4.5 垂线（2）同步练习
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4.5 垂线（2）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中, 垂线段 最短．
2.从直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 ,叫做点到直线的距离．
3. “过一点”包括直线上一点和直线外一点;垂线段是图 形,点到直线的距离是一个长度,是一个数量．求线段最小值时,需考虑转化为垂线段,或作垂线段．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．下列图形中，通过测量线段AB的长可以知道点A到直线l的距离的是（ ）
A. B. C. D.
2．把直线a沿水平方向平移4cm，平移后的像为直线b，则直线a与直线b之间的距离为( )
A. 等于4cm B. 小于4cm C. 大于4cm D. 小于或等于4cm
3．如图所示，在灌溉农田时，要把河(直线l表示一条河)中的水引到农田P处，设计了四条路线PA，PB，PC，PD(其中PB⊥l)，你选择哪条路线挖渠才能使渠道最短( )
A. PA B. PB C. PC D. PD
4．如图，AC⊥BC，垂足为C，AB=10，点A到BC的距离是8，点C到AB的距离是4.8，则点B到AC的距离是( )
A. 2.4 B. 4.8 C. 8 D. 6
5．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是( )
A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短
C. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 D. 垂线段最短
6．如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是( )
A. 线段AP1的长 B. 线段AP2的长 C. 线段BP3的长 D. 线段CP3的长
7．如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是( )
A. PA B. PB C. PC D. PD
8．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，那么点P到直线l的距离是（ ）
A. 2cm B. 小于2cm C. 不大于2cm D. 大于2cm，且小于5cm
9．如图所示，能表示点到直线(线段)的距离的线段有( )
A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条
10．若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（ ）
A. 10cm B. 4cm C. 10cm或4cm D. 至少4cm
二、填空题
11．如图所示，，，则点A到直线的距离是线段______的长度。
12．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=3，BC=4，CD=2.4，则点C到直线AB的距离等于_____．
13．如图，工厂A要把处理过的废水引入排水沟PQ，从工厂A沿________方向铺设水管用料最省，这是因为________．
三、解答题
14．如图所示，小明家在A处，他要去在同一条路上的小丽家或小红家或小华家或小刚家问作业，则最少要走多少米可以问到作业
15．如图，一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M，N是分别位于公路AB两侧的村庄.设汽车行驶到点P时，离村庄M最近，行驶到点Q时，离村庄N最近，请在图中公路AB上分别画出点P，Q的位置.
16．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由．
17．(1)在图①中以P为顶点画∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直;
(2)量一量∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系是 ;
(3)同样在图②和图③中以P为顶点作∠APB,使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直,分别写出图②和图③中∠APB和∠1之间的数量关系(不要求写出理由).
图②: ,
图③: ;
(4)由上述三种情形可以得到一个结论:如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角 (不要求写出理由).
18．如图，AOB为一条在O处拐弯的河，要修一条从村庄P通向这条河的道路，现在有两种设计方案：一是沿PM修路，二是沿PO修路，如果不考虑其他因素，这两种方案哪个更经济些？它是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳方案，并简要说明理由．
19．如图，M，N为坐落于公路两旁的村庄，如果一辆施工的机动车由A向B行驶，产生的噪音会对两个村庄造成影响．
(1)当施工车行驶到何处时，产生的噪音分别对两个村庄影响最大？在图中标出来．
(2)当施工车从A向B行驶时，产生的噪音对M，N两个村庄的影响情况如何？
参考答案
1．C
【解析】观察上述四幅图形可知，只有选项C中的图形里，线段AB是点A到直线l的垂线段，
∴在选项C的图形中测量出线段AB的长度就知道点A到l的距离.
故选C.
点睛：本题解题的关键是要明白：直线外一点到直线的距离是这点到直线的垂线段的长度.
2．D
【解析】试题分析：本题中如果平移的方向是垂直向上或垂直向下，则平移后的两直线之间的距离为4cm；如果平移的方向不是垂直向上或垂直向下，则平移后的两直线之间的距离小于4cm；故本题选D．
3．B
【解析】解：∵在PA，PB，PC，PD四条路线中只有PB⊥l，∴PB最短．故选B．
点睛：本题考查的是垂线段最短，熟知“从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短”是解答此题的关键．
4．D
【解析】由点A到BC的距离是8，可得AC=8，由点C到AB的距离是4.8，可得CD=4.8，由 ，AB=10，可得BC=6，即点B到AC的距离是6，故选D.
点睛：本题考查了点到直线的距离的定义，注意距离是线段的长度，不是线段，解决本题的关键是利用△ABC面积的两种表示法求BC的长度．
5．D
【解析】解：直角三角形中斜边最长的原理是垂线段最短．故选D．
6．B
【解析】根据垂线段的性质,则表示该运动员成绩的是线段AP2的长度，
故选：B.
点睛：本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂涎，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质：垂线段最短.
7．B
【解析】根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，
故选：B.
8．C
【解析】试题解析：因为垂线段最短，
所以点P到直线l的距离为不大于2cm.
故选C.
9．C
【解析】图中表示点到直线(线段)的距离的线段有：
表示点A到BD的距离的线段是AD；
表示点B到AD的距离的线段是BD；
表示点B到CD的距离的线段是BC；
表示点D到BC的距离的线段是DC；
共4条，
故选C.
10．D
【解析】试题解析：如图，
从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为7-3=4cm，其它情况下大于4cm，
故选D．
11．AB
【解析】根据点到直线的距离的定义，可知点A到直线l1的距离是线段AB的长.
故填:AB.
12．2.4
【解析】由题意得
点C到直线AB的距离等于CD的长，
故答案为：2.4.
13． 垂直于PQ 垂线段最短
【解析】工厂A要把处理过的废水引入排水沟PQ，从工厂A沿垂直于PQ方向铺设水管用料最省，这是因为垂线段最短，
故答案为：垂直于PQ，垂线段最短.
【点睛】本题考查了垂线段最短的性质在实际生活中的应用，解题的关键是熟练掌握最短路线的问题，理解点到直线的线段中，垂线段最短．
14．小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米．
【解析】试题分析：根据垂线段最短解答．
试题解析：解：小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米．
点睛：本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，属于基础题．
15．作图见解析.
【解析】试题分析：根据垂线段最短，两点之间线段最短，可得答案．
试题解析：如图：
16．画图见解析，理由：垂线段最短．
【解析】试题分析：根据垂线段的性质，从A向河岸引一条垂线，垂线与河岸的就是点P的位置.
试题解析：如图：
理由：垂线段最短．
17．（1）作图见解析；（2）∠1+∠P=180°；（3）.∠1=∠APB;∠1=∠APB或∠1+∠APB=180°(4)相等或互补
【解析】试题分析：（1）根据题目要求，结合题中条件，由点P分别向∠1的两边做垂线，即可得到∠P；
（2）用量角器分别测量∠P与∠1的度数，即可得出二者的关系；
（3）分别在其余两图中，按要求作出∠P，再测量，即可得到结论；
（4）结合以上作图和结论，结合得到的∠P与∠1的关系，即可完成本题.
试题解析：（1）如图①，
（2）测量可知∠+∠P=180°，所以∠1与∠P互补；
（3）如图②，图③，
测量可知，图②中，∠1=∠P，所以图②中∠P与∠1相等；
图③中，结合角的表示可知由两个∠P，测量得到：∠1=∠P或∠+∠P=180°，所以图③中，∠P与∠1相等或互补.
（4）综上可知，如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补.
点睛：本题主要考查了垂线的定义，解题的关键是分析题意，利用作图即可解决问题.
18．沿PN修最短
【解析】试题分析：根据点到直线的距离定义垂线段最短，进而分析得出即可．
试题解析：∵在Rt△POM中，PM＞PO，
∴这两种方案沿PO修路更经济些，
它不是最佳方案，过点P作PN⊥OB于点N，
∵OP＞PN，PN是点P到OB上的最短路线，
∴此方案是最佳方案．
19．见解析
【解析】试题分析：（1）过点M，N分别作AB的垂线，垂足分别为P，Q，根据垂线段最短可得汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大；
（2）此题说明时要分3段A到P；由P向Q，由Q 向B分别说明对两学校的影响情况．
试题解析：
解：（1）如图所示，过点M，N分别作AB的垂线，垂足分别为P，Q，则当施工车行驶到点P，Q处时产生的噪音分别对M，N两个村庄影响最大．
（2）由A至P时，产生的噪音对两个村庄的影响越来越大，到P处时，对M村庄的影响最大；由P至Q时，对M村庄的影响越来越小，对N村庄的影响越来越大，到Q处时，对N村庄的影响最大；由Q至B时，对M，N两个村庄的影响越来越小．
点睛：此题主要考查了应用与设计作图，以及垂线段的性质，关键是正确画出图形．
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4.5 垂线（2）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中, 垂线段 最短．
2.从直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 ,叫做点到直线的距离．
3. “过一点”包括直线上一点和直线外一点;垂线段是图 形,点到直线的距离是一个长度,是一个数量．求线段最小值时,需考虑转化为垂线段,或作垂线段．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．下列图形中，通过测量线段AB的长可以知道点A到直线l的距离的是（ ）
A. B. C. D.
2．把直线a沿水平方向平移4cm，平移后的像为直线b，则直线a与直线b之间的距离为( )
A. 等于4cm B. 小于4cm C. 大于4cm D. 小于或等于4cm
3．如图所示，在灌溉农田时，要把河(直线l表示一条河)中的水引到农田P处，设计了四条路线PA，PB，PC，PD(其中PB⊥l)，你选择哪条路线挖渠才能使渠道最短( )
A. PA B. PB C. PC D. PD
4．如图，AC⊥BC，垂足为C，AB=10，点A到BC的距离是8，点C到AB的距离是4.8，则点B到AC的距离是( )
A. 2.4 B. 4.8 C. 8 D. 6
5．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是( )
A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短
C. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 D. 垂线段最短
6．如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是( )
A. 线段AP1的长 B. 线段AP2的长 C. 线段BP3的长 D. 线段CP3的长
7．如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是( )
A. PA B. PB C. PC D. PD
8．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，那么点P到直线l的距离是（ ）
A. 2cm B. 小于2cm C. 不大于2cm D. 大于2cm，且小于5cm
9．如图所示，能表示点到直线(线段)的距离的线段有( )
A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条
10．若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（ ）
A. 10cm B. 4cm C. 10cm或4cm D. 至少4cm
二、填空题
11．如图所示，，，则点A到直线的距离是线段______的长度。
12．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=3，BC=4，CD=2.4，则点C到直线AB的距离等于_____．
13．如图，工厂A要把处理过的废水引入排水沟PQ，从工厂A沿________方向铺设水管用料最省，这是因为________．
三、解答题
14．如图所示，小明家在A处，他要去在同一条路上的小丽家或小红家或小华家或小刚家问作业，则最少要走多少米可以问到作业
15．如图，一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M，N是分别位于公路AB两侧的村庄.设汽车行驶到点P时，离村庄M最近，行驶到点Q时，离村庄N最近，请在图中公路AB上分别画出点P，Q的位置.
16．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由．
17．(1)在图①中以P为顶点画∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直;
(2)量一量∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系是 ;
(3)同样在图②和图③中以P为顶点作∠APB,使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直,分别写出图②和图③中∠APB和∠1之间的数量关系(不要求写出理由).
图②: ,
图③: ;
(4)由上述三种情形可以得到一个结论:如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角 (不要求写出理由).
18．如图，AOB为一条在O处拐弯的河，要修一条从村庄P通向这条河的道路，现在有两种设计方案：一是沿PM修路，二是沿PO修路，如果不考虑其他因素，这两种方案哪个更经济些？它是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳方案，并简要说明理由．
19．如图，M，N为坐落于公路两旁的村庄，如果一辆施工的机动车由A向B行驶，产生的噪音会对两个村庄造成影响．
(1)当施工车行驶到何处时，产生的噪音分别对两个村庄影响最大？在图中标出来．
(2)当施工车从A向B行驶时，产生的噪音对M，N两个村庄的影响情况如何？
参考答案
1．C
【解析】观察上述四幅图形可知，只有选项C中的图形里，线段AB是点A到直线l的垂线段，
∴在选项C的图形中测量出线段AB的长度就知道点A到l的距离.
故选C.
点睛：本题解题的关键是要明白：直线外一点到直线的距离是这点到直线的垂线段的长度.
2．D
【解析】试题分析：本题中如果平移的方向是垂直向上或垂直向下，则平移后的两直线之间的距离为4cm；如果平移的方向不是垂直向上或垂直向下，则平移后的两直线之间的距离小于4cm；故本题选D．
3．B
【解析】解：∵在PA，PB，PC，PD四条路线中只有PB⊥l，∴PB最短．故选B．
点睛：本题考查的是垂线段最短，熟知“从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短”是解答此题的关键．
4．D
【解析】由点A到BC的距离是8，可得AC=8，由点C到AB的距离是4.8，可得CD=4.8，由 ，AB=10，可得BC=6，即点B到AC的距离是6，故选D.
点睛：本题考查了点到直线的距离的定义，注意距离是线段的长度，不是线段，解决本题的关键是利用△ABC面积的两种表示法求BC的长度．
5．D
【解析】解：直角三角形中斜边最长的原理是垂线段最短．故选D．
6．B
【解析】根据垂线段的性质,则表示该运动员成绩的是线段AP2的长度，
故选：B.
点睛：本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂涎，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质：垂线段最短.
7．B
【解析】根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，
故选：B.
8．C
【解析】试题解析：因为垂线段最短，
所以点P到直线l的距离为不大于2cm.
故选C.
9．C
【解析】图中表示点到直线(线段)的距离的线段有：
表示点A到BD的距离的线段是AD；
表示点B到AD的距离的线段是BD；
表示点B到CD的距离的线段是BC；
表示点D到BC的距离的线段是DC；
共4条，
故选C.
10．D
【解析】试题解析：如图，
从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为7-3=4cm，其它情况下大于4cm，
故选D．
11．AB
【解析】根据点到直线的距离的定义，可知点A到直线l1的距离是线段AB的长.
故填:AB.
12．2.4
【解析】由题意得
点C到直线AB的距离等于CD的长，
故答案为：2.4.
13． 垂直于PQ 垂线段最短
【解析】工厂A要把处理过的废水引入排水沟PQ，从工厂A沿垂直于PQ方向铺设水管用料最省，这是因为垂线段最短，
故答案为：垂直于PQ，垂线段最短.
【点睛】本题考查了垂线段最短的性质在实际生活中的应用，解题的关键是熟练掌握最短路线的问题，理解点到直线的线段中，垂线段最短．
14．小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米．
【解析】试题分析：根据垂线段最短解答．
试题解析：解：小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米．
点睛：本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，属于基础题．
15．作图见解析.
【解析】试题分析：根据垂线段最短，两点之间线段最短，可得答案．
试题解析：如图：
16．画图见解析，理由：垂线段最短．
【解析】试题分析：根据垂线段的性质，从A向河岸引一条垂线，垂线与河岸的就是点P的位置.
试题解析：如图：
理由：垂线段最短．
17．（1）作图见解析；（2）∠1+∠P=180°；（3）.∠1=∠APB;∠1=∠APB或∠1+∠APB=180°(4)相等或互补
【解析】试题分析：（1）根据题目要求，结合题中条件，由点P分别向∠1的两边做垂线，即可得到∠P；
（2）用量角器分别测量∠P与∠1的度数，即可得出二者的关系；
（3）分别在其余两图中，按要求作出∠P，再测量，即可得到结论；
（4）结合以上作图和结论，结合得到的∠P与∠1的关系，即可完成本题.
试题解析：（1）如图①，
（2）测量可知∠+∠P=180°，所以∠1与∠P互补；
（3）如图②，图③，
测量可知，图②中，∠1=∠P，所以图②中∠P与∠1相等；
图③中，结合角的表示可知由两个∠P，测量得到：∠1=∠P或∠+∠P=180°，所以图③中，∠P与∠1相等或互补.
（4）综上可知，如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补.
点睛：本题主要考查了垂线的定义，解题的关键是分析题意，利用作图即可解决问题.
18．沿PN修最短
【解析】试题分析：根据点到直线的距离定义垂线段最短，进而分析得出即可．
试题解析：∵在Rt△POM中，PM＞PO，
∴这两种方案沿PO修路更经济些，
它不是最佳方案，过点P作PN⊥OB于点N，
∵OP＞PN，PN是点P到OB上的最短路线，
∴此方案是最佳方案．
19．见解析
【解析】试题分析：（1）过点M，N分别作AB的垂线，垂足分别为P，Q，根据垂线段最短可得汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大；
（2）此题说明时要分3段A到P；由P向Q，由Q 向B分别说明对两学校的影响情况．
试题解析：
解：（1）如图所示，过点M，N分别作AB的垂线，垂足分别为P，Q，则当施工车行驶到点P，Q处时产生的噪音分别对M，N两个村庄影响最大．
（2）由A至P时，产生的噪音对两个村庄的影响越来越大，到P处时，对M村庄的影响最大；由P至Q时，对M村庄的影响越来越小，对N村庄的影响越来越大，到Q处时，对N村庄的影响最大；由Q至B时，对M，N两个村庄的影响越来越小．
点睛：此题主要考查了应用与设计作图，以及垂线段的性质，关键是正确画出图形．
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