4.4 平行线的判定（1）同步练习
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4.4 平行线的判定（1）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1. 两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．
2.利用同位角的关系来判定 两直线平行时,一定要弄清这些角是由哪两条直线被哪条直线所截得的,从而得出被截线平行．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．已知如图直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3 C. ∠1=∠4 D. ∠2+∠5=180°
2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判断直线a，b平行的是( )
A. ∠2＝∠3 B. ∠1＝∠4 C. ∠1＋∠3＝180° D. ∠1＋∠4＝180°
3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠4 C. ∠3+∠4=180° D. ∠2=30°，∠4=35°
4．下列图形中，已知∠1=∠2，则可得到AB∥CD的是( )
A. B. C. D.
5．如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=55°，下列条件中能判定AB∥CD的是（ ）
A. ∠2=35° B. ∠2=45° C. ∠2=55° D. ∠2=125°
6．如图，图中给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据的是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 内错角相等，两直线平行 D. 同平行于一条直线的两直线平行
二、填空题
7．如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1=∠2，∠3=∠4，则a与c平行吗 为什么
解：a与c平行；
理由：因为∠1=∠2（____）
所以a//b（_______________）
因为∠3=∠4 （________）
所以b//c（_____________）
所以a//c（_____________）
8．如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=50°，则∠2=______
9．如图，两直线a．b被第三条直线c所截，若∠1=50°，∠2=130°，则直线a．b的位置关系是____________ ．
10．如图，已知∠B=∠D，要使BE∥DF，还需补充一个条件，你认为这个条件应该是_____．（填一个条件即可）
11．如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转_____度．
12．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线________ ．
（1）它的理由如下：（如图1）
∵b⊥a，c⊥a，∴∠1=∠2=90°，
∴b∥c________
（2）如图2是木工师傅使用角尺画平行线，有什么道理？________ ．
三、解答题
13．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=15°，∠2=15°，AE与BF平行吗？为什么？
14．如图所示，EF⊥BD，垂足为E，∠1＝50°，∠2＝40°，试判断AB与CD是否平行，并说明理由．
15．如图，已知∠1=50°，∠2=130°，且BD∥CE，AC与DF平行吗？为什么？
16．如图，∠AEF=∠B，∠FEC=∠GHB，HG⊥AB于G，求证：CE⊥AB．
17．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠D NF，∠1＝∠2，求证MQ∥NP.
18．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于点O，∠DOF+∠A =180°.
（1）求证:AE//OF
（2）若∠A=30°，求证:OD平分∠AOG．
参考答案
1．A
【解析】试题解析：∵∠1=∠2，
∴a∥b；
故选A．
2．D
【解析】试题解析：A、根据“同位角相等，两直线平行”可以判定a∥b，故本选项不符合题意；
B、根据“同位角相等，两直线平行”可以判定a∥b，故本选项不符合题意；
C、根据“同位角相等，两直线平行”不可以判定a∥b，故本选项符合题意；
D、根据“∠1＋∠4＝180°”不能判定a∥b，故本选项不符合题意；
故选D．
3．B
【解析】∠1＝∠4, a∥b,同位角相等，两直线平行.选B.
4．B
【解析】先确定两角之间的位置关系，再根据平行线的判定来确定是否平行，以及哪两条直线平行．
解：A、∠1和∠2的对顶角是同位角，又相等，所以AB∥CD，此选项正确；
B、∠1和∠2的对顶角是同位角，又相等，所以AB∥CD，此选项正确；
C、∠1和∠2的是内错角，又相等，故AC∥BD，不是AB∥CD，此选项错误；
D、∠1和∠2互为同旁内角，同旁内角相等两直线不平行，此选项错误．
故选B．
5．C
【解析】试题分析：A、由∠3＝∠2＝35°，∠1＝55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
B、由∠3＝∠2＝45°，∠1＝55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
C、由∠3＝∠2＝55°，∠1＝55°推知∠1＝∠3，故能判定AB∥CD，故本选项正确；
D、由∠3＝∠2＝125°，∠1＝55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
故选：C．
点睛：本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
6．A
【解析】试题解析：由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行，
故选A
7．已知 同位角相等，两直线平行 已知 同位角相等，两直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行
【解析】a∥c，理由如下：
∵∠1=∠2（已知），
∴a//b（同位角相等，两直线平行），
∵∠3=∠4 （已知），
∴b//c（同位角相等，两直线平行），
∴a//c（平行于同一条直线的两条直线平行）.
故答案为已知；同位角相等，两直线平行；已知；同位角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行.
点睛：掌握平行线的性质和判定定理.
8．130°
【解析】试题解析：如图，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=50°，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-50°=130°．
9．a∥b．
【解析】因为∠2=130°，所以∠3=50°，∠1=50°,所以a∥b．
故答案为a∥b．
10．∠B=∠COE
【解析】试题解析：
若
则
BE∥DF，
故答案为：
11．12
【解析】试题解析：∵OD∥AC，
故答案为：12.
12． 平行 同位角相等，两条直线平行 垂直于同一条直线的两条直线平行
【解析】试题解析：∵在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，
∴这两条直线互相平行．
故答案为：平行；
（1）∵b⊥a，c⊥a，∴∠1=∠2=90°，
∴b∥c（同位角相等，两条直线平行）．
故答案为：同位角相等，两条直线平行；
（2）垂直于同一条直线的两条直线平行，
故答案为：垂直于同一条直线的两条直线平行．
13．AE∥BF
【解析】试题分析：只要判定根据同位角相等，两直线平行即可判定.
试题解析：
AE∥ BF．
理由如下：
因为（已知），
所以（垂直的定义）．
因为（已知），
所以 （等式的性质），
即
所以AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
14．AB与CD平行，理由见解析.
【解析】试题分析：首先根据垂直的定义求出∠D的度数，再根据同位角相等，证明两直线平行．
试题解析：AB与CD平行．
理由：∵EF⊥BD，
∴∠FED＝90°，
∴∠D＝90°－∠1＝40°，
∴∠2＝∠D，
∴AB∥CD.
15．平行 理由：见解析
【解析】试题分析：
由BD∥CE，可得∠C=∠1=50°，由∠2=130°可得∠DEG=50°，则∠C=∠DEG，即可求解.
解：AC∥DF，理由如下：
因为BD∥CE，所以∠1=∠C.
因为∠1=50°，所以∠C=50°.
因为∠2+∠DEG=180°，∠2=130°，所以∠DEG=50°，
所以∠C=∠DEG，
所以AC∥DF.
16．证明见解析.
【解析】试题分析：由条件可证明FE∥BC，得到角之间的关系，从而可证得HG∥CE，可得出结论．
试题解析：证明：∵∠AEF=∠B，
∴EF∥BC，
∴∠FEC=∠BCE=∠GHB，
∴GH∥CE，
∴∠CEB=∠BGH，
∵HG⊥AB，
∴∠CEB=∠BGH，
∴CE⊥AB
17．证明见解析
【解析】试题分析：由已知结合等式的性质，可得∠PNF=∠QMN，根据同位角相等，两直线平行可得MQ∥NP．
试题解析：∵ ∠BMN＝∠D NF，∠1＝∠2
∴∠BMN+∠1＝∠D NF+∠2
即∠QMN＝∠PNF
∴MQ∥NP
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）易证∠COF =∠A，由OF平分∠BOC得∠BOF=∠COF，所以∠FOB=∠A，从而可证；
（2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即可得解．
试题解析：（1）∵∠DOF+∠COF=180° ，
∵∠DOF+∠A =180°，
∴∠COF =∠A
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=∠COF，
∴∠FOB=∠A
∴AE∥OF；......4分
（2）由（1）可知，∠FOB=∠A
∵∠A=30°
∴∠FOB=30°
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=∠BOF=30°
∵OF⊥OG，
∴∠FOG=90°，
∴∠DOG=∠DOC-∠FOG-∠COF =150°-90°-30°=60°，
∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°，
∴∠AOD=∠DOG，
∴OD平分∠AOG．
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4.4 平行线的判定（1）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1. 两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．
2.利用同位角的关系来判定 两直线平行时,一定要弄清这些角是由哪两条直线被哪条直线所截得的,从而得出被截线平行．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．已知如图直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3 C. ∠1=∠4 D. ∠2+∠5=180°
2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判断直线a，b平行的是( )
A. ∠2＝∠3 B. ∠1＝∠4 C. ∠1＋∠3＝180° D. ∠1＋∠4＝180°
3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠4 C. ∠3+∠4=180° D. ∠2=30°，∠4=35°
4．下列图形中，已知∠1=∠2，则可得到AB∥CD的是( )
A. B. C. D.
5．如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=55°，下列条件中能判定AB∥CD的是（ ）
A. ∠2=35° B. ∠2=45° C. ∠2=55° D. ∠2=125°
6．如图，图中给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据的是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 内错角相等，两直线平行 D. 同平行于一条直线的两直线平行
二、填空题
7．如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1=∠2，∠3=∠4，则a与c平行吗 为什么
解：a与c平行；
理由：因为∠1=∠2（____）
所以a//b（_______________）
因为∠3=∠4 （________）
所以b//c（_____________）
所以a//c（_____________）
8．如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=50°，则∠2=______
9．如图，两直线a．b被第三条直线c所截，若∠1=50°，∠2=130°，则直线a．b的位置关系是____________ ．
10．如图，已知∠B=∠D，要使BE∥DF，还需补充一个条件，你认为这个条件应该是_____．（填一个条件即可）
11．如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转_____度．
12．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线________ ．
（1）它的理由如下：（如图1）
∵b⊥a，c⊥a，∴∠1=∠2=90°，
∴b∥c________
（2）如图2是木工师傅使用角尺画平行线，有什么道理？________ ．
三、解答题
13．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=15°，∠2=15°，AE与BF平行吗？为什么？
14．如图所示，EF⊥BD，垂足为E，∠1＝50°，∠2＝40°，试判断AB与CD是否平行，并说明理由．
15．如图，已知∠1=50°，∠2=130°，且BD∥CE，AC与DF平行吗？为什么？
16．如图，∠AEF=∠B，∠FEC=∠GHB，HG⊥AB于G，求证：CE⊥AB．
17．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠D NF，∠1＝∠2，求证MQ∥NP.
18．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于点O，∠DOF+∠A =180°.
（1）求证:AE//OF
（2）若∠A=30°，求证:OD平分∠AOG．
参考答案
1．A
【解析】试题解析：∵∠1=∠2，
∴a∥b；
故选A．
2．D
【解析】试题解析：A、根据“同位角相等，两直线平行”可以判定a∥b，故本选项不符合题意；
B、根据“同位角相等，两直线平行”可以判定a∥b，故本选项不符合题意；
C、根据“同位角相等，两直线平行”不可以判定a∥b，故本选项符合题意；
D、根据“∠1＋∠4＝180°”不能判定a∥b，故本选项不符合题意；
故选D．
3．B
【解析】∠1＝∠4, a∥b,同位角相等，两直线平行.选B.
4．B
【解析】先确定两角之间的位置关系，再根据平行线的判定来确定是否平行，以及哪两条直线平行．
解：A、∠1和∠2的对顶角是同位角，又相等，所以AB∥CD，此选项正确；
B、∠1和∠2的对顶角是同位角，又相等，所以AB∥CD，此选项正确；
C、∠1和∠2的是内错角，又相等，故AC∥BD，不是AB∥CD，此选项错误；
D、∠1和∠2互为同旁内角，同旁内角相等两直线不平行，此选项错误．
故选B．
5．C
【解析】试题分析：A、由∠3＝∠2＝35°，∠1＝55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
B、由∠3＝∠2＝45°，∠1＝55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
C、由∠3＝∠2＝55°，∠1＝55°推知∠1＝∠3，故能判定AB∥CD，故本选项正确；
D、由∠3＝∠2＝125°，∠1＝55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
故选：C．
点睛：本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
6．A
【解析】试题解析：由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行，
故选A
7．已知 同位角相等，两直线平行 已知 同位角相等，两直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行
【解析】a∥c，理由如下：
∵∠1=∠2（已知），
∴a//b（同位角相等，两直线平行），
∵∠3=∠4 （已知），
∴b//c（同位角相等，两直线平行），
∴a//c（平行于同一条直线的两条直线平行）.
故答案为已知；同位角相等，两直线平行；已知；同位角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行.
点睛：掌握平行线的性质和判定定理.
8．130°
【解析】试题解析：如图，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=50°，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-50°=130°．
9．a∥b．
【解析】因为∠2=130°，所以∠3=50°，∠1=50°,所以a∥b．
故答案为a∥b．
10．∠B=∠COE
【解析】试题解析：
若
则
BE∥DF，
故答案为：
11．12
【解析】试题解析：∵OD∥AC，
故答案为：12.
12． 平行 同位角相等，两条直线平行 垂直于同一条直线的两条直线平行
【解析】试题解析：∵在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，
∴这两条直线互相平行．
故答案为：平行；
（1）∵b⊥a，c⊥a，∴∠1=∠2=90°，
∴b∥c（同位角相等，两条直线平行）．
故答案为：同位角相等，两条直线平行；
（2）垂直于同一条直线的两条直线平行，
故答案为：垂直于同一条直线的两条直线平行．
13．AE∥BF
【解析】试题分析：只要判定根据同位角相等，两直线平行即可判定.
试题解析：
AE∥ BF．
理由如下：
因为（已知），
所以（垂直的定义）．
因为（已知），
所以 （等式的性质），
即
所以AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
14．AB与CD平行，理由见解析.
【解析】试题分析：首先根据垂直的定义求出∠D的度数，再根据同位角相等，证明两直线平行．
试题解析：AB与CD平行．
理由：∵EF⊥BD，
∴∠FED＝90°，
∴∠D＝90°－∠1＝40°，
∴∠2＝∠D，
∴AB∥CD.
15．平行 理由：见解析
【解析】试题分析：
由BD∥CE，可得∠C=∠1=50°，由∠2=130°可得∠DEG=50°，则∠C=∠DEG，即可求解.
解：AC∥DF，理由如下：
因为BD∥CE，所以∠1=∠C.
因为∠1=50°，所以∠C=50°.
因为∠2+∠DEG=180°，∠2=130°，所以∠DEG=50°，
所以∠C=∠DEG，
所以AC∥DF.
16．证明见解析.
【解析】试题分析：由条件可证明FE∥BC，得到角之间的关系，从而可证得HG∥CE，可得出结论．
试题解析：证明：∵∠AEF=∠B，
∴EF∥BC，
∴∠FEC=∠BCE=∠GHB，
∴GH∥CE，
∴∠CEB=∠BGH，
∵HG⊥AB，
∴∠CEB=∠BGH，
∴CE⊥AB
17．证明见解析
【解析】试题分析：由已知结合等式的性质，可得∠PNF=∠QMN，根据同位角相等，两直线平行可得MQ∥NP．
试题解析：∵ ∠BMN＝∠D NF，∠1＝∠2
∴∠BMN+∠1＝∠D NF+∠2
即∠QMN＝∠PNF
∴MQ∥NP
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）易证∠COF =∠A，由OF平分∠BOC得∠BOF=∠COF，所以∠FOB=∠A，从而可证；
（2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即可得解．
试题解析：（1）∵∠DOF+∠COF=180° ，
∵∠DOF+∠A =180°，
∴∠COF =∠A
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=∠COF，
∴∠FOB=∠A
∴AE∥OF；......4分
（2）由（1）可知，∠FOB=∠A
∵∠A=30°
∴∠FOB=30°
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=∠BOF=30°
∵OF⊥OG，
∴∠FOG=90°，
∴∠DOG=∠DOC-∠FOG-∠COF =150°-90°-30°=60°，
∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°，
∴∠AOD=∠DOG，
∴OD平分∠AOG．
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