证号码，并查看该身份证号码是否已登记．(若未登记，则不允许报名，需重新填写身份证号码)
(3)填写《山东省2016年各类成人高考学校招生网上报名登记表》，并检查信息是否有效．(若无效需重新填写登记表)
(4)确定报名成功．
1．阅读流程图，获取信息是流程图应用的主要体现，通过流程图可知问题如何解决，有哪些步骤，需要注意哪些方面，也可以整体把握某问题解决的流程以进行优化，尤其对工序流程图应用更多．
2．应用流程图应把握的三个关键点：
(1)首先找到所需要的基本单元，理解每一个基本单元的意义．
(2)明确该单元的流向．
(3)若该单元的流向有多个，应选择最佳路线．
[再练一题]
3．联通公司某一段时期推出10011电话查询服务，其中话费查询业务流程图如图4-1-3所示．
图4-1-3
根据流程图，用语言文字描述这一过程．
【解】　拨通10011电话，若按1，则查询本机，若再按1，则查询当前话费；在按1查询本机后，再按2，则查询话费余额；在按1查询本机后，再按3，则查询月结话费；在按1查询本机后，再按4，则传真话费详单．拨通10011电话，若按2，则查询其他手机，然后输入被查询的手机号码，之后输入手机密码即可．
1．表示旅客搭乘火车的流程正确的是(　　)
A．买票→侯车→上车→检票
B．侯车→买票→上车→检票
C．买票→侯车→检票→上车
D．侯车→买票→检票→上车
【解析】　根据生活经验知选C.
【答案】　C
2．程序框图中的判断框，有一个入口和(　　)
【导学号：81092058】
A．一个出口 B．两个出口
C．三个出口 D．四个出口
【解析】　判断框里的条件的结果只有两种：是或否，所以有两个出口．
【答案】　B
3．如图4-1-4，某人拨通了客服电话，准备手机充值须如下操作(　　)
图4-1-4
A．1－5－1－1 B．1－5－1－5
C．1－5－2－3 D．1－5－2－1
【解析】　由流程图所示的操作流程可知答案为D.
【答案】　D
4．某工程的工序流程图如图4-1-5，则该工程的总工时为________天．
图4-1-5
【解析】　因为各个不同工序中用时最多的是①→②→④→⑥→⑦，即9天．
【答案】　9
5．某保险公司业务流程如下：保户投保、填单交费、公司承保、出具保单、保户提赔、公司勘查：同意，则赔偿，否则拒赔．画出该公司的业务流程图．
【解】　业务流程图如下：
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图4-1-6所示流程图中，判断正整数x是奇数还是偶数，判断框内的条件是(　　)
图4-1-6
A．余数是1？ B．余数是0?
C．余数是3? D．余数不为0?
【解析】　依据判断框的出口进行选择，出口为“是”时x为偶数．故判断框内应该填“余数是0？”．
【答案】　B
2．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是(　　)
A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→b
C．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e
【解析】　依题意知发送电子邮件的步骤应是：a→e→b→c→d→f.
【答案】　C
3．如图4-1-7，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是(　　)
【导学号：81092059】
图4-1-7
A．26 B．24
C．20 D．19
【解析】　由A→B有4条路线，4条路线单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
【答案】　D
4．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为
(　　)
A．17分钟 B．19分钟
C．23分钟 D．27分钟
【解析】　把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用5＋4＋8＝17(分钟)．
【答案】　A
5．阅读下边的程序框图4-1-8，运行相应的程序，则输出S的值为(　　)
图4-1-8
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】　S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；
n＝2不满足n>3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；
n＝3不满足n>3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4；
n＝4满足n>3，输出S＝4.故选B.
【答案】　B
二、填空题
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的面积为S＝πab，当a＝4，b＝2时，计算椭圆面积的流程图如图4-1-9所示，则空白处应为________. 【导学号：81092060】
图4-1-9
【解析】　由S＝πab知，需要a，b的值，由已知a＝4，b＝2，而且用的是框，故为赋值．
【答案】　a＝4，b＝2
7．如图4-1-10是计算1＋＋＋…＋的程序框图，判断框中应填的内容是________，处理框中应填的内容是________．
图4-1-10
【解析】　用i来表示计数变量，故判断框内为“i>99？”，处理框内为“i＝i＋2”．
【答案】　i>99？　i＝i＋2
8．执行如图4-1-11所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．
图4-1-11
【解析】　第1次循环：a＝0＋1＝1，b＝9－1＝8，a第2次循环：a＝1＋2＝3，b＝8－2＝6，a第3次循环：a＝3＋3＝6，b＝6－3＝3，a>b，输出i＝3.
【答案】　3
三、解答题
9．设计一个计算1＋2＋…＋100的值的程序框图．
【解】　程序框图设计如下：
10．数学建模过程的流程图如图4-1-12.
图4-1-12
根据这个流程图，说明数学建模的过程．
【解】　数学建模的过程：根据实际情境提出问题，从而建立数学模型得出数学结果，然后检验是否合乎实际，如果不合乎实际，进行修改后重新提出问题．如果合乎实际，则成为可用的结果．
[能力提升]
1．某工厂加工某种零件的工序流程图如图4-1-13：
图4-1-13
按照这个工序流程图，一件成品至少经过几道加工和检验程序(　　)
A．3　　　 B．4　　　
C．5　　　 D．6
【解析】　由流程图可知加工零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工，每道工序完成都要对产品进行检验，粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品．由上可知一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、最后检验四道程序．
【答案】　B
2．执行两次如图4-1-14所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为(　　)
图4-1-14
A．0.2,0.2 B．0.2,0.8
C．0.8,0.2 D．0.8,0.8
【解析】　第一次：a＝－1.2<0，a＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2<0，a＝－0.2＋1＝0.8>0，a＝0.8≥1不成立，输出0.8.
第二次：a＝1.2<0不成立，a＝1.2≥1成立，a＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2.
【答案】　C
3．如图4-1-15所示算法程序框图中，令a＝tan 315°，b＝sin 315°，c＝cos 315°，则输出结果为________. 【导学号：81092061】
图4-1-15
【解析】　程序框图的算法是求出a，b，c三个数中的最大值．对于tan 315°＝－1，sin 315°＝－，cos 315°＝，故输出的结果为.
【答案】　
4．某市环境保护局信访工作流程如下：
(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办；
(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈；
(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．
据上画出该局信访工作流程图．
【解】　流程图如图所示．
4.2　结构图
1．通过具体实例，了解结构图．
2．会画简单问题的结构图，体会结构图在揭示事物联系中的作用．(重点)
3．能够解读结构图，并灵活运用结构图．(难点)
[基础·初探]
教材整理　结构图的概念及分类
阅读教材P74～P78“练习”以上内容，完成下列问题．
1．结构图的概念
结构图是一种描述系统结构的图示，一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成，各要素之间是从属关系或逻辑的先后关系．
2．结构图的分类
(1)按功能分类．
(2)按结构图形状分类，可分为“环”形结构图和“树”形结构图．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)构成结构图的要素是确定不变的．(　　)
(2)结构图中连线都是线段．(　　)
(3)结构图和流程图刻画的都是一个动态的过程．(　　)
【解析】　(1)错误．构成结构图的要素不是确定的，因为根据具体的要求，结构图可以画的粗疏，也可以画的详细．
(2)错误．当要素之间是从属关系时，连线一般为线段，当要素之间是逻辑的先后关系时，连线一般为方向箭头．
(3)错误．结构图刻画的是一个系统的静态结构，而流程图刻画的则是一个动态过程．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
[小组合作型]
知识结构图
　用结构图描述《数学1》第2章“基本初等函数(Ⅰ)”的知识结构．
【精彩点拨】　明确本章内容之间的并列关系、从属关系，再绘制结构图．
【自主解答】　由该章内容可画结构图如图所示．
1．画知识结构图一般步骤
(1)理清各部分内容之间的并列或从属等关系．
(2)从头开始，抓住主要脉络进行粗略分解．
(3)对每一主干脉络进一步细化，形成一个个小知识点．
(4)将所有大小知识点写在矩形框内，按照内在逻辑顺序将其排列，再用连线或方向箭头连接．
2．知识结构图呈现原则是(外在形式)
(1)从上到下、从左到右．
(2)从属关系多用“树”形结构，逻辑先后关系多用“环”形结构．
(3)要反映主干知识间关系时，要简略；反之要详细．
[再练一题]
1．设计一个结构图，来表示“推理与证明”这一章的知识结构．
【解】　如图所示．
组织结构图
　某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理．执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理．生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．试绘制此组织结构图．
【精彩点拨】　由题意可知该公司的组织以总经理为首，直接领导执行经理、人事经理和财务经理，以此类推，把相应的下属部门画在上属部门的“下位”．
【自主解答】　如图所示．
绘制组织结构图的方法
绘制组织结构图，首先要明确一个组织有哪些部门以及这些部门之间的关系，从属关系通常呈“树”形结构，各组织部门之间用线段连接，不需要带箭头．
[再练一题]
2．某校学生会由学生会主席管理下属两个副主席，而两个副主席又分别管理生活、学习、宣传和体育、文艺、纪检部门，各部门又由部长管理本部门．试画出该学生会的组织结构图. 【导学号：81092062】
【解】　组织结构图如图．
[探究共研型]
结构图的综合应用
探究1　如何确定结构图中各要素之间的关系？
【提示】　上、下位要素之间是从属或逻辑先后关系．同一要素的下位要素一般是并列关系．
探究2　结构图与流程图有什么区别？
【提示】　流程图描述动态过程，结构图刻画系统结构．流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”．其基本单元之间由流程线连接；结构图则更多地表现为“树”形或“环”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系．
探究3　某期货商会组织结构图如图4-2-1所示．
图4-2-1
其中理事会的上一级是什么？
【提示】　会长办公会和会员代表大会．
　以下为某集团组织结构图，请据图4-2-2分析财务部和人力资源部的隶属关系．
图4-2-2
【精彩点拨】　→→→
【自主解答】　由组织结构图可分析得：
财务部直属总裁管理；而总裁又由董事长管理，董事长服从于董事会管理．
人力资源部由董事长助理直接管理，董事长助理又由董事长管理，董事长又服从于董事会管理，董事会是最高管理部门．
分析结构图时，可按画结构图时的顺序：从上而下或从左到右去浏览、分析，注意各要素之间的并列与从属关系，有箭头的连线要特别注意.
[再练一题]
3．如图4-2-3所示是某食品公司的组织结构图，你能从中得到哪些信息？
图4-2-3
【解】　由组织结构图可知：
总经理位居最高领导位置、直接领导管理部、采购部、生产部、品管部、营销部五个部门，其中生产部下设加工车间、包装车间、化验室、库房、客户中心．
1．下列结构图要素之间表示从属关系的是(　　)
A.→→→
B.
C.
D.―→
【解析】　A、B、D均属于逻辑关系，只有C为从属关系．
【答案】　C
2．如图4-2-4是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在(　　)
图4-2-4
A．“集合的概念”的下位
B．“集合的表示”的下位
C．“基本关系”的下位
D．“基本运算”的下位
【解析】　子集属于集合的基本关系中的概念．
【答案】　C
3．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是(　　)
【解析】　函数的定义域、值域、对应法则是并列关系，与函数是从属关系，故结构图为A.
【答案】　A
4．在图4-2-5中，“求简单函数的导数”的“上位”要素有________个.
【导学号：81092063】
图4-2-5
【解析】　由题意可知，有“基本导数公式”和“函数四则运算求导法则”，共2个．
【答案】　2
5．选修1－2包含四章内容：统计案例、推理与证明、复数、框图．统计案例一章有两个部分：回归分析、独立性检验，而回归分析这个部分有三个小节：回归分析、相关系数、可线性化的回归分析．推理与证明一章有四个部分：归纳与类比、数学证明、综合法和分析法、反证法．复数一章包含两个部分：数系的扩充与复数的引入、复数的四则运算，其中复数的四则运算有两个小节：复数的加法与减法、复数的乘法与除法．请你根据以上叙述画出选修1－2的知识结构图.
【解】　
选修1－2的知识结构图：
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列关于结构图的说法不正确的是(　　)
A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系和逻辑上的先后关系
B．结构图都是“树形”结构
C．简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系
【解析】　结构图是指以模块的调用关系为线索，用自上而下的连线表示调用关系并注明参数传递的方向和内容，从宏观上反映软件层次结构的图形．
A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系和逻辑上的先后关系，正确；
B．结构图不一定都是“树形”结构，错误；
C．简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点，正确；
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系，正确．
【答案】　B
2．如下所示的框图中是结构图的是(　　)
A.→→→
C.→→→
【解析】　A，B，C都是表达了完成某一件事情的流程图，而不是结构图；
只有D表达了高考文科所包含的考试科目，体现了总—分的关系，故是结构图．故选D.
【答案】　D
3．如图4-2-6是某工厂的组织结构图，由图可以知道，工厂办公室所管辖的科室有(　　) 【导学号：81092064】
图4-2-6
A．销售科、后勤科、宣传科
B．汽车队、接待科、宣传科
C．生产部、销售科、后勤科
D．生产部、汽车队、宣传科
【解析】　由结构图可知工厂办公室的“下位”要素共有3个，分别为汽车队、接待科、宣传科．
【答案】　B
4．如图4-2-7是人教A版选修1－2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“三段论”，那么应该放在图中(　　)
图4-2-7
A．“①”处　 B．“②”处
C．“③”处 D．“④”处
【解析】　三段论是演绎推理的内容，因此应放在“②”处．
【答案】　B
5．把平面内两条直线的位置关系填入结构图4-2-8中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是(　　)
图4-2-8
①平行；②垂直；③相交；④斜交．
A．①②③④ B．①④②③
C．①③②④ D．②①④③
【解析】　平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．
【答案】　C
二、填空题
6．按边对三角形进行分类的结构图为：
图4-2-9
则①处应填入________．
【解析】　等腰三角形又可分为“等边三角形”和“腰和底边不等的等腰三角形”两类．
【答案】　等边三角形
7．如图4-2-10所示的结构图中，进一步细化时，二面角应放在________的下位．
图4-2-10
【解析】　二面角反映的是两平面的位置关系，应放在“平面与平面”的下位．
【答案】　平面与平面
8．在工商管理学中，MRP(Material Requirement Planning)指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图4-2-11所示：
图4-2-11
从图中可以看出，基本MRP直接受________、________
和________的影响．
【解析】　由图看出箭头指向基本MRP的有三点：产品结构、主生产计划、库存状态．
【答案】　产品结构　主生产计划　库存状态
三、解答题
9．目前我省高考科目为文科考：语文，数学(文科)，英语，文科综合(政治、历史、地理)；理科考：语文，数学(理科)，英语，理科综合(物理、化学、生物)．请画出我省高考科目结构图. 【导学号：81092065】
【解】　
10．某大学的学校组织结构图如图4-2-12所示，由图回答下列问题：
图4-2-12
(1)学生工作处的“下位”要素是什么？
(2)学生工作处与其“下位”要素是什么关系？
【解】　(1)由图可知学生工作处的“下位”要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．
(2)学生工作处与其“下位”要素的关系是从属关系．
[能力提升]
1．下列结构图中，体现各要素之间是逻辑先后关系的是(　　)
C.——
【解析】　C选项中的结构图表达了从整数指数幂到无理指数幂的发展过程与顺序，体现的是各要素间的逻辑先后关系，故选C.
【答案】　C
2．如图4-2-13是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有(　　)
图4-2-13
A．1个　　　 B．2个　　　
C．3个　　　 D．4个
【解析】　影响“计划”的主要要素应是三个“上位”要素，有“政府行为”，“策划部”，“社会需求”．
【答案】　C
3．在平面几何中，特殊四边形的分类关系可用以下框图描述：
图4-2-14
则在①中应填入________；在②中应填入________．
【解析】　结合①的条件可知：有一组邻边相等的平行四边形为菱形，故①处应填菱形．结合②的条件可知：两腰相等的梯形叫等腰梯形，故②处应填等腰梯形．
【答案】　菱形　等腰梯形
4．据有关人士预测，我国居民的消费正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民消费热点是商品住房、小轿车、新型食品、服务消费和文化消费；农村居民消费热点是住房、家电，试设计表示我国居民消费情况的结构图．
【解】　结构图如图所示．
第四章 框图
[自我校对]
①流程图　②工序流程图　
③结构图　④组织结构图
　
　程序框图
画程序框图的规则：使用标准的框图符号；框图一般按从上到下，从左到右的方向画；除判断框外，大多数程序框图的符号只有一个进入点和一个退出点，而判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．
　公历规定：如果年份数字被4整除而不被100整除，就是闰年；如果年份数字被400整除，也是闰年；其余的都不是闰年．用程序框图表示出这个规则．
【精彩点拨】　解答本题可先确定算法步骤，再依据算法步骤画程序框图．
【规范解答】　算法步骤：第一步　输入年份；
第二步　逐一判断该年份能否被4，被100，被400整除；
第三步　根据规则，输出结果．
程序框图：
[再练一题]
1．执行如图4-1所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为(　　)
A．1　　　 B．2
C．3 D．4
图4-1
【解析】　开始a＝1，b＝1，k＝0；
第一次循环a＝－，k＝1；
第二次循环a＝－2，k＝2；
第三次循环a＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k＝2.
【答案】　B
　工序流程图
画工序流程图时，应先理清工序大体分几个阶段，再对每一阶段细分．每一步应注意先后顺序，否则会产生错误．在实际生产中，对于图中的流程，还会再细分并添加必要的条件进行处理．
　在工业上用黄铁矿制取硫酸大致经过三道程序：造气、接触氧化和SO3的吸收．造气，即黄铁矿与空气在沸腾炉中反应产生SO2，矿渣作废物处理，SO2再经过净化处理；接触氧化，是使SO2在接触室中反应产生SO3和SO2，其中SO2再循环进行接触氧化；吸收阶段，是SO3在吸收塔内反应产生硫酸和废气．请根据上述简介，画出制备硫酸的工序流程图．
【精彩点拨】　按照生产工序的先后顺序分阶段绘制．
【规范解答】　按照工序要求，可以画出如图所示的工序流程图．
[再练一题]
2．“十一”黄金周即将到来，小强一家准备通过旅游公司到张家界旅游，联系旅行社的任务由小强完成，小强为了详细了解景色、费用、居住、饮食、交通等方面的信息，想在打电话之前画一个电话咨询的流程图，请你帮他完成．
【解】　电话咨询的流程图如图所示．
　结构图
结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线构成．一般用图框和文字说明表示系统的各要素，各图框之间用连线或方向箭头连接起来．
结构图的书写顺序是：根据系统各要素的具体内容，按照从上到下、从左到右的顺序或箭头所指的方向将各要素划分为从属关系或逻辑的先后关系．
　已知某公司设有总经理、总工程师、专家办公室、咨询部、监理部、信息部、开发部、财务计划部、后勤部、编辑部．在一个公司里总经理居最高的领导位置，总工程师和专家办公室为总经理提供参考意见，总经理直接管理下属部门，请画出其组织结构图．
【精彩点拨】　解答本题可按照已知的各部门间的关系从左到右、从上到下画出结构图．
【规范解答】　公司的组织结构图如图所示：
[再练一题]
3．一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能：
(1)用户管理：能够修改密码，显示用户信息，修改用户信息；
(2)用户登录；
(3)名片管理：能够对名片进行删除、添加、修改、查询；
(4)出错信息处理．
根据以上要求画出该系统的结构图．
【解】　结构图如图所示．
　转化与化归思想
应用循环结构解决问题时，特别注意两个变量(累积变量和计数变量)的初始值，及计数变量到底是什么，它递加的值是多大；还要特别注意判断框中计数变量的取值限制，含还是不含等号，用“>”“<”，还是用“≤”“≥”，它们的含义是不同的．另外，不要漏掉流程线的箭头以及与判断框相连的流程线上的标志“是”或“否”．
　画出求12－22＋32－42＋…＋992－1002值的算法程序框图.
【导学号：81092066】
【精彩点拨】　本题是一个有规律的求和问题，故可用循环结构进行算法设计，考虑到其中正负号间隔，奇数项为正，偶数项为负，因此可再利用条件结构对此进行判断．
【规范解答】　算法的程序图如图所示：
[再练一题]
4．已知数列{an}的递推公式an＝＋an－1，且a1＝1，请画出求其前5项的流程图．
【解】　求其前5项的流程图如图所示：
1．执行下面的程序框图4-2，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)
A．y＝2x　 B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
图4-2
【解析】　输入x＝0，y＝1，n＝1，运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，输出x＝，y＝6.由于点在直线y＝4x上，故选C.
【答案】　C
2．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图4-3是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝(　　)
A．7 B．12
C．17 D．34
图4-3
【解析】　因为输入的x＝2，n＝2，所以k＝3时循环终止，输出s.根据程序框图可得循环体中a，s，k的值依次为2,2,1(第一次循环)；2,6,2(第二次循环)；5,17,3(第三次循环)．所以输出的s＝17.
【答案】　C
3．执行下面的程序框图4-4，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝(　　)
图4-4
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】　程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.
此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B.
【答案】　B
4．执行如图4-5所示的程序框图，输出的s值为(　　)
图4-5
A．8 B．9
C．27 D．36
【解析】　k＝0，s＝0，满足k≤2；s＝0，k＝1，满足k≤2；
s＝1，k＝2，满足k≤2；
s＝1＋23＝9，k＝3，不满足k≤2，输出s＝9.
【答案】　B
5．执行如图4-6所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．
图4-6
【解析】　第一次循环：S＝－1,1<3，i＝2；
第二次循环：S＝－1,2<3，i＝3；
第三次循环：S＝－1＝1,3≥3，输出S＝1.
【答案】　1
章末综合测评(四)　框图
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用(　　)
A．程序框图　 B．工序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
【解析】　这是设计生产过程，应为工序流程图，选B.
【答案】　B
2．在下面的图示中，是结构图的是(　　)
A.→→→
C.
D.
【解析】　A是流程图；C是图表；D是图示；B是知识结构图．
【答案】　B
3．如图1是一结构图，在处应填入(　　)
图1
A．图象变换 B．奇偶性
C．对称性 D．解析式
【解析】　函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，故选B.
【答案】　B
4．阅读如图2所示的知识结构图：
图2
“求简单函数的导数”的“上位”要素有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】　“上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．
【答案】　C
5．某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图3所示：
图3
从图中可知在审查过程中可能不被通过审查的环节有________处．
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　该题是一个实际问题，由审查流程图可知有3个判断框，即3处可能不被审查通过，故选C.
【答案】　C
6．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是(　　)
【解析】　由学校教职工组织结构易知选A.
【答案】　A
7．执行如图4所示的程序框图，若输出的S＝18，则判断框内应填入的条件是(　　)
图4
A．k＞2? B．k＞3?
C．k＞4? D．k＞5?
【解析】　第一次运行：k＝2，S＝0＋2＝2；第二次运行：k＝3，S＝2×2＋3＝7；第三次运行：k＝4，S＝2×7＋4＝18，此时输出结果，满足条件．结合选项可知应填“k＞3？”，故选B.
【答案】　B
8．如图5是“向量的线性运算”知识结构图，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在(　　) 【导学号：81092067】
图5
A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位
B．“向量的加减法”中“运算律”的下位
C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位
D．“向量的数乘”中“运算律”的下位
【解析】　因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．
【答案】　A
9．执行如图6的程序框图，如果输入的N＝100，则输出的X＝(　　)
A．0.95 B．0.98
C．0.99 D．1.00
图6
【解析】　由程序框图知，输出X＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝0.99.
【答案】　C
10．如图7所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是(　　)
图7
A．设备安装 B．土建设计
C．厂房土建 D．工程设计
【解析】　结合工序流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．
【答案】　A
11．执行如图8所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于
(　　)
图8
A．[－6，－2] B．[－5，－1]
C．[－4,5] D．[－3,6]
【解析】　由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1【答案】　D
12．执行如图9所示的程序框图，输出S的值为(　　)
图9
A. B.
C. D.
【解析】　由赋值语句S＝S＋2ncos nπ以及n＝n＋1可知，该程序框图的功能就是求数列{2ncos nπ}的和，由判断框内的语句n≤100与流程线指向可知，输出的结果就是该数列的前100项和．记an＝2ncos nπ＝2n×(－1)n＝(－2)n，显然数列{an}是一个首项a1＝－2，公比q＝－2的等比数列，故其前100项的和S＝＝(2100－1)＝.
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)
13．在组织结构图中，一般采用________形结构绘制，它直观、容易理解，被应用于很多领域．
【解析】　组织结构图一般采用“树”形结构．
【答案】　“树”
14．如图10为有关函数的结构图，由图我们可以知道基本初等函数包括________．
图10
【解析】　基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数三种．
【答案】　指数函数、对数函数、幂函数
15．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的天数最大是________. 【导学号：81092069】
【解析】　由题意可画出工序流程图如图所示：
∴2＋x＋4≤9，∴x≤3.
【答案】　3
16．执行如图11所示的程序框图，输出的结果是________．
图11
【解析】　第一次循环后，S＝1，i＝2；第二次循环后，S＝5，i＝3，第三次循环后，S＝32，i＝4；第四次循环后，S＝48，i＝5；第五次循环后，S＝173，i＝6.故输出的结果为173.
【答案】　173
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)画出求平方值小于2 000的最大整数的程序框图．
【解】　如图：
18．(本小题满分12分)某公司局域网设置如下：经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员通过服务器与外部连接．试画出该公司局域网设置的结构图．
【解】　该公司局域网设置的结构图如图所示．
19．(本小题满分12分)写出《数学(必修3)》第1章“统计”的知识结构图．
【解】　
20．(本小题满分12分)阅读如图12所示的结构图：
图12
试根据此结构图阐述“圆锥曲线与方程”知识的逻辑关系．
【解】　先由椭圆的实际背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，然后是椭圆的简单应用．
再由双曲线的实际背景引出双曲线的定义，用坐标法
由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，然后是双曲线的简单应用．
最后由抛物线的实际背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，然后是抛物线的简单应用．
21．(本小题满分12分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数)，某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)，验票统计．
若有得票多者，则选为班长，若票数相同由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．
【解】　选举过程流程图为：
22．(本小题满分12分)某公司组织结构中的部门及关系有：股东大会为一切政策制订和计划实施的最终审批机构，其下有董事会为其负责，监事会为董事会提供顾问和决策建议，董事会下设总经理管理日常工作，总经理直接领导综合办公室的工作，由综合办公室再去管理其他各部门的工作，有职能管理部门，管理人力企划部、计财部、监察审计部，市场营销部门又下辖市场开拓部、采购部、集团客户部，工程部门负责工程部、后勤部、售后服务部的工作，技术研发部门管理产品开发部、技术支援部．
根据以上信息，绘制出其组织结构图．
【解】　该公司组织结构图如下：