期末复习一 二次根式
复习目标
要求
知识与方法
了解
二次根式的概念、最简二次根式的概念
二次根式的运算法则
理解
二次根式根号内字母的取值范围
理解二次根式的性质
运用
利用二次根式性质化简计算
进行根号内不含字母的二次根式的四则运算
应用二次根式解决简单的实际问题
必备知识与防范点
一、必备知识：
1． 二次根式 0，其中被开方数a 0
2． 二次根式的性质：
（）2= （a≥0）；= = .
= （a≥0，b≥0），= （a≥0，b＞0）.
3． 在根号内部不含 ，不含 ，这样的二次根式称为 ．
4． 二次根式的乘除运算法则：×= （a≥0，b≥0）；= . （a 0，b 0）.
二、防范点：
1． 求根式取值范围要注意能否取等号；
2． 化简=时注意a的正负；
3． 坡比强调铅垂距离与水平距离之比.
例题精析
考点一 二次根式字母的取值
例1 （1）求出下列x的取值范围：
①；②；③.
（2）能使=成立的取值范围是（ ）
A．a>3 B．a≥0 C．0≤a<3 D．a<3或a>3
（3）已知x，y为实数，且y=++，则的值为 .
反思：二次根式的被开方数必须是非负的，同时还应考虑分式中分母不能为零.
考点二 二次根式双重非负性
例2 （1）已知+ =0，求x，y的值；
（2）若x，y满足+3=+，求2x+y的值.
反思：二次根式≥0（a≥0），两非负数相加得0，则每一项均为0.
考点三 二次根式运算
例3 计算：
（1）-+；
（2）－-（2）2；
（3）（3-）（+2）；
（4）（7+）2-（7-）2.
反思：二次根式化简=时注意a的正负；计算时注意能否用乘法公式.
考点四 二次根式的应用（坡比，与几何图形的结合）
例4 如图，大坝横截面的迎水坡AD的坡比为4∶3，背水坡BC坡比为1∶2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，求大坝的截面面积和周长.
反思：坡比强调铅垂距离与水平距离之比，往往需构造直角三角形.
考点五 二次根式的拓展探究
例5 小明在解方程-=2时采用了下面的方法：
（-）（+）
＝24－x－（8－x）＝16，
又∵-=2①，∴+＝8②.
由①②相加得=5，=3，解得x＝－1.
经检验x＝－1是原方程的解.
请你学习小明的方法，解下列方程：
（1）+=16；
（2）+=4x.
反思：例题的演示中，抓住核心：运用平方差公式，消未知数x，列方程组求解.
校内练习
1．（自贡中考）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2. 若=a，=b，则=（ ）
A. ab B. C. 10ab D. ab
3． 比较大小：3 2；- -．
4． 计算化简：（1）；
（2）；
（3）（黄冈中考）-6；
（4）.
5. 如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角∠CAB=45°. 为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=∶3. 若新坡角下（AD的延长线上）需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
6． 已知a，b，c分别为△ABC的三边长，且a，b满足b2=4b--4，求c的取值范围.
7． 小明用下面的方法求出方程2-3=0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．
方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解
2-3=0
令=t，则2t-3=0
t=
t=＞0
=，所以x=
x+2-3=0
x+-4=0
8． 如图，A，B为两个村庄，AB，BC，CD为公路，BD为田地，AD为河流，且CD与AD互相垂直. 现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下方案：
方案一：E→D→A→B；
方案二：E→C→B→A.
经测量得：AB＝4km，BC＝10km，CE＝6km，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°. 已知地下电缆的修建费为2万元/km，水下电缆的修建费为4万元/km.
（1）求出河宽AD（结果保留根号）；
（2）求出公路CD的长；
（3）问应选择哪个方案费用较低？请说明理由．
参考答案
期末复习一 二次根式
【必备知识与防范点】
1. ≥ ≥ 2. a a a（a≥0），-a（a＜0） · 3. 分母 开得尽方的因数或因式 最简二次根式 4. ≥ ＞
【例题精析】
例1 （1）①x≥； ②x为任何实数； ③≤x＜1. （2）A （3）
例2 （1）x=-1，y=3 （2）1
例3 （1）； （2）2； （3）5； （4）28
例4 ∵DE=20m，DE∶AE=4∶3，∴AE=15m，∴AD==25m，∵CF=DE=20m，CF∶BF=1∶2，∴BF=40m，∴BC==20m，则周长C=AD+DC+BC+AB=（100+20）m，面积S=（DC+AB）·DE=×75×20=750（m2）.
例5 （1）x=±； （2）x＝3
【校内练习】
1—2. BD
3. ＞ ＞
4. （1）； （2）13； （3）； （4）--.
5. ∵∠CAB=45°，∴AB=BC=10. ∵i==，∴BD=10，∴（10+AB）-BD=20-
10≈2.68＜3，∴建筑物需要拆除.
6. 1＜c＜5
7.
方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解
2-3=0
令=t，则2t-3=0
t=
t=＞0
=，所以x=
x+2-3=0
令=t，则t2+2t-3=0
t1=1，t2=-3
t1=1＞0，
t2=-3＜0（舍去）
=1，所以x=1
x+-4=0
令=t，
则t2+t-2=0
t1=1，t2=-2
t1=1＞0，
t2=-2＜0（舍去）
=1,所以x=3
8. （1）过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，由题意得：∠BAF=∠ABD+∠ADB=15°+45°=60°，在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，BA＝4，∴AF＝2，BF＝6＝DF，∴AD＝6－2. 即河宽AD为（6－2）km. （2）过B作BG⊥CD于点G，则CD＝CG＋GD＝8＋6＝14. 即公路CD长为14km. （3）方案一的铺设电缆费用低. 由（2）得DE=CD-CE=8千米. ∴方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD=40万元，方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）=（32+8）万元. ∵40＜32+8，∴方案一的铺设电缆费用低.
期末复习三 数据分析初步
复习目标
要求
知识与方法
了解
平均数、中位数、众数、方差、标准差的概念
选择合适的统计量表示数据的集中或离散程度
理解
会计算平均数、中位数、众数、方差、标准差
运用
能选择合适的指标分析数据，会用样本数据来估计总体数据
根据统计结果作出合理的判断和决策
必备知识与防范点
一、必备知识：
1．平均数记做，如果有n个数x1，x2，…，xn，则x= ．
2． 求中位数时先要把一组数据按 的顺序排列．当数据个数为奇数时，中位数就是位于 的一个数据；当数据个数为偶数时，中位数就是最中间两个数据的 .
3． 一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的 .
4． 方差：S2= ，方差越大，说明数据的波动 . 标准差：S= .
二、防范点：
1． 求中位数应先排序，并要区分数据是奇数个还是偶数个；
2． 平均数容易受到极端值的影响；
3． 方差（标准差）是衡量数据的稳定性指标，不能代表样本水平高低.
例题精析
考点一 算术平均数与加权平均数
一家公司对王强、李莉、张英三名应聘者进行了创新、综合知识和语言三项素质测试，他们的成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩
王强
李莉
张英
创新
72
85
67
综合知识
50
74
70
语言
88
45
67
（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，你选谁？请说明理由；
（2）根据实际需要，广告公司给出了选人标准：将创新、综合知识和语言三项测试得分按6∶3∶1的比例确定各人的测试成绩. 你选谁？请说明理由.
反思：本题考查平均数与加权平均数的概念，不同的权重会有不同的结果.
考点二 各指标在数据分析中的应用
例2 某市甲、乙两个汽车销售公司，去年一至十月份每月销售同种品牌汽车的情况如图所示：
（1）请你根据统计图填写下表：
公司
平均数
方差
中位数
众数
甲
9
乙
9
17.0
8
（2）请你从以下两个不同的方面对甲、乙两个汽车销售公司去年一至十月份的销售情况进行分析：
①从平均数和方差结合看；
②从折线图上甲、乙两个汽车销售公司销售数量的趋势看（分析哪个汽车销售公司较有潜力）.
反思：此题考查了平均数、方差、中位数的求法及意义，以及从不同角度评价数据的能力.
考点三 数据分析拓展探究
例3 一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学英语成绩等有关信息如表所示：（单位：分）
A
B
C
D
E
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70
英语
88
82
94
85
76
85
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差． 从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
反思：标准差是方差的算术平方根，本题还引入新指标“标准分”，灵活运用数据分析解决生活中遇到的新问题.
校内练习
1．（德州中考）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量/件
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
2．（广安中考）关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的众数是6 B．这组数据的中位数是1
C．这组数据的平均数是6 D．这组数据的方差是10
3．（聊城中考）某体校要从四名射击选手中选拔一名参加省体育运动会，选拔赛中每名选手连续射靶10次，他们各自的平均成绩x及其方差S2如表所示：
甲
乙
丙
丁
(环)
8.4
8.6
8.6
8.6
S2
0.74
0.56
0.94
1.92
如果要选出一名成绩高且发挥稳定的选手参赛，则应选择的选手是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．如果样本方差S2= [（x1-2）2+（x2-2）2+（x3-2）2+（x4-2）2]，那么这个样本的平均数为 . 样本容量为 ，若方差为0，则 .
5．（温州中考）数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是 ．
6．（宁波期末）小红帮助母亲预算家庭4月份电费的开支情况，下表是她记录的4月初连续8天每天早上电表显示的读数：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
电表读数（千瓦时）
1521
1524
1528
1533
1539
1542
1546
1549
（1）从表格可以看出，在共 天时间内，用电 千瓦时，平均每天用电
千瓦时.
（2）如果以此为样本来估计4月份（按30天计算）的用电量，那么4月份共用电多少千瓦时？
（3）如果用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.53元收费；超过100千瓦时，超出的部分按每千瓦时0.56元收费. 根据以上信息，估计小红家4月份的电费.
参考答案
期末复习三 数据分析初步
【必备知识与防范点】
1. （x1+x2+…+xn） 2. 从小到大（或从大到小） 最中间 平均数 3. 众数 4. [（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2] 越大
【例题精析】
例1 （1）王强的平均成绩为（72+50+88）÷3=70（分）. 李莉的平均成绩为（85+74+45）÷3=68（分）. 张英的平均成绩为（67+70+67）÷3=68（分）. 由70＞68知，王强将被录用. （2）因为6∶3∶1=60%∶30%∶10%，所以创新、综合知识与语言三个方面的权重分别是60%、30%、10%，王强的成绩为72×60%+50×30%+88×10%=67（分）. 李莉的成绩为85×60%+74×30%+45×10%=77.7（分）. 张英的成绩为67×60%+70×30%+67×10%=67.9（分）. 因此李莉将被录用.
例2 （1）
公司
平均数
方差
中位数
众数
甲
9
5.2
9
7
乙
9
17.0
8
8
（2）①平均数相同，方差甲小于乙，甲波动小，销售量比较稳定；②乙公司后期呈上升趋势，较有潜力.
例3 （1）
A
B
C
D
E
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70
70
英语
88
82
94
85
76
85
6
（2）设A同学数学考试成绩标准分为P数学，英语考试成绩标准分为P英语，则P数学=（71-70）÷=；P英语=（88-85）÷6=；∵P数学＞P英语，∴从标准分来看，A同学数学比英语考得更好.
【校内练习】
1—3. CAB 4. 2 4 每一数据均为2 5. 4.8或5或5.2
6. （1）7 28 4 （2）30×4=120（千瓦时） （3）100×0.53+20×0.56=64.2（元）
期末复习二 一元二次方程
复习目标
要求
知识与方法
了解
一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式
一元二次方程根与系数的关系
理解
辨别一元二次方程的二次项、一次项的系数和常数项
会选合适的方法解一元二次方程
一元二次方程的根的判别式
运用
用一元二次方程解决实际问题
配方法求最值
必备知识与防范点
一、必备知识：
1． 一元二次方程的一般形式： ，其中a 0．
2．解一元二次方程的常见方法： 、 、 、 等．
3． 当 ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是 .
4． 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，b2-4ac＞0
；b2-4ac 0方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；b2-4ac 0方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
5． 一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2= ．
6． 关于x的一元二次方程（m－4）x2+x+m2－16=0有一根为0，则m＝ .
7． 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． a=c B． a=b C． b=c D． a=b=c
8． 某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年购买器材的投资的年平均增长率为x，则可列方程 .
9． 某超市销售一种商品，每件商品的成本是20元． 当这种商品的单价定为40元时，每天售出200件． 在此基础上，假设这种商品的单价每降低2元，每天就会多售出15件．
（1）设商品的单价为x元时销售该商品的利润为4500元，可列方程： ；
（2）设商品降价2y元时销售该商品的利润为4500元，可列方程： .
二、防范点：
1． 一元二次方程二次项系数不为0；
2． 运用韦达定理时注意Δ≥0，a≠0；
3． 求二次三项式最值可运用配方法，也可用Δ.
例题精析
考点一 一元二次方程的解
例1 （1）（雅安中考）已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）
A． 4，-2 B． -4，-2 C． 4，2 D． -4，2
（2）设a是关于x的方程：x2-9x+1＝0的一个实数根，求a2-7a+的值；
（3）已知关于x的一元二次方程x2＋mx+2＝0与x2＋2x+m＝0有一个公共根，求这个公共根及m的值.
反思：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解. 遇到方程的解，一般先代入方程，再进行适当的变形.
考点二 求一元二次方程的解
例2 （1）一元二次方程x2-2x=-3通过配方可化为（ ）
A. （x-2）2=9 B. （x-）2=9
C. （x-2）2=0 D. （x-）2=0
（2）给出下列方程：①x2+6x-2=0；②3x2-4=0；③2y2-3y-1=0．你认为选用哪种方法解方程较简便（填序号）？开平方法： ，配方法： ，公式法： .
例3 用适当的方法解下列方程
（1）（2x-1）2-9=0；
（2）x2-2x=1；
（3）x（x-6）=-2（x-6）；
（4）（2y-1）2+2（2y-1）-3=0.
反思：解一元二次方程的方法比较多，碰到方程先要选择一种较简便的方法求解． 一般情况下一次项系数为0时，可选择直接开平方法；二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可选择配方法；能因式分解的用因式分解法，其他往往用公式法．解题过程中还要注意运用整体思想．
考点三 一元二次方程判别式
例4 （1）如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 .
（2）已知关于x的方程（m-2）x2+2mx+m+3=0有实根，则m的取值范围是（ ）
A． m≠2 B． m≤6且m≠2 C． m＜6 D． m≤6
（3）如果x2-2（m+1）x+16是一个完全平方式，则m= .
（4）求代数式2x2-3x+4的最小值.
反思：第（1）小题须满足3个条件：k≠0，Δ＞0，2k+1≥0；第（2）小题注意是方程，可允许m-2=0；第（3）小题二次三项式是完全平方式，则Δ＝0；第（4）小题可用配方法，也可用Δ法：设2x2-3x+4＝y，移项得2x2-3x+4－y＝0，将y看做常数，方程必有实根，∴Δ＝9－8（4－y）≥0，解得y≥，即2x2-3x+4的最小值为.
考点四 一元二次方程的应用（增长率，市场经济，直角勾股等）
例5 （1）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是（ ）
A． 0.64 B． 0.8 C． 8 D． 6.4
（2）（沈阳中考）某商场购进一批单价为20元的日用商品. 如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是 元时，才能在半月内获得最大利润.
例6 如图1，有一块塑料长方形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P．
（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；
（2）如图2，再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．
反思：利用一元二次方程解决实际问题，往往要找到题意中的相等关系，当遇到直角三角形时常想到勾股定理，方程应用中的存在问题可用b2-4ac来解决.
考点五 可化为一元二次方程的解法探究
例7 请阅读下列解方程x4-2x2-3=0的过程.
解：设x2=y，则原方程可变形为y2-2y-3=0
由（y-1）2=4，得y1=3，y2=-1.
当y=3，x2=3，∴x1=，x2=-，
当y=-1，x2=-1，无解.
所以，原方程的解为x1=，x2=-.
这种解方程的方法叫做换元法.
用上述方法解下面两个方程：
（1）x4-x2-6=0；
（2）（x2+2x）2-2（x2+2x）-3=0.
反思：换元法可将高次方程化为一元二次方程. 换元后得新方程的解时，不能半途而废，须求出原方程的解.
校内练习
1． 关于x的方程（m+1）x2+2mx-3=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. 任意实数 B. m≠-1 C. m>1 D. m>0
2． 把一块长与宽之比为2∶1的铁皮的四角各剪去一个边长为10cm的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖盒子，如果这个盒子的容积为1500cm3，那么铁皮的长和宽各是多少？若设铁皮的宽为xcm，则正确的方程是（ ）
A. （2x-20）（x-20）=1500
B. （2x-10）（x-20）=1500
C. 10（2x-20）（x-20）=1500
D. 10（x-10）（x-20）=1500
3． 如果m，n是菱形的对角线，且是方程x2-2013x+2014=0的两个根，则菱形的面积为 .
4． （南充中考）已知关于x的一元二次方程x2-（m-3）x-m=0.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，求m的值．
5． （遂宁中考）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1---）×（+++）-（1----）×（++）.
令++＝t，则原式＝（1-t）（t+）-（1-t-）t=t+-t2-t-t+t2=．
（1）计算：（1---…-）×（+++…+）－（1---…--）×（+++…+）；
（2）解方程（x2＋5x＋1）（x2＋5x＋7）＝7．
6. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润.
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
参考答案
期末复习二 一元二次方程
【必备知识与防范点】
1. ax2+bx+c=0 ≠
2. 因式分解法 直接开平方法 配方法 公式法
3. b2-4ac x=
4. b2-4ac 方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根 = ＜
5. -
6. -4
7. A
8. 2（1+x）+2（1+x）2=8
9. （1）（x-20）（200+×15）＝4500
（2）（20－2y）（200+15y）=4500
【例题精析】
例1 （1）D
（2）∵a是关于x的方程：x2-9x+1＝0的一个实数根，∴a2-9a+1＝0，∴a2＝9a－1，a2+1＝9a，a+=9，原式＝（9a－1）-7a+＝2a－1＋＝2（a+）－1＝17.
（3）设公共根为a，有a2＋ma+2＝0①，a2＋2a+m＝0②，由①－②得：（m-2）a+2-m=0，即（m-2）（a-1）=0，当m=2时，两方程相同，且方程无解，不符要求，∴a=1，代入①得：m=-3. ∴公共根为1，m的值为－3.
例2 （1）D （2）② ① ③
例3 （1）x1=2，x2=-1；（2）x1=+2，x2=-2；（3）x1=-2，x2=6；（4）y1=1，y2=-1.
例4 （1）－≤k＜且k≠0；（2）D；（3）3或－5；（4）最小值.
例5 （1）C （2）35
例6 （1）能；设AP＝x，据BP2+PC2=BC2有16＋x2+（10-x）2+16=100，解得：x1=2，x2=8，∴当AP＝2cm或8cm时，三角板两直角边分别通过点B与点C.
（2）能；设AP＝x，据BP2+PE2=BE2有16＋x2+（8-x）2+16=64，解得：x1=x2=4，∴当AP＝4cm时，CE=2cm.
例7 （1）x=±；（2）x1=-3，x2=1，x3=x4=-1.
【校内练习】
1—2. BC
3. 1007
4. （1）证明：∵x2-（m-3）x-m=0，∴Δ=[-（m-3）]2-4×1×（-m）=m2-2m+9=（m-1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x2-（m-3）x-m=0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，∴（x1+x2）2-3x1x2=7，∴（m-3）2-3×（-m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2．
5. （1）设+++…+＝t，则原式＝（1-t）×（t+）-（1-t-）×t=t+-t2--t+t2+＝．
（2）设x2＋5x＋1＝t，原方程可化为：t（t＋6）＝7，t2＋6t－7＝0，（t＋7）（t－1）＝0，得t1＝－7，t2＝1，当t＝－7时，x2＋5x＋1＝-7，方程无解；当t＝1时，x2＋5x＋1＝1，解得x1＝0，x2＝－5． 所以原方程的解为：x1＝0，x2＝－5．
6. （1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500-（55-50）×10=450（千克），所以月销售利润为：（55-40）×450=6750元；
（2）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-40）[500-10（x-50）]=8000，解得：x1=80，x2=60. 当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg＜250kg，符合题意，当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg＞250kg，舍去.
答：商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元.
期末复习五 特殊平行四边形
复习目标
要求
知识与方法
了解
矩形、菱形、正方形的概念
理解
矩形、菱形、正方形的判定与性质
运用
用矩形、菱形、正方形的判定与性质解决有关图形的论证和计算等问题
必备知识与防范点
一、必备知识：
1． 矩形的性质及判定：
（1）矩形的 个角都是直角；矩形的对角线 ；矩形既是 对称图形，又是 对称图形，它至少有 条对称轴．
（2）有一个角是 的 是矩形；有 个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的 是矩形．
2． 菱形的性质及判定：
（1）菱形的 条边都相等；菱形的对角线 ，并且每条对角线平分 ．
（2）一组 相等的 是菱形；四条边相等的四边形是 ；对角线 的平行四边形是菱形．
3． 正方形的性质及判定：
（1）正方形的 个角都是直角，四条边都 ；正方形的对角线 ，并且 ，每条对角线平分一组 ．
（2）有一组 相等，并且有一个角是 的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的 是正方形；有一个角是直角的 是正方形．
二、防范点：
1． 矩形、菱形、正方形的判定书写要规范；
2． 矩形、菱形、正方形的性质可从边、角、对角线、整体四个角度去考虑.
例题精析
考点一 矩形、菱形的性质
例1 （1）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连结BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连结AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABMD=AM2． 其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（2）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是 .
反思：（1）由已知BM＝DH联想△BMA≌△DHA，而全等的关键是证∠ABM＝∠ADH＝∠BED.
（2）根据AD∥BC得出∠DEF=∠EFB=60°，故△EFB′是等边三角形，由此得出∠A′B′E=30°，再由直角三角形的性质得出A′B′=AB=2，即可得解.
考点二 矩形、菱形的判定
例2 已知：线段AB，BC，∠ABC=90°． 求作：矩形ABCD．
以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①以点C为圆心，AB长为半径画弧；
②以点A为圆心，BC长为半径画弧；
③两弧在BC上方交于点D，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．
乙：①连结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②连结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
甲正确，乙错误 B． 乙正确，甲错误
C． 甲、乙均正确 D． 甲、乙均错误
例3 已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）：
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求折痕EF的长.
反思：熟练掌握矩形、菱形的性质及判定，能够利用矩形、菱形的性质求解一些简单的计算问题.
考点三 矩形、菱形、正方形综合
例4 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝10，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF，BF.
（1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若AE＝x，求△EBF的面积S关于x的函数表达式，并判断是否存在x，使△EBF的面积是△CGF面积的2倍. 若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）求△GCF面积的最小值.
反思：（1）证第（1）小题图形不准，要抓住△GDH≌△HAE（HL），证明∠GHE＝90°；（2）解第（2）小题的关键是构造△FNG≌△HAE，△FEM≌△HGD；（3）求△GCF面积的最小值要抓住GC边上的高不变，GC最小只要DG最大，DH＝4，∴GH
＝HE最大，∴点E与点B重合时，△GCF的面积取最小.
考点四 特殊平行四边形拓展探究
例5 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
【探究展示】（1）证明：AM＝AD＋MC；
（2）AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.
反思：（1）常规辅助线：“中点＋平行”构造全等，角平分线构造全等；（2）证“一条线段＝两线段和”类型常用截长补短法；（3）第（1）小题也可过E作EH⊥AM于H，再证HM＝CM得证.
校内练习
1．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，设∠A＝x°，则∠FPC的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，点B，C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为 .
3．（南充中考）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是 .（填序号）
4． 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且AD＝BC＝4，若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有不同形状的四边形吗？写出所拼四边形对角线的长（不要求写计算过程，只需写出结果）
如图1，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图2），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．
6． 如图，在正方形ABCD中，DE与HG相交于点O.
（1）如图1所示，若∠GOD＝90°，①求证：DE＝GH；②连结EH，求证：GD＋EH≥DE；
（2）如图2所示，若∠GOD＝45°，AB＝4，HG＝2，求DE的长.
参考答案
期末复习五 特殊平行四边形
【必备知识与防范点】
（1）四 相等 中心 轴 两 （2）直角 平行四边形 三 平行四边形
2. （1）四 互相垂直平分 一组对角 （2）邻边 平行四边形 菱形 互相垂直
3. （1）四 相等 相等 互相垂直平分 对角 （2）邻边 直角 矩形 菱形
【例题精析】
例1 （1）在菱形ABCD中，∵AB=BD，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，∵BE=CF，∴BC-BE=CD-CF，即CE=DF，在△BDF和△DCE中，DF=CE，∠BDF=∠C=60°，BD=CD，∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小题正确；∴∠DBF=∠EDC，∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，∴∠BMD=180°-∠DMF=180°-60°=120°，故②小题正确；∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，∴∠DEB=∠ABM，又∵AD∥BC，∴∠ADH=∠DEB，∴∠ADH=∠ABM，在△ABM和△ADH中，AB=AD，∠ABM=∠ADH，BM=DH，∴△ABM≌△ADH（SAS），∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，∴△AMH是等边三角形，故③小题正确；∵△ABM≌△ADH，∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，又∵△AMH的面积=AM·AM=AM2，∴S四边形ABMD=AM2，故④小题正确，综上所述，正确的是①②③④共4个. 故选D. （2）16
例2 C
例3 （1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∠AFE=∠CEF. ∵矩形ABCD沿EF折叠，点A和C重合，∴∠CEF=∠AEF，AE=CE，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF. ∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF为平行四边形，∵AE=EC，即四边形AECF的四边相等. ∴四边形AECF为菱形. （2）∵AB=9cm，BC=3cm，∴AC=3cm，AF=CF，∴在Rt△BCF中，设BF=xcm，则CF=（9-x）cm，由勾股定理可得（9-x）2=x2+32，即18x=72，解得x=4，则CF=5，BF=4，由面积可得：·AC·EF=AF·BC，即·3·EF=5×3，∴EF=cm.
例4 （1）在△HDG和△AEH中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HDG和Rt△EAH中，HG=HE，DG=AH，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形； （2）过F作FM⊥AB，垂足为M，交DC延长线于点N，连结GE，∴FN⊥CD，∵CD∥AB，∴∠DGE=∠MEG，∵GH∥EF，∴∠HGE=∠FEG，∴∠DGH=∠MEF，在Rt△HDG和Rt△FME中，∠D=∠M=90°，∠DGH=∠FEM，HG=FE，∴Rt△HDG≌Rt△FME，∴DH=MF，∵AH=2，∴DH=MF=4，∵AE=x，∴BE=10-x. ∴S△EBF=BE·FM=2（10-x）=20-2x.同理可证Rt△AHE≌Rt△NFG，∴FN=AH=2，∵AH=2，AE=x，∴HE=HG==，∴DG===，∴CG=10-，∴S△GCF=CG·FN=10-，若△EBF的面积是△CGF面积的2倍，则20-2x=2（10-），整理得：x2=x2-12，此方程无解，所以不存在x，使△EBF的面积是△CGF面积的2倍. （3）当点E与点B重合时，△GCF的面积取最小，最小值为10-2.
例5
（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC. ∴∠DAE=∠ENC. ∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE. ∴∠ENC=∠MAE. ∴MA=MN. 在△ADE和△NCE中，∠DAE=∠CNE，∠AED=∠NEC，DE=CE，∴△ADE≌△NCE（AAS）. ∴AD=NC. ∴MA=MN=NC+MC=AD+MC. （2）AM=DE+BM成立.证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图2所示. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC. ∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°. ∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE. 在△ABF和△ADE中，∠FAB=∠EAD，AB=AD，∠ABF=∠D，∴△ABF≌△ADE（ASA）. ∴BF=DE，∠F=∠AED. ∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE. ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM. ∴∠F=∠FAM. ∴AM=FM. ∴AM=FB+BM=DE+BM. （3）探究展示（1）AM＝AD＋MC仍成立；（2）AM＝DE＋BM不成立.
【校内练习】
D
2. 3. ①②
4. 图1是矩形，两条对角线长相等，均为2；图2是平行四边形，两条对角线长为4和4；图3是平行四边形，两条对角线长为2和2；图4是一般的四边形，两条对角线长为2和.
5. （1）在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，
BC=DC，∠BCP=∠DCP，PC=PC，∴△BCP≌△DCP（SAS）； （2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC； （3）与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．
6. （1）①作平行四边形DGHM，则GH=DM，GD=MH，GH∥DM，∴∠GOD=∠MDE=90°，∴∠MDC+∠EDC=90°，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠MDC=∠ADE，在△ADE和△CDM中，∠ADE=∠MDC，∠A=∠DCM=90°，AD=DC，∴△ADE≌△CDM，∴DE=DM，∴DE=GH； ②∵DM=DE，∠EDM=90°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=DM=DE，∵MH+EH≥EM，GD=MH，∴EH+GD≥EM，∴GD+EH≥DE；（2）过点D作DN∥GH交BC于点N，则四边形GHND是平行四边形，∴DN=HG，GD=HN，∵∠C=90°，CD=AB=4，HG=DN=2，∴CN==2，∴BN=BC-CN=4-2=2，作∠ADM=∠CDN，DM交BA延长线于M，在△ADM和△CDN中，∠ADM=∠CDN，AD=DC，∠MAD=∠C=90°，∴△ADM≌△CDN（ASA），∴AM=NC，DM=DN，∵∠GOD=45°，∴∠EDN=45°，∴∠ADE+∠CDN=45°，∴∠ADE+∠ADM=45°=∠MDE，在△MDE和△NDE中，MD=ND，∠MDE=∠NDE，DE=DE，∴△MDE≌△NDE（SAS），∴EM=EN，即AE+CN=EN，设AE=x，则BE=4-x，在Rt△BEN中，22+（4-x）2=（x+2）2，解得x=，∴DE===.
期末复习六 反比例函数
复习目标
要求
知识与方法
了解
反比例函数的定义
反比例函数图象的意义
通过实验数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程
理解
反比例函数的图象与性质
待定系数法求反比例函数解析式
画反比例函数的图象
根据自变量取值范围求反比例函数的取值范围
求双曲线与直线的交点
运用
运用反比例函数性质和图形解决简单实际问题
综合运用函数图象和方程、不等式等其他数学模型解决实际问题
必备知识与防范点
一、必备知识：
1． 反比例函数 ，其中k叫做 ，且k 0．
2． 反比例函数y=（k≠0）的图象是由两个分支组成的曲线． 当k>0时，函数图象在 、 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ；当k<0时，函数图象在 、 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ． 反比例函数的图象关于直角坐标系的 成中心对称．
3． （1）已知反比例函数y=-.
①求当y<2时，x的取值范围；
②已知（-3，y1），（-15，y2），（1，y3）是图象上的三个点，比较y1，y2，y3的大小.
（2）已知函数y=k（x-1）和y=（k≠0）在同一坐标系内的图象大致是（ ）
（3）如图是三个反比例函数y=，y=，y=的图象在x轴上方的图象，由此可得k1，k2，k3的大小关系是 .
4. 双曲线y=与正比例函数y=kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为 .
5． 如图，B、C分别在反比例函数y＝与反比例函数y＝的图象上，点A在x轴上，且四边形OABC是平行四边形，则四边形OABC的面积为 .
6． 已知一次函数y=10-x与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点A，B，设点A（a，b），那么长为a，宽为b的矩形面积为 ，周长为 .
二、防范点：
1． 反比例函数的增减性要注意前提是同一象限内（或注明x＞0或x＜0）；
2． 在坐标系里注意线段与坐标之间的相互关系；
3． 反比例函数与一次函数在同一题中出现时要区别比例系数.
例题精析
考点一 求反比例函数解析式及反比例函数图象和性质
例1 （1）下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A. y=- B. y=
C. y=-（x＞0） D. y=（x＜0）
（2）如图，当三角形的面积是6cm2时，BC边上的高h（cm）与BC边的长x（cm）之间的函数表达式是 ，它是 函数.
（3）已知y与x2成反比例，可设y= ；已知y-2与x成反比例，可设y＝ ；已知y与x-2成反比例，可设y= .
例2 如图，直线y=k1x+b（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A（1，m）、B（-2，-1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式．
反思：求反比例函数解析式时，往往要先根据题意设好解析式，再根据待定系数法求出相应的解析式． 函数图象的性质可以解决函数值的增减性问题，也可以比较函数值的大小，函数图象是一个很好的解题工具．
考点二 反比例函数的应用
例3 近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO. 在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降，如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
反思：反比例函数和一次函数在同一题中出现时，要区别比例系数k1、k2，做此题要理解题意，如爆炸前逃生，爆炸后下井等.
考点三 反比例函数与几何图形的结合
例4 （绍兴中考）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a）. 如图，若曲线y=（x＞0）与此正方形的边有交点，则a的取值范围是 .
例5 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点A在x轴上，顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上． 当菱形的顶点A在x轴的正半轴上自左向右移动时，顶点B也随之在反比例函数y＝（x＞0）的图象上滑动，点C也相应移动，但顶点O始终在原点不动．
（1）如图1，若点A的坐标为（6，0）时，求点B、C的坐标；
（2）如图2，当点A移动到什么位置时，菱形ABOC变成正方形，请说明理由；
（3）当菱形的三个顶点在作上述移动时，菱形ABOC的面积是否会发生变化，若不发生变化，请求出菱形的面积；若发生变化，请说明变化的规律．
反思：本题双曲线面积不变性与菱形对角线互相垂直平分完美结合，可解决（1）、（3）小题，要在动中寻找不变；第（2）小题菱形变正方形，从对角线角度考虑，只要OM＝BM即可.
考点四 反比例函数的拓展探究
例6 如图，分别取反比例函数y=，y=图象的一支，等腰Rt△AOB中，OA⊥OB，OA=OB=2，AB交y轴于C，∠AOC=60°.
（1）将△AOC沿y轴折叠得△DOC，试判断D点是否在y=的图象上，并说明理由.
（2）连结BD，求S四边形OCBD.
（3）若将直线OB向上平移，分别交y=于E点，交y=于F点，在向上平移过程中，是否存在某一时刻使得EF=2？若存在，试求此时直线EF的解析式；若不存在，说明理由.
反思：本题考查反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质等相关知识，难度较大.
校内练习
1． 反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而减小，则k的取值范围为 .
2． 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x2=x1+2，且=+，则这个反比例函数的表达式为 .
3. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2），点D在反比例函数y=（k＜0）图象上，将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度后，点C恰好落在该函数图象上，则m的值是 ．
4. （广安中考）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（4，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB=6，
（1）求函数y=和y=kx+b的解析式；
（2）已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y=的图象上一点P，使得S△POC=9．
5. 四边形OABC中，BC∥OA，∠OAB=90°，OA=6，腰AB上有一点D，AD=3，四边形ODBC的面积为18，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点C和点D．
（1）求反比例函数关系式；
（2）求出点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△CDP是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
期末复习六 反比例函数
【必备知识与防范点】
1. y= 比例系数 ≠
2. 一 三 减小 二 四 增大 原点
3. （1）①x＜－3或x＞0； ②y1＞y2＞y3
（2）C （3）k1＞k2＞k3
4. -8
5. 3
6. 6 20
【例题精析】
例1 （1）D （2）h= 反比例
（3） +2
例2 （1）y=x+1，y=
（2）∵A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，∴A1与A2在第三象限，A3在第一象限，即y1＜0，y2＜0，y3＞0. 则y2＜y1＜y3.
例3 （1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为y=k1x+b，∵图象过点（0，4）与（7，46），∴b=4，7k1+b=46，解得k1=6，b=4，∴y=6x+4，此时自变量x的取值范围是0≤x≤7. ∵爆炸后浓度成反比例下降，可设y与x的函数关系式为y=． ∵图象过点（7，46），∴=46，解得k2=322，∴y=，此时自变量x的取值范围是x＞7；
（2）当y=34时，由y=6x+4得，6x+4=34，x=5. ∴撤离的最长时间为7-5=2（小时）． ∴撤离的最小速度为3÷2=1.5（km/h）；
（3）当y=4时，由y=得，x=80.5，80.5-7=73.5（小时）． ∴矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井．
例4 ≤a≤+1
例5 （1）连结BC，交OA于点M. 则BC⊥OA，且OM=OA=3. ∴B的横坐标是3，把x=3代入y=得：y=4，则B的坐标是（3，4）. ∵B，C关于OA对称，∴C的坐标是（3，-4）；
（2）当菱形ABOC变成正方形时，OM=BM，则B的横纵坐标相等. 设B的坐标是（a，a），代入y=. 得a=2. 则B的坐标是（2，2）. ∴OA=4.
（3）∵四边形ABOC是菱形. ∴菱形ABOC的面积=4×直角△OBM的面积. ∵直角△OBM的面积=×12=6. ∴菱形ABOC的面积=24. 菱形的面积不变化.
例6 （1）如图，分别过点A、B作AE⊥x轴于点E，BF⊥y轴于点F，∵∠AOC=60°，
∴∠AOE=90°-60°=30°，∵OA=2，∴AE=1，OE=，∴A（-，1），∴k2=-.
同理可得，k1=，∴y=，∵A、D关于y轴对称，∴D（，1），代入y=成立，∴D点在y=的图象上.
（2）过点B作BP⊥OD于点P，∵△AOC≌△DOC，∴∠AOC=∠DOC=60°，∵∠BOF=30°，∴∠BOP=30°，∴OB是∠DOF的平分线，∴BP=BF，∵∠COA=60°，∠OAC=45°，∴∠OCA=∠FCB=75°，∵∠BOD=30°，OA=OB，OA=OD，∴OB=OD，∴∠BDP=75°，∴∠BDP=∠BCF，∴∠DBP=∠CBF，在△BDP与△BCF中，∵∠DBP=∠CBF，BP=BF，∠BPD=∠BFC，∴△BDP≌△BCF，∴S△BDP=S△BCF，在Rt△OPB与Rt△OFB中，∵BF=BP，OB=OB，∴Rt△OPB≌Rt△OFB，∴S四边形OCBD=2S△OFB=2×××1=；
（3）∵点E在反比例函数y=-的图象上，∴设E（a，-）（a＜0），∵EF∥OB，EF=OB=2，∴四边形OBFE是平行四边形，∵O（0，0），B（1，），∴F（a+1，-+），∵点F在反比例函数y=的图象上，∴（a+1）（-+）=，∴a2-a-1=0，∴a1=（舍去），a2=，∴E（，），F（，），设过EF两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），=k+b，=k+b，解得k=，b=. ∴直线EF的解析式为y=x+.
【校内练习】
1. k＞1
2. y=
3. 1
4. （1）把点A（4，2）代入反比例函数y=，可得m=8，∴反比例函数解析式为y=，∵OB=6，∴B（0，-6），把点A（4，2），B（0，-6）代入一次函数y=kx+b，可得2=4k+b，-6=b，解得k=2，b=-6，∴一次函数解析式为y=2x-6.
（2）在y=2x-6中，令y=0，则x=3，即C（3，0），∴CO=3，设P（a，），则由S△POC=9，可得×3×=9，解得a=，∴P（，6）．
5. （1）∵OA=6，AD=3，∴D点的坐标为（6，3），∴m=6×3=18，∴反比例函数的解析式为：y=；
（2）S△AOD=·OA·AD=×6×3=9，四边形OABC的面积=四边形ODBC的面积+S△AOD=18+9=27，即：=27，设点C的坐标为（a，），∵BC∥OA，∴BC=6-a，AB=，∴=27，解得：a=3，=6，∴点C的坐标为（3，6）；
（3）P点的坐标为（0，0）或（3，0）．
期末复习四 平行四边形
复习目标
要求
知识与方法
了解
多边形的概念，多边形内角和公式，外角和
平行四边形的概念，四边形的不稳定性，平行线之间距离的概念
中心对称概念及性质
三角形中位线的概念及性质
反证法的含义及基本步骤
理解
平行四边形的性质与判定
在直角坐标系中求已知点关于原点对称的点的坐标
会用反证法证明简单命题
运用
作简单图形关于已知点中心对称的图形
用平行四边形的判定与性质解决有关图形的论证和计算等问题
综合运用三角形、平行四边形相关知识解决实际问题
必备知识与防范点
一、必备知识：
1． 四边形的内角和等于 ，外角和等于 ． n边形的内角和等于 ，外角和等于 ． n边形对角线条数为 ．
2． 中心对称图形的性质：对称中心平分连结两个 的线段．在直角坐标系中，点（x，y）关于原点对称的点为 ．
3． 夹在两条平行线间的 相等，夹在 间的垂线段相等．
4． 平行四边形的性质：平行四边形对边 ；对角 ； 互相平分．
5． 平行四边形的判断：一组对边 的四边形是平行四边形；两组对边 的四边形是平行四边形；对角线 的四边形是平行四边形．
6． 三角形的中位线 第三边，并且等于第三边的 ．
7． 一般先假设命题不成立，从假设出发经过推理得出和 矛盾，或者与 、 、 等矛盾，从而得出假设不成立是错误的，即原命题正确．
二、防范点：
1． 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；
2． 反证法与举反例有着本质的区别，反证法是证明真命题，而举反例是证假命题.
例题精析
考点一 多边形内角和、外角和
例1 （1）一个多边形的外角和与内角和共1620°，则这个多边形的边数是 .
（2）一个多边形除一个内角之外，其余各角之和为2570°，则这个内角是 ．
反思：n边形的内角和必为180°的倍数，少一个内角或多一个角的问题可以用180°的整数倍去解决问题．
考点二 平行四边形的判定与性质
例2 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A． OA＝OC，OB＝OD
B． ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
C． AD∥BC，AD＝BC
D． AB＝CD，AO＝CO
例3 如图，在ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，求证：
（1）四边形AECF是平行四边形；
（2）AE＝CF.
反思：本题从ABCD性质入手，判定四边形AECF是平行四边形. 本题证明方法多样，也可不添线，用一组对边平行且相等或两组对边相等来证明.
考点三 三角形中位线定理
例4 （宜昌中考）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离. 可以在AB外选一点C，连结AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连结ED. 现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=（ ）
A． 50m B. 48m C. 45m D. 35m
例5 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，求证：
（1）ED⊥CA；（2）EF=EG.
反思：中点＋等腰三角形联想三线合一，中点＋直角联想斜边中线定理，中点＋平行联想两三角形全等，两个中点想到中位线定理.
考点四 与平行四边形有关的计算
例6 探究：如图1，在平行四边形ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB＝∠EAD＝90°，连结AC、EF，在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明.
应用：以ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连结EF，GH，IJ，KL． 若ABCD的面积为6，则图中阴影部分四个三角形的面积和为 ．
反思：本题证△FAE≌△ABC（SAS）难点是证∠FAE＝∠ABC，主要从周角入手. 在应用中关键是找到阴影三角形与之全等的三角形，如△FAE≌△ABC，△LDK≌△BCD. 类似地，若将等腰直角三角形变成等边三角形（见第四章专业提升二第4题），方法也相似.
考点五 平行四边形的拓展探究
例7 在同步4.4—4.6复习课中我们曾做过以下题目：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE. 求证：DE∥CB.
变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等腰△ACD，且AD=DC，点E为AB的中点，连结DE． 求证：DE∥CB；
变式2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等腰△ACD，且AD=DC，DA⊥AB，以AB为一边向形外作等腰△ABF，且AF=BF，∠FAB=∠CBA. 点E为AB的中点，连结DE． 求证：DE=AF.
反思：将做过的题目进行分类整理，融会贯通是一种良好的学习习惯.
考点六 坐标平面内的平行四边形
例8 在平面直角坐标中，有点O（0，0），A（-1，1），B（2，2）.
（1）求点C，使以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形.
（2）如图，连结OA，过点B作直线l∥OA，分别交x轴、y轴于点D、点E，若点Q在直线l上，在平面直角坐标系中求点P，使以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形.
反思：（1）坐标平面内的平行四边形各顶点横坐标之和相等，纵坐标之和相等；（2）寻找菱形，转化为寻找等腰三角形，把复杂问题简单化.
校内练习
1． （葫芦岛中考）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A． 60° B． 65° C． 55° D． 50°
2. 用反证法证明“已知a<|a|，求证：a必为负数”时第一步应假设 .
3. 如图，在ABCD中，AB=6，BC=10，对角线AC⊥AB，点E、F在BC、AD上，且BE=DF.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）①当四边形AECF是菱形时，求BE的长；
②当四边形AECF是矩形时，求BE的长.
4． 如图，P是△ABC的边AB上一点，连结CP，BE⊥CP于点E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D，试解答下列问题：
（1）如图1所示，当P为AB的中点时，连结AE，BD. 求证：四边形ADBE是平行四边形；
（2）如图2所示，当P不为AB的中点时，取AB中点Q，连结QD，QE. 求证：△QDE是等腰三角形.
参考答案
期末复习四 平行四边形
【必备知识与防范点】
1. 360° 360° （n-2）×180° 360°
2. 对称点 （-x，-y）
3. 平行线段 两条平行线
4. 平行且相等 相等 对角线
5. 平行且相等 平行（或相等） 互相平分
6. 平行于 一半
7. 反证法 已知条件 定义 基本事实 定理
【例题精析】
例1 （1）9 （2）130°
例2 D
例3 （1）连结AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD. ∵BE=DF，∴OE=OF. ∴四边形AECF为平行四边形.
（2）∵AECF，∴AE＝CF.
例4 B
例5 （1）∵平行四边形ABCD，∴OB＝OD，又∵BD＝2AD，∴DA＝OD，又∵E为OA中点，∴DE⊥AC.
（2）∵DE⊥AC，G为CD中点，∴EG＝0.5DC，又∵E为OA中点，F为OB中点，∴EF＝0.5AB，又∵ABCD，∴AB＝CD，∴EG＝EF.
例6 探究：△FAE≌△ABC，理由：AF＝AB，AE＝AD＝BC，∠FAE＝360°－2×90°－∠BAD＝180°－∠BAD＝∠ABC，∴△FAE≌△ABC（SAS）.
应用：12．
例7 变式1：证明与原题类似，可用两种方法证明. 方法一：连结CE，证△DEA≌△DEC（SSS），利用三线合一得DE⊥AC，又AC⊥BC，∴DE∥BC；方法二：延长AD交BC延长线于点G，通过证DE是△AGB的中位线得平行.
变式2：连结FE，∵AF＝BF，点E为AB中点，∴FE⊥AB，又AD⊥AB，∴FE∥AD，∵∠FAB=∠CBA，∴AF∥BC，由变式1得：DE∥BC，∴AF∥DE，∴四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF.
例8 （1）C（1，3）或C（3，1）或C（－3，－1）；
（2）寻找O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，先寻找△ODQ为等腰三角形，再确定点P. 当DO为腰，Q1（0，4），P1（4，4）；Q2（4－2，2），P2（-2，2）；Q3（4＋2，－2），P3（2，－2）. 当DO为底时，Q4（2，2），P4（2，－2）. 故这样的点P有4个，它们是P1（4，4），P2（-2，2），P3（2，－2），P4（2，－2）.
【校内练习】
1. A
2. a≥0
3. （1）证CE＝AF，CE∥AF得四边形AECF是平行四边形；
（2）①BE＝CE＝5时，四边形AECF是菱形； ②BE＝3.6.
4. （1）∵P为AB中点，∴AP=BP，∵BE⊥CP，AD⊥CP，∴∠ADP=∠BEP=90°，∵∠APD=∠BPE，∴在△ADP和△BEP中：∠APD=∠BPE，∠ADP=∠BEP，AP=BP，∴△ADP≌△BEP（AAS），∴DP=EP，∴四边形ADBE是平行四边形；
（2）如图，延长DQ交BE于F，∵AD∥BE，∴∠ADQ=∠BFQ，在△ADQ和△BFQ中，
∠ADQ=∠BFQ，∠AQD=∠BQF，AQ=BQ，∴△ADQ≌△BFQ（AAS），∴DQ=QF，∵BE⊥DC，∴QE是直角三角形DEF斜边上的中线，∴QE=QF=QD，即DQ=QE，∴△QDE是等腰三角形.
