5.2 菱形
一、菱形的概念
有一组________的平行四边形叫做菱形.
二、菱形的性质
1、菱形的四条边________；
2、菱形的对角线互相________，并且每一条对角线平分一组________
3、菱形即是________图形，又是中心对称图形
注意：菱形具有________的一切性质！
三、菱形的判定
1、有一组邻边相等的________是菱形
2、四边都________的四边形是菱形
3、对角线互相________的平行四边形是菱形
四、菱形的面积：
S菱形＝底×________＝两条对角线________的一半
考点一：菱形的辨别
如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形，图4中有30个菱形……,则第6个图中菱形的个数是 个.
【答案】36
【解析】解：
图1中菱形的个数：M1=1=12
图2中菱形的个数：M2=5=22+1
图3中菱形的个数：M3=14=32+22+1
图4中菱形的个数：M4=30=42+32+22+1
……
图n中菱形的个数：Mn=n2+（n-1）2+……+52+42+32+22+1 =
∴当n=6时，M6=91
【点评】这类题目的关键在于找出规律的一般表达式.
变式跟进1已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2017个图形中菱形的个数有__________ 个
考点二：菱形的性质
菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，则菱形的周长为_____________.
【答案】16
【解析】解：菱形有一个内角为60°，
则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，
∴可得边长为4，
则菱形周长为16．
故答案为16．
【点评】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大，关键熟练掌握若菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形．
变式跟进2如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°，点O、B在y轴上，OA=1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3…，连续翻转2017次，则B2017的坐标为______．www-2-1-cnjy-com
考点三：菱形的判定
如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的长．
【答案】（1）四边形EBGD是菱形．理由见解析；（2）1+
【解析】解：（1）四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形．
（2）作DH⊥BC于H，
∵四边形EBGD为菱形ED=DG=2，
∴∠ABC=30°，∠DGH=30°，
∴DH=1，GH=，
∵∠C=45°，
∴DH=CH=1，
∴CG=GH+CH=1+．
【点评】（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．（2）作DH⊥BC于H，由四边形EBGD为菱形ED=DG=2，求出GH，CH即可解决问题．
变式跟进3如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：2·1·c·n·j·y
①EF⊥AC； ②四边形ADFE为菱形； ③AD=4AG； ④FH=BD
其中正确的结论有（ ）．
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
考点四：有关于菱形面积的计算
菱形的边长是，一条对角线的长是,则菱形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，可由勾股定理求得另一条对角线为2，然后根据菱形的面积公式求解为×2×=2.【出处：21教育名师】
故选：B.
【点评】此题主要考查了菱形的性质，解题时，先根据菱形的对角线互相垂直平分得到直角三角形，然后根据勾股定理求出另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于菱形的对角线之积的一半可求出菱形的面积.21教育名师原创作品
变式跟进4如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是 ．
考点五：菱形的综合运用
△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．
（1）如图1，求证：DE?CD=DF?BE
（2）D为BC中点如图2，连接EF．
①求证：ED平分∠BEF；
②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②.
【解析】解：（1）证明：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠DEB，
∴△BDE∽△CFD，
∴，
即DE?CD=DF?BE；
（2）解：①由（1）证得△BDE∽△CFD，
∴，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∴，
∵∠B=∠EDF，
∴△BDE∽△DEF，
∴∠BED=∠DEF，
∴ED平分∠BEF；
②∵四边形AEDF为菱形，
∴∠AEF=∠DEF，
∵∠BED=∠DEF，
∴∠AEF=60°，
∵AE=AF，
∴∠BAC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴△BED是等边三角形，
∴BE=DE，
∵AE=DE，
∴AE=AB，
∴=．
【点评】（1）先根据题意得出△BDE∽△CFD，再由相似三角形的性质即可得出结论；（2）①根据相似三角形的性质得到，推出△BDE∽△DEF，根据相似三角形的性质即可得到结论；②由四边形AEDF为菱形，得到∠AEF=∠DEF，于是得到∠AEF=60°，推出△ABC是等边三角形，△BED是等边三角形，得到BE=DE，即可得到结论．
变式跟进5如图，△ABC是等边三角形，点A坐标为(-8，0)、点B坐标为(8，0)，点C在y轴的正半轴上．一条动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线交于点D，与线段BC交于点E．以DE为边向左侧作等边△DEF，EF与y轴的交点为G．当点D与点E重合时，直线l停止运动，设直线l的运动时间为t秒(t >0)．
（1）填空：点C的坐标为_____，四边形ODEG的形状一定是_____；
（2）请用t 的代数式表示线段DE 的长；
（3）试探究：四边形ODEG能不能是菱形？若能，求出相应的t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，点G恰好落在以DE为直径的⊙M上？并求出此时⊙M的半径．
一、选择题
1、（2017?益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（? ?）
A、对角线互相平分 B、对角线互相垂直
C、对角线相等 D、既是轴对称图形又是中心对称图形
2、（2017?河南）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有（?? ）21·cn·jy·com
A、AC⊥BD B、AB=BC C、AC=BD D、∠1=∠2
3、（2017?海南）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（?? ）
A、14 B、16 C、18 D、20
4、（2017?河北）求证：菱形的两条对角线互相垂直． 已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．www.21-cn-jy.com
求证：AC⊥BD．
以下是排乱的证明过程：
①又BO=DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（?? ）
A、③→②→①→④ B、③→④→①→② C、①→②→④→③ D、①→④→③→②
5、（2017·嘉兴）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．若平移点 到点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ??）
A、向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B、向左平移 个单位，再向上平移1个单位
C、向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D、向右平移1个单位，再向上平移1个单位
6、（2017?枣庄）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y= （x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（??? ）
A、﹣12 B、﹣27 C、﹣32 D、﹣36
7、（2017?赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2 ，则∠A=（?? ）【来源：21·世纪·教育·网】
A、120° B、100° C、60° D、30°
8、（2017?无锡）如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（?? ）21·世纪*教育网
A、5 B、6 C、2 D、3
9、（2017·台州）如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（??? ）21*cnjy*com
A、 B、2 C、 D、4
10、（2015?温州）如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（?? ）
A、y= B、y= C、y=2 D、y=3
二、填空题
11、（2017?乌鲁木齐）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为________．
12、（2017?十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=________．
13、（2017?荆州）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是________．
14、（2017?东营）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为________．
15、（2017?宁波）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则cos∠EFG的值为________．2-1-c-n-j-y
16、（2017?哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE= ，则CE的长为________．【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
17、（2017?宁夏）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
18、（2017?自贡）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF． 求证：∠ABF=∠CBE．21世纪教育网版权所有
19、（2016·广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．21cnjy.com
20、（2017?黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．
（1）旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）
（2）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．
一、选择题
1、（2017浙江模拟二）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是（??? ）【版权所有：21教育】
A、AB⊥AC B、AB=AC C、AB=BC D、AC=BC
2、（2017微山县校级一模）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．下列条件使四边形BECF为菱形的是（?? ）
A、BE⊥CE B、BF∥CE C、BE=CF D、AB=AC
3、（2017江淮联考二模）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（?? ）21教育网
A、AB=AD B、AC=BD C、AD=BC D、AB=CD
4、（2017宁波高新区4月模拟）如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成（内角不是直角）的菱形ABCD，也可以拼成正方形EFGH，则菱形ABCD面积和正方形EFGH面积之比为（?? ）
A、1 B、 C、 D、
5、（2017枣庄三模）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（?? ）
A、（1，﹣1） B、（﹣1，﹣1） C、（ ，0） D、（0，﹣ ）
6、（2017历下区二模）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（?? ）
A、14 B、15 C、16 D、17
7、（2017济南槐荫区一模）如图，菱形ABCD的周长为8，高AE长为 ，则AC：BD=（?）
A、1：2 B、1：3 C、1： D、1：
8、（2017高新区一模）如图，菱形ABCD放置在直线l上（AB与直线l重合），AB=4，∠DAB=60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径总长度为（?? ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
9、（2017上海青浦区二模）如图，在菱形ABCD中，EF∥BC， = ，EF=3，则CD的长为________．21*cnjy*com
10、（2017济南市中区三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y= 的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为________．
11、（2017东莞中堂联考）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于________．
12、（2017内江资中县二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是________．
13、（2017枣庄三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为________．
14、（2017石狮市模拟）如图，15个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为60°，A、B、C都在格点上，点D在过A、B、C三点的圆弧上，若E也在格点上，且∠AED=∠ACD，则cos∠AEC=________．
15、（2017东平县一模）如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB，若NF=NM=2，ME=3，则AN的长度为________．
16、（2017宿州埇桥区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAC=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①OG= AB；
②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S四边形CDGF＞S△ABF；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
三、解答题
17、（2017济宁三维斋一模）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)当α=30°时，求线段EF的长度．
18、（2016宜宾校级模拟）如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．
19、（2016攀枝花校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4， 另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
（1）求：GF的长度，等腰梯形DEFG的面积．
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF’G’(如图2)探究：在运动过程中，四边形BDG’G能否为菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．
20、（2017长春校级期末）感知：如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形.易知BE=DG ．
探究：如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F ． 求证：BE=DG ．
应用：如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD的延长线上.若AE=3ED, ∠A=∠F ， △EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为多少？
5.2 菱形
一、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
二、菱形的性质
1、菱形的四条边相等；
2、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
3、菱形即是轴对称图形，又是中心对称图形
注意：菱形具有平行四边形的一切性质！
三、菱形的判定
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四边都相等的四边形是菱形
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四、菱形的面积：
S菱形＝底×高＝两条对角线乘积的一半
考点一：菱形的辨别
如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形，图4中有30个菱形……,则第6个图中菱形的个数是 个.
【答案】36
【解析】解：
图1中菱形的个数：M1=1=12
图2中菱形的个数：M2=5=22+1
图3中菱形的个数：M3=14=32+22+1
图4中菱形的个数：M4=30=42+32+22+1
……
图n中菱形的个数：Mn=n2+（n-1）2+……+52+42+32+22+1 =
∴当n=6时，M6=91
【点评】这类题目的关键在于找出规律的一般表达式.
变式跟进1已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2017个图形中菱形的个数有__________ 个
【答案】1009
【解析】解：第1个图形，有1个菱形，
第2个图形，有1个菱形，
第3个图形，有2个菱形，
第4个图形，有2个菱形，…，
依此类推，当n为奇数时，菱形的个数是 ，当n为偶数时，菱形的个数是个，
所以，第2017个图形中菱形的个数是．
【点评】本题主要考查了图形的变化，根据前几个图形的菱形的个数，观察出与序号的关系式解题的关键．
考点二：菱形的性质
菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，则菱形的周长为_____________.
【答案】16
【解析】解：菱形有一个内角为60°，
则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，
∴可得边长为4，
则菱形周长为16．
故答案为16．
【点评】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大，关键熟练掌握若菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形．
变式跟进2如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°，点O、B在y轴上，OA=1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3…，连续翻转2017次，则B2017的坐标为______．
【答案】(1345.5, )
【解析】解：连接AC，如图所示.
∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC.
∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AC=OA.
∵OA=1，∴AC=1.
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示.
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4个单位.
∵2017=336×6+1，
∴点B1向右平移1344(即336×4)到点B2017.
∵B1的坐标为 ，
∴B2017的坐标为，
∴B2017的坐标为.
【点评】选按操作画出后面的几个图形，从而找出规律：每翻转6次，图形向右平移4个单位，再利用菱形的性质进行求解.
考点三：菱形的判定
如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的长．
【答案】（1）四边形EBGD是菱形．理由见解析；（2）1+
【解析】解：（1）四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形．
（2）作DH⊥BC于H，
∵四边形EBGD为菱形ED=DG=2，
∴∠ABC=30°，∠DGH=30°，
∴DH=1，GH=，
∵∠C=45°，
∴DH=CH=1，
∴CG=GH+CH=1+．
【点评】（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．（2）作DH⊥BC于H，由四边形EBGD为菱形ED=DG=2，求出GH，CH即可解决问题．
变式跟进3如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：www.21-cn-jy.com
①EF⊥AC； ②四边形ADFE为菱形； ③AD=4AG； ④FH=BD
其中正确的结论有（ ）．
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】C
【解析】解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC.
∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC.
∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE=AB,
∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC,∠ACB=90°，∴HF∥BC.
∵F是AB的中点， .
，AB=BD， ，故④说法正确；
∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°,∠BDF=30°.
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF.
∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA(AAS)，∴AE=DF.
∵FE=AB，∴四边形ADFE为平行四边形.
∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；
∵四边形ADFE为平行四边形,
， .
∵AD=AB，∴AD=4AG，故③说法正确，
所以正确的有：①③④.故选C.
【点评】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．
考点四：有关于菱形面积的计算
菱形的边长是，一条对角线的长是,则菱形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，可由勾股定理求得另一条对角线为2，然后根据菱形的面积公式求解为×2×=2.【来源：21cnj*y.co*m】
故选：B.
【点评】此题主要考查了菱形的性质，解题时，先根据菱形的对角线互相垂直平分得到直角三角形，然后根据勾股定理求出另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于菱形的对角线之积的一半可求出菱形的面积.
变式跟进4如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是 ．
【答案】15．
【解析】解：如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB=x，EB=9-x，AE=3，由勾股定理得到：，解得x=5，所以菱形的最大面积为5×3=15．
故答案为：15．
【点评】先求出所形成的菱形边的最大值，再利用菱形的面积＝底×高进行求解.
考点五：菱形的综合运用
△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．
（1）如图1，求证：DE?CD=DF?BE
（2）D为BC中点如图2，连接EF．
①求证：ED平分∠BEF；
②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②.
【解析】解：（1）证明：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠DEB，
∴△BDE∽△CFD，
∴，
即DE?CD=DF?BE；
（2）解：①由（1）证得△BDE∽△CFD，
∴，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∴，
∵∠B=∠EDF，
∴△BDE∽△DEF，
∴∠BED=∠DEF，
∴ED平分∠BEF；
②∵四边形AEDF为菱形，
∴∠AEF=∠DEF，
∵∠BED=∠DEF，
∴∠AEF=60°，
∵AE=AF，
∴∠BAC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴△BED是等边三角形，
∴BE=DE，
∵AE=DE，
∴AE=AB，
∴=．
【点评】（1）先根据题意得出△BDE∽△CFD，再由相似三角形的性质即可得出结论；（2）①根据相似三角形的性质得到，推出△BDE∽△DEF，根据相似三角形的性质即可得到结论；②由四边形AEDF为菱形，得到∠AEF=∠DEF，于是得到∠AEF=60°，推出△ABC是等边三角形，△BED是等边三角形，得到BE=DE，即可得到结论．
变式跟进5如图，△ABC是等边三角形，点A坐标为(-8，0)、点B坐标为(8，0)，点C在y轴的正半轴上．一条动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线交于点D，与线段BC交于点E．以DE为边向左侧作等边△DEF，EF与y轴的交点为G．当点D与点E重合时，直线l停止运动，设直线l的运动时间为t秒(t >0)．
（1）填空：点C的坐标为_____，四边形ODEG的形状一定是_____；
（2）请用t 的代数式表示线段DE 的长；
（3）试探究：四边形ODEG能不能是菱形？若能，求出相应的t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，点G恰好落在以DE为直径的⊙M上？并求出此时⊙M的半径．
【答案】（1） (0，)，平行四边形；（2）DE=；（3）能，t=4； （4）t=3，r=；2-1-c-n-j-y
【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵∠BOC=90°，
∴tan∠OBC== ，
∵OB=8，
∴OC=8 ，
∴C（0，8 ）；
由题意可得M（t,0）,
∴D（t, t）,
∵tan∠ODM= ，
∴∠ODM=60°，
∵∠DEF=60°，
∴EF//OD，
∵l//y轴，
∴四边形ODEG是平行四边形；
（2）∵B（8，0），C（0，8 ），
∴yBC =- ,
∴E（t, -），D（t, t），
∴EP=-，DP= t ，
∴DE=8 -；
（3）当OD=DE时，四边形ODEG是菱形，
由（1）可得OD= ，
∴=8 ，
解得t=4；
（4）连接DG，当∠DGE=90°时，点G恰好落在以DE为直径的⊙M上，
∴点G是EF的中点，
∴EG= DE，
又∵EG=OD，
∴OD= DE，即 t=（8 -），
解得t=3,
∴DE=4 ，
∴半径r=.
【点评】本题主要考查等边三角形、三角函数、一次函数、平行四边形、菱形、一元一次方程等知识，能正确地根据题意确定出DE长、OD与DE的关系是解决问题的关键.
一、选择题
1、（2017?益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（? ?）
A、对角线互相平分 B、对角线互相垂直
C、对角线相等 D、既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】C
【解析】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确； B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；
C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；
D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；
故选：C．
【点评】根据菱形的性质解答即可得．
2、（2017?河南）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有（?? ）www-2-1-cnjy-com
A、AC⊥BD B、AB=BC C、AC=BD D、∠1=∠2
【答案】C
【解析】解：A、正确．对角线相等是平行四边形的菱形． B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．
故选C．
【点评】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
3、（2017?海南）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（?? ）
A、14 B、16 C、18 D、20
【答案】C
【解析】解：∵在菱形ABCD中，AC=8，BD=6， ∴AB=BC，∠AOB=90°，AO=4，BO=3，
∴BC=AB= =5，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18．
故选：C．
【点评】利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．
4、（2017?河北）求证：菱形的两条对角线互相垂直． 已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
以下是排乱的证明过程：
①又BO=DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（?? ）
A、③→②→①→④ B、③→④→①→② C、①→②→④→③ D、①→④→③→②
【答案】B
【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴BO=DO，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD，
∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，
故选B．
【点评】根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可．
5、（2017·嘉兴）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．若平移点 到点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ??）
A、向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B、向左平移 个单位，再向上平移1个单位
C、向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D、向右平移1个单位，再向上平移1个单位
【答案】D
【解析】解：因为B（1,1）
由勾股定理可得OB=,
所以OA=OB，
而AB故以AB为对角线，OB//AC，
由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
故选D.
【点评】根据平移的性质可得OB//AC，平移A到C，有两种平移的方法可使O，A，B，C四点构成的四边形是平行四边形；而OA=OB>AB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.
6、（2017?枣庄）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y= （x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（??? ）
A、﹣12 B、﹣27 C、﹣32 D、﹣36
【答案】 C
【解析】解：∵A（﹣3，4）， ∴OA= =5，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO=CB=OC=AB=5，
则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，
故B的坐标为：（﹣8，4），
将点B的坐标代入y= 得，4= ，
解得：k=﹣32．
故选C．
【点评】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．
7、（2017?赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2 ，则∠A=（?? ）
A、120° B、100° C、60° D、30°
【答案】A
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD，
∴BD=2EF=4 ，
∴BO=2 ，
∴AO= =2，
∴AO= AB，
∴∠ABO=30°，
∴∠BAO=60°，
∴∠BAD=120°．
故选A．
【点评】连接AC，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，得出EF∥BD，得出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，进而可得到BO的长，由勾股定理可求出AO的长，则∠ABO可求出，继而∠BAO的度数也可求出，再由菱形的性质可得∠A=2∠BAO．21·世纪*教育网
8、（2017?无锡）如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（?? ）
A、5 B、6 C、2 D、3
【答案】C
【解析】解：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．
∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，
∴AB?DH=32O，
∴DH=16，
在Rt△ADH中，AH= =12，
∴HB=AB﹣AH=8，
在Rt△BDH中，BD= =8 ，
设⊙O与AB相切于F，连接AF．
∵AD=AB，OA平分∠DAB，
∴AE⊥BD，
∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，
∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，
∴△AOF∽△DBH，
∴ = ，
∴ = ，
∴OF=2 ．
故选C．
【点评】如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．利用菱形的面积公式求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得 = ，延长即可解决问题．
9、（2017·台州）如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（??? ）
A、 B、2 C、 D、4
【答案】A
【解析】解：依题可得阴影部分是菱形.
∴设S菱形ABCD=16,BE=x.
∴AB=4.
∴阴影部分边长为4-2x.
∴（4-2x）2=1.
∴4-2x=1或4-2x=-1.
∴x=或x=（舍去）.
∴==.
故答案为A.
【点评】依题可得阴影部分是菱形.设S菱形ABCD=16,BE=x.从而得出AB=4，阴影部分边长为4-2x.根据（4-2x）2=1求出x,从而得出答案.21cnjy.com
10、（2015?温州）如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（?? ）
A、y= B、y= C、y=2 D、y=3
【答案】 B
【解析】解：∵ON是Rt∠AOB的平分线， ∴∠DOC=∠EOC=45°，
∵DE⊥OC，
∴∠ODC=∠OEC=45°，
∴CD=CE=OC=x，
∴DF=EF，DE=CD+CE=2x，
∵∠DFE=∠GFH=120°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE?tan30°= x，
∴EF=2CF= x，
∴S△DEF= DE?CF= x2 ，
∵四边形FGMH是菱形，
∴FG=MG=FE= x，
∵∠G=180°﹣∠GFH=60°，
∴△FMG是等边三角形，
∴S△FGH= x2 ，
∴S菱形FGMH= x2 ，
∴S阴影=S△DEF+S菱形FGMH= x2 ．
故选B．
【点评】由在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，可得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，即可得OC垂直平分DE，求得DE=2x，再由∠DFE=∠GFH=120°，可求得C与DF，EF的长，继而求得△DF的面积，再由菱形FGMH中，FG=FE，得到△FGM是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答案．
二、填空题
11、（2017?乌鲁木齐）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为________．
【答案】2
【解析】解：∵菱形ABCD， ∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴OD=1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO= = ，
∴AC=2 ，
则S菱形ABCD= AC?BD=2 ，
故答案为：2
【点评】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积．21·cn·jy·com
12、（2017?十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=________．
【答案】20°
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=OB，
∵DE⊥BC于E，
∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，
∴OE= BD，
∴OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ABC=140°，
∴∠OBE=70°，
∴∠OED=90°﹣70°=20°，
故答案为：20°．
【点评】由菱形的性质可知O为BD中点，所以OE为直角三角形BED斜边上的中线，由此可得OE=OB，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠OED的度数．
13、（2017?荆州）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是________．21*cnjy*com
【答案】60°或120°
【解析】解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=OB=BC，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．
故答案为：60°或120°．
【点评】连接OB，则AB=OA=OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC=60°，∠AD′C=120°，据此可得出结论．
14、（2017?东营）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为________．
【答案】2
【解析】解：如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，
∴AB=BC=4，AB?CE′=8 ，
∴CE′=2 ，
在Rt△BCE′中，BE′= =2，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，最小值为CE的长=2 ，
故答案为2 ．
【点评】如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，由此求出CE即可解决问题．
15、（2017?宁波）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则cos∠EFG的值为________．
【答案】
【解析】解：连接BE、AE交FG于点O,
∵菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，E为CD中点，
∴BE⊥CD,CE=1,BC=2,∠C＝60°,∠ABC＝120°,
∴BE=,∠CBE＝30°,
∴∠FBE＝90°,
∴AE===.
∵△AGF翻折至△EGF，
∴△AGF≌△EGF,
∴AF=EF,∠AFG＝∠EFG,
在Rt△EBF中，设BF=x,则AF=EF=2-x,
∴（2-x）2=x2+（）2
∴x=,EF=,
又∵AG=EG,AF=EF,
∴GF垂直平分AE，
∴EO=.
∴FO===
在Rt△EOF中.
∴cos∠EFG==.
故答案为：.
【点评】连接BE、AE交GF于点O,在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，E为CD中点，以及图形的翻折，可以求出BE， BF，EF，AE，
根据AG=EG,AF=EF,得出GF垂直平分AE，从而求出EO，FO，最后在Rt△EOF中，利用三角函数定义即可得出答案.
16、（2017?哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE= ，则CE的长为________．
【答案】4 或2
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
∴OB= BD=3，
∴OC=OA= =3 ，
∴AC=2OA=6 ，
∵点E在AC上，OE= ，
∴CE=OC+ 或CE=OC﹣ ，
∴CE=4 或CE=2 ；
故答案为：4 或2 ．
【点评】由菱形的性质证出△ABD是等边三角形，得出BD=AB=6，OB= BD=3，由勾股定理得出OC=OA= =3 ，即可得出答案．【版权所有：21教育】
三、解答题
17、（2017?宁夏）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵AB∥DM， ∴∠BAM=∠AMD，
∵△ADC是由△ABC翻折得到，
∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，
∴∠DAM=∠AMD，
∴DA=DM=AB=BM，
∴四边形ABMD是菱形．
【点评】只要证明AB=BM=MD=DA，即可解决问题．
18、（2017?自贡）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF． 求证：∠ABF=∠CBE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∠A=∠C，
∵在△ABF和△CBE中， ，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF=∠CBE
【点评】根据菱形的性质可得AB=BC，∠A=∠C，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论．
19、（2016·广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴DF=BE．
【点评】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．
20、（2017?黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD． 2·1·c·n·j·y
（1）旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）
（2）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．
【答案】（1）AC′=BD′，AC′⊥BD′；（2）BD′= AC′，AC′⊥BD’
【解析】解：（1）图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
在△AOC′与△BOD′中， ，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′；
（2）图3结论：BD′= AC′，AC′⊥BD’
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB= OA，OD= OC，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，
∴ = ，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴ = = ，∠OAC′=∠OBD′，
∴BD′= AC′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′．
【点评】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论； 图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB= OA，OD= OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′= AC′，于是得到结论．
一、选择题
1、（2017浙江模拟二）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是（??? ）21教育网
A、AB⊥AC B、AB=AC C、AB=BC D、AC=BC
【答案】B
【解析】解：AB=AC，理由是：∵AB=AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，
∵D、F分别为AB和AC的中点，∴DF∥BC，∴AE⊥DF，
∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，∴EF∥AD，DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵AE⊥DF，∴四边形ADEF是菱形，
即只有选项B的条件能推出四边形ADEF是菱形，选项A、C、D的条件都不能推出四边形ADEF是菱形，故选B．
【点评】利用菱形的判定利用四个选项分别进行推理证明即可.
2、（2017微山县校级一模）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．下列条件使四边形BECF为菱形的是（?? ）
A、BE⊥CE B、BF∥CE C、BE=CF D、AB=AC
【答案】D
【解析】解：条件是AB=AC， 理由是：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴EF⊥BC，BD=DC，
∵DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形，
选项A、B、C的条件都不能推出四边形BECF是菱形，
即只有选项D正确，选项A、B、C都错误；
故选D．
【点评】根据等腰三角形的性质和已知求出EF⊥BC，BD=DC，先根据平行四边形的判定得出四边形BECF是平行四边形，再根据菱形的判定推出即可．
3、（2017江淮联考二模）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（?? ）
A、AB=AD B、AC=BD C、AD=BC D、AB=CD
【答案】D
【解析】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点， ∴EF=GH= AB，EH=FG= CD，【出处：21教育名师】
∵当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，
∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．
故选：D．
【点评】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF=GH= AB，EH=FG= CD，又由当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，即可求得答案．
4、（2017宁波高新区4月模拟）如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成（内角不是直角）的菱形ABCD，也可以拼成正方形EFGH，则菱形ABCD面积和正方形EFGH面积之比为（?? ）
A、1 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】解：设直角三角形的长直角边为b，短直角边为a， ∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
即2a=AD，
∴∠A=60°，
∴b= a
∴S菱形ABCD=2ab=2 a2 ， 正方形EFGH面积=（2a）2=4a2 ，
∴菱形ABCD面积和正方形EFGH面积之比= = ，
故选C．
【点评】设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，于是得到2a=AD，根据直角三角形的性质得到∠A=60°，求得b= a于是得到S菱形ABCD=2ab=2 a2 ， 正方形EFGH面积=（2a）2=4a2 ， 即可得到结论．
5、（2017枣庄三模）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（?? ）
A、（1，﹣1） B、（﹣1，﹣1） C、（ ，0） D、（0，﹣ ）
【答案】B
【解析】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得
D点坐标为（1，1）．
每秒旋转45°，则第60秒时，得
45°×60=2700°，
2700°÷360=7.5周，
OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），
故选：B．
【点评】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标．
6、（2017历下区二模）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（?? ）
A、14 B、15 C、16 D、17
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，
故选C．
【点评】根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．
7、（2017济南槐荫区一模）如图，菱形ABCD的周长为8，高AE长为 ，则AC：BD=（?? ）
A、1：2 B、1：3 C、1： D、1：
【答案】D
【解析】解：如图，
设AC，BD相较于点O，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=BC=2，
∵高AE长为 ，
∴BE= =1，
∴CE=BE=1，
∴AC=AB=2，
∵OA=1cm，AC⊥BD，
∴OB= = ，
∴BD=2OB=2 ，
∴AC：BD=1： ．
故选D．
【点评】首先设设AC，BD相较于点O，由菱形ABCD的周长为8，可求得AB=BC=2，又由高AE长为 ，利用勾股定理即可求得BE的长，继而可得AE是BC的垂直平分线，则可求得AC的长，继而求得BD的长，则可求得答案．
8、（2017高新区一模）如图，菱形ABCD放置在直线l上（AB与直线l重合），AB=4，∠DAB=60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径总长度为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】解：如图，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中弧线长．
由题意可知 = ，∠DOA2=120°，DO=4 ，
所以点A运动经过的路径的长度=2× + = π+ π，
故选：D．
【点评】画出图形即可知道，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长，由此即可解决问题．
二、填空题
9、（2017上海青浦区二模）如图，在菱形ABCD中，EF∥BC， = ，EF=3，则CD的长为________．
【答案】12
【解析】解：∵在菱形ABCD中，EF∥BC， = ，EF=3， ∴△AEF∽△ABC，AB=BC=CD=DA， ，
∴ ，
∴ ，
解得，BC=12，
∴CD=12，
故答案为：12．
【点评】要求CD的长，只要求出菱形的任意一条边长即可，根据题意可以求得△AEF∽△ABC，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
10、（2017济南市中区三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y= 的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为________．
【答案】4
【解析】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E， ∵A，B两点在反比例函数y= 的图象上且纵坐标分别为3，1，
∴A，B横坐标分别为1，3，
∴AE=2，BE=2，
∴AB=2 ，
S菱形ABCD=底×高=2 ×2=4 ，
故答案为4 ．
【点评】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．
11、（2017东莞中堂联考）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于________．
【答案】3
【解析】解：∵菱形ABCD的周长等于24， ∴AD= =6，
在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，
∴OH= AD=3．
故答案为：3．
【点评】根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AD的中点，从而求得OH的长．
12、（2017内江资中县二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是________．
【答案】2 ﹣2
【解析】解：如图所示：
∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴MD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD= MD=1，
∴FM=DM×cos30°= ，
∴MC= =2 ，
∴A′C=MC﹣MA′=2 ﹣2．
故答案为：2 ﹣2．
【点评】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．21*cnjy*com
13、（2017枣庄三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为________．
【答案】15
【解析】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点， ∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC= =5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=5，BC∥x轴，
∴S△BCD= ×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣ （x﹣3）2+15，
∵﹣ ＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
故答案为15．
【点评】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD= ×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣ （x﹣3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．
14、（2017石狮市模拟）如图，15个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为60°，A、B、C都在格点上，点D在过A、B、C三点的圆弧上，若E也在格点上，且∠AED=∠ACD，则cos∠AEC=________．
【答案】
【解析】解：将圆补充完整，找出点E的位置，如图所示．
∵ 所对的圆周角为∠ACD、∠AEC，
∴图中所标点E符合题意．
∵四边形∠CMEN为菱形，且∠CME=60°，
∴△CME为等边三角形，
∴cos∠AEC=cos60°= ．
故答案为： ．
【点评】将圆补充完整，利用圆周角定理找出点E的位置，再根据菱形的性质即可得出△CME为等边三角形，进而即可得出cos∠AEC的值．21教育名师原创作品
15、（2017东平县一模）如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB，若NF=NM=2，ME=3，则AN的长度为________．
【答案】4
【解析】解：设AN=x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠MAE=∠NAF，
∵∠AEM=∠AFN=90°，
∴△MAE∽△NAF，
∴ = ，
∴ = ，
∴x=4，
∴AN=4，
故答案为4．
【点评】由△MAE∽△NAF，推出 = ，可得 = ，解方程即可解决问题．
16、（2017宿州埇桥区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAC=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①OG= AB；
②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S四边形CDGF＞S△ABF；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
【答案】①④
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中， ，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG= CD= AB，①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中， ，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG= AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积= △ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S四边形ODGF=S△ABF；不正确；
正确的是①④．
故答案为：①④．
【点评】由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG= CD= AB，①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，④正确；由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确；证出OG是△ABD的中位线，得出OG∥AB，OG= AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；即可得出结果．
三、解答题
17、（2017济宁三维斋一模）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．21世纪教育网版权所有
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)当α=30°时，求线段EF的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∴ ，
∴AE=CF，OE=OF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF．
（2）解：当α=30°时，即∠AOE=30°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠OAD=60°，
∴∠AEO=90°，
在Rt△AOB中，
sin∠ABO= = = ，
∴AO=1，
在Rt△AEO中，
cos∠AOE=cos30°= = ，
∴OE= ，
∴EF=2OE= ．
【点评】（1）首先证明AE=CF，OE=OF，结合AO=CO，利用SSS证明△AOE≌△COF；（2）首先画出α=30°时的图形，根据菱形的性质得到EF⊥AD，解三角形即可求出OE的长，进而得到EF的长．【来源：21·世纪·教育·网】
18、（2016宜宾校级模拟）如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理AB=AF．
∴AF=BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，
∴AP=AB=2，
∴PH=，DH=5，
∴tan∠ADP==．
【点评】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=[MISSING IMAGE: , ]， DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
19、（2016攀枝花校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4， 另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
（1）求：GF的长度，等腰梯形DEFG的面积．
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF’G’(如图2)探究：在运动过程中，四边形BDG’G能否为菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1），6；（2）是菱形，2.
【解析】解：（1）∵G、F分别是AB、AC的中点，
∴GF=1/2BC=1/2×4=2.
过G点作GM⊥BC于M，
∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，G为AB中点.
∴GM=
∴S梯形DEFG=1/2（2+4）×=6，
∴等腰梯形DEFG的面积为6
（2）能为菱形
由BG∥DG′，GG′∥BC
∴四边形BDG′G是平行四边形
又AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，
∴AB=AC=4，
当BD=BG=1/2AB=2时，四边形BDG′G为菱形.
此时可求得x=2，
∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形
【点评】（1）根据三角形中位线定理求出GF的长，再利用辅助线的帮助过点GM⊥BC于M．推出2GF=BC，G为AB中点可知GM的值．从而求出梯形面积.
（2）①BG∥DG′，GG′∥BC推出四边形BDG′G是平行四边形；当BD=BG=1/2AB=2时，四边形BDG′G为菱形.
20、（2017长春校级期末）感知：如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形.易知BE=DG ．
探究：如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F ． 求证：BE=DG ．
应用：如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD的延长线上.若AE=3ED, ∠A=∠F ， △EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为多少？
【答案】探究：证明见解析；应用：20.
【解析】探究：证明∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F．
∵∠A=∠F，
∴∠BCD=∠ECG．
∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD，
即∠BCE=∠DCG．
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG．
应用：
解:∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∵BE=DG，
∴S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8，
∵AE=3ED，
∴S△CDE= ?,
∴S△ECG=S△CDE+S△CDG=10
∴S菱形CEFG=2S△ECG=20.
【点评】探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，利用SAS易证得△BCE≌△DCG，则可得BE=DG；应用：由AD∥BC，BE=DG，可得S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8，又由AE=3ED，可求得△CDE的面积，继而求得答案．
