4.5 垂线（1）同步练习
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4.5 垂线（1）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1．两条直线相交所成的四个角中,有一个是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫作另一条的垂线,它们的交点叫作垂足;反过来,如果两条直线互相垂直,那么这两条直线 相交所成的四个角都是直角．
2．垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
3.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;如果一条直线垂直于两平行线中的一条,那么这条直线必垂直于另一条．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．画一条线段的垂线，垂足在( )
A. 线段上 B. 线段的端点 C. 线段的延长线上 D. 以上都有可能
2．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为( )．
A. 30° B. 60° C. 150° D. 30°或150°
3．如图,OA⊥OB,∠BOC=30°,OD平分∠AOC,则∠BOD的大小是( )
A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°
4．对于同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中不正确的是（ ）
A. 若a∥b，b∥c，则a∥c B. 若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C. 若a∥b，a⊥c，则b⊥c D. 若a⊥b，a⊥c，则b∥c
5．下列说法正确的有( )
①不相交的两条直线是平行线；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
④在同一平面内，若直线⊥， ⊥，则直线与不相交．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOE，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是( )
A. ∠2=45° B. ∠1=∠3 C. ∠AOD+∠1=180° D. ∠EOD=75°30＇
7．下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( )
A. B. C. D.
8．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠BOE=35°，则∠DOF=（ ）
A. 65° B. 45° C. 35° D. 55°
9．如图,已知OA⊥OB,OC⊥OD,∠AOC=27°,则∠BOD的度数是( )
A. 117° B. 127° C. 153° D. 163°
10．在同一平面内有直线a1，a2，a3，a4， …， a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5， …，按此规律进行下去，则a1与a100的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 无法判断
二、填空题
11．设a，b，c为平面内三条不同直线：
（1）若a∥b，c⊥a，则b与c的位置关系是______；
（2）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是______．
12．在同一平面内，OA⊥MN，OB⊥MN，所以OA，OB在同一直线上，理由是________________．
13．如图,直线AB与CD的位置关系是_________,记作_________于点_________,此时∠AOD=_________=_________=_________=90°.
14．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠BOE=____度，∠AOG=____度．
三、解答题
15．．如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠１＝５５°,求∠２的度数
16．如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB
17．如图，直线，相交于点，平分．
（）若，求的度数．
（）若，判断射线，的位置关系并说明理由．
18．如图，已知A、O、B三点在一直线上，∠AOC＝120°，OD、OE分别是∠AOC，
∠BOC的平分线．
(1)判断OD与OE的位置关系；
(2)当∠AOC大小发生变化时，OD、OE仍分别是∠AOC、∠BOC的平分线，则OD与OE的位置关系是否改变 请说明理由．
19．如图,直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB.
（1）若∠1=∠2，求∠NOD；
（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC与∠MOD.
参考答案
1．D
【解析】解：由垂线的定义可知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上．故选D．
2．D
【解析】∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB：∠AOC=2：3，
∴∠AOB=60°，
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外，
①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-60°=30°；
②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°，
故选D．
3．B
【解析】根据OA⊥OB,∠BOC=30°可求出∠AOC的度数，再根据OD平分∠AOC求出∠DOC的度数，∠DOC与∠BOC作差即可求出∠BOD的度数.
解：∵OA⊥OB，
∴∠BOA=90°，
∵∠BOC=30°，
∴∠AOC=120°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠AOC=60°，
∴∠DOC=∠DOC-∠BOC=60°-30°＝30°.
故选B.
4．D
【解析】B错误，若a⊥b，a⊥c，则b c
故选B.
5．B
【解析】试题解析：①同一平面内不相交的两条直线是平行线，故错误；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确；
③两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误；
④在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c不相交，正确，
故选B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解两直线的位置关系、平行线的性质等知识，难度不大．
6．D
【解析】A.∵OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∴∠2=∠AOE=×90°=45°，本选项正确；
B.∵AB、CD相交于O点，∴∠1=∠3，本选项正确；
C.∵OD过直线AB上一点O，∴∠AOD+∠1=180°，本选项正确；
D.∠1的余角=90°-∠1=90°-15°30’=74°30’，本选项错误；
故选D．
7．D
【解析】解：根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，可得D的画法正确．故选D．
8．D
【解析】∵AB⊥CD，
∴∠BOC=90°，
∵∠BOE=35°，
∴∠COE=∠BOC-∠BOE=90°-35°=55°，
∵直线EF和直线CD相交于点O，
∴∠DOF=∠COE=55°.
故选D.
9．C
【解析】∵OA⊥OB,OC⊥OD,
∴∠AOB=∠DOC=90°,
∵∠BOD=360°-∠AOB-∠DOC-∠AOC, ∠AOC=27°,
∴∠BOD=360°-90°-90°-27°=153°.
故选：C.
10．A
【解析】∵a1⊥a2，a2∥a3，∴a1⊥a3，
∵a3⊥a4，∴a1∥a4．
由此类推：a1⊥a6，a1∥a8
每4条出现重复：与前面的垂直，后面的平行．
∴a1∥a100;
故选A。
点睛：本题考查了平行线，发现规律：每4条出现重复，即与前面的垂直，后面的平行是解题关键。
11． b⊥c a∥c
【解析】(1) ∵a、b、c为平面上三条不同直线，a∥b，c⊥a，
∴b⊥c；
(2) ∵a∥b，b∥c，
∴a∥c
故答案为：b⊥c，a∥c.
12．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解析】因为OA⊥MN，OB⊥MN，所以OA，OB在同一直线上（在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），
故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
13． 垂直; AB⊥CD; O; ∠BOD; ∠BOC; ∠AOC
【解析】试题解析：直线AB与CD的位置关系是垂直，记作AB⊥CD于点O，
此时
故答案为：垂直，AB⊥CD，O，
14． 62 59
【解析】
OG平分
15．解:直线b上在B点右侧一点记为D．
∵a∥b,
∴∠２＝∠CBD．
∵AB⊥BC,∠１＝５５°,
∴∠CBD＝９０°－５５°＝３５°．
∴∠２＝３５°．
16．详见解析.
【解析】分析：根据平行线的判定推出DG∥AC，推出∠2=∠1=∠DCA,推出CD∥EF,根据平行线的性质推出CD⊥AB.
本题解析：
证明：∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴ ∠DGB=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴ DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠1=∠2（已知），∴ ∠1=∠ACD（等量代换），
∴ EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.
∵ EF⊥AB（已知），∴ ∠AEF=90°（垂直的定义），
∴ ∠ADC=90°（等量代换）.
∴ CD⊥AB（垂直的定义）．
点睛：本题考查了平行线的性质和判定和垂直定义的应用，主要考查了学生的推理能力.要求学生要牢固掌握平行线的基础含义，能够了然于心，做题时能比较上手.
17．（）；（）
【解析】整体分析：
（1）由角平分线的定义，先求出∠AOC，再由对顶角相等求解；(2)判断出∠DOE=∠COE，即可得到∠DOE=90°.
解：（）∵平分且，
∴，
∴．
（）射线，的位置关系是垂直．理由如下：
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（1）垂直；（2）不变，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）OD⊥OE，由∠AOC=120°，可得∠BOC=60°，再根据角平分线的定义可得∠DOC=60°，∠EOC=30°，从而得∠DOE=90°，即OD⊥OE；
（2）不变， 由角平分线的定义可得∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠COB，从而得∠DOE＝90°，从而可得OD与OE的位置关系不发生改变.
试题解析：（1）OD⊥OE，理由如下：
∵∠AOC=120°，∴∠BOC=60°，
∵OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴∠DOC=60°，∠EOC=30°，
∴∠DOE=60°+30°=90°，
即OD⊥OE；
（2）不变，理由如下：
∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠COB，
∴∠DOE＝ (∠AOC+∠COB)＝×180°＝90°，
∴OD⊥OE，
即OD与OE的位置关系不发生改变．
【点睛】本题考查了角的计算，考查了角平分线的定义，本题中熟练运用角平分线是解题的关键．
19．（1）90°；（2）∠AOC=60°，∠MOD＝150°.
【解析】（1）根据垂直的定义，可得∠AOC+∠1=90°由此易推出∠CON=90°，进而结合平角的定义即可解答本题；
（2）根据垂直可知∠AOM=∠BOM=90°，结合∠1=∠BOC，可得∠1=30°，由此可以得到∠AOC与MOD的度数.
解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，即∠AOC+∠1=90°.
∵∠1=∠2，∠AOC+∠1=90°，
∴∠AOC+∠2=90°，
即∠CON=90°，
∵∠CON+∠NOD=180°，
∴∠NOD=90°.
（2）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠BOM=90°.
∵∠BOC=∠BOM+∠1，∠BOM=90°，∠1=∠BOC，
∴∠1=30°.
∵∠AOC+∠1=∠AOM=90°，∠1=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOD=∠AOC=60°，
∴∠MOD=∠MOB+∠AOC=150°.
点睛：本题主要考查垂线的定义以及角的和差，解题的关键要根据垂直得到90°，再结合角的和、差进行解答.
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4.5 垂线（1）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1．两条直线相交所成的四个角中,有一个是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫作另一条的垂线,它们的交点叫作垂足;反过来,如果两条直线互相垂直,那么这两条直线 相交所成的四个角都是直角．
2．垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
3.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;如果一条直线垂直于两平行线中的一条,那么这条直线必垂直于另一条．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．画一条线段的垂线，垂足在( )
A. 线段上 B. 线段的端点 C. 线段的延长线上 D. 以上都有可能
2．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为( )．
A. 30° B. 60° C. 150° D. 30°或150°
3．如图,OA⊥OB,∠BOC=30°,OD平分∠AOC,则∠BOD的大小是( )
A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°
4．对于同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中不正确的是（ ）
A. 若a∥b，b∥c，则a∥c B. 若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C. 若a∥b，a⊥c，则b⊥c D. 若a⊥b，a⊥c，则b∥c
5．下列说法正确的有( )
①不相交的两条直线是平行线；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
④在同一平面内，若直线⊥， ⊥，则直线与不相交．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOE，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是( )
A. ∠2=45° B. ∠1=∠3 C. ∠AOD+∠1=180° D. ∠EOD=75°30＇
7．下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( )
A. B. C. D.
8．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠BOE=35°，则∠DOF=（ ）
A. 65° B. 45° C. 35° D. 55°
9．如图,已知OA⊥OB,OC⊥OD,∠AOC=27°,则∠BOD的度数是( )
A. 117° B. 127° C. 153° D. 163°
10．在同一平面内有直线a1，a2，a3，a4， …， a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5， …，按此规律进行下去，则a1与a100的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 无法判断
二、填空题
11．设a，b，c为平面内三条不同直线：
（1）若a∥b，c⊥a，则b与c的位置关系是______；
（2）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是______．
12．在同一平面内，OA⊥MN，OB⊥MN，所以OA，OB在同一直线上，理由是________________．
13．如图,直线AB与CD的位置关系是_________,记作_________于点_________,此时∠AOD=_________=_________=_________=90°.
14．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠BOE=____度，∠AOG=____度．
三、解答题
15．．如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠１＝５５°,求∠２的度数
16．如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB
17．如图，直线，相交于点，平分．
（）若，求的度数．
（）若，判断射线，的位置关系并说明理由．
18．如图，已知A、O、B三点在一直线上，∠AOC＝120°，OD、OE分别是∠AOC，
∠BOC的平分线．
(1)判断OD与OE的位置关系；
(2)当∠AOC大小发生变化时，OD、OE仍分别是∠AOC、∠BOC的平分线，则OD与OE的位置关系是否改变 请说明理由．
19．如图,直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB.
（1）若∠1=∠2，求∠NOD；
（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC与∠MOD.
参考答案
1．D
【解析】解：由垂线的定义可知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上．故选D．
2．D
【解析】∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB：∠AOC=2：3，
∴∠AOB=60°，
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外，
①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-60°=30°；
②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°，
故选D．
3．B
【解析】根据OA⊥OB,∠BOC=30°可求出∠AOC的度数，再根据OD平分∠AOC求出∠DOC的度数，∠DOC与∠BOC作差即可求出∠BOD的度数.
解：∵OA⊥OB，
∴∠BOA=90°，
∵∠BOC=30°，
∴∠AOC=120°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠AOC=60°，
∴∠DOC=∠DOC-∠BOC=60°-30°＝30°.
故选B.
4．D
【解析】B错误，若a⊥b，a⊥c，则b c
故选B.
5．B
【解析】试题解析：①同一平面内不相交的两条直线是平行线，故错误；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确；
③两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误；
④在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c不相交，正确，
故选B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解两直线的位置关系、平行线的性质等知识，难度不大．
6．D
【解析】A.∵OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∴∠2=∠AOE=×90°=45°，本选项正确；
B.∵AB、CD相交于O点，∴∠1=∠3，本选项正确；
C.∵OD过直线AB上一点O，∴∠AOD+∠1=180°，本选项正确；
D.∠1的余角=90°-∠1=90°-15°30’=74°30’，本选项错误；
故选D．
7．D
【解析】解：根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，可得D的画法正确．故选D．
8．D
【解析】∵AB⊥CD，
∴∠BOC=90°，
∵∠BOE=35°，
∴∠COE=∠BOC-∠BOE=90°-35°=55°，
∵直线EF和直线CD相交于点O，
∴∠DOF=∠COE=55°.
故选D.
9．C
【解析】∵OA⊥OB,OC⊥OD,
∴∠AOB=∠DOC=90°,
∵∠BOD=360°-∠AOB-∠DOC-∠AOC, ∠AOC=27°,
∴∠BOD=360°-90°-90°-27°=153°.
故选：C.
10．A
【解析】∵a1⊥a2，a2∥a3，∴a1⊥a3，
∵a3⊥a4，∴a1∥a4．
由此类推：a1⊥a6，a1∥a8
每4条出现重复：与前面的垂直，后面的平行．
∴a1∥a100;
故选A。
点睛：本题考查了平行线，发现规律：每4条出现重复，即与前面的垂直，后面的平行是解题关键。
11． b⊥c a∥c
【解析】(1) ∵a、b、c为平面上三条不同直线，a∥b，c⊥a，
∴b⊥c；
(2) ∵a∥b，b∥c，
∴a∥c
故答案为：b⊥c，a∥c.
12．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解析】因为OA⊥MN，OB⊥MN，所以OA，OB在同一直线上（在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），
故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
13． 垂直; AB⊥CD; O; ∠BOD; ∠BOC; ∠AOC
【解析】试题解析：直线AB与CD的位置关系是垂直，记作AB⊥CD于点O，
此时
故答案为：垂直，AB⊥CD，O，
14． 62 59
【解析】
OG平分
15．解:直线b上在B点右侧一点记为D．
∵a∥b,
∴∠２＝∠CBD．
∵AB⊥BC,∠１＝５５°,
∴∠CBD＝９０°－５５°＝３５°．
∴∠２＝３５°．
16．详见解析.
【解析】分析：根据平行线的判定推出DG∥AC，推出∠2=∠1=∠DCA,推出CD∥EF,根据平行线的性质推出CD⊥AB.
本题解析：
证明：∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴ ∠DGB=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴ DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠1=∠2（已知），∴ ∠1=∠ACD（等量代换），
∴ EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.
∵ EF⊥AB（已知），∴ ∠AEF=90°（垂直的定义），
∴ ∠ADC=90°（等量代换）.
∴ CD⊥AB（垂直的定义）．
点睛：本题考查了平行线的性质和判定和垂直定义的应用，主要考查了学生的推理能力.要求学生要牢固掌握平行线的基础含义，能够了然于心，做题时能比较上手.
17．（）；（）
【解析】整体分析：
（1）由角平分线的定义，先求出∠AOC，再由对顶角相等求解；(2)判断出∠DOE=∠COE，即可得到∠DOE=90°.
解：（）∵平分且，
∴，
∴．
（）射线，的位置关系是垂直．理由如下：
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（1）垂直；（2）不变，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）OD⊥OE，由∠AOC=120°，可得∠BOC=60°，再根据角平分线的定义可得∠DOC=60°，∠EOC=30°，从而得∠DOE=90°，即OD⊥OE；
（2）不变， 由角平分线的定义可得∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠COB，从而得∠DOE＝90°，从而可得OD与OE的位置关系不发生改变.
试题解析：（1）OD⊥OE，理由如下：
∵∠AOC=120°，∴∠BOC=60°，
∵OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴∠DOC=60°，∠EOC=30°，
∴∠DOE=60°+30°=90°，
即OD⊥OE；
（2）不变，理由如下：
∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠COB，
∴∠DOE＝ (∠AOC+∠COB)＝×180°＝90°，
∴OD⊥OE，
即OD与OE的位置关系不发生改变．
【点睛】本题考查了角的计算，考查了角平分线的定义，本题中熟练运用角平分线是解题的关键．
19．（1）90°；（2）∠AOC=60°，∠MOD＝150°.
【解析】（1）根据垂直的定义，可得∠AOC+∠1=90°由此易推出∠CON=90°，进而结合平角的定义即可解答本题；
（2）根据垂直可知∠AOM=∠BOM=90°，结合∠1=∠BOC，可得∠1=30°，由此可以得到∠AOC与MOD的度数.
解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，即∠AOC+∠1=90°.
∵∠1=∠2，∠AOC+∠1=90°，
∴∠AOC+∠2=90°，
即∠CON=90°，
∵∠CON+∠NOD=180°，
∴∠NOD=90°.
（2）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠BOM=90°.
∵∠BOC=∠BOM+∠1，∠BOM=90°，∠1=∠BOC，
∴∠1=30°.
∵∠AOC+∠1=∠AOM=90°，∠1=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOD=∠AOC=60°，
∴∠MOD=∠MOB+∠AOC=150°.
点睛：本题主要考查垂线的定义以及角的和差，解题的关键要根据垂直得到90°，再结合角的和、差进行解答.
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