备考2018中考数学高频考点剖析
专题二十 平面几何之和平行四边形问题
考点扫描☆聚焦中考
平行四边形问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括平行四边形的性质和平行四边形的判定两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主，也有少量的解析题。解析题主要以简单的证明为主。结合近几年来，特别是2017年全国各地中考的实例，我们从三个方面进行平行四边形问题的探讨：
（1）平行四边形的性质；
（2）平行四边形的判定；
（3）平行四边形的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1如图，在?ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则?ABCD的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【考点】L5：平行四边形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出DC=AB，AD=BC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD=BC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，
∴?ABCD的周长=2×6=12；
故选：B．
例2（2017广西河池）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．
【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．
【解答】解：连接EG，
∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE，OD=DE=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
∴OA=AG．
在Rt△AOD中，OA===4，
∴AG=2AO=8．
故选B．
例3（2017?乐山）如图，延长?ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，再证出BE=DF，得出AF=EC，进而可得四边形AECF是平行四边形，从而可得AE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵DF=DC，BE=BA，
∴BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
例4（2017青海西宁）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6，．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求?ABCD的面积．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由已知条件易证△AOD≌△COB，由此可得OD=OB，进而可证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）由（1）和已知条件可证明四边形ABCD是菱形，由菱形的面积公式即可得解．
【解答】解：
（1）∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB，
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴?ABCD的面积=AC?BD=24．
例5(2017湖北咸宁)如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DF，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）解：连接AF、BD，如图所示：
由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
考点过关☆专项突破
类型一 平行四边形的性质
1. （2017.湖南怀化）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=5cm，则AD的长是 cm．
2. （2017四川眉山）如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
3. （2017?黑龙江）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（ ）
A．22 B．20 C．22或20 D．18
4. （2017宁夏）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为 ．
5. （2017山东临沂）在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则?ABCD的面积是 ．
6. （2017青海西宁）如图，将?ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE的长为 ．
7. （2017?宁德）如图，E，F为平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
求证：AE=CF．
类型二 平行四边形的判定
1. (2016·浙江省绍兴市·4分）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
2．（2016·江西·3分）如图所示，在?ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
3．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
4. （2017?新疆）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．
5. （2016·山东省滨州市·10分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．
类型三 平行四边形的综合应用
1．（2017乌鲁木齐）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AE∥CF．
2．（2016·陕西）如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．
求证：AF∥CE．
3．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）证明ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．
4. 如图，在?ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF=BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，FB．给出以下结论：①BE∥DF；②BE=DF；③AE=CF．请你从中选取一个条件，使∠1=∠2成立，并给出证明．
备考2018中考数学高频考点剖析
专题二十 平面几何之和平行四边形问题
考点扫描☆聚焦中考
平行四边形问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括平行四边形的性质和平行四边形的判定两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主，也有少量的解析题。解析题主要以简单的证明为主。结合近几年来，特别是2017年全国各地中考的实例，我们从三个方面进行平行四边形问题的探讨：21世纪教育网版权所有
（1）平行四边形的性质；
（2）平行四边形的判定；
（3）平行四边形的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1如图，在?ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则?ABCD的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【考点】L5：平行四边形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出DC=AB，AD=BC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．【出处：21教育名师】
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD=BC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，
∴?ABCD的周长=2×6=12；
故选：B．
例2（2017广西河池）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．
【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．
【解答】解：连接EG，
∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE，OD=DE=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
∴OA=AG．
在Rt△AOD中，OA===4，
∴AG=2AO=8．
故选B．
例3（2017?乐山）如图，延长?ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．www-2-1-cnjy-com
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，再证出BE=DF，得出AF=EC，进而可得四边形AECF是平行四边形，从而可得AE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵DF=DC，BE=BA，
∴BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
例4（2017青海西宁）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6，．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求?ABCD的面积．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由已知条件易证△AOD≌△COB，由此可得OD=OB，进而可证明四边形ABCD是平行四边形；【版权所有：21教育】
（2）由（1）和已知条件可证明四边形ABCD是菱形，由菱形的面积公式即可得解．
【解答】解：
（1）∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB，
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴?ABCD的面积=AC?BD=24．
例5(2017湖北咸宁)如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DF，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）解：连接AF、BD，如图所示：
由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
考点过关☆专项突破
类型一 平行四边形的性质
1. （2017.湖南怀化）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=5cm，则AD的长是 10 cm．2·1·c·n·j·y
【考点】L5：平行四边形的性质；KX：三角形中位线定理．
【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD=2OE，继而求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD=2OE，
∵OE=5cm，
∴AD=10cm．
故答案为：10．
2. （2017四川眉山）如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】先利用平行四边形的性质求出AB=CD，BC=AD，AD+CD=9，可利用全等的性质得到△AEO≌△CFO，求出OE=OF=3，即可求出四边形的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，AD∥BC，
∴CD+AD=9，∠OAE=∠OCF，
在△AEO和△CFO中，，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF=1.5，AE=CF，
则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12．
故选C．
3. （2017?黑龙江）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（ ）21*cnjy*com
A．22 B．20 C．22或20 D．18
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】根据AE平分∠BAD及AD∥BC可得出AB=BE，BC=BE+EC，从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
①当BE=3，EC=4时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．
②当BE=4，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定；根据题意判断出AB=BE是解答本题的关键．
4. （2017宁夏）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为 105° ．
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的外角性质求出∠BDG=∠DBG=∠1=25°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBG，
由折叠可得∠ADB=∠BDG，
∴∠DBG=∠BDG，
又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°，
∴∠ADB=∠BDG=25°，
又∵∠2=50°，
∴△ABD中，∠A=105°，
∴∠A'=∠A=105°，
故答案为：105°．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是解决问题的关键．
5. （2017山东临沂）在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则?ABCD的面积是 24 ．
【分析】作OE⊥CD于E，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，由sin∠BDC=，证出AC⊥CD，OC=3，AC=2OC=6，得出?ABCD的面积=CD?AC=24．
【解答】解：作OE⊥CD于E，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，
∵sin∠BDC==，
∴OE=3，
∴DE==4，
∵CD=4，
∴点E与点C重合，
∴AC⊥CD，OC=3，
∴AC=2OC=6，
∴?ABCD的面积=CD?AC=4×6=24；
故答案为：24．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，得出AC⊥CD是关键21·cn·jy·com
6. （2017青海西宁）如图，将?ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE的长为 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质．
【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F=EB，CF=CE，设AE=x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．
【解答】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，
在?ABCD中，
∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，
由于?ABCD沿EF对折，
∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，
D′C=AD=BC，
∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，
∴∠D′CF=∠ECB，
在△D′CF与△ECB中，
∴△D′CF≌△ECB（ASA）
∴D′F=EB，CF=CE，
∵DF=D′F，
∴DF=EB，AE=CF
设AE=x，
则EB=8﹣x，CF=x，
∵BC=4，∠CBG=60°，
∴BG=BC=2，
由勾股定理可知：CG=2，
∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x
在△CEG中，
由勾股定理可知：（10﹣x）2+（2）2=x2，
解得：x=AE=
故答案为：
7. （2017?宁德）如图，E，F为平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
求证：AE=CF．
【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，即可证得∠ABE=∠CDF，则可证得△ABE≌△CDF，继而证得结论．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△CDF是关键．
类型二 平行四边形的判定
1. (2016·浙江省绍兴市·4分）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
【考点】平行四边形的判定．
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选D．
2．（2016·江西·3分）如图所示，在?ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 50° ．21cnjy.com
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由“平行四边形的对边相互平行”、“两直线平行，同位角相等”以及“直角三角形的两个锐角互余”的性质进行解答．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠C=∠ABF．
又∵∠C=40°，
∴∠ABF=40°．
∵EF⊥BF，
∴∠F=90°，
∴∠BEF=90°﹣40°=50°．
故答案是：50°．
3．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．2-1-c-n-j-y
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；21教育名师原创作品
（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．
【解答】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，DG=BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴DE=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3，
∴EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=6．
【点评】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．
4. （2017?新疆）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．
【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由SSS证明证明△ADC≌△CEB即可；
（2）由全等三角形的性质得出得到∠ACD=∠CBE，证出CD∥BE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点C是AB的中点，
∴AC=BC；在△ADC与△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（SSS），
（2）证明：连接DE，如图所示：
∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD∥BE，
又∵CD=BE，
∴四边形CBED是平行四边形．
【点评】该题主要考查了平行四边形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．21教育网
5. （2016·山东省滨州市·10分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．21·世纪*教育网
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．
【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．21*cnjy*com
【解答】解：（1）四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，
在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，
∴EM=BE=，
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，
在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，
∴∠NDC=∠NCD=45°，
∴DN=NC=，
∴MC=3，
在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，
∴EC===10．
∵HG+HC=EH+HC=EC，
∴HG+HC的最小值为10．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型．
类型三 平行四边形的综合应用
1．（2017乌鲁木齐）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AE∥CF．www.21-cn-jy.com
【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA=OC，OB=OD；然后结合已知条件证得OE=OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．
【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BF=ED，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．
2．（2016·陕西）如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．
求证：AF∥CE．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠1=∠2，
∵BF=DE，
∴BF+BD=DE+BD，
即DF=BE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD=∠CEB，
∴AF∥CE．
3．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）证明ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．
【分析】（1）先证得△ADB≌△CDB求得∠ADDF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得．
（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．
【解答】（1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB与△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD=∠BAD，
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，
∴?ABDF是菱形，
∴AB=BD=5，
∵AD=6，
设BE=x，则DE=5﹣x，
∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，
即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2
解得：x=，
∴=，
∴AC=2AE=．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用．
4. 如图，在?ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF=BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
【分析】利用三角形中位线定理判定OE∥BC，且OE=BC．结合已知条件CF=BC，则OECF，由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论．
【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是BD的中点．
又∵点E是边CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥BC，且OE=BC．
又∵CF=BC，
∴OE=CF．
又∵点F在BC的延长线上，
∴OE∥CF，
∴四边形OCFE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．此题利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质和“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”的判定定理．
5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，FB．给出以下结论：①BE∥DF；②BE=DF；③AE=CF．请你从中选取一个条件，使∠1=∠2成立，并给出证明．
【分析】欲证明∠1=∠2，只需证得四边形EDFB是平行四边形或△ABF≌△CDE即可．
【解答】解：方法一：
补充条件①BE∥DF．
证明：如图，∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
∴∠BEA=∠DFC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴ED∥BF，
∴∠1=∠2；
方法二：
补充条件③AE=CF．
证明：∵AE=CF，∴AF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF与△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【来源：21cnj*y.co*m】
