5.3 矩形
一、矩形的概念
有一个角是________的平行四边形叫做矩形。
二、矩形的性质
1、矩形的________都是直角；
2、矩形的对角线________；
3、矩形即是________图形，又是中心对称图形
注意：矩菱具有________的一切性质！
三、矩形的判定
1、有一个角是直角的________是矩形
2、有三个角是________的四边形是矩形
3、对角线________的平行四边形是矩形
考点一：矩形的辨别
已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ）
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A.15 B.24 C.25 D.26
【答案】D
【解析】解：图形中不含阴影的最小的矩形有10个，两个小矩形组成的矩形有10个，三个小矩形组成的矩形有4个，四个小矩形组成的矩形有2个．2-1-c-n-j-y
根据以上分析不含阴影的矩形个数为26个．
故选D．
【点评】本题可分类找出图形中的矩形，这样可以不重不漏．
变式跟进1下列图形都是有同样大小的矩形按 ( http: / / www.21cnjy.com )一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共18个矩形，第③图形中一共有36个矩形…则第⑧个图形中矩形的个数为（ ）
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A． 126 B． 168 C． 216 D． 372
考点二：矩形的性质
将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为（，0） ( http: / / www.21cnjy.com / )，点D（，1）在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
（1）当 ( http: / / www.21cnjy.com / )时，点B的坐标为________，点E的坐标为_________；
（2）随着 ( http: / / www.21cnjy.com / )的变化，试探索：点 ( http: / / www.21cnjy.com / )能否恰好落在 ( http: / / www.21cnjy.com / )轴上？若能， 请求出 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值；若不能，请说明理由．
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【答案】（1）（0，1），；（2）点E能恰好落在x轴上，
【解析】解：（1）点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）
（2）点E能恰好落在x轴上.理由如下：
∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°．
由折叠的性质可得：DE=BD=OA-CD=4－1=3，AE=AB=OC=m．
如图所示，
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假设点E恰好落在x轴上，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得，
，
则有．
在Rt△AOE中，OA2+OE2=AE2，
即，解得．
【点评】（1）根据点A、点D、点C的坐标和 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；
（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可．【版权所有：21教育】
变式跟进2如图，CB＝CA，∠ACB＝90 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC.其中正确的结论个数是（ ）21世纪教育网版权所有
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
考点三：矩形的判定
如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是( )
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A. ∠ABC＝90° B. AC=BD C. AD=BC，AB //CD D. ∠BAD=∠ADC
【答案】C
【解析】A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故答案错误；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，故答案错误；
C．一组对边相等，另一组对边平行的平行四边形不能判定是矩形，故答案正确；
D．在平行四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＝180°，根据∠BAD=∠ADC可以得到∠BAD=90°，故答案错误．
故选：C．
【点评】利用矩形的判定定理即可判断.
变式跟进3△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
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考点四：矩形的综合应用
如图，矩形的对角线、交于点，点是边上的一个动点， 于， 于， ，则的最大值为__________．
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【答案】
【解析】解：设长为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴求的最大值，
∵，
∵，
，
∴，
∴，
∴当且仅当时， ．
【点评】利用矩形的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称性质进行解题.
变式跟进4四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB=3，BC=4，E，F 是对角线 AC上的两个动点，分别从 A，C 同时出发， 相向而行，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达后就停止运动．21cnjy.com
（1）若 G，H 分别是 AB，DC 中点，求证：四边形 EGFH 始终是平行四边形．
（2）在（1）条件下，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为矩形．
（3）若 G，H 分别是折线 A﹣B﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )C，C﹣D﹣A 上的动点，与 E，F 相同的速度同时出发，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为菱形．www.21-cn-jy.com
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一、选择题
1、（2017 玉林）如图，在矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有（ ）
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A、5个 B、8个 C、9个 D、11个
2、（2016 攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A、对角线相等的四边形是矩形 B、矩形的对角线相等且互相平分
C、对角线互相平分的四边形是矩形 D、矩形的对角线互相垂直且平分
3、（2017 怀化）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（ ）
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A、3cm B、6cm C、10cm D、12cm
4、（2017 乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 ( http: / / www.21cnjy.com / )且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（ ）
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A、1 B、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) C、2 D、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
5、（2017 临沂）在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
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A、若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B、若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C、若BD=CD，则四边形AEDF是菱形 D、若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
6、（2017 内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，3 ( http: / / www.21cnjy.com / )），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（ ）2·1·c·n·j·y
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A、（ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )） B、（2， ( http: / / www.21cnjy.com / )） C、（ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )） D、（ ( http: / / www.21cnjy.com / )，3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）
7、（2017 六盘水）矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A、a=4，b= ( http: / / www.21cnjy.com / )+2 B、a=4，b= ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣2 C、a=2，b= ( http: / / www.21cnjy.com / )+1 D、a=2，b= ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣1
8、（2017 宜宾）如图，在矩形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A、3 B、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) C、5 D、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
9、（2015 梧州）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（ ）
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A、四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
B、四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
C、四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
D、四边形ACEF是矩形，它的周长是4+4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
10、（2017 随州） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论： ①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（ ）
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A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
二、填空题
11、（2016 龙东）如图，在平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．21教育网
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12、（2017 营口）在矩形纸片AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为________．
13、（2017 河池）如图，在矩形ABCD中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是________． 【出处：21教育名师】
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14、（2017 咸宁）如图，点O ( http: / / www.21cnjy.com )是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕AE的长为________．
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15、（2017 哈尔滨）如图，在矩形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为________．
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16、（2017 潍坊）如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD边上，记为B′，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG，B′D′=2，BE= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC．则矩形纸片ABCD的面积为________．
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17、（2017 广东）如图，矩形纸 ( http: / / www.21cnjy.com )片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为________． 21·cn·jy·com
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三、解答题
18、（2015 厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y= ( http: / / www.21cnjy.com / )x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．
求证：四边形ABCD是矩形．
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19、（2017 北京）数学家吴文俊院 ( http: / / www.21cnjy.com )士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证． （以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据该图完成这个推论的证明过程．
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证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（________+________）．
易知，S△ADC=S△ABC ， ________=________，________=________．
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF ．
20、（2017·丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设 ( http: / / www.21cnjy.com / )=n.【来源：21·世纪·教育·网】
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(1)求证：AE=GE；
(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值；
(3)若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值.
1、（2017山东滨州无棣县一模）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（ ）21·世纪*教育网
A、当AB=BC时，四边形ABCD是矩形 B、当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形
C、当OA=OB时，四边形ABCD是矩形 D、当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
2、（2016黑龙江齐齐哈尔校 ( http: / / www.21cnjy.com )级模拟）如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，OA=2，若要使□ABCD为矩形，则OB的长应该为（ ） ．21*cnjy*com
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A、4 B、3 C、2 D、1
3、（2017浙江宁波高新区4月模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E、F都对角线AC上，且AE=EF=FC，则线段BE和DF的距离为（ ）21*cnjy*com
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A、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) B、1 C、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) D、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
4、（2017山东邹城市模拟）如图，在矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
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A、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) B、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) C、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) D、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
5、（2017江苏无锡新吴区 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，点M是边AB的中点，点P是矩形边上的一个动点，点P从M出发在矩形的边上沿着逆时针方向运动，则当点P沿着矩形的边逆时针旋转一周时，△DMP面积刚好为5cm2的时刻有（ ）
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A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
6、（2017江苏南京秦淮区一模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC=6，AF：FG：GD=3：2：1，则AB的长为（ ）
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A、1 B、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) C、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) D、2
7、（2017浙江乐清市模拟）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系中，矩形ABCD的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB∥y轴，CD交x轴于点M，过原点的直线EF分别交AD、BC边于点E、F，以EF为一边作矩形EFGH，并使EF的对边GH所在直线过点M，若点A的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH的面积的大小变化情况是（ ）
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A、一直减小 B、一直不变 C、先减小后增大 D、先增大后减小
8、（2017山东泰安市一模）在矩形ABCD中，AB=1，AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正确的个数是（ ） www-2-1-cnjy-com
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A、1 B、2 C、3 D、4
二、填空题
9、（2017湖北十堰张湾区模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是________．
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10、（2017上海浦东新区二模）如图，矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE=________．
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11、（2017上海徐汇区二模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F在边BC上，DG=2DE，AH是△ABC的高，BC=20，AH=15，那么矩形DEFG的周长是________．
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12、（2017江苏苏州市一模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )矩形ABCD中，AB=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°，点B、D分别落在点B′，D′处，且点A，B′，D′在同一直线上，则tan∠DAD′________．
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13、（2017河南周口西华县模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，矩形ABCD中，AB=2cm，BC=6cm，把△ABC沿对角线AC折叠，得到△AB′C，且B′C与AD相交于点E，则AE的长为________cm．
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14、（2017江苏连云港市四模）如图，已知矩形ABCD，AD=9，AB=6，若点G、H、M、N分别在AB、CD、AD、BC上，线段MN与GH交于点K．若∠GKM=45°，NM=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则GH=________．
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15、（2017山东济宁市押题）已 ( http: / / www.21cnjy.com )知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为________．
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16、（2017黑龙江哈尔滨市南岗区一模）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，点F在线段AG上，延长DA至点E，使AE=AF，连接EG，CG，DF，若EG=DF，点G在AC的垂直平分线上，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值为________
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三、解答题
17、（2016江苏徐州校级模拟）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，矩形ABCD，E、F在AB、CD上，且EF∥AD，M为EF的中点，连接AM、DM，求证：AM=DM．
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18、（2017云南大理校级模拟）在矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，点O是AC的中点，AC=2AB，延长AB至G，使BG=AB，连接GO交BC于E，延长GO交AD于F．
（1）求证：△ABC≌△AOG；
（2）猜测四边形AECF的形状并证明你的猜想．
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19、（2017山东青岛校级模拟）在平行四边形ABCD中，E为边上一点，连结AE并延长交直线DC于F，且CE=CF.
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（1）如图1，求证：AF是∠BAD的平分线；
（2）如图2，若∠ABC=90°，点G是线段EF上一点，连接DG、BD、CG，若∠BDG=45°，求证：CG= ( http: / / www.21cnjy.com / )EF.21教育名师原创作品
20、（2017浙江嘉兴市十校4月联考）已知，如图1，在 ( http: / / www.21cnjy.com / )中，AC=BC，点D是边AB的中点，E，F分别是AC和BC的中点，分别以CE，CF为一边向上作两个全等的矩形CEGH和矩形CFMN（其中EG=FM），依次连结DG、DM、GM.
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(1)求证： ( http: / / www.21cnjy.com / )是等腰三角形.
(2)如图2，若将上图中的两个全等的矩形改为两个全等的正三角形（ ( http: / / www.21cnjy.com / )和 ( http: / / www.21cnjy.com / ))，其他条件不变.请探究 ( http: / / www.21cnjy.com / )的形状，并说明理由.
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(3)若将上图中的两个全等的矩形改为两个正方形，并把 ( http: / / www.21cnjy.com / )中的边BC缩短到如图3形状，请探究 ( http: / / www.21cnjy.com / )的形状，并说明理由.
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知识回顾
考点精讲
例1
例2
例3
例4
真题在线
名校模拟
185.3 矩形
一、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
二、矩形的性质
1、矩形的四个角都是直角；
2、矩形的对角线相等；
3、矩形即是轴对称图形，又是中心对称图形
注意：矩菱具有平行四边形的一切性质！
三、矩形的判定
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形
2、有三个角是直角的四边形是矩形
3、对角线相等的平行四边形是矩形
考点一：矩形的辨别
已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.15 B.24 C.25 D.26
【答案】D
【解析】解：图形中不含阴影的最小的矩形有10个，两个小矩形组成的矩形有10个，三个小矩形组成的矩形有4个，四个小矩形组成的矩形有2个．
根据以上分析不含阴影的矩形个数为26个．
故选D．
【点评】本题可分类找出图形中的矩形，这样可以不重不漏．
变式跟进1下列图形都是有同样大小的 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共18个矩形，第③图形中一共有36个矩形…则第⑧个图形中矩形的个数为（ ）
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A． 126 B． 168 C． 216 D． 372
【答案】C
【解析】解：∵第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有18个矩形，第③个图形中一共有36个矩形，…，
∵图①矩形有6个=6×1，
图②矩形有18个=6×（1+2），
图③矩形有36个=6×（1+2+3），
∴第⑧个图形中矩形的个数为：6×（1+2+3+4+5+6+7+8）=216．
故选C．
【点评】由于图①矩形有6 ( http: / / www.21cnjy.com )个=6×1，图②矩形有18个=6×（2+1），图③矩形有36个=6×（1+2+3），由此即可得到第⑥个图形中矩形的个数．
考点二：矩形的性质
将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为（，0） ( http: / / www.21cnjy.com / )，点D（，1）在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
（1）当 ( http: / / www.21cnjy.com / )时，点B的坐标为________，点E的坐标为_________；
（2）随着 ( http: / / www.21cnjy.com / )的变化，试探索：点 ( http: / / www.21cnjy.com / )能否恰好落在 ( http: / / www.21cnjy.com / )轴上？若能， 请求出 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值；若不能，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）（0，1），；（2）点E能恰好落在x轴上，
【解析】解：（1）点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）
（2）点E能恰好落在x轴上.理由如下：
∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°．
由折叠的性质可得：DE=BD=OA-CD=4－1=3，AE=AB=OC=m．
如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
假设点E恰好落在x轴上，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得，
，
则有．
在Rt△AOE中，OA2+OE2=AE2，
即，解得．
【点评】（1）根据点A、点D、点C ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；
（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可．21教育名师原创作品
变式跟进2如图，CB＝CA，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB＝90 ，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC.其中正确的结论个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB=FB FG=S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD FE=AD2=FQ AC，④正确；
故选D．
【点评】本题是四边形综合题，考查了 ( http: / / www.21cnjy.com )相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．21cnjy.com
考点三：矩形的判定
如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是( )21*cnjy*com
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A. ∠ABC＝90° B. AC=BD C. AD=BC，AB //CD D. ∠BAD=∠ADC
【答案】C
【解析】A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故答案错误；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，故答案错误；
C．一组对边相等，另一组对边平行的平行四边形不能判定是矩形，故答案正确；
D．在平行四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＝180°，根据∠BAD=∠ADC可以得到∠BAD=90°，故答案错误．
故选：C．
【点评】利用矩形的判定定理即可判断.
变式跟进3△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．21教育网
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
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【答案】（1）证明见解析；（2）（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；理由见解析.
【解析】证明：（1）∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO；
（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：如图所示：
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∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠5=∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】（1）由于CE平分 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF；（2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．
考点四：矩形的综合应用
如图，矩形的对角线、交于点，点是边上的一个动点， 于， 于， ，则的最大值为__________．
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【答案】
【解析】解：设长为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴求的最大值，
∵，
∵，
，
∴，
∴，
∴当且仅当时， ．
【点评】利用矩形的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称性质进行解题.
变式跟进4四边形ABCD 中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=3，BC=4，E，F 是对角线 AC上的两个动点，分别从 A，C 同时出发， 相向而行，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
（1）若 G，H 分别是 AB，DC 中点，求证：四边形 EGFH 始终是平行四边形．
（2）在（1）条件下，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为矩形．
（3）若 G，H 分别是折线 A﹣B﹣C，C ( http: / / www.21cnjy.com )﹣D﹣A 上的动点，与 E，F 相同的速度同时出发，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为菱形．
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【答案】（1）证明见解析；（2）当 t 为 0.5s 或 4.5s 时，四边形 EGFH 为矩形；（3） t 为s 时，四边形 EGFH 为菱形.
【解析】解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，
∴AC==5，∠GAF=∠HCE，
∵G，H 分别是 AB，DC 中点，
∴AG=BG，CH=DH，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
在△AFG 和△CEH中，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF=HE，
同理：GE=HF，
∴四边形 EGFH 是平行四边形．
（2） 由（1）得：BG=CH，BG∥CH，
∴四边形 BCHG 是平行四边形，
∴GH=BC=4，当 EF=GH=4 时，平行四边形 EGFH 是矩形，分两种情况：
①AE=CF=t，EF=5﹣2t=4， 解得：t=0.5；
②AE=CF=t，EF=5﹣2（5﹣t）=4， 解得：t=4.5；
综上所述：当 t 为 0.5s 或 4.5s 时，四边形 EGFH 为矩形．
（3）连接 AG、CH，如图所示：
∵四边形 EGFH 为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
∴OA=OC，AG=AH，
∴四边形 AGCH 是菱形，
∴AG=CG，
设 AG=CG=x，则 BG=4﹣x， 由勾股定理得：AB2+BG2=AG2， 即 32+（4﹣x）2=x2，
解得：x= ，
∴BG=4﹣ = ，
∴AB+BG=3+ = ，
即 t 为s 时，四边形 EGFH 为菱形．
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【点评】（1）由矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，由勾股定理求出AC=5，由SAS证明△AFG≌△CEH，得出GF=HE，同理得出GE=HF，即可得出结论；（2）先证明四边形BCHG是平行四边形，得出GH=BC=4，当对角线EF=GH=4时，平行四边形EGFH是矩形，分两种情况：①AE=CF=t，得出EF=5-2t=4，解方程即可；②AE=CF=t，得出EF=5-2（5-t）=4，解方程即可；（3）连接AG、CH，由菱形的性质得出GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，得出OA=OC，AG=AH，证出四边形AGCH是菱形，得出AG=CG，设AG=CG=x，则BG=4-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出AB+BG=，即可得出t的值．
一、选择题
1、（2017 玉林）如图，在矩形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有（ ）
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A、5个 B、8个 C、9个 D、11个
【答案】C
【解析】解：∵E，G分别是边DA，BC的中点，四边形ABCD是矩形， ∴四边形DEGC、AEGB是矩形，
同理四边形ADHF、BCHF是矩形，
则图中四个小四边形是矩形，
故图中矩形的个数共有9个，
故选：C．
【点评】根据矩形的判定定理解答．
2、（2016 攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A、对角线相等的四边形是矩形 B、矩形的对角线相等且互相平分
C、对角线互相平分的四边形是矩形 D、矩形的对角线互相垂直且平分
【答案】 B
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
故选B．
【点评】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．
3、（2017 怀化）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、3cm B、6cm C、10cm D、12cm
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=OB=OD=3，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，
故选A．
【点评】根据矩形的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由∠AOB=60°，判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．
4、（2017 乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 ( http: / / www.21cnjy.com / )且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A、1 B、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) C、2 D、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【解析】解：由折叠的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE． ∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，
∴∠GFE=60°．
∵AF∥GE，∠AFG=60°，
∴∠FGE=∠AFG=60°，
∴△GEF为等边三角形，
∴EF=GE．
∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，
∴∠HGE=30°．
在Rt△GHE中，∠HGE=30°，
∴GE=2HE=CE，
∴GH= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )HE= ( http: / / www.21cnjy.com / )CE．
∵GE=2BG，
∴BC=BG+GE+EC=4EC．
∵矩形ABCD的面积为4 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴4EC ( http: / / www.21cnjy.com / )EC=4 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴EC=1，EF=GE=2．
故选C．
【点评】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= ( http: / / www.21cnjy.com / )EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4 ( http: / / www.21cnjy.com / )，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．
5、（2017 临沂）在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B、若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C、若BD=CD，则四边形AEDF是菱形 D、若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
【答案】D
【解析】解：若AD⊥BC，则四边形AE ( http: / / www.21cnjy.com )DF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误； 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．
【点评】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
6、（2017 内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，3 ( http: / / www.21cnjy.com / )），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、（ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )） B、（2， ( http: / / www.21cnjy.com / )） C、（ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )） D、（ ( http: / / www.21cnjy.com / )，3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）
【答案】A
【解析】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为（0，3 ( http: / / www.21cnjy.com / )）， ∴AC=OB=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )，∠CAB=30°，
∴BC=AC tan30°=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )× ( http: / / www.21cnjy.com / )=3，
∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，
∴∠BAD=30°，AD=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
过点D作DM⊥x轴于点M，
∵∠CAB=∠BAD=30°，
∴∠DAM=30°，
∴DM= ( http: / / www.21cnjy.com / )AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴AM=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )×cos30°= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴MO= ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣3= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴点D的坐标为（ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )）．
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出D点坐标．
7、（2017 六盘水）矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A、a=4，b= ( http: / / www.21cnjy.com / )+2 B、a=4，b= ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣2 C、a=2，b= ( http: / / www.21cnjy.com / )+1 D、a=2，b= ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣1
【答案】D
【解析】解：∵宽与长的比是 ( http: / / www.21cnjy.com / )的矩形叫做黄金矩形， ∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴a=2，b= ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣1，
故选D．
【点评】根据黄金矩形的定义判断即可．
8、（2017 宜宾）如图，在矩形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、3 B、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) C、5 D、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【解析】解：∵矩形ABCD， ∴∠BAD=90°，
由折叠可得△BEF≌△BAE，
∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，
在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，
根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，
设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2 ，
解得：x=3（负值舍去），
则DE=8﹣3=5，
故选C
【点评】由ABCD为矩形，得到∠BAD ( http: / / www.21cnjy.com )为直角，且三角形BEF与三角形BAE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD﹣BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．
9、（2015 梧州）如图，在菱形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
B、四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
C、四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
D、四边形ACEF是矩形，它的周长是4+4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【解析】解：∵DE=AD，DF=CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，
∴AE=CF，
∴四边形ACEF是矩形，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=1，
∴EF=AC=1，
过点D作DG⊥AF于点G，则AG=FG=AD×cos30°= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴AF=CE=2AG= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴四边形ACEF的周长为：AC+CE+EF+AF=1+ ( http: / / www.21cnjy.com / )+1+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=2+2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】首先判断其是平行四边形，然后判定其是矩形，然后根据菱形的边长求得矩形的周长即可．
10、（2017 随州）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论： ①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】B
【解析】解：∵E为CD边的中点， ∴DE=CE，
又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，AE=FE，
又∵ME⊥AF，
∴ME垂直平分AF，
∴AM=MF=MC+CF，
∴AM=MC+AD，故①正确；
当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，
设DE=EC=1，BM=a，则AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，
在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2 ，
解得a=1.5，即BM=1.5，
∴由勾股定理可得AM=2.5，
∴DE+BM=2.5=AM，
又∵AB＜BC，
∴AM=DE+BM不成立，故②错误；
∵ME⊥FF，EC⊥MF，
∴EC2=CM×CF，
又∵EC=DE，AD=CF，
∴DE2=AD CM，故③正确；
∵∠ABM=90°，
∴AM是△ABM的外接圆的直径，
∵BM＜AD，
∴当BM∥AD时， ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )＜1，
∴N不是AM的中点，
∴点N不是△ABM的外心，故④错误．
综上所述，正确的结论有2个，
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】根据全等三角形的性质以及线 ( http: / / www.21cnjy.com )段垂直平分线的性质，即可得出AM=MC+AD；根据当AB=BC时，四边形ABCD为正方形进行判断，即可得出当AB＜BC时，AM=DE+BM不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2=CM×CF，据此可得DE2=AD CM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是△ABM的外心．
二、填空题
11、（2016 龙东）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】 EB=DC
【解析】解：添加EB=DC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=AD，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB=DC，
∴四边形DBCE是矩形．
故答案是：EB=DC．
【点评】利用平行四边形的判定与性质得到四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质．解题时，也可以根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”填空．
12、（2017 营口）在矩形纸片ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为________．
【答案】3或6
【解析】解：∵AD=8，AB=6，四边形ABCD为矩形， ∴BC=AD=8，∠B=90°，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )=10．
△EFC为直角三角形分两种情况：①当∠EFC=90°时，如图1所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点F在对角线AC上，
∴AE平分∠BAC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，即 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴BE=3；②当∠FEC=90°时，如图2所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠FEC=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠AEF=∠BEA=45°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE=AB=6．
综上所述：BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
【点评】由AD=8、AB=6结合矩形的性质可得出AC=10，△EFC为直角三角形分两种情况：①当∠EFC=90°时，可得出AE平分∠BAC，根据角平分线的性质即可得出 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，解之即可得出BE的长度；②当∠FEC=90°时，可得出四边形ABEF为正方形，根据正方形的性质即可得出BE的长度．【来源：21cnj*y.co*m】
13、（2017 河池）如图，在矩形ABCD中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE=∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∵E是BC的中点，
∴AD=2BE，
∴2BE2=AB2=2，
∴BE=1，
∴BC=2，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，BD= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴BF= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
过F作FG⊥BC于G，
∴FG∥CD，
∴△BFG∽△BDC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴FG= ( http: / / www.21cnjy.com / )，BG= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴CG= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴CF= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com / )．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，BD= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，根据三角形的面积公式得到BF= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG= ( http: / / www.21cnjy.com / )，根据勾股定理即可得到结论．
14、（2017 咸宁）如图，点O是矩形纸片 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕AE的长为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】6
【解析】解：由题意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，
且OE垂直平分AC，
∴AE=CE，
设AB=AO=OC=x，
则有AC=2x，∠ACB=30°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC= ( http: / / www.21cnjy.com / )x，
在Rt△OEC中，∠OCE=30°，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com / )EC，即BE= ( http: / / www.21cnjy.com / )EC，
∵BE=3，
∴OE=3，EC=6，
则AE=6，
故答案为：6
【点评】由折叠的性质及矩形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质得到OE垂直平分AC，得到AE=EC，根据AB为AC的一半确定出∠ACE=30°，进而得到OE等于EC的一半，求出EC的长，即为AE的长．
15、（2017 哈尔滨）如图，在矩形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AMB=∠DAE，
∵DE=DC，
∴AB=DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA=∠DEM=90°，
在△ABM和△DEA中， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM=AD，
∵AE=2EM，
∴BC=AD=3EM，
连接DM，如图所示：
在Rt△DEM和Rt△DCM中， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴EM=CM，
∴BC=3CM，
设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2 ，
解得：x= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴BM= ( http: / / www.21cnjy.com / )；
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com / )．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】由AAS证明△AB ( http: / / www.21cnjy.com )M≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
16、（2017 潍坊）如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD边上，记为B′，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG，B′D′=2，BE= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC．则矩形纸片ABCD的面积为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】15
【解析】解：设BE=a，则BC=3a， 由题意可得，
CB=CB′，CD=CD′，BE=B′E=a，
∵B′D′=2，
∴CD′=3a﹣2，
∴CD=3a﹣2，
∴AE=3a﹣2﹣a=2a﹣2，
∴DB′= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴AB′=3a﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∵AB′2+AE2=B′E2 ，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
解得，a= ( http: / / www.21cnjy.com / )或a= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
当a= ( http: / / www.21cnjy.com / )时，BC=2，
∵B′D′=2，CB=CB′，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com / )时不符合题意，舍去；
当a= ( http: / / www.21cnjy.com / )时，BC=5，AB=CD=3a﹣2=3，
∴矩形纸片ABCD的面积为：5×3=15，
故答案为：15．
【点评】根据翻折变化的性质和勾股定理可以求得BC和AB的长，然后根据矩形的面积公式即可解答本题．
17、（2017 广东）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】解：如图3中，连接AH．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，
∴AH= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【点评】如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据AH= ( http: / / www.21cnjy.com / )，计算即可．
三、解答题
18、（2015 厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y= ( http: / / www.21cnjy.com / )x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．
求证：四边形ABCD是矩形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】证明见解析
【解析】证明：作EF⊥AB于点F，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△ABE和△CDE中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△ABE≌△CDE，
∴AE=CE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相同，
∴AB∥CD∥x轴，
∴m﹣2=4，m=6，
将B（6，n）代入直线y= ( http: / / www.21cnjy.com / )x+1得n=4，
∴B（6，4），
∵CD=4=AB，△AEB的面积是2，
∴EF=1，
∵D（p，q），
∴E（ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )），F（ ( http: / / www.21cnjy.com / )，4），
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )+1=4，
∴q=2，p=2，
∴DA⊥AB，
∴四边形ABCD是矩形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】首先利用对角线互相平分的四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形．
19、（2017 北京）数学家吴文俊院士 ( http: / / www.21cnjy.com )非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证． （以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据该图完成这个推论的证明过程．
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（________+________）．
易知，S△ADC=S△ABC ， ________=________，________=________．
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF ．
【答案】S△AEF；S△FCM；S△ANF；S△AEF；S△FGC；S△FMC
【解析】证明：S矩形NFGD=S△ ( http: / / www.21cnjy.com )ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（S△ANF+S△FCM）．易知，S△ADC=S△ABC，S△ANF=S△AEF，S△FGC=S△FMC，
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．
故答案分别为S△AEF，S△FCM，S△ANF，S△AEF，S△FGC，S△FMC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．
20、（2017·丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设 ( http: / / www.21cnjy.com / )=n.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：AE=GE；
(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值；
(3)若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）n=16或 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】（1）证明：由对称得AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，
∵GF⊥AE，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，
∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF.
∴AE=EG.
（2）解：设AE=a，则AD=na，
当点F落在AC上时（如图1），
由对称得BE⊥AF，
∴∠ABE+∠BAC=90°，
∵∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠DAC，
又∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE~△DAC ,
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB=DC，∴AB2=AD·AE=na·a=na2,
∵AB>0，∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com / ).
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / ).
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）解：设AE=a，则AD=na，由AD=4AB，则AB= ( http: / / www.21cnjy.com / ).
当点F落在线段BC上时（如图2），EF=AE=AB=a，
此时 ( http: / / www.21cnjy.com / )，∴n=4.
∴当点F落在矩形外部时，n>4.
∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，
∴∠FCG<∠BCD，∴∠FCG<90°，
若∠CFG=90°，则点F落在AC上，由（2）得 ( http: / / www.21cnjy.com / )，∴n=16.
若∠CGF=90°（如图3），则∠CGD+∠AGF=90°，
∵∠FAG+∠AGF=90°，
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，
∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE~△DGC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴AB·DC=DG·AE，即（ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2=（n-2）a·a.
解得 ( http: / / www.21cnjy.com / )或 ( http: / / www.21cnjy.com / )（不合题意，舍去），
∴当n=16或 ( http: / / www.21cnjy.com / )时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形.
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】（1）因为GF⊥AF，由对称易得AE=EF，则由直角三角形的两个锐角的和为90度，且等边对等角，即可证明E是AG的中点；（2）可设AE=a，则AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可证明△ABE~△DAC , 则 ( http: / / www.21cnjy.com / )，因为AB=DC，且DA，AE已知表示出来了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形时的n，需要分类讨论，一般分三个，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根据点F在矩形ABCD的内部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°进行分析解答.【版权所有：21教育】
1、（2017山东滨州无棣县一模）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（ ）
A、当AB=BC时，四边形ABCD是矩形 B、当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形
C、当OA=OB时，四边形ABCD是矩形 D、当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
【答案】C
【解析】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论错误； B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项错误；
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、不能得到一个角是直角，故错误，
故选C．
【点评】利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
2、（2016黑龙江齐齐哈尔校级模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，OA=2，若要使□ABCD为矩形，则OB的长应该为（ ） ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、4 B、3 C、2 D、1
【答案】 C
【解析】根据矩形的性质得到OA=OC，OB=OD，AC=BD，求出OA=OB即可．
解：假如平行四边形ABCD是矩形，
OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=2．
故选C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，能根据矩形的性质推出0A=OB是解此题的关键．
3、（2017浙江宁波高新区 ( http: / / www.21cnjy.com )4月模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E、F都对角线AC上，且AE=EF=FC，则线段BE和DF的距离为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) B、1 C、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) D、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【解析】解：∵矩形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=4，AD=2， ∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠ABC=90°，矩形ABCD的面积=4×2=8，
∴∠DCF=∠BAE，
在△DCF和△BAE中， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△DCF≌△BAE（SAS），
∴DF=BE，∠DFC=∠BEA，
∴∠DFE=∠BEF，
∴DF∥BE，
∵AE=EF=FC，
∴△BCE的面积= ( http: / / www.21cnjy.com / )×8= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
延长BE交AD于G，延长DF交BC于H，作FM⊥BE于M，CN⊥BE于N，则FM∥CN，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AE=EF=FC，
∴AG=DG=1，BH=CH=1，
∴BG= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴BE= ( http: / / www.21cnjy.com / )BG= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )BE CN= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴CN= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∵FM∥CN，EF=FC，
∴FM= ( http: / / www.21cnjy.com / )CN= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故选：D．
【点评】证明△DCF≌△BAE（SAS），得出DF=BE，∠DFC=∠BEA，得出∠DFE=∠BEF，证出DF∥BE，与AE=EF=FC，得出△BCE的面积= ( http: / / www.21cnjy.com / )×8= ( http: / / www.21cnjy.com / )，延长BE交AD于G，延长DF交BC于H，作FM⊥BE于M，CN⊥BE于N，FM∥CN由平行线得出AG=DG=1，BH=CH=1，由勾股定理求出BG= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，得出BE= ( http: / / www.21cnjy.com / )BG= ( http: / / www.21cnjy.com / )，由三角形面积求出CN= ( http: / / www.21cnjy.com / )，由三角形中位线定理得出FM= ( http: / / www.21cnjy.com / )CN= ( http: / / www.21cnjy.com / )即可．
4、（2017山东邹城市模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) B、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) C、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) D、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【解析】解：连接BF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )=5，
∴BH= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
则BF= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90°，
∴CF= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选：D
【点评】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．
5、（2017江苏无锡新吴区一模）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，点M是边AB的中点，点P是矩形边上的一个动点，点P从M出发在矩形的边上沿着逆时针方向运动，则当点P沿着矩形的边逆时针旋转一周时，△DMP面积刚好为5cm2的时刻有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
【答案】C
【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，点M是边AB的中点，
∴AM=BM=3cm，△ADM= ( http: / / www.21cnjy.com / )×3×4cm2=6cm2 ，
∵△DMP面积达到5cm2 ，
∴点P可能在AD上有1个点，在AB边上有2个点，在CD边上有1个点，不可能在BC上，
∴当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是4次，
故选C．
【点评】根据△ADM的面积，即可判定点P可能在AB或AD或CD边上，由此得出结论．
6、（2017江苏南京秦淮区一模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC=6，AF：FG：GD=3：2：1，则AB的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、1 B、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) C、 ( http: / / www.21cnjy.com / ) D、2
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC=6，∠A=∠D=90°，
∵∠E=90°，
∴∠EFG+∠EGF=90°，
∴∠AFB+∠DGC=90°，
∵∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DGC，
∴△AFB∽△DCG，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∵AF：FG：GD=3：2：1，
∴AF=3，DG=1，
∴AB2=AF DG=3，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选C．
【点评】由四边形ABCD是矩形，得到 ( http: / / www.21cnjy.com )AB=CD，AD=BC=6，∠A=∠D=90°，根据余角的性质得到∠ABF=∠DGC，推出△AFB∽△DCG，根据相似三角形的性质得到AB2=AF DG=3，于是得到结论．21·cn·jy·com
7、（2017浙江乐清市模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB∥y轴，CD交x轴于点M，过原点的直线EF分别交AD、BC边于点E、F，以EF为一边作矩形EFGH，并使EF的对边GH所在直线过点M，若点A的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH的面积的大小变化情况是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、一直减小 B、一直不变 C、先减小后增大 D、先增大后减小
【答案】B
【解析】解：如图，设GH交AD于K，AD与轴交于点P．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠OEP+∠HEK=90°，∠HEK+∠HKE=90°，
∴∠HKE=∠OEP，
∵∠OPE=∠H=90°，
∴△OPE∽△EHK，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴OP EK=HE OE，
易证四边形OMKE是平行四边形，
∴EK=OM，
∴OP OM=HE OE，
∵矩形ABCD的面积为定值，
∴OP OM是定值，
∴HE OE是定值，
∵矩形EFGH的面积=2HE EO，
∴矩形EFGH的面积是定值．
故选B．
【点评】设GH交AD于K，AD与轴交于点P．由△OPE∽△EHK，推出 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，推出OP EK=HE OE，易证四边形OMKE是平行四边形，推出EK=OM，推出OP OM=HE OE，由矩形ABCD的面积为定值，推出OP OM是定值，推出HE OE是定值，由矩形EFGH的面积=2HE EO，推出矩形EFGH的面积是定值．【来源：21·世纪·教育·网】
8、（2017山东泰安市一模）在矩形ABCD中，AB=1，AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】C
【解析】解：∵∠AFC=135°，CF与AH不垂直， ∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，
∴①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )，AB=1，
∴tan∠ADB= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，∴②正确；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO﹣∠CAH=30°﹣15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，
∴③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO= ( http: / / www.21cnjy.com / )DO= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD，
即BE=3ED，∴④正确；
即正确的有3个，
故选C．
【点评】求出OA=OC= ( http: / / www.21cnjy.com )OD=BD，求出∠ADB=30°，求出∠ABO=60°，得出等边三角形AOB，求出AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，根据以上结论推出即可．
二、填空题
9、（2017湖北十堰张湾 ( http: / / www.21cnjy.com )区模拟）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】6
【解析】解：∵矩形纸片ABCD折叠，点D与点B重合，点C落在C'处， ∴BE=ED，BC′=CD，C′F=CF，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD，
△BC′F的周长=BF+C′F+BC′=BE+CF+CD=BC+CD，
∴△ABE和△BC′F的周长之和=AB+AD+BC+CD=矩形ABCD的周长，
∵AB=1，BC=2，
∴△ABE和△BC′F的周长之和=2×（1+2）=2×3=6．
故答案为：6．
【点评】根据翻折变换的性质可得BE=ED，BC′=CD，C′F=CF，然后求出两个三角形的周长的和等于矩形的周长，再求解即可．
10、（2017上海浦东新区二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE=________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3
【解析】解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，
由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，
∵B、F关于EH对称，
∴HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，
在Rt△EFH中，∵EF2=EH2+HF2 ，
∴42+x2=（14﹣3x）2 ，
解得x=3或 ( http: / / www.21cnjy.com / )（舍弃），
∴AE=3，
故答案为3．
【点评】设⊙O与EF相切于M，连接 ( http: / / www.21cnjy.com )EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，由B、F关于EH对称，推出HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，在Rt△EFH中，根据EF2=EH2+HF2 ， 列出方程即可解决问题．
11、（2017上海徐汇区二模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F在边BC上，DG=2DE，AH是△ABC的高，BC=20，AH=15，那么矩形DEFG的周长是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】36
【解析】解：∵DG∥BC，AH⊥BC，
∴AH⊥DG，△ADG∽△ABC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，即 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴DE=6，
∴DG=2DE=12，
∴矩形DEFG的周长=2×（6+12）=36．
故答案为：36．
【点评】根据相似三角形的判定和性质结论得到结论．
12、（2017江苏苏州市一模）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，矩形ABCD中，AB=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°，点B、D分别落在点B′，D′处，且点A，B′，D′在同一直线上，则tan∠DAD′________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】解：由题意可得：AD∥CD′， 故△ADE∽△D′CB′，
则 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
设AD=x，则B′C=x，DB′=4﹣x，AB=CD′=4，
故 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
解得：x1=﹣2﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )（不合题意舍去），x2=﹣2+2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
则DB′=6﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
则tan∠DAD′= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【点评】直接利用旋转的性质结合相似三角形的判定与性质得出DB′的长进而得出答案．
13、（2017河南周口西华县模拟）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，矩形ABCD中，AB=2cm，BC=6cm，把△ABC沿对角线AC折叠，得到△AB′C，且B′C与AD相交于点E，则AE的长为________cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC=6cm，CD=AB=2cm，
∴∠ACB=∠DAC．
由折叠的性质得：∠ACB=∠ECA，
∴∠DAC=∠ECA．
∴AE=CE，
设AE=x，则CE=x，DE=6﹣x，
在Rt△CDE中，DE2+CD2=CE2 ．
即（6﹣x）2+22=x2 ，
解得：x= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
即AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com / )，
【点评】证出△AEC是等腰三角形：AE=CE，然后设AE=x，则CE=x，DE=6﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
14、（2017江苏连云港市四模）如图，已知矩形ABCD，AD=9，AB=6，若点G、H、M、N分别在AB、CD、AD、BC上，线段MN与GH交于点K．若∠GKM=45°，NM=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则GH=________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】解：如图，过点A作AE∥GH交CD于E，作AF∥MN交BC于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则AF=MN=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )，AE=GH，
∵∠GKM=45°，
∴∠BAF+∠DAE=90°﹣45°=45°，
作∠QAE=45°交CD的延长线于Q，
则∠QAD+∠DAE=45°，
∴∠QAD=∠FAB，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ABF∽△AQD，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴AQ= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
在Rt△ADQ中，DQ= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
过点E作EP⊥AQ于P，
∵∠QAE=45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
设GH=AE=x，则AP=EP= ( http: / / www.21cnjy.com / )AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )x，
∵tan∠Q= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
解得x=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
所以GH=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案为：3 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【点评】过点A作AE∥GH交CD于E，作AF∥MN交BC于F，于是得到AF=MN=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )，AE=GH，由于∠GKM=45°，得到∠BAF+∠DAE=90°﹣45°=45°，作∠QAE=45°交CD的延长线于Q，推出∠QAD+∠DAE=45°，通过△ABF≌△AQD，根据相似三角形的性质得到 ( http: / / www.21cnjy.com / )，求得AQ= ( http: / / www.21cnjy.com / )，在Rt△ADQ中，由勾股定理得到DQ= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，过点E作EP⊥AQ于P，得到△AEP是等腰直角三角形，设GH=AE=x，则AP=EP= ( http: / / www.21cnjy.com / )AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )，然后利用∠Q的正切值列出方程求解即可．
15、（2017山东济宁市押题） ( http: / / www.21cnjy.com )已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（2，4）或（3，4）或（8，4）
【解析】解：当OD=PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示： ( http: / / www.21cnjy.com / )
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD= ( http: / / www.21cnjy.com / )OA=5，
根据勾股定理得：DQ=3，故OQ=OD+DQ=5+3=8，则P1（8，4）；
当PD=OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=5，
根据勾股定理得：QD=3，故OQ=OD﹣QD=5﹣3=2，则P2（2，4）；
当PO=OD时，根据题意画出图形，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP=OD=5，PQ=4，
根据勾股定理得：OQ=3，则P3（3，4），
综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）
【点评】分PD=OD（P ( http: / / www.21cnjy.com )在右边），PD=OD（P在左边），OP=OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可．
16、（2017黑龙江哈尔滨市南岗区一模）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，点F在线段AG上，延长DA至点E，使AE=AF，连接EG，CG，DF，若EG=DF，点G在AC的垂直平分线上，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值为________
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点G作GK⊥BC于K，过点A作AL⊥GK于点L，取AC中点M，连接GM． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AG⊥DE，
∴∠DAF=∠EAG=90°
在Rt△ADF和Rt△AGE中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴Rt△ADF≌Rt△AGE，
∴AD=AG，
∵∠AHK=∠ALK=∠LKH=90°，
∴四边形AHKL是矩形，
∴∠DAG=∠HAL=90°，
∴∠DAH=∠GAL，∵∠AHD=∠ALG=90°，
∴△ADH≌△AGL，
∴AH=AL，
在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，
∴AH=AL= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC=AM，
∵AG=AG，∠ALG=∠AMG=90°，
∴Rt△AGM≌Rt△AGL，
∴∠GAL=∠GAM，
∵AL∥BC，
∴∠CAL=∠ACH=30°，
∴∠GAL=∠GAM=15°，
∴∠DAH=∠GAL=15°，
∴∠CAD=∠CDA=75°，
∴AC=AD，设AH=a，则CD=AC=2a，CH= ( http: / / www.21cnjy.com / )a，
∴LG=DH=CD﹣CH=2a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )a，
∴GK=LK﹣LG=（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣1）a，
∵GA=GC，
∴∠GAC=∠GCA=15°，
∴∠GCK=45°，
∴CG= ( http: / / www.21cnjy.com / )KG=（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）a，∵AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )AH= ( http: / / www.21cnjy.com / )a，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【点评】过点A作AH⊥BC于点H，过点G作GK⊥BC于K，过点A作AL⊥GK于点L，取AC中点M，连接GM．首先证明Rt△ADF≌Rt△AGE，△ADH≌△AGL≌△AGM，推出∠DAH=∠GAM=∠GAL=∠ACG=15°，设AH=a，则CD=AC=2a，CH= ( http: / / www.21cnjy.com / )a，分别用a表示AB、CG即可解决问题．www.21-cn-jy.com
三、解答题
17、（2016江苏徐州校级模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )矩形ABCD，E、F在AB、CD上，且EF∥AD，M为EF的中点，连接AM、DM，求证：AM=DM．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DF，∠BAD=90°，
∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF，∠AEM=∠DFM=90°，
∵M为EF的中点，
∴EM=FM，
在△AEM和△DFM中， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△AEM≌△DFM（SAS），
∴AM=DM．
【点评】由矩形的性质得出AE∥D ( http: / / www.21cnjy.com )F，∠BAD=90°，再由EF∥AD，证出四边形AEFD是矩形，得出AE=DF，∠AEM=∠DFM=90°，由SAS证明△AEM≌△DFM，得出对应边相等即可．www-2-1-cnjy-com
18、（2017云南大理校级模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC=2AB，延长AB至G，使BG=AB，连接GO交BC于E，延长GO交AD于F．【出处：21教育名师】
（1）求证：△ABC≌△AOG；
（2）猜测四边形AECF的形状并证明你的猜想．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】 （1）证明见解析；（2）四边形AECF是菱形；理由见解析
【解析】（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO=CO= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，
∵AC=2AB，BG=AB，
∴AB=AO，AC=AG，
在△ABC和△AOG中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△ABC≌△AOG（SAS）；
（2）解：四边形AECF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠OAF=∠COE，
在△AOF和△COE中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵△ABC≌△AOG，
∴∠AOG=∠ABC=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】（1）由已知条件得出AB=AO，AC=AG，由SAS证明△ABC≌△AOG即可；
（2）由矩形的性质得出∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC=90°，AD∥BC，得出∠OAF=∠COE，由ASA证明△AOF≌△COE，得出OF=OE，得出四边形AECF是平行四边形，再由全等三角形的对应角相等得出∠AOG=∠ABC=90°，即可得出结论．
19、（2017山东青岛校级模拟）在平行四边形ABCD中，E为边上一点，连结AE并延长交直线DC于F，且CE=CF.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图1，求证：AF是∠BAD的平分线；
（2）如图2，若∠ABC=90°，点G是线段EF上一点，连接DG、BD、CG，若∠BDG=45°，求证：CG= ( http: / / www.21cnjy.com / )EF.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠AEB=∠EAD
∵CE=CF,∴∠CEF=∠CFE
∴∠AEB=∠CFE
∴∠BAF=∠DAF
∴AF是∠BAD的平分线
（2）连接BG，
∵在平行四边形ABCD中，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°，
∴△CEF为直角三角形，
∴∠CEF=45°
∴∠BAE=45°，
∴∠EAB=45°，
∵∠BDG=45°，
∴ABGD四点共圆 （同弦BG）
又四边形ABCD是矩形
∴ABCD四点共圆
即ABGCD五点共圆
∴∠ECG=45°，
∵△CEF为直角三角形，∠ECG=45°，
∴CG是RT△CEF斜边EF上的中线，
∴CG= ( http: / / www.21cnjy.com / )EF.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】
（1）利用平行线的性质和等腰三角形的性质求证.（2）利用圆的性质求出G是EF的中点可直接求得.
20、（2017浙江嘉兴市十校4月联考）已知，如图1，在 ( http: / / www.21cnjy.com / )中，AC=BC，点D是边AB的中点，E，F分别是AC和BC的中点，分别以CE，CF为一边向上作两个全等的矩形CEGH和矩形CFMN（其中EG=FM），依次连结DG、DM、GM.21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证： ( http: / / www.21cnjy.com / )是等腰三角形.
(2)如图2，若将上图中的两个全等的矩形改为两个全等的正三角形（ ( http: / / www.21cnjy.com / )和 ( http: / / www.21cnjy.com / ))，其他条件不变.请探究 ( http: / / www.21cnjy.com / )的形状，并说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)若将上图中的两个全等的矩形改为两个正方形，并把 ( http: / / www.21cnjy.com / )中的边BC缩短到如图3形状，请探究 ( http: / / www.21cnjy.com / )的形状，并说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）证明见解析；（2）等边三角形，证明见解析；（3）等腰直角三角形，证明见解析
【解析】（1）证明：∵四边形CEGH和CFMN是全等的矩形，
∴CE=CF，EG=FM，∠GEC=∠MFC= 90°．
连接DE、DF，如图1．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，且DE=CF= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC；
DF∥AC，且DF=CE= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC．
∴四边形DECF是平行四边形．
∴ ∠DEC=∠DFC．
又∵∠GEC=∠MFC，∴∠DEG=∠DFM．
∵AC=BC，∴DE=DF.
∴△DEG ≌ △DFM（SAS）．
∴DG=DM．
∴△DGM是等腰三角形．
（2）解：△DGM是等边三角形．
证明：∵△CEG和△CFM是全等的等边三角形，
∴CE =EG =CG=CF=FM=CM，∠GEC =∠MFC = 60°．
连接DE、DF，如图2．
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∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，且DE = CF
= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC ， DF∥AC ， 且DF = CE = ( http: / / www.21cnjy.com / )AC ．
∴四边形DECF是平行四边形．
∴ ∠DEC =∠DFC ．
又∵∠GEC =∠MFC ， ∴∠DEG=∠DFM ．
∵AC=BC，∴DE=DF.
∴△DEG ≌ △DFM（SAS） ．
∴DG=DM ．
∴△DGM是等腰三角形．
又∵∠GCM+∠ACB=360°-60°-60°=240°
∠GED+∠ACB=∠GEC+∠CED+∠ACB=60°+180°=240°
∴∠GCM=∠GED
又DE=CF=CM，EG=CG
∴△GED≌ △GCM（SAS） ．
∴GM=GD
∴△DGM是等边三角形．
（3）解：△DGM是等腰直角三角形．
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显然，由（1）(2)易得△DEG≌ △MFD（SAS）
∴DG=DM，∠DGE=∠MDF
∵DF∥AC
∴∠CED+∠EDF=180°
即：∠CED+∠EDG+∠GDM+∠MDF=180°
又由三角形内角和可知∠CED+∠EDG+∠GEC+∠DGE=180°
∴∠GDM=∠GEC=90°
∴△DGM是等腰直角三角形.
【点评】三个小题都要证明△DFM≌ △DFM（SAS），证明方法类似；再根据全等的性质和每小题的不同点证明得到答案.2-1-c-n-j-y
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