5.1 平行四边形
一、平行四边形的概念：两组对边分别________的四边形叫做平行四边形.
二、平行四边形的性质
1、平行四边形的邻角________，对角________.
2、平行四边形的对边________且________.
3、平行四边形的对角线________.
4、平行四边形是________对称图形，对称中心是对角线的________.
三、平行四边形的判定
1、两组对边分别________的四边形是平行四边形.
2、两组对边分别________的四边形是平行四边形.
3、两组对角分别________的四边形是平行四边形.
4、一组对边________且________的四边形是平行四边形.
5、对角线________的四边形是平行四边形.
四、平行线间的距离
1、概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的________，叫作两条平行线间的距离.
2、性质：
（1）两条平行线间的距离处处________；
（2）夹在两条平行线间的平行线段________.
考点一：平行四边形的识别
如图，利用格点 A，B，C，D，E，F 中的四个点为顶点，你能画出多少个不同的平行四边形?请在图中画出来．21*cnjy*com
【答案】3个，作图见解析.
【解析】解:共3个，如图所示，
(1)∵AB=CD=3，且AB∥CD.
∴四边形ABDC为平行四边形.
(2)∵AE=DF=，AF=ED=.
∴四边形AFDE为平行四边形.
(3)∵BF=EC=，BE=FC=.
∴四边形BFCE为平行四边形.
【点评】利用平行四边形的定义即可作图.
变式跟进1 在图中, 互相全等的平行四边形按一定的规律排列.其中，第①个图形中有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为 个.21教育网
考点二：平行四边形的性质
平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B＝45°，则∠BAE的大小是( )
A. 75° B. 70° C. 65° D. 60°
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∠BAC=180°-∠B=180°-45°=135°，
∵△EAF是等边三角形，∴∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=75°，
故选A.
【点评】由四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，根据平行四边形的邻角互补，可求得∠DAB的度数，又由△EAF是等边三角形，即可求得∠EAF的度数，继而求得答案,
变式跟进2如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是（ ）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
考点三：平行四边形的判定
已知四边形ABCD中,AB∥CD.则添加下列条件,不能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）21cnjy.com
A. AD∥BC B. AD=BC C. AB=CD D∠B=∠D
【答案】B
【解析】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
∵AB∥CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意;
∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∴可添加的条件是：AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，故选项C不符合题意；
∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B.
【点评】利用平行四边形的判定即可得出结论.
变式跟进3如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
考点四：两条平行线间的距离
平行线之间的距离是指（ ）
A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
【答案】B
【解析】解：平行线之间的距离是指：从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度．
故选B．
【点评】根据平行线间的距离的定义直接进行选择即可．
变式跟进4如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB，垂足为E．若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为 （ ）
A．3 B．5 C．6 D．不能确定
考点五：平行四边形综合应用
如图，在?ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．www.21-cn-jy.com
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【版权所有：21教育】
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．
∴∠ADE=∠CBF=60°．
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）解：上述结论还成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．
∴∠AED=∠CFB．
又∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中．
∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，AD=BC，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．
又∵∠DAB=∠BCD，
∴∠EAF=∠FCE．
∴四边形EAFC是平行四边形．
【点评】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．21·cn·jy·com
（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．21教育名师原创作品
变式跟进5探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上的一点
（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM =________;
（2）如图2：当点M与B与A均不重合时，S△DCM =________
（3）如图3：当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM =________
推广：平行四边形ABCD的面积为a，E、F为两边DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE.求出图4中阴影部分的面积，并简要说明理由21世纪教育网版权所有
应用：如图5是某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行DC、AD，PQ、MN交于O点，其中S四边形AM OP＝300m2,S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2.现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域MQD，连接DM、QD、QM，（图中阴影部分）种植不同的花草，求三角形DMQ区域的面积.
一、选择题
1、（2016?曲靖）数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（? ）【来源：21·世纪·教育·网】
A、2个 B、4个 C、6个 D、8个
2、（2017?眉山）如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（?? ）21·世纪*教育网
A、14 B、13 C、12 D、10
3、（2016?义乌）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（? ）
A、①，② B、①，④ C、③，④ D、②，③
4、（2016?河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（?? ） www-2-1-cnjy-com
A、150° B、130° C、120° D、100°
5、（2017?黑龙江）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（?? ）2-1-c-n-j-y
A、22 B、20 C、22或20 D、18
6、（2017?黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（?? ）21*cnjy*com
A、BD＜2 B、BD=2 C、BD＞2 D、以上情况均有可能
7、（2017?青岛）如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB= ，AC=2，BD=4，则AE的长为（?? ）
A、 B、 C、 D、
8、（2017?绥化）如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：① = ；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（?? ）
A、①②③④ B、①④ C、②③④ D、①②③
二、填空题
9、（2017?扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A=________．
10、（2016?邵阳）如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
11、（2016?衢州）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=________．
12、（2017?南充）如图，在?ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S?AEPH=________．
13、（2017?通辽）在?ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB=________．
14、（2017?宁夏）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为________．
15、（2017?六盘水）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=________．
16、（2017?呼和浩特）如图，在?ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为________．
三、解答题
17、（2017?益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．
18、（2016?益阳）如图，在?ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．
19、（2017?宁波）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．
如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．
(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．
20、（2017?舟山）如图， 是 的中线， 是线段 上一点（不与点 重合）． 交 于点 ， ，连结 ．【出处：21教育名师】
(1)如图1，当点 与 重合时，求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图2，当点 不与 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
(3)如图3，延长 交 于点 ，若 ，且 ．当 ， 时，求 的长．
一、选择题
1、（2017山东曹县二模）如图，点A是反比例函数y= 的图象上的一点，过A作?ABCD，使点B在x轴上，点D在y轴上，已知?ABCD的面积为6，则k的值为（?? ）
A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6
2、（2017山东胶州一模）如图，?ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE等于（?? ）
A、 B、2 C、2 D、2.5
3、（2017广西港南区二模）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（?? ）
A、12.5° B、15° C、20° D、22.5°
4、（2017山东济南槐荫区一模）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1 ， S2 ． 若S=3，则S1+S2的值为（?? ）
A、24 B、12 C、6 D、3
5、（2017山东泰安肥城二模）如图，在?ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G．若BG=4 ，则△CEF的面积是（?? ）
A、 B、2 C、3 D、4
6、（2017山东日照莒县二模）如图，矩形ABCD的面积为20cm2 ， 对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（?? ）
A、cm2 B、cm2 C、cm2 D、cm2
7、（2017广西贵港港南区二模）如图，在?ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（?? ）
A、 B、 C、 D、
8、（2017河北唐山迁安一模）在?ABCD中，∠ACB=25°，现将?ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数（?? ）
A、135° B、120° C、115° D、100°
二、填空题
9、（2017江苏昆山期末）如图， 中，点E、F为对角线BD上两点，请添加一个条件，使四边形AECF成为平行四边形：________.
10、（2017山东潍坊昌乐县模拟）如图，在?ABCD中，DB=DC，∠C的度数比∠ABD的度数大54°，AE⊥BD于点E，则∠DAE的度数等于________． 2·1·c·n·j·y
11、（2017云南昆明五华区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=________．
12、（2017广东河源模拟）如图，在?ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为________．
13、（2017山东枣庄三模）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=________度．
14、（2017山东临沂兰山区模拟）如图，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为________．
15、（2017江苏南京玄武区一模）如图，在?ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则?ABCD的面积为________．
16、（2016黑龙江大庆校级期中）已知：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（0，﹣1）．点D在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有________?个．
三、解答题
17、（2017山东济南槐荫区二模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，若∠AEB=∠CFD．求证：四边形AECF是平行四边形．
18、（2017北京顺义区一模）如图，?ABCD中，BE⊥CD于E，CE=DE．求证：∠A=∠ABD．
19、（2017山西太原校级期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30o，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．
（1）求证：AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
20、（2017四川绵阳校级模拟）如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD=90°，求证：△ABR≌△CRD；
（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？
5.1 平行四边形
一、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
二、平行四边形的性质
1、平行四边形的邻角互补，对角相等.
2、平行四边形的对边平行且相等.
3、平行四边形的对角线互相平分.
4、平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.
三、平行四边形的判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形.
四、平行线间的距离
1、概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作两条平行线间的距离.
2、性质：
（1）两条平行线间的距离处处相等；
（2）夹在两条平行线间的平行线段相等.
考点一：平行四边形的识别
如图，利用格点 A，B，C，D，E，F 中的四个点为顶点，你能画出多少个不同的平行四边形?请在图中画出来．
【答案】3个，作图见解析.
【解析】解:共3个，如图所示，
(1)∵AB=CD=3，且AB∥CD.
∴四边形ABDC为平行四边形.
(2)∵AE=DF=，AF=ED=.
∴四边形AFDE为平行四边形.
(3)∵BF=EC=，BE=FC=.
∴四边形BFCE为平行四边形.
【点评】利用平行四边形的定义即可作图.
变式跟进1 在图中, 互相全等的平行四边形按一定的规律排列.其中，第①个图形中有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为 个.
【答案】41
【解析】解：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，
图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，
图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，
∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41
【点评】本题是一道找规律问题，探究图形序号与平行四边形个数之间的关系，即可得出规律.
考点二：平行四边形的性质
平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B＝45°，则∠BAE的大小是( )
A. 75° B. 70° C. 65° D. 60°
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∠BAC=180°-∠B=180°-45°=135°，
∵△EAF是等边三角形，∴∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=75°，
故选A.
【点评】由四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，根据平行四边形的邻角互补，可求得∠DAB的度数，又由△EAF是等边三角形，即可求得∠EAF的度数，继而求得答案,
变式跟进2如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是（ ）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故选C．
【点评】由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
考点三：平行四边形的判定
已知四边形ABCD中,AB∥CD.则添加下列条件,不能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A. AD∥BC B. AD=BC C. AB=CD D∠B=∠D
【答案】B
【解析】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
∵AB∥CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意;
∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∴可添加的条件是：AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，故选项C不符合题意；
∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B.
【点评】利用平行四边形的判定即可得出结论.
变式跟进3如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
【答案】证明见解析.
【解析】解：连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，
∵ABDE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴OB=OE，OA=OD，
∵AF=DC，
∴OF=OC，
∴四边形BCEF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．可连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，由线段之间的关系可得OF=OC，OB=OE，可证明其为平行四边形．
考点四：两条平行线间的距离
平行线之间的距离是指（ ）
A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
【答案】B
【解析】解：平行线之间的距离是指：从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度．
故选B．
【点评】根据平行线间的距离的定义直接进行选择即可．
变式跟进4如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB，垂足为E．若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为 （ ）
A．3 B．5 C．6 D．不能确定
【答案】C．
【解析】解：作PF⊥AD于F，PG⊥BC于G，
∵AP是∠BAD的角平分线，PF⊥AD，PE⊥AB，
∴PF=PE=3，
∵BP是∠ABC的角平分线，PE⊥AB，PG⊥BC，
∴PG=PE=3，
∵AD∥BC，
∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG=6，
故选C．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、平行线之间的距离. 利用转化思想求解是解题的关键所在.
考点五：平行四边形综合应用
如图，在?ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．www.21-cn-jy.com
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．
∴∠ADE=∠CBF=60°．
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）解：上述结论还成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．
∴∠AED=∠CFB．
又∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中．
∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，AD=BC，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．
又∵∠DAB=∠BCD，
∴∠EAF=∠FCE．
∴四边形EAFC是平行四边形．
【点评】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．【来源：21cnj*y.co*m】
（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．
变式跟进5探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上的一点
（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM =________;
（2）如图2：当点M与B与A均不重合时，S△DCM =________
（3）如图3：当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM =________
推广：平行四边形ABCD的面积为a，E、F为两边DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE.求出图4中阴影部分的面积，并简要说明理由
应用：如图5是某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行DC、AD，PQ、MN交于O点，其中S四边形AM OP＝300m2,S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2.现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域MQD，连接DM、QD、QM，（图中阴影部分）种植不同的花草，求三角形DMQ区域的面积.
【答案】(1)50;(2)50;(3)50;推广:阴影部分的面积为a,应用S△DMQ=700,证明见解析.
【解析】解：(1)设平行四边形ABCDCD边上的高为h,则△DCM边CD的高也为h,
∵S平行四边形ABCD=CD×h,
∴S△DCM=CD×h=S平行四边形ABCD=50.
(2)设平行四边形ABCDCD边上的高为h,则△DCM边CD的高也为h,
∵S平行四边形ABCD=CD×h,
∴S△DCM=CD×h=S平行四边形ABCD=50.
(3)设平行四边形ABCDCD边上的高为h,则△DCM边CD的高也为h,
∵S平行四边形ABCD=CD×h,
∴S△DCM=CD×h=S平行四边形ABCD=50.
推广:阴影部分的面积为a,设平行四边形ABCD边AB上的高为h,AD边上的高为H,
则S△ADF=AD× h=S平行四边形ABCD=a,
S△ABE=AB×h=S平行四边形ABCD=a,
故阴影部分的面积=S△ADF+S△ABE=a.
应用:连接OD,由推广的结论,有
S△DOM=S平行四边形AMOP=150,S△DOQ=S平行四边形OQCN=350,S△MOQ=S平行四边形OMBQ=200,
∴S△DMQ=S△DOM+S△DOQ+S△MOQ=150+350+200=700.
【点评】本题主要考查平行四边形面积问题.利用平行四边形的面积公式求解并将其推广应用解决实际问题是解题的关键.
一、选择题
1、（2016?曲靖）数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（? ）
A、2个 B、4个 C、6个 D、8个
【答案】C
【解析】解：如图，
∵AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，
∴OA=OE=AF=EF，
∴四边形AOEF是平行四边形，
同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABOD都是平行四边形，共6个，
故选C
【点评】根据正六边形的性质，直接判断即可；此题是正多边形和圆，主要考查了正六边形的性质，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解本题的关键．注意：数平行四边形个数时，按顺时针或逆时针数．
2、（2017?眉山）如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（?? ）
A、14 B、13 C、12 D、10
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18， ∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，AD∥BC，
∴CD+AD=9，∠OAE=∠OCF，
在△AEO和△CFO中， ，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF=1.5，AE=CF，
则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12．
故选C．
【点评】先利用平行四边形的性质求出AB=CD，BC=AD，AD+CD=9，可利用全等的性质得到△AEO≌△CFO，求出OE=OF=3，即可求出四边形的周长．
3、（2016?义乌）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（? ）
A、①，② B、①，④ C、③，④ D、②，③
【答案】 D
【解析】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选D．
【点评】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
4、（2016?河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（?? ）
A、150° B、130° C、120° D、100°
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BED=150°，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．
故选C．
【点评】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．
5、（2017?黑龙江）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（?? ）
A、22 B、20 C、22或20 D、18
【答案】C
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB． ∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
①当BE=3，EC=4时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．
②当BE=4，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．
故选：C．
【点评】根据AE平分∠BAD及AD∥BC可得出AB=BE，BC=BE+EC，从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长．2-1-c-n-j-y
6、（2017?黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（?? ）
A、BD＜2 B、BD=2 C、BD＞2 D、以上情况均有可能
【答案】A
【解析】证明：∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
同理∠CBD=∠CDB
∵∠ABC=2∠DBE，
∴∠ABE+∠CBD=∠DBE，
∵∠ABE=∠AEB，∠CBD=∠CDB，
∴∠AEB+∠CDB=∠DBE，
∴∠AED+∠CDE=180°，
∴AE//CD，
∵AE=CD，
∴四边形AEDC为平行四边形．
∴DE=AC=AB=BC．
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=CD=1，
在△BCD中，∵BD＜BC+CD，
∴BD＜2．
故选A．
【点评】先根据等腰三角形的底角相等，得出∠AED+∠CDE=180°，判定AE//CD，再根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得出△ABC是等边三角形．
7、（2017?青岛）如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB= ，AC=2，BD=4，则AE的长为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形， ∴AO= AC=1，BO= BD=2，
∵AB= ，
∴AB2+AO2=BO2 ，
∴∠BAC=90°，
∵在Rt△BAC中，BC= = =
S△BAC= ×AB×AC= ×BC×AE，
∴ ×2= AE，
∴AE= ，
故选D．
【点评】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
8、（2017?绥化）如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：① = ；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（?? ）
A、①②③④ B、①④ C、②③④ D、①②③
【答案】D
【解析】解：∵在?ABCD中，AO= AC， ∵点E是OA的中点，
∴AE= CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴ = = ，
∵AD=BC，
∴AF= AD，
∴ = ；故①正确；
∵S△AEF=4， =（ ）2= ，
∴S△BCE=36；故②正确；
∵ = = ，
∴ = ，
∴S△ABE=12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选D．
【点评】根据平行四边形的性质得到AE= CE，根据相似三角形的性质得到 = = ，等量代换得到AF= AD，于是得到 = ；故①正确；根据相似三角形的性质得到S△BCE=36；故②正确；根据三角形的面积公式得到S△ABE=12，故③正确；由于△AEF与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ACD不一定相似，故④错误．
二、填空题
9、（2017?扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A=________．
【答案】80°
【解析】解： ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
∵∠B+∠D=200°，
∴∠B=∠D=100°，
∴∠A=180°﹣∠B=180°﹣100°=80°，
故答案为：80°．
【点评】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案．
10、（2016?邵阳）如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．21·世纪*教育网
【答案】AD∥BC
【解析】解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．
故答案是：AD∥BC．
【点评】根据平行四边形的定义或判定定理即可解答．本题考查了平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，理解定义是关键．www-2-1-cnjy-com
11、（2016?衢州）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=________．
【答案】 4或﹣2
【解析】解：根据题意画图如下：
以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1），
则x=4或﹣2；
故答案为：4或﹣2．
【点评】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出x的值．此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
12、（2017?南充）如图，在?ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S?AEPH=________．
【答案】4
【解析】解：∵EF∥BC，GH∥AB， ∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP ，
同理可得S△PHD=S△DFP ， S△ABD=S△CDB ，
∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD=S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP ，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG ．
∵CG=2BG，S△BPG=1，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；
故答案为：4．
【点评】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG ． ，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．21cnjy.com
13、（2017?通辽）在?ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB=________．
【答案】8或3
【解析】解：①如图1，
在?ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在?ABCD中，
∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
【点评】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，得出AB=BE=CF=CD，分两种情况，即可得到结论．
14、（2017?宁夏）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为________．
【答案】105°
【解析】解：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBG，
由折叠可得∠ADB=∠BDG，
∴∠DBG=∠BDG，
又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°，
∴∠ADB=∠BDG=25°，
又∵∠2=50°，
∴△ABD中，∠A=105°，
∴∠A'=∠A=105°，
故答案为：105°．
【点评】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的外角性质求出∠BDG=∠DBG= ∠1=25°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
15、（2017?六盘水）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=________．
【答案】
【解析】解：过O点作OM∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM=BM= AB= ，OM= BC=4，
∵AF//OM，
∴△AEF∽△MEO，
∴ = ，
∴ = ，
∴AF= ，
故答案为 ．
【点评】过O点作OM∥AD，求出AM和MO的长，利用△AEF∽△MEO，得到关于AF的比例式，求出AF的长即可．
16、（2017?呼和浩特）如图，在?ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为________．
【答案】3：4
【解析】解：设AB=AC=m，则BM= m， ∵O是两条对角线的交点，
∴OA=OC= AC= m，
∵∠B=30°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=30°，
∵EF⊥AC，
∴cos∠ACB= ，即cos30°= ，
∴FC= m，
∵AE∥FC，
∴∠EAC=∠FCA，
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=FC= m，
∴OE= AE= m，
∴S△AOE= OA?OE= × × m= m2 ，
作AN⊥BC于N，
∵AB=AC，
∴BN=CN= BC，
∵BN= AB= m，
∴BC= m，
∴BF=BC﹣FC= m﹣ m= m，
作MH⊥BC于H，
∵∠B=30°，
∴MH= BM= m，
∴S△BMF= BF?MH= × m× m= m2 ，
∴ = = ．
故答案为3：4．
【点评】作MH⊥BC于H，设AB=AC=m，则BM= m，MH= BM= m，根据平行四边形的性质求得OA=OC= AC= m，解直角三角形求得FC= m，然后根据ASA证得△AOE≌△COF，证得AE=FC= m，进一步求得OE= AE= m，从而求得S△AOE= m2 ， 作AN⊥BC于N，根据等腰三角形的性质以及解直角三角形求得BC= m，进而求得BF=BC﹣FC= m﹣ m= m，分别求得△AOE与△BMF的面积，即可求得结论．21*cnjy*com
三、解答题
17、（2017?益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
又∵F是CD的中点，即DF=CF，
∴△ADF≌△ECF，
∴AD=CE，
∴BC=CE．
【点评】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．
18、（2016?益阳）如图，在?ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE
【点评】首先证明AE∥CF，△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质可得AE=CF，然后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF=CE．此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
19、（2017?宁波）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．
如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．
(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【解析】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°.
又∵BF=DH,
∴AD+DH=BC+BF
即AH=CF.
在Rt△AEH中，EH=.
在Rt△CFG中，FG=.
∵AE=CG，
∴EH=FG.
同理得，EF=HG.
∴四边形EFGH为平行四边形.
（2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1.
设AE=x，则BE=x+1.
∵在Rt△BEF中，∠BEF=45°.
∴BE=BF.
∵BF=DH,
∴DH=BE=x+1.
∴AH=AD+DH=x+2.
∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=2，
∴AH=2AE.
∴2+x=2x.
∴x=2.
即AE=2.
【点评】（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°.根据BF=DH,得出AH=CF.根据勾股定理 EH=.FG=.由AE=CG得出EH=FG.EF=HG；从而证明四边形EFGH为平行四边形.21·cn·jy·com
（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1； 设AE=x，则BE=x+1；在Rt△BEF中，∠BEF=45°.得出BE=BF=DH=x+1；AH=AD+DH=x+2.在Rt△AEH中，利用正切即可求出AE的长.
20、（2017?舟山）如图， 是 的中线， 是线段 上一点（不与点 重合）． 交 于点 ， ，连结 ．
(1)如图1，当点 与 重合时，求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图2，当点 不与 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
(3)如图3，延长 交 于点 ，若 ，且 ．当 ， 时，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DH=1+.
【解析】（1）证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，
∵CE//AM，
∴∠ECD=∠ADB，
又∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，
∴△ABD?△EDC，
∴AB=ED，又∵AB//ED,
∴四边形ABDE为平行四边形.
（2）解：结论成立，理由如下：
过点M作MG//DE交EC于点G，
∵CE//AM，
∴四边形DMGE为平行四边形，
∴ED=GM且ED//GM，
由（1）可得AB=GM且AB//GM，
∴AB=ED且AB//ED.
∴四边形ABDE为平行四边形.
（3）解：取线段HC的中点I，连结MI，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI//BH,MI=BH，
又∵BH⊥AC，且BH=AM，
∴MI=AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°
设DH=x,则AH=x，AD=2x,
∴AM=4+2x，∴BH=4+2x,
由（2）已证四边形ABDE为平行四边形，
∴FD//AB，
∴△HDF~△HBA，
∴， 即
解得x=1±（负根不合题意，舍去）
∴DH=1+.
【点评】（1）由DE//AB，可得同位角相等：∠EDC=∠ABM，由CE//AM，可得同位角相等∠ECD=∠ADB，又由BD=DC，则△ABD?△EDC，得到AB=ED，根据有一组对边平行且相等，可得四边形ABDE为平行四边形.2·1·c·n·j·y
（2）过点M作MG//DE交EC于点G，则可得四边形DMGE为平行四边形，且ED=GM且ED//GM，由（1）可得AB=GM且AB//GM，即可证得；
（3）在已知条件中没有已知角的度数时，则在求角度时往特殊角30°，60°，45°的方向考虑，则要求这样的特殊角，就去找边的关系，构造直角三角形，取线段HC的中点I，连结MI，则MI是△BHC的中位线，可得MI//BH,MI=BH，且MI⊥AC，则去找Rt△AMI中边的关系，求出∠CAM；
设DH=x,即可用x分别表示出AH=x，AD=2x,AM=4+2x，BH=4+2x,由△HDF~△HBA，得到对应边成比例，求出x的值即可；
一、选择题
1、（2017山东曹县二模）如图，点A是反比例函数y= 的图象上的一点，过A作?ABCD，使点B在x轴上，点D在y轴上，已知?ABCD的面积为6，则k的值为（?? ）
A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6
【答案】D
【解析】解：设点A（x，y），?ABCD中BC边上的高为h， ∴AD=﹣x，h=y，
∵?ABCD的面积为6，
∴﹣xy=6，
∴k=xy=﹣6
故选D
【点评】由平行四边形的性质可知：AD=BC，设点A（x，y），利用?ABCD的面积即可求出k的值．
2、（2017山东胶州一模）如图，?ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE等于（?? ）
A、 B、2 C、2 D、2.5
【答案】A
【解析】解：作CF⊥AD于F，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，
∴∠DCF=30°，
∴DF= CD=2，
∴CF= DF=2 ，
∵CF⊥AD，OE⊥AD，CF∥OE，
∵OA=OC，
∴OE是△ACF的中位线，
∴OE= CF= ；
故选：A．
【点评】作CF⊥AD于F，由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，求出∠DCF=30°，由直角三角形的性质得出DF= CD=2，求出CF= DF=2 ，证出OE是△ACF的中位线，由三角形中位线定理得出OE的长即可．
3、（2017广西港南区二模）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（?? ） 【出处：21教育名师】
A、12.5° B、15° C、20° D、22.5°
【答案】B
【解析】解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF= ∠BOF=15°，
故选：B．
【点评】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根据圆周角定理计算即可．21教育网
4、（2017山东济南槐荫区一模）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1 ， S2 ． 若S=3，则S1+S2的值为（?? ）
A、24 B、12 C、6 D、3
【答案】B
【解析】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，
由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP ， S△ABP=S△QPB ，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF= BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．
故选：B．
【点评】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【版权所有：21教育】
5、（2017山东泰安肥城二模）如图，在?ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G．若BG=4 ，则△CEF的面积是（?? ）
A、 B、2 C、3 D、4
【答案】B
【解析】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE；
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=6，
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AE=2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=4 ，
∴AG═2，
∴AE=2AG=4；
∴S△ABE= AE?BG= ×4×4 =8 ．
∵BE=6，BC=AD=9，
∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，
∴BE：CE=6：3=2：1．
∵AB//FC，
∴△ABE∽△FCE，
∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，
则S△CEF= S△ABE=2 ．
故选B．
【点评】首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD//BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，证明△ABE∽△FCE，再分别求出△ABE的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案．
6、（2017山东日照莒县二模）如图，矩形ABCD的面积为20cm2 ， 对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（?? ）
A、cm2 B、cm2 C、cm2 D、cm2
【答案】B
【解析】方法一：
解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2 ，
∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的 ，
∴平行四边形AOC1B的面积= S，
∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1 ，
∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的 ，
∴平行四边形AO1C2B的面积= × S= ，
…，
依此类推，平行四边形AO4C5B的面积= = = （cm2）．
故选：B．
方法二：
?q= ，a1=10，
∴an=10? ，∴a5=10? = ．
【点评】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的 ，然后求解即可．
7、（2017广西贵港港南区二模）如图，在?ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】解：作DF⊥AB于点F，
∵AD=2，∠A=30°，∠DFA=90°，
∴DF=1，
∵AD=AE=2，AB=4，
∴BE=2，
∴阴影部分的面积是：4×1﹣ =3﹣ ，
故选A．
【点评】根据题意可以得到平行四边形底边AB上的高，由图可知图中阴影部分的面积是平行四边形的面积减去扇形的面积和△EBC的面积．
8、（2017河北唐山迁安一模）在?ABCD中，∠ACB=25°，现将?ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数（?? ）
A、135° B、120° C、115° D、100°
【答案】 C
【解析】解：由折叠可得：∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠AEF，∠DFE=∠GFE， ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=130°，
∴∠FEC=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE+∠FEC=180°，
∴∠DFE=115°，
∴∠GFE=115°，
故选：C．
【点评】首先根据折叠找到对应相等的角∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠AEF，∠DFE=∠GFE，然后根据三角形内角和可算出∠AEC，进而可得∠FEC的度数，再根据平行四边形的性质可得∠DFE=115°，进而可得答案．
二、填空题
9、（2017江苏昆山期末）如图， 中，点E、F为对角线BD上两点，请添加一个条件，使四边形AECF成为平行四边形：________.
【答案】DF=BE
【解析】解：∵AD∥BC，
∴∠FDA=∠EBC，
∵AD=BC，DF=BE，
∴△ADF≌△CBE，
∴AF=EC，
同理,△ABE≌△CFD，
∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形.
【点评】使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，可添加条件DF=BE
10、（2017山东潍坊昌乐县模拟）如图，在?ABCD中，DB=DC，∠C的度数比∠ABD的度数大54°，AE⊥BD于点E，则∠DAE的度数等于________．
【答案】12°
【解析】解：设∠C=x，则∠ABD=x﹣54°， ∵DB=CD，
∴∠C=∠DBC=x°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴x+x+x﹣54°=180°，
∴x=78，
即∠C=∠DBC=78°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=78°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=180°﹣90°﹣78°=12°，
故答案为：12°．
【点评】设∠C=x，则∠ABD=x﹣54°，求出∠C=∠DBC=x°，根据AB∥CD推出x+x+x﹣54°=180°，求出x，求出∠ADB，在△ADE中，根据三角形的内角和定理求出即可．
11、（2017云南昆明五华区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=________．
【答案】3
【解析】解：连接CM，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴NM= CB，MN//BC，又CD= BD，
∴MN=CD，又MN//BC，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM= AB=3，
∴DN=3，
故答案为：3．
【点评】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM= CB，MN//BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM= AB=3，等量代换即可．
12、（2017广东河源模拟）如图，在?ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为________． 21*cnjy*com
【答案】10
【解析】解：∵EF∥AB ∴△DEF∽△DAB
∴EF：AB=DE：DA=DE：（DE+EA）=2：5
∴AB=10
∵在?ABCD中AB=CD．
∴CD=10．
【点评】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例可解得AB的长，而在?ABCD中，CD=AB．
13、（2017山东枣庄三模）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=________度．
【答案】45
【解析】解；连接OD．
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AB⊥OD，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=45°，
∴∠C=∠A=45°．
故答案为45．
【点评】连接OD，只要证明△AOD是等腰直角三角形即可推出∠A=45°，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题．
14、（2017山东临沂兰山区模拟）如图，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为________．
【答案】15
【解析】解：∵?ABCD的周长为36， ∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB= BD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE= CD，
∴OE= BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE= BD+ （BC+CD）=6+9=15，
即△DOE的周长为15．
故答案为：15．
【点评】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE= BC，所以易求△DOE的周长．
15、（2017江苏南京玄武区一模）如图，在?ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则?ABCD的面积为________．
【答案】16
【解析】解：连接AC，交BD于点O，
∵E、F分别是AD、CD的中点，
∴EF是△DAC的中位线，
∴EM∥AO，EM= AO，
∴S△DEM：S△DAO=1：4，
∴S△DEM：S△DAC=1：8，
∴S△DEM：S平行四边形ABCD=1：16，
∵△DEM的面积为1，
∴?ABCD的面积为16，
故答案为：16．
【点评】连接AC，由已知条件易证EF是△DAC的中位线，所以△DEM和△DAO的面积比可求出，进而由△DEM的面积为1，即可求出?ABCD的面积．
16、（2016黑龙江大庆校级期中）已知：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（0，﹣1）．点D在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有________?个．
【答案】3
【解析】解：如图，D点共有3个，
故答案为：3．
【点评】根据几个点的坐标在平面直角坐标系中描出来，然后利用平行四边形的对边相等将D点的坐标描出来即可．
三、解答题
17、（2017山东济南槐荫区二模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，若∠AEB=∠CFD．求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EAF，
∵∠AEB=∠CFD，
∴∠EAF=∠CFD，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形
【点评】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明．
18、（2017北京顺义区一模）如图，?ABCD中，BE⊥CD于E，CE=DE．求证：∠A=∠ABD．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵BE⊥CD，CE=DE，
∴BE是线段DC的垂直平分线．
∴BC=BD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC．
∴AD=BD．
∴∠A=∠ABD
【点评】由线段垂直平分线的性质得出BC=BD．由平行四边形的性质得出AD=BC．证出AD=BD．即可得出∠A=∠ABD．21教育名师原创作品
19、（2017山西太原校级期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30o，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．
（1）求证：AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】证明：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE，∠EAF=60o，
又∵∠BAC＝30o，∠ACB=90o，
∴∠ABC＝60o， ∴∠EAF＝∠ABC，
又∵∠ACB=∠EFA=90" o，∴△ABC≌△EAF．
∴AC＝EF．
（2）∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC，∠DAC=60o，
∴AD= EF，
又∵∠CAB=30o，∴∠DAB=90o，
∵∠EFA=90 o，∴AD∥EF
∴四边形ADFE是平行四边形．
【点评】（1）利用三角形全等可证AC＝EF.（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
20、（2017四川绵阳校级模拟）如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形．21世纪教育网版权所有
（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD=90°，求证：△ABR≌△CRD；
（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）证明：∵∠ABD=90°，AB∥CR，
∴CR⊥BD．
∵BC=CD，
∴∠BCR=∠DCR．
∵四边形ABCR是平行四边形，
∴∠BCR=∠BAR．
∴∠BAR=∠DCR．
又∵AB=CR，AR=BC=CD，
∴△ABR≌△CRD（SAS）．
（2）解：由PS∥QR，PS∥RD（四边形PRDS为平行四边形）知，点R在QD上，
又∵PS∥BC，PS∥RD，
故BC∥AD．
又由AB=CD知∠A=∠CDA，
因为SR∥PQ∥BA，
所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．
由PS∥BC
∴△DCB∽△DSP，
∵BC=CD，
∴SP=SD．而SP=DR，
所以SR=SD=RD，
故∠CDA=60°．
因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°．
（注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可．）
【点评】（1）可先证CR⊥BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，求得∠BCR=∠DCR，进而求得∠BAR=∠DCR，又有AB=CR，AR=BC=CD，可证△ABR≌△CRD；（2）由PS∥BC，PS∥RD知，点R在QD上，故BC∥AD．又由AB=CD知∠A=∠CDA因为SR∥PQ∥BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．由PS∥BC及BC=CD知SP=SD．而SP=DR，所以SR=SD=RD故∠CDA=60度．因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°
