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中考求运动路径长专题训练
动态问题能很好地展示学生的分析能力、探究能力，考察学生的数学综合素养,所以是中考热门。求动点的路径长是动态问题之一。如何解决呢 首先，分析动点的路径。寻找动点在运动过程中是否包含与它相关的不变的量，或者是分析影响动点运动的因素，“牵一发而动全身”，通过对影响动点运动因素的分析来探究动点的运动。然后找运动过程中的特殊位置（起点、终点及其他特殊的点），画出特殊位置时动点的位置，进而猜想动点的路径，最后证明猜想的正确性。www-2-1-cnjy-com
1．典型例题
【例1】（2015，桂林）如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是 （ ）
A. 8 B. 10 C. 3π D. 5π
【解析】 连结DE，作FH⊥BC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，则BE′=BD=2，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE=30°，DE=BE=2，
∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°，
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
，
∴△DPE≌△FDH，
∴FH=DE=2，
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，
当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，
当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10﹣2=8，21教育网
∴F1F2=DQ=8，
∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．
【答案】 A
【例2】(2010,南京)如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）设AE=x时，△EGF面积为y．求y关于x的函数关系式，并写x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．21·cn·jy·com
【分析】（1）①E、A重合时，三角形EFG的底和高都等于正方形的边长，由此可得到其面积；
②E、A不重合时；易证得△AEM≌△DFM，则EM=FM，由勾股定理易求得EM的长，即可得出EF的长；下面求MG的长，过M作MN⊥BC于N，则AB=MN=2AM，由于∠AME和∠NMC同为∠EMN的余角，由此可证得△AEM∽△NCM，根据相似三角形得到的关于AM、MN、EM、MC的比例关系式，即可求得MC的表达式，进而可由三角形的面积公式求出y、x的函数关系式；
（2）可分别作出E、A重合和E、B重合时P点的位置（即P为A与E重合时得到的对应点，P′为E与B重合时的对应点），此时可发现PP′正好是△EGG′的中位线，则P点运动的距离为GG′的一半；Rt△BMG′中，MG⊥BG′，易证得∠MBG=∠GMG′，根据∠MBG的正切值即可得到GG′、GM（即正方形的边长）的比例关系，由此得解．
【解析】（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2；
当点E与点A不重合时，0＜x≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，
∴∠MDF=90°，
∴∠A=∠MDF
∵AM=DM，∠AMF=∠DMF，
∴△AME≌△DMF，
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=
∴EF=2MF=2
过点M作MN⊥BC，垂足为N（如图）
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°，
∴∠GMN+∠EMN=90°，
∴∠AME=∠GMN，
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴，即
∴MG=2ME=2
∴y=EF·MG=×2×2=2x2+2，
∴y =2x2+2，其中0≤x≤2。点P运动路线的长为2．【答案】（1）y =2x2+2，其中0≤x≤2．
（2）点P运动路线的长为2【例3】如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P。
求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值。
(5)动点N从B点开始沿BO边向点O以每秒2个单位的速度运动，动点F从点O开始OC边向点C以每秒1个单位的速度运动，当N到达点O时，点F也随之停止运动，在整个运动过程中，求线段NF的中点所经过的路径长。（直接写答案）www.21-cn-jy.com
【解析】（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），∴解得
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；
（2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，-1），
∴满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，2-1），M3（2，），M4（2，-2-1）；
（3）由（1），得A（1，0），连接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∴当△ABC∽△PBQ时
∴BQ=3，
∴Q1（0，0），
∴当△ABC∽△QBP时，
∴BQ=，
∴Q2（，0）；
（4）当0＜x＜3时，在此抛物线上任取一点E连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，-x+3），点E（x，x2-4x+3），
∴EF=-x2+3x，
∴S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF·OB=-x2+x
∵a=-＜0，
∴当x=时，S△CBE有最大值，
∴y=x2-4x+3=-，
∴E（，-）2·1·c·n·j·y
（5）利用中点坐标公式，用时间t表示线段NF的中点坐标，从而分析出中点的运动轨迹是一条线段，利用勾股定理求得长为2-1-c-n-j-y
【答案】（1）∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；
（2）∴满足条件的点M为M1（2，7），M2（2，2-1），M3（2，），M4（2，-2-1）；
（3）由∴Q1（0，0），Q2（，0）；
（4）∴E（，-）【版权所有：21教育】
（5）
【点评】本题是以抛物线为背景结合相似、等腰三角形、最值等知识点的一个综合题，考查了分类的思想方法，综合性较强，难度较大。第（5）小题，坐标系中研究动点问题，可以设点坐标用函数的思想方法来解决。21*cnjy*com
【例4】.（2014 烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）
（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．
【解析】（1）AE=DF，AE⊥DF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴∠APD=90°，
∴AE⊥DF；
（2）是；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠DCF=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴AE⊥DF；
（3）成立；理由如下：
同（1）得：AE=DF，∠DAE=∠CDF，
延长FD交AE于点G，如图所示：
则∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AE⊥DF．
（4）如图：
由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC= 21世纪教育网版权所有
∴CP=QC-QP=
【答案】（1）垂直（2）是（3）成立（6）
【点评】：本题是四边形综合题，考查了正方形、全等、垂直、圆等知识点。前三题难度不大，但考生能从前三题的结论中分析出点P是在以AD为直径的圆上运动，故其路径是一段弧。进而在此基础上又考查了中考的另一个热门考点--最值问题。 21cnjy.com
二．跟踪练习
1．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为 （ ）A．π B．π C．π D．π【解析】解：如图，连OI，PI，AI，∵△OPH的内心为I，∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），而PH⊥OA，即∠PHO=90°，∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，又∵OP=OA，OI公共，而∠IOP=∠IOA，∴△OPI≌△OAI，∴∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，∵∠AIO=135°，∴∠APO=180°﹣135°=45°，∴∠AO′O=90°，而OA=2cm，∴O′O=OA=×2=，∴弧OA的长==π（cm），所以内心I所经过的路径长为πcm．【答案】 B．2.（2106，武汉）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 （ ） A.π B.π C. 2 D. 2【分析】 取AB得中点O,连接OP,OC,再取OC的中点F,连接MF,则MF是△CPO的中位线，故M的轨迹是以F为圆心，1为半径的圆弧，利用弧长公式可求得路径长为π【答案】 B
3.如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点G，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（ ）
A.π B. C. D.【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，在直角三角形AOG中，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，故点F的运动轨迹为以AC为直径的圆弧，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为弧AG的弧长，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出AG所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出AG的长，即可求出点F所经过的路径长．21·世纪*教育网
【答案】 C．
【点评】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F的运动轨迹为弧AG，是解本题的关键．
4.（2011 自贡）如图，一根木棒(AB)长为2a，斜靠在与地面(OM)垂直的墙壁(ON)上，与地面的倾斜角(∠ABO)为60°，当木棒A端沿NO向下滑动到A′，AA′＝(－)a，B端沿直线OM向右滑动到B′时，木棒的中点从P随之运动到P′所经过的路径长为___________21*cnjy*com
【分析】 运动过程中，ΔAOB始终是直角三角形，又P是斜边AB的中点，故OP长是定值，OP=a，故P的运动轨迹是以O为圆心，a为半径的圆弧，利用利用弧长公式可求得路径长为π【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】 π
【点评】 本题考查了弧长公式,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．
5.[2017·泰州]如图6－2－1，在平面内，线段AB＝6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC＝PA，若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为___
【分析】 本题考查了平移性质及等腰直角三角形及勾股定理等知识点。有题分析出三角形纸片CDE是平移运动，根据平移的性质,我们选择一个适当的点C,则点C的平移的距离，就是所求动点P的路径长。点C从点A运动到C1 ，线段AC1的长就是平移的距离，等腰直角三角形△ABC1中AC1=
【答案】6
6.如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是______．
【分析】如图，分别延长AE、BF交于点H．
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G也正好为PH中点，
即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．
∵CD=10-2-2=6，
∴MN=3，即G的移动路径长为3．
【出处：21教育名师】
【答案】 3
【点评】 本题考查了等边三角形、平行线、平行四边形、中位线等知识点。
7.(2015 徐州模拟)已知：如图 ABCD中，CD=CB=3，∠C=60°，点E是CD边上自C向D的动点21教育名师原创作品
（点E到点D停止运动），连结AE，以AE为边作等边△AEP，连结DP．
（1）求证：△ABE≌△ADP；
（2）当点E运动到点D处，作△ADP的外接圆⊙O，判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）点P随点E的运动而运动，请直接写出点P的运动路径长 ．
【分析】（1）证明：∵ ABCD中，CD=CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠C=∠BAD=60°．
∵△AEP是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠PAD=∠BAE，
∴△ABE和△ADP中，
，
∴△ABE≌△ADP；
（2）解：直线AB于⊙O相切．
连接OA，
∵△PAD是等边三角形，
∴∠DAO=30°，
∴∠BAO=∠DAO+∠DAB=90°，
又∵A在⊙O上，
∴AB与⊙O相切；
（3）解：∵在运动过程中，始终保持△ABE≌△ADP，
∴点P的运动路径长=CD=3．
【答案】（1）△ABE≌△ADP；（2）AB与⊙O相切；（3）点P的运动路径长3．
【点评】 本题考查了平行四边形、平行线间的距离处处相等、全等、圆等知识点。前两题不难，但考生要能根据（1）的结论分析出△ABE与△ADP的面积之间的关系：相等且是定值。由此分析出点P的路径，进而求其长度。
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中考求运动路径长专题训练
动态问题能很好地展示学生的分析能力、探究能力，考察学生的数学综合素养,所以是中考热门。求动点的路径长是动态问题之一。如何解决呢 首先，分析动点的路径。寻找动点在运动过程中是否包含与它相关的不变的量，或者是分析影响动点运动的因素，“牵一发而动全身”，通过对影响动点运动因素的分析来探究动点的运动。然后找运动过程中的特殊位置（起点、终点及其他特殊的点），画出特殊位置时动点的位置，进而猜想动点的路径，最后证明猜想的正确性。2·1·c·n·j·y
1．典型例题
【例1】（2015，桂林）如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是 （ ）
A. 8 B. 10 C. 3π D. 5π
【解析】 连结DE，作FH⊥BC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，则BE′=BD=2，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE=30°，DE=BE=2，
∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°，
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
，
∴△DPE≌△FDH，
∴FH=DE=2，
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，
当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，
当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10﹣2=8，21世纪教育网版权所有
∴F1F2=DQ=8，
∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．
【答案】 A
【例2】(2010,南京)如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）设AE=x时，△EGF面积为y．求y关于x的函数关系式，并写x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．www-2-1-cnjy-com
【分析】（1）①E、A重合时，三角形EFG的底和高都等于正方形的边长，由此可得到其面积；
②E、A不重合时；易证得△AEM≌△DFM，则EM=FM，由勾股定理易求得EM的长，即可得出EF的长；下面求MG的长，过M作MN⊥BC于N，则AB=MN=2AM，由于∠AME和∠NMC同为∠EMN的余角，由此可证得△AEM∽△NCM，根据相似三角形得到的关于AM、MN、EM、MC的比例关系式，即可求得MC的表达式，进而可由三角形的面积公式求出y、x的函数关系式；
（2）可分别作出E、A重合和E、B重合时P点的位置（即P为A与E重合时得到的对应点，P′为E与B重合时的对应点），此时可发现PP′正好是△EGG′的中位线，则P点运动的距离为GG′的一半；Rt△BMG′中，MG⊥BG′，易证得∠MBG=∠GMG′，根据∠MBG的正切值即可得到GG′、GM（即正方形的边长）的比例关系，由此得解．
【解析】（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2；
当点E与点A不重合时，0＜x≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，
∴∠MDF=90°，
∴∠A=∠MDF
∵AM=DM，∠AMF=∠DMF，
∴△AME≌△DMF，
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=
∴EF=2MF=2
过点M作MN⊥BC，垂足为N（如图）
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°，
∴∠GMN+∠EMN=90°，
∴∠AME=∠GMN，
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴，即
∴MG=2ME=2
∴y=EF·MG=×2×2=2x2+2，
∴y =2x2+2，其中0≤x≤2。点P运动路线的长为2．【答案】（1）y =2x2+2，其中0≤x≤2．
（2）点P运动路线的长为2【例3】如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P。
求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值。
(5)动点N从B点开始沿BO边向点O以每秒2个单位的速度运动，动点F从点O开始OC边向点C以每秒1个单位的速度运动，当N到达点O时，点F也随之停止运动，在整个运动过程中，求线段NF的中点所经过的路径长。（直接写答案）21教育网
【解析】（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），∴解得
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；
（2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，-1），
∴满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，2-1），M3（2，），M4（2，-2-1）；
（3）由（1），得A（1，0），连接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∴当△ABC∽△PBQ时
∴BQ=3，
∴Q1（0，0），
∴当△ABC∽△QBP时，
∴BQ=，
∴Q2（，0）；
（4）当0＜x＜3时，在此抛物线上任取一点E连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，-x+3），点E（x，x2-4x+3），
∴EF=-x2+3x，
∴S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF·OB=-x2+x
∵a=-＜0，
∴当x=时，S△CBE有最大值，
∴y=x2-4x+3=-，
∴E（，-）2-1-c-n-j-y
（5）利用中点坐标公式，用时间t表示线段NF的中点坐标，从而分析出中点的运动轨迹是一条线段，利用勾股定理求得长为21*cnjy*com
【答案】（1）∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；
（2）∴满足条件的点M为M1（2，7），M2（2，2-1），M3（2，），M4（2，-2-1）；
（3）由∴Q1（0，0），Q2（，0）；
（4）∴E（，-）【来源：21cnj*y.co*m】
（5）
【点评】本题是以抛物线为背景结合相似、等腰三角形、最值等知识点的一个综合题，考查了分类的思想方法，综合性较强，难度较大。第（5）小题，坐标系中研究动点问题，可以设点坐标用函数的思想方法来解决。【出处：21教育名师】
【例4】.（2014 烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）
（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．
【解析】（1）AE=DF，AE⊥DF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴∠APD=90°，
∴AE⊥DF；
（2）是；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠DCF=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴AE⊥DF；
（3）成立；理由如下：
同（1）得：AE=DF，∠DAE=∠CDF，
延长FD交AE于点G，如图所示：
则∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AE⊥DF．
（4）如图：
由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC= 21cnjy.com
∴CP=QC-QP=
【答案】（1）垂直（2）是（3）成立（6）
【点评】：本题是四边形综合题，考查了正方形、全等、垂直、圆等知识点。前三题难度不大，但考生能从前三题的结论中分析出点P是在以AD为直径的圆上运动，故其路径是一段弧。进而在此基础上又考查了中考的另一个热门考点--最值问题。 21·cn·jy·com
二．跟踪练习
1．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为 （ ）A．π B．π C．π D．π2.（2106，武汉）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 （ ） A.π B.π C. 2 D. 2
3.如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点G，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（ ）
A.π B. C. D.【来源：21·世纪·教育·网】
4.（2011 自贡）如图，一根木棒(AB)长为2a，斜靠在与地面(OM)垂直的墙壁(ON)上，与地面的倾斜角(∠ABO)为60°，当木棒A端沿NO向下滑动到A′，AA′＝(－)a，B端沿直线OM向右滑动到B′时，木棒的中点从P随之运动到P′所经过的路径长为___________21·世纪*教育网
5.[2017·泰州]如图6－2－1，在平面内，线段AB＝6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC＝PA，若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为___
6.如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是______．
7.(2015 徐州模拟)已知：如图 ABCD中，CD=CB=3，∠C=60°，点E是CD边上自C向D的动点www.21-cn-jy.com
（点E到点D停止运动），连结AE，以AE为边作等边△AEP，连结DP．
（1）求证：△ABE≌△ADP；
（2）当点E运动到点D处，作△ADP的外接圆⊙O，判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）点P随点E的运动而运动，请直接写出点P的运动路径长 ．
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