2017_2018学年高中数学全一册学案（含解析）（打包19套）新人教A版必修5

正弦定理
[提出问题]
如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2.
问题1：求△ABC的其他边和角．
提示：B＝60°，C＝90°，a＝1，b＝.
问题2：试计算，，的值，三者有何关系？
提示：＝2，＝＝2，＝2，三者的值相等．
问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？
提示：是．如图，∵sin A＝，
∴＝c.
∵sin B＝，∴＝c.
∵sin C＝1，∴＝＝.
问题4：在钝角△ABC中，B＝C＝30°，b＝，试求其他边和角．
提示：如图，△ACD为直角三角形，C＝30°，AC＝，
则AD＝，CD＝，
BC＝3·AB＝，∠BAC＝120°.
问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？
提示：满足．
问题6：若是锐角三角形，上述结论还成立吗？
提示：成立．
[导入新知]
1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形．
[化解疑难]
对正弦定理的理解
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．
(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.
已知两角及一边解三角形
[例1]　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
[解]　A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由＝得b＝＝＝4，
由＝得c＝＝＝＝4(＋1)．
∴A＝45°，b＝4，c＝4(＋1)．
[类题通法]
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角；
(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．
[活学活用]
在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
解：∵A＝45°，C＝30°，
∴B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝＝10.
由＝得b＝＝＝20sin 75°，
∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
＝，
∴b＝20×＝5＋5.
∴B＝105°，a＝10，b＝5＋5.
已知两边及一边的对角解三角形
[例2]　根据下列条件解三角形．
(1)△ABC中，已知b＝，B＝60°，c＝1；
(2)△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2.
[解]　(1)由正弦定理知
sin C＝＝＝，故C＝30°或C＝150°.
∵A＋B＋C＝180°，
∴C＝150°不符合题意，舍去．
∴A＝90°，a＝＝2.
故a＝2，A＝90°，C＝30°.
(2)由正弦定理得sin C＝＝＝.
故C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1.
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
故b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，
C＝120°.
[类题通法]
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
[活学活用]
在△ABC中，若c＝，C＝，a＝2，求A，B，b.
解：由＝，得sin A＝＝.
∴A＝或A＝.
又∵c＞a，
∴C＞A，
∴只能取A＝，
∴B＝π－－＝，
b＝＝＝＋1.
判断三角形的形状
[例3]　在△ABC中，sin2 A＝sin2 B＋sin2 C，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状．
[解]　由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝.(R为△ABC外接圆半径)
∵sin2 A＝sin2 B＋sin2 C，
∴2＝2＋2，
即a2＝b2＋c2，故A＝90°.
∴C＝90°－B，cos C＝sin B.
∴2sin Bcos C＝2sin2 B＝sin A＝1.
∴sin B＝.
∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°＞180°，故舍去)．
∴△ABC是等腰直角三角形．
[类题通法]
1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．
2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
[活学活用]
在△ABC中，若b＝acos C，试判断该三角形的形状．
解：∵b＝acos C，＝＝2R，(R为△ABC外接圆半径)
∴sin B＝sin A·cos C.
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin (A＋C)＝sin A·cos C.
即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C，
∴cos Asin C＝0，
∵A，C∈(0，π)，∴cos A＝0，
∴A＝，
∴△ABC为直角三角形．
　　　　
[典例]　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝60°，则B＝________.
[解析]　由正弦定理，得sin B＝b×＝2×＝.∵0°＜B＜180°，∴B＝30°，或B＝150°.∵b＜a，根据三角形中大边对大角可知B＜A，∴B＝150°不符合条件，应舍去，∴B＝30°.
[答案]　30°
[易错防范]
1．由sin B＝得B＝30°或150°，而忽视b＝2＜a＝2，从而易出错．
2．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．
[成功破障]
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，且b＝6，a＝2，A＝30°，求ac的值.
解：由正弦定理＝得
sin B＝＝＝.
由条件b＝6，a＝2，b＞a知B＞A.
∴B＝60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
在Rt△ABC中，C＝90°，a＝2，b＝6，c＝4，
∴ac＝2×4＝24.
②当B＝120°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°，
∴A＝C，则有a＝c＝2.∴ac＝2×2＝12.
[随堂即时演练]
1．(广东高考)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)
A．4　　　　　　 B．2
C. D.
解析：选B　由正弦定理得＝，
即＝，
所以AC＝×＝2，故选B.
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B的值为(　　)
A．－　　　　　 B.
C．－ D.
解析：选D　根据正弦定理＝可得＝，
解得sin B＝，
又因为b所以B所以cos B＝＝.
3．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2 C，则△ABC是________三角形．
解析：由已知得sin2 A－sin2 B＝sin2 C，根据正弦定理知
sin A＝，sin B＝，sin C＝，
所以2－2＝2，
即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.
所以△ABC是直角三角形．
答案：直角
4．(全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝______.
解析：在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，
∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又∵＝，∴b＝＝＝.
答案：
5．不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝7，b＝14，A＝150°；
(3)a＝9，b＝10，A＝60°.
解：(1)sin B＝＝×＜，
所以△ABC有一解．
(2)sin B＝＝1，所以△ABC无解．
(3)sin B＝＝×＝，而＜＜1，
所以当B为锐角时，满足sin B＝的B的取值范围为60°＜B＜90°；
当B为钝角时有90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°，
所以△ABC有两解．
[课时达标检测]
一、选择题
1．在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　由正弦定理得＝，
所以＝.
2．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为(　　)
A．A>B　　　　　　　　 B．AC．A≥B D．A，B的大小关系不确定
解析：选A　∵sin A>sin B，
∴2Rsin A>2Rsin B，
即a>b，故A>B.
3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对边长是(　　)
A．4 B．12
C．4 D．12
解析：选D　若设120°角所对的边长为x，
则由正弦定理可得＝，
于是x＝＝＝12，故选D.
4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
解析：选C　由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是(　　)
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A ＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立
D．在△ABC中，＝
解析：选B　由正弦定理易知A，C，D正确．
对于B，由sin 2A＝sin 2B，
可得A＝B，或2A＋2B＝π，
即A＝B，或A＋B＝，
∴a＝b，或a2＋b2＝c2，故B错误.
二、填空题
6．(北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________.
解析：在△ABC中，根据正弦定理＝，
有＝，可得sin B＝.
因为∠A为钝角，所以∠B＝.
答案：
7．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
解析：A＝180°－B－C＝30°，由正弦定理得
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
即a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°
＝1∶1∶.
答案：1∶1∶
8．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________.
解析：由正弦定理，得
sin C＝＝＝.
可知C为锐角，
∴cos C＝＝.
∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.
答案：
三、解答题
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2B＝A＋C，a＋b＝2c，求sin C的值．
解：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°，
∴0°A＝120°－C.
∵a＋b＝2c，
由正弦定理得sin A＋sin B＝2sin C，
∴sin(120°－C)＋＝2sin C，
即cos C＋sin C＋＝2sin C，
∴sin C－cos C＝.
∴sin(C－30°)＝.
∵－30°∴C－30°＝45°，C＝75°.
sin C＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝.
10．(天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝bsin A.
(1)求B；
(2)若cos A＝，求sin C的值．
解：(1)由asin 2B＝bsin A及正弦定理得
2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，
所以cos B＝，所以B＝.
(2)由cos A＝，可得sin A＝，则
sin C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sin
＝sin A＋cos A＝.
11．在△ABC中，已知＝，试判断△ABC的形状．
解：∵＝，
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴＝.
又∵sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，
即A＝B，或A＋B＝.
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
12．已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为两内角，试判定这个三角形的形状．
解：设方程的两根为x1、x2，
由根与系数的关系，得
∴bcos A＝acos B.
由正弦定理得：sin Bcos A＝sin Acos B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，
sin(A－B)＝0.
∵A、B为△ABC的内角，
∴0∴A－B＝0，即A＝B.
故△ABC为等腰三角形．

余弦定理
[提出问题]
在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°.
问题1：这个三角形确定吗？
提示：确定．
问题2：你能利用正弦定理求出BC吗？
提示：不能．
问题3：能否利用平面向量求边BC？如何求得？
提示：能．
∵＝－，
∴||2＝||2＋||2－2·
＝||2＋||2－2||||cos A
＝4＋9－2×2×3cos 60°
＝7.
∴||＝.
问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a?
提示：能．
[导入新知]
余弦定理
余
弦
定
理
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccos_A，
b2＝a2＋c2－2accos_B，
c2＝a2＋b2－2abcos_C
语言叙述
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
推论
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
[化解疑难]
对余弦定理的理解
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．
已知三角形的三边解三角形
[例1]　在△ABC中：
(1)a＝3，b＝4，c＝，求最大角；
(2)a∶b∶c＝1∶∶2，求A，B，C的大小．
[解]　(1)由c>b>a，知C最大，
∵cos C＝＝＝－，
∴C＝120°.
(2)∵a∶b∶c＝1∶∶2，
∴设a＝x，则b＝x，c＝2x(x>0)．
由余弦定理，得
cos A＝＝＝，
∴A＝30°.
同理cos B＝，cos C＝0，
∴B＝60°，C＝90°.
[类题通法]
已知三角形的三边解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．
[活学活用]
在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和另外两角的余弦值．
解：∵a>c>b，∴A为最大角，
由余弦定理得，cos A＝＝＝－，
又∵0°cos B＝＝＝；
cos C＝＝＝.
已知三角形的两边及其夹角解三角形
[例2]　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，c＝4(＋1)，解此三角形．
[解]　由余弦定理得：
b2＝a2＋c2－2accos B
＝82＋[4(＋1)]2－2×8×4(＋1)·cos 60°
＝64＋16(4＋2)－64(＋1)×＝96，
∴b＝4.
法一：由cos A＝
＝
＝，
∵0°＜A＜180°，∴A＝45°.
故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
法二：由正弦定理＝，
∴＝，∴sin A＝.∵b＞a，c＞a，
∴a最小，即A为锐角．
因此A＝45°.
故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
[类题通法]
已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法
先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．
若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题[在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的]，故用余弦定理求解较好．
[活学活用]
在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，解此三角形．
解：c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(2)2＋(2)2－2×2×2×cos(45°－30°)
＝8－4
＝(－) 2，
∴c＝－.
法一：由余弦定理的推论得
cos A＝＝＝.
∵0°＜A＜180°，∴A＝45°，
从而B＝120°.
法二：由正弦定理得sin A＝＝＝.
∵a＜b，∴A＜B，
又∵0°＜A＜180°，
∴A必为锐角，∴A＝45°，从而得B＝120°.
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形
[例3]　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求A，C，a.
[解]　法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，
∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理得sin A＝＝＝1.
∴A＝90°，
∴C＝60°.
法二：由b＜c，B＝30°，b＞csin 30°＝3×＝知本题有两解．
由正弦定理得sin C＝＝＝，
∴C＝60°或120°，
当C＝60°时，A＝90°，△ABC为直角三角形．
由勾股定理得a＝＝＝6，
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，
∴a＝3.
[类题通法]
已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法
可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．
[活学活用]
已知在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝3，则c＝________.
解析：A为b，c的夹角，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴16＝9＋c2－6×c，
整理得5c2－18c－35＝0.
解得c＝5或c＝－(舍)．
答案：5
判断三角形的形状
[例4]　在△ABC中，若已知(a＋b＋c)·(a＋b－c)＝3ab，并且sin C＝2sin Bcos A，试判断△ABC的形状．
[解]　由正弦定理，可得sin B＝，sin C＝.
由余弦定理，得cos A＝.
代入sin C＝2sin Bcos A，
得c＝2b·.
整理得a＝b.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以a2＋b2－c2＝ab，
即cos C＝＝.故C＝.
又因为a＝b，
所以△ABC为等边三角形．
[类题通法]
判断三角形的形状的方法
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状．
[活学活用]
在△ABC中，若cos A＝，试判断其形状．
解：由cos A＝得
cos A＝，即＝，
∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，
因此△ABC是以C为直角的直角三角形．
　　　　
[典例]　(12分)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
[解题流程]
[规范解答]
[活学活用]
如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．
解：在△ADC中，cos C＝
＝＝.
又∵0°＜C＜180°，
∴sin C＝.
在△ABC中，＝，
∴AB＝·AC＝··7＝.
[随堂即时演练]
1．在△ABC中，b＝5，c＝5，A＝30°，则a等于(　　)
A．5　　　　　　　　 B．4
C．3 D．10
解析：选A　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝52＋(5)2－2×5×5×cos 30°＝25，∴a＝5.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＞0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
解析：选C　由＞0得－cos C＞0，
所以cos C＜0，从而C为钝角，
因此△ABC一定是钝角三角形．
3．(天津高考改编)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________.
解析：由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，
即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，
化简得AC2＋3AC－4＝0，
解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．
答案：1
4．在△ABC 中，a＝1，b＝2，cos C＝，则 c＝________；sin A＝________.
解析：根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，
故c＝2.
因为cos C＝，
于是sin C＝ ＝，
于是，由正弦定理得sin A＝＝＝或：由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，于是sin A＝ ＝.
答案：2　
5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
解：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0.
∴x1＝，x2＝－2(舍去)．
∴cos C＝.
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16.
∴c＝4，即第三边长为4.
[课时达标检测]
一、选择题
1．在△ABC中，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝82＋32－2×8×3×＝49，
∴a＝7.由正弦定理，得＝2R，
∴R＝.
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C　由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为
cos A＝＝＝－.
3．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是(　　)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
解析：选B　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，
又∵b2＝ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，
∴a＝c.
∵B＝60°，∴A＝C＝60°.
故△ABC是等边三角形．
4．(全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：选D　由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.
5．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，
∴由正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，
即b2＋c2－a2≥bc，
由余弦定理得cos A＝≥＝，
∴0二、填空题
6．(福建高考)在△ABC 中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB 等于________．
解析：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，
所以＝，解得sin B＝1，
因为0°＜B＜180°，
所以B＝90°，
所以AB＝＝1.
答案：1
7．(北京高考)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.
解析：在△ABC中，∠A＝，
∴a2＝b2＋c2－2bccos，即a2＝b2＋c2＋bc.
∵a＝c，∴3c2＝b2＋c2＋bc，∴b2＋bc－2c2＝0，
∴(b＋2c)(b－c)＝0，∴b－c＝0，∴b＝c，∴＝1.
答案：1
8．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则C＝________.
解析：因为sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，
由正弦定理可得a∶b∶c＝3∶5∶7，
设a＝3k(k＞0)，则b＝5k，c＝7k，
由余弦定理的推论得cos C＝＝－，
又0°＜C＜180°，所以C＝120°.
答案：120°
三、解答题
9．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．
解：由余弦定理知cos B＝，代入c＝acos B，
得c＝a·，∴c2＋b2＝a2.
∴△ABC是以A为直角的直角三角形．
又∵b＝asin C，∴b＝a·.∴b＝c.
∴△ABC也是等腰三角形．
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
10．(天津高考改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，求cos A的值．
解：由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.
又b－c＝a，
∴c＝a，即a＝2c.
由余弦定理得
cos A＝＝＝＝－.
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
解：(1)根据正弦定理得
2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C?
2cos Asin B＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B，
∵sin B≠0，
∴cos A＝.
∵0°＜A＜180°，
∴A＝60°.
(2)由余弦定理得
7＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°
＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
把 b＋c＝4代入得bc＝3，故bc＝3.
12．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
解：(1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.
故sin B＝sin A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，
得cos B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cos B>0，
故cos B＝.
所以B＝45°.
1．2.1　正、余弦定理在实际中的应用
测量中的基本术语
[提出问题]
李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中．
问题1：李尧家在学校的哪个方向？
提示：东南方向．
问题2：能否用角度再进一步确定其方位？
提示：可以，南偏东45°或东偏南45°.
[导入新知]
实际测量中的有关名称、术语
称
定义
图示
基线
在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
仰角
在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角
在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角
从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)
南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角)
方位角
从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
[化解疑难]
解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量．用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节.
测量高度问题
[例1]　如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.
[解]　在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.
在△BCD中，由余弦定理可得
CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，
即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，
所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，
即塔高AB为200米．
[类题通法]
测量高度问题的要求及注意事项
(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解．
(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角．从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差．
[活学活用]
(湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，
∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100 (m)．
答案：100
测量角度问题
[例2]　如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？
[解]　设缉私船用t h在D处追上走私船，
则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC
＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos 120°
＝6，
∴BC＝，
且sin ∠ABC＝·sin ∠BAC＝·＝.
∴∠ABC＝45°.
∴BC与正北方向垂直．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin ∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.
即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．
[类题通法]
解决追及问题的步骤
(1)把实际问题转化为数学问题；
(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了；
(3)最后把数学问题还原到实际问题中去．
[活学活用]
某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰
立即以10 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
解：设护航舰靠近货船所用时间为t小时．在△ABC中，根据余弦定理，有
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．
所以护航舰靠近货船需要1小时．
此时AB＝10，BC＝10，
又AC＝10，所以∠CAB＝30°，
所以护航舰航行的方位角为75°.
　　　　
测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解．
【角度一】　　两点间不相通的距离
[例1]　如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法为先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．
即AB＝.
若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长度．
[解]　在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600×cos 60°＝280 000.∴AB＝200 m.
即A，B两点间的距离为200 m.
【角度二】　　两点间可视但有一点不可到达
[例2]　如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法为在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.
若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.
[解析]　∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝20(m)．
即A，B两点间的距离为20 m.
[答案]　20
【角度三】　　两点都不可到达
[例3]　如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.
若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
[解]　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∴AC＝DC＝.
在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得
BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°
＝＋－2×××＝.
∴AB＝ km.
∴A，B两点间的距离为 km.
[随堂即时演练]
1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　)
A．东偏北45°10′方向上
B．北偏东45°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上
D．西偏南45°50′方向上
解析：选C　如图所示，点Q在点P的南偏西44°50′的方向上．
2．海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)
A．10 海里　　 B. 海里
C．5 海里 D．5 海里
解析：选D　如图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10，
由正弦定理得＝，
∴BC＝5(海里)，故选D.
3．如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________米．
解析：过A作AE⊥CD(图略)，垂足为E，ED＝AB＝24米，则AE＝＝＝8(米)．
在Rt△ACE中，CE＝AE·tan 30°＝8×＝8(米)，
∴CD＝CE＋ED＝8＋24＝32(米)．
答案：32
4.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，则河的宽度为________米．
解析：∠ACB＝180°－45°－75°＝60°，
在△ABC中，＝.
∴BC＝120·＝，
河宽为BCsin∠CBA＝sin 75°＝20(＋3)米.
答案：20(＋3)
5.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．
解：如题中图所示，在△ABC中，
AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理知，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800?BC＝20.
由正弦定理，得＝?
sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，
则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)
A．α＞β　　　　　　　　　 B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
解析：选B　根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如下图．
知α＝β，故应选B.
2．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间的距离为(　　)
A.a km B.a km
C．a km D．2a km
解析：选A　△ABC中，AC＝BC＝a km，∠ACB＝90°，AB＝a km.
3．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是(　　)
A．5 B．10
C．10 D．10
解析：选C　如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．
在△ABB′中，B′＝30°，
∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m，
由正弦定理，得
BB′＝＝＝10 (m)．
∴坡底延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30°.
4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　)
A. 海里/小时
B．34 海里/小时
C. 海里/小时
D．34 海里/小时
解析：选A　如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，∴v＝＝ (海里/小时)．
5.如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 海里，则乙船每小时航行(　　)
A．10 海里 B．20 海里
C．30海里 D．30 海里
解析：选D　如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，
易知∠A1A2B2＝60°，
又易求得A1A2＝30×＝10＝A2B2，
∴△A1A2B2为正三角形，∴A1B2＝10.
在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°，
∴B1B＝400＋200－2×20×10×＝200，
∴B1B2＝10，∴乙船每小时航行30 海里．
二、填空题
6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝3，
BC＝2，∠ABC＝150°.
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7.
则A，C两地距离为7 km.
答案：7
7．(四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈ 0.80，≈1.73)
解析：过A作BC边上的高AD，D为垂足．
在Rt△ACD中，AC＝92，
在△ABC中，由正弦定理，
得BC＝×sin∠BAC＝×sin 37° ≈
×0.60＝60(m)．
答案：60
8．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.
解析：如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，
则BC⊥AD，∠DAB＝30°，
∠DAC＝60°，则在Rt△ACD中，
DC＝ACsin ∠DAC＝30sin 60°＝15 n mile，
AD＝ACcos ∠DAC＝30cos 60°＝15 n mile，
则在Rt△ADB中，
DB＝ADtan∠DAB＝15tan 30°＝5 n mile，
则BC＝DC－DB＝15－5＝10 n mile.
答案：10
三、解答题
9．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A，B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A，B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40 m，斜坡与水平面成30°角，求该转播塔的高度．
解：如图所示，由题意，得
∠ABC＝45°－30°＝15°，
∠DAC＝60°－30°＝30°.
∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，
∴AC＝AB＝40 m，∠ADC＝120°，∠ACD＝30°，
在△ACD中，由正弦定理，得
CD＝·AC
＝·40
＝(m)．
故转播塔的高度为m.
10．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．
解：设B为塔正东方向一点，AE为塔，沿南偏西60°行走40 m后到达C处，
即BC＝40，
且∠CAB＝135°，
∠ABC＝30°，
如图在△ABC中，
＝，
即＝，
∴AC＝20.由点A向BC作垂线AG，此时仰角∠AGE最大等于30°.
在△ABC中，
∠ACB＝180°－135°－30°＝15°
AG＝ACsin15°＝20 sin 15°
＝10(－1)．
∴AE＝AG·tan 30°＝.
即塔高为 m.
11．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，问：甲船应往什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶多少海里？
解：设甲沿直线与乙船同时到达C点，
则A，B，C构成一个△ABC，
如图，设乙船速度为v，
则甲船速度为v，到达C处用时为t.
由题意BC＝vt，AC＝vt，∠ABC＝120°.
在△ABC中，
由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°，
∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.
∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－(舍)或vt＝a.
∴BC＝a.
在△ABC中AB＝BC＝a，
∴∠BAC＝∠ACB＝30°.
答：甲船应往北偏东30°的方向去追乙，此时乙船行驶a海里．
12．A，B，C是一条直路上的三点，AB＝BC＝1 km，从这三点分别遥望一座电视发射塔P，在A处看见塔在东北方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路的距离．
解：如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l、BN⊥l、PQ⊥l，垂足分别为M、N、Q.
设BN＝x，
即PQ＝x，PA＝x，
∵AB＝BC，
∴CM＝2BN＝2x，
PC＝2PQ＝2x.
在△PAC中，由余弦定理得：
AC2＝PA2＋PC2－2PA·PC·cos 75°，
即4＝2x2＋4x2－4x2·，
解得x2＝.
过P作PD⊥AC，垂足为D.
则线段PD的长为塔到直路的距离．
∵sin ∠BAN＝x，cos ∠BAN＝，
∴sin ∠CAP＝sin(135°－∠BAN)＝(x＋)
PD＝APsin ∠CAP＝x(x＋)
＝x2＋
＝＋
＝＋＝＋＝.
答：塔到直路的距离为 km.
1.2.2　正、余弦定理在三角形中的应用
三角形的面积公式
[提出问题]
在△ABC中，若AC＝3，BC＝4，C＝60°.
问题1：△ABC的高AD为多少？
提示：AD＝AC·sin C＝3×sin 60°＝.
问题2：△ABC的面积为多少？
提示：S△ABC＝BC·AD＝×4×＝3.
问题3：若AC＝b，BC＝a，你发现△ABC的面积S可以直接用a，b，C表示吗？
提示：能．S＝absin C.
[导入新知]
三角形的面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
[化解疑难]
三角形的面积公式S＝absin C与原来的面积公式 S＝a·h(h为a边上的高)的关系为：
h＝bsin C，实质上bsin C就是△ABC中a边上的高．
三角形的面积计算
[例1]　在△ABC中，已知C＝120°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．
[解]　由正弦定理知＝，
即＝，所以sin B＝，
由于AB＞AC，
所以C＞B，故B＝30°.
从而A＝180°－120°－30°＝30°.
所以△ABC的面积
S＝AB·AC·sin A
＝·2·2·sin 30°
＝ .
[类题通法]
1．求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．
2．事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．
[活学活用]
1．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝64，则c＝________.
解析：由已知得S△ABC＝·bc·sin A，
即64＝×16×c×sin 60°，解得c＝16.
答案：16
2．在△ABC中，若a＝3，b＝2，c＝4，则其面积等于________．
解析：由余弦定理得cos A＝＝＝，
所以sin A＝ ＝，
于是S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝.
答案：
三角形中的恒等式证明问题
[例2]　在△ABC中，求证：＝.
[证明]　法一：左边＝
＝·
＝＝＝＝右边，
其中R为△ABC外接圆的半径．
∴＝.
法二：左边＝
＝
＝＝＝右边，(cos C≠0)
∴＝.
[类题通法]
解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用．三角形边和角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解．
[活学活用]
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：－＝c.
证明：由余弦定理的推论得
cos B＝，cos A＝，
代入等式右边，得
右边＝c
＝＝＝－＝左边，
∴－＝c.
三角形中的综合问题
[例3]　(浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
[解]　(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2 sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)
＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是 sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝得absin C＝，故有sin Bsin C＝sin A＝ sin 2B＝sin Bcos B.
因为 sin B≠0，所以 sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
[类题通法]
解决三角形的综合问题，除灵活运用正弦、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识．因此，掌握正弦、余弦定理，三角函数的公式和性质是解题关键．
[活学活用]
已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝5，求c.
解：∵S＝absin C，
∴5＝×4×5sin C，
∴sin C＝.
而0°又c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴当C＝60°时，c2＝42＋52－2×4×5cos 60°＝21，
∴c＝.
当C＝120°时，c2＝42＋52－2×4×5cos 120°＝61，
∴c＝，故c的长为或.

　　　　
[典例]　(12分)如图，在四边形ABCD中，AC＝CD＝AB＝1，·＝1，
sin∠BCD＝.
(1)求边BC的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
[解题流程]
[规范解答]
(1)∵AC＝CD＝AB＝1，
∴·＝||·||·cos∠BAC＝
[名师批注]
向量数量积运算公式易用错，在△ABC中，和夹角有时误认为是∠ABC，从而不得分．
2cos∠BAC＝1，
∴cos∠BAC＝，∴∠BAC＝60°.(3分)
在△ABC中，由余弦定理有：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1×＝3，∴BC＝.(6分)
(2)由(1)知，在△ABC中有：AB2＝BC2＋AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，(7分)
∴S△ABC＝BC·AC＝××1＝.(8分)
又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，
sin∠BCD＝，∴cos∠ACD＝，(9分)
[名师批注]
利用了诱导公式求cos∠ACD，求解时对取正负号要特别注意.
∴sin∠ACD＝＝，(10分)
∴S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×1×1×＝.(11分)
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋＝.(12分)
[活学活用]
在△ABC中，AB＝2，cos C＝，D是AC上一点，AD＝2DC，且cos∠DBC＝.
求：(1)∠BDA的大小；(2) ·.
解：(1)由已知cos∠DBC＝，
cos C＝，从而知sin∠DBC＝，
sin C＝，
∴cos∠BDA＝cos(∠DBC＋∠C)
＝×－×＝，
∴∠BDA＝.
(2)设DC＝x，则AD＝2x，AC＝3x，设BC＝a，
则在△DBC中，由正弦定理得＝，
∴a＝x.
在△ABC中，由余弦定理得
4＝(3x)2＋(x)2－2·3x·x·.
解得x＝1，∴||＝3，||＝2，||＝.
∴·＝||·||cos(π－C)
＝2××＝－4.
[随堂即时演练]
1．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝ ，则A的大小为(　　)
A．60°或120°　　　　 B．60°
C．120° D．30°或150°
解析：选A　由S△ABC＝bcsin A得＝×2××sin A，
所以sin A＝，故A＝60°或120°，故选A.
2．在△ABC中，若＝，则(　　)
A．A＝C B．A＝B
C．B＝C D．以上都不正确
解析：选C　∵＝＝，
∴sin Bcos C＝cos Bsin C.
∴sin(B－C)＝0.
又∵－π＜B－C＜π，
∴B－C＝0，即B＝C.
3．等腰△ABC中，顶角A＝120°，腰长AB＝1，则底边BC长为________．
解析：易知B＝C＝30°，由正弦定理知：＝，
∴BC＝.
答案：
4．三角形的两边分别为3 cm,5 cm，它们所夹角的余弦值为方程5x2－7x－6＝0的根，则这个三角形的面积为________cm2.
解析：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝2，x2＝－，
因此两边夹角的余弦值等于－，
并可求得正弦值为，
于是三角形面积
S＝×3×5×＝6(cm2)．
答案：6
5．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．
解：∵AB＝2，AC＝2，B＝30°，
∴根据正弦定理，有
sin C＝＝＝，
又∵AB＞AC，
∴C＞B，则C有两解，
①当C为锐角时，C＝60°，A＝90°，
∴S△ABC＝AB·ACsin A＝2.
②当C为钝角时，C＝120°，A＝30°，
∴S△ABC＝AB·ACsin A＝.
综上可知，△ABC的面积为2或.
[课时达标检测]
一、选择题
1．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．－
C．± D．±
解析：选C　∵S△ABC＝AB·BCsin∠ABC
＝×2×5×sin θ＝4，
∴sin θ＝.
又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±＝±.
2．在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8，则△ABC的面积为(　　)
A．32 B．16
C．32或16 D．32或16
解析：选D　在△ABC中，由正弦定理＝，得
sin B＝＝＝，
又b＞a，∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝180°－30°－60°＝90°，
∴S△ABC＝×8×8＝32；
当B＝120°时，C＝180°－30°－120°＝30°，
∴S△ABC＝absin C＝×8×8×＝16.
3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且S△ABC＝，则边BC的长为(　　)
A. B．3
C. D．7
解析：选A　∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，
∴AC＝1，由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A
＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3.
即BC＝.
4．△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC的边长等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C　如图，由题意得
由②得bc＝40，
由③得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc
＝(20－a)2－3×40，∴a＝7.
5．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为 m2，则此人这时离开出发点的距离为(　　)
A．3 m B. m
C．2 m D. m
解析：选D　在△ABC中，S＝AB×BCsin B，
∴＝×x×3×sin 30°，∴x＝.
由余弦定理，得
AC＝
＝＝ (m)．
二 、填空题
6．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为________．
解析：不妨设b＝2，c＝3，cos A＝，
则a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝9，∴a＝3.
又∵sin A＝＝，
∴外接圆半径为R＝＝＝.
答案：
7．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为________km.
解析：如图所示，在△ACD中，
AC＝2，CD＝4，∠ACD＝60°，
∴AD2＝12＋48－2×2×4×＝36，
∴AD＝6，即该船实际航程为6 km.
答案：6
8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于，则三边长为________．
解析：由题意知a边最大，sin A＝，
∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos A.
∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．
∴a2－9a＋14＝0，a＝2(舍去)，a＝7.
∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.
答案：a＝7，b＝5，c＝3
三、解答题
9．在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为，求边长a.
解：∵AD是BC边上的中线，
∴可设CD＝DB＝x，则CB＝a＝2x.
∵c＝4，b＝7，AD＝，
在△ACD中，有cos C＝，
在△ABC中，有cos C＝，
∴＝，
解得x＝.∴a＝2x＝9.
10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.求证：＝.
证明：法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
得a2－b2＝b2－a2＋2c(acos B－bcos A)，
即a2－b2＝c(acos B－bcos A)，
变形得＝＝cos B－cos A，由正弦定理＝＝
得＝，＝，
∴＝
＝.
法二：＝
＝cos B－cos A，
由正弦定理＝＝，
得：＝，＝，
由余弦定理推论得，
cos B＝，cos A＝，
代入上式得
＝·－·
＝－
＝＝.
∴原等式成立．
11．(全国甲卷) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．
解：(1)由正弦定理得a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
所以＝＝，
即sin Bcos A－2sin Bcos C＝2sin Ccos B－sin A cos B，
即有sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，
即sin C＝2sin A，所以＝2.
(2)由(1)知：＝＝2，即c＝2a，又因为b＝2，所以由余弦定理得：b2＝c2＋a2－2accos B，即22＝4a2＋a2－2a×2a×，解得a＝1，所以c＝2.又因为cos B＝，所以sin B＝.故△ABC的面积为acsin B＝×1×2×＝.
3.1不等关系与不等式
不等关系与不等式
[提出问题]
在日常生活中，我们经常看到下列标志：
问题1：你知道各图中的标志有何作用吗？其含义是什么？
提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；
②限制重量：装载总重量G不得超过10 t；
③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m；
④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m；
⑤时间范围：t∈[7.5,10]．
问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？
提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.
[导入新知]
不等式的概念
我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接两个数或两个代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．
[化解疑难]
1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．
2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换
文字语言
大于，高于，超过
小于，低于，少于
大于等于，至少，不低于
小于等于，至多，不多于，不超过
符号语言
＞
＜
≥
≤
两实数大小的比较
[提出问题]
实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
问题1：怎样判断两个实数a，b的大小？
提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，
则a问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？
提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．
[导入新知]
比较两个实数a，b大小的依据
文字语言
符号表示
如果a＞b，那么a－b是正数；
如果a＜b，那么a－b是负数；
如果a＝b，那么a－b等于0，
反之亦然　　　　　　　　　
a>b?a－b>0
aa＝b?a－b＝0
[化解疑难]
1．上面的“?”表示“等价于”，即可以互相推出．
2．“?”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系．
不等式的基本性质
[提出问题]
问题1：若a>b，b>c，则a>c，对吗？为什么？
提示：正确．∵a>b，b>c，
∴a－b>0，b－c>0.
∴(a－b)＋(b－c)>0，即a－c>0.
∴a>c.
问题2：若a＞b，则a＋c＞b＋c，对吗？为什么？
提示：正确．∵a＞b，
∴a－b＞0，
∴a＋c－b－c＞0，
即a＋c＞b＋c.
问题3：若a＞b，则ac＞bc，对吗？试举例说明．
提示：不一定正确．若a＝2，b＝1，c＝2时正确．c＝－2时不正确．
[导入新知]
不等式的性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c；
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)：?a＋c>b＋d.
(4)可乘性：?ac>bc；?ac推论(同向同正可乘性)：?ac>bd.
(5)正数乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥1)．
(6)正数开方性：a>b>0?>(n∈N*，n≥2)．
[化解疑难]
1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
用不等式(组)表示不等关系
[例1]　某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[解]　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．由题意得
即
[类题通法]
用不等式表示不等关系的方法
(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．
(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．
[活学活用]
用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：
(1)限速80 km/h的路标；
(2)桥头上限重10 吨的标志；
(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%.
解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h，则v≤80.
(2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.
(3)
比较两数(式)的大小
[例2]　比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与2x；
(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
[解]　(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3
＝2＋2≥2＞0，
∴x2＋3＞2x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，
即a3＋b3＞a2b＋ab2.
[类题通法]
比较两个代数式大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程是作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
[活学活用]
试判断下列各对整式的大小：
(1)m2－2m＋5与－2m＋5；
(2)x3＋6x与x2＋6.
解：(1)(m2－2m＋5)－(－2m＋5)
＝m2－2m＋5＋2m－5＝m2.
∵m2≥0，∴(m2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0，
∴m2－2m＋5≥－2m＋5.
(2)(x3＋6x)－(x2＋6)
＝x3－x2＋6x－6
＝x2(x－1)＋6(x－1)
＝(x－1)(x2＋6)．
∵x2＋6＞0，
∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，
即x3＋6x＞x2＋6.
当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，
即x3＋6x＝x2＋6.
当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，
即x3＋6x＜x2＋6.
不等式的性质
[例3]　已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
证明：∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，
∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，
即a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜.
又∵e＜0，
∴＞.
[类题通法]
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
[活学活用]
已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp.
证明：∵a＞b，又p＞0，
∴ap＞bp.
∴－ap＜－bp.
又∵m＞n，即n＜m.
∴n－ap＜m－bp.
　　　　
[典例]　已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．
[解]　∵1＜a＜4,2＜b＜8，
∴2＜2a＜8,6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，
∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，
∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
【探究一】
利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
【探究二】
同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
在本例条件下，求的取值范围．
[解]　∵2＜b＜8，∴＜＜，
而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.
故的取值范围是.
【探究三】
不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变；同乘一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．
例：已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求的取值范围．
[解]　∵－6＜a＜8,2＜b＜3，
∴＜＜.
①当0≤a＜8时，0≤＜4；
②当－6＜a＜0时，－3＜＜0.
由①②得：－3＜＜4.
【探究四】
利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数．
例：已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
[解]　设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
解得λ1＝，λ2＝－.
又－≤(a＋b)≤，
－2≤－(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1.
(注：本题可以利用本章第三节内容求解)
[随堂即时演练]
1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　　)
A．5x＋4y＜200　　 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
解析：选D　据题意知，500x＋400y≤20 000，
即5x＋4y≤200，故选D.
2．(四川高考)若a>b>0，c＜d＜0，则一定有(　　)
A.> B.<
C.> D.<
解析：选B　∵c ＜d ＜0，
∴ ＜ ＜0，
∴－＞－＞0，而a＞b＞0，
∴－＞－＞0，
∴＜，故选B.
3．比较大小：x2－x________x－2.
解析：(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
因为(x－1)2≥0，
所以(x－1)2＋1>0，即x2－x>x－2.
答案：>
4．若－10＜a＜b＜8，则|a|＋b的取值范围是________．
解析：∵－10＜a＜8，∴0≤|a|＜10，
又－10＜b＜8，∴－10＜|a|＋b＜18.
答案：(－10,18)
5．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；
(2)若－1＜a＜b＜0，试比较，，a2，b2的大小．
解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．
∵x≤1，∴x－1≤0.
又3x2＋1＞0，
∴(x－1)(3x2＋1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
(2)∵－1＜a＜b＜0，
∴－a＞－b＞0，
∴a2＞b2＞0.
∵a＜b＜0，
∴a·＜b·＜0，
即0＞＞，
∴a2＞b2＞＞.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＞N　　　　　　　 B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
解析：选A　M－N＝x2＋x＋1＝2＋＞0.∴M＞N.
2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题中x不低于95即x≥95，y高于380即y>380，z超过45即z>45.
3．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则(　　)
A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0
C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0
解析：选D　由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，
又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.
4．设α∈，β∈，则2α－的范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　∵0＜2α＜π，0≤≤，
∴－≤－≤0，
由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
5．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
解析：选B　选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D，只有a＞b＞0时才可以，否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.
二、填空题
6．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.
解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]
＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，
故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.
答案：＞
7．已知|a|＜1，则与1－a的大小关系为________．
解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1.
∴1＋a＞0,1－a＞0.
即＝.
∵0＜1－a2≤1，∴≥1，
∴≥1－a.
答案：≥1－a
8．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员数和预计产值如下：
产品种类
每件需要人员数
每件产值(万元/件)
A类
7.5
B类
6
今制订计划欲使总产值最高，则A类产品应开发________件，最高产值为________万元．
解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20.
由题意，得总产值
y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，
当且仅当x＝20时，y取最大值330.
所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．
答案：20　330
三、解答题
9．(1)a＜b＜0，求证：＜；
(2)已知a＞b，＜，求证：ab＞0.
证明：(1)由于－＝＝，
∵a＜b＜0，
∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
(2)∵＜，
∴－＜0，即＜0，
而a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0.
10．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
解：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝xn，
y1－y2＝x＋xn－xn＝x－xn＝x.
当n＝5时，y1＝y2；
当n>5时，y1当n<5时，y1>y2.
因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
11．设2解：∵2由－4由3<－b<4，知<<.
∴<<1.即－1<<－.
∵3<－b<4，∴6∴－12由3<－b<4，知9<(－b)2<16.
又<<，∴3<<8.
12．某化工厂制订明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋需用4 h；生产每袋需用原料20 kg；年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t．试根据这些数据预测明年的产量．
解：设明年的产量为x袋，
则
解得80 000≤x≤90 000.
预计明年的产量在80 000到90 000袋之间．
第一课时　一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的概念
[提出问题]
观察下列不等式：
(1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0.
问题1：以上给出的三个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？
提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.
问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？
提示：形如ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中a，b，c为常数，且a≠0.
[导入新知]
1．一元二次不等式
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
[化解疑难]
1．定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0.
2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.
一元二次不等式的解法
[提出问题]
已知：一元二次函数y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0，一元二次不等式x2－2x＞0.
问题1：试求二次函数与x轴交点坐标．
提示：(0,0)，(2,0)．
问题2：一元二次方程的根是什么？
提示：x1＝0，x2＝2.
问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？
提示：交点的横坐标为方程的根．
问题4：观察二次函数图象，x满足什么条件，图象在x轴上方？
提示：x＞2或x＜0.
问题5：能否利用问题4得出不等式x2－2x＞0，x2－2x＜0的解集？
提示：能，不等式的解集为{x|x＞2或x＜0}，{x|0＜x＜2}．
[导入新知]
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集
或x>x2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
?
?
[化解疑难]
一元二次方程的根对应于二次函数图象与x轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在x轴上方(下方)，或在x轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与x轴的交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．
一元二次不等式的解法
[例1]　解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)x2－4x－5≤0；
(3)－4x2＋18x－≥0；
(4)－2x2＋3x－2＜0.
[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2≤0，
所以原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，
因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，
所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，
又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
[类题通法]
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
[活学活用]
解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6；
(3)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)原不等式可化为x2－7x＋6<0.
解方程x2－7x＋6＝0，得x1＝1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1(3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为2和－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
(4)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2，
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式
[例2]　解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
[解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，
则当a＜－1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式的解集为?；
当a＞－1时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a}．
[类题通法]
解含参数的一元二次不等式时
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根的情况，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
[活学活用]
设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.
解：①m＝0时，－3<0恒成立，所以x∈R.
②当m>0时，不等式变为(mx＋3)(mx－1)<0，
即<0，解得－③当m<0时，原不等式变为<0，
解得综上，m＝0时，解集为R；
m>0时，解集为；
m<0时，解集为.
一元二次不等式与相应函数、方程的关系
[例3]　已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．
[解]　∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．
由根与系数的关系得得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.
由2x2－3x＋1＞0?(2x－1)(x－1)＞0?x＜或x＞1.
∴bx2＋ax＋1＞0的解集为∪(1，＋∞)．
[类题通法]
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
[活学活用]
已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2.
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2＋bx－1＞0.
解：(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，
由根与系数的关系，得
解得a＝－2，b＝3.
(2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0可变为－2x2＋3x－1＞0，
即2x2－3x＋1＜0，解得＜x＜1.
∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集为.
　　　　
[典例]　(12分)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，求ax2－bx＋c＞0的解集．
[解题流程]
[规范解答]
由题意知，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，(2分)
且a＜0，故(4分)
[名师批注]
不注意判断a的符号，误认为a＞0.
解得a＝c，b＝c.(6分)
所以不等式ax2－bx＋c＞0即2x2－5x＋2＜0，(8分)
解得＜x＜2.
即不等式ax2－bx＋c＞0的解集为.(12分)
[名师批注]
学生常出现解集不用集合表示的失误.
[活学活用]
已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
解：因为x2＋px＋q＜0的解集为，
所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0，
即－x2＋x＋1＞0，
整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
[随堂即时演练]
1．不等式x(2－x)＞0的解集为(　　)
A．{x|x＞0}　　　　　　 B．{x|x＜2}
C．{x|x＞2或x＜0} D．{x|0＜x＜2}
解析：选D　原不等式化为x(x－2)＜0，故0＜x＜2.
2．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为(　　)
A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}
B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}
C．{x|x≤－2或x＞3}
D．{x|x＜－2或x≥3}
解析：选A　∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．
3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是________．
解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3.
答案：(1,3)
4．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________.
解析：由x2－2ax－8a2<0(a>0)
得(x＋2a)(x－4a)<0(a>0)，
即－2a由x2－x1＝15得4a－(－2a)＝15，
即6a＝15，所以a＝.
答案：
5．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2＞2(x－1)；
(3)x2－4ax－5a2<0(a<0)．
解：(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，
因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2＞0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
(3)方程x2－4ax－5a2＝0的两个根为x1＝－a，x2＝5a，
∵a<0，x1>x2，∴原不等式的解集为{x|5a[课时达标检测]
一、选择题
1．下列不等式：①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中是一元二次不等式的有(　　)
A．5个　　　　　　　　 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选D　根据一元二次不等式的定义知①②正确．　
2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A. B.
C．? D.
解析：选D　不等式可化为(3x＋1)2≤0，因此只有x＝－，即解集为，故选D.
3．设集合A＝{x|(x－1)2<3x－7}，则集合A∩Z中元素个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．以上都不对
解析：选A　∵不等式(x－1)2<3x－7可化为x2－5x＋8<0，
即2＋<0，∴A＝?，
故A∩Z中没有元素．
4．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数的条件是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由于不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数，所以与之相对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则有
5．不等式x2－|x|－2<0的解集是(　　)
A．{x|－22}
C．{x|－11}
解析：选A　令t＝|x|，则原不等式可化为t2－t－2<0，即(t－2)(t＋1)<0.
∵t＝|x|≥0，∴t－2<0.∴t<2.
∴|x|<2，得－2二、填空题
6．不等式x(3－x)≥x(x＋2)＋1的解集是________．
解析：原不等式即为3x－x2≥x2＋2x＋1，
可化为2x2－x＋1≤0，
由于判别式Δ＝－7＜0，
所以方程2x2－x＋1＝0无实数根，
因此原不等式的解集是?.
答案：?
7．不等式组的解集为________．
解析：由得∴0＜x＜1.
答案：{x|0＜x＜1}
8．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)·<0的解集是____________．
解析：由于a<－1，
所以a(x－a)<0?(x－a)·>0.
当a<－1时，>a，
所以不等式的解集为x.
答案：
三、解答题
9．求下列不等式的解集：
(1)x2－5x＋6＞0；
(2)－x2＋3x－5＞0.
解：(1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x＞3，或x＜2}．
(2)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40＜0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为?.
10．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B.
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
解：(1)由x2－2x－3<0得－1所以A＝(－1,3)．
由x2＋x－6<0得－3所以B＝(－3,2)．
∴A∩B＝(－1,2)．
(2)∵不等式x2＋ax＋b<0的解集为(－1,2)，
∴解得
∴不等式ax2＋x＋b<0，即－x2＋x－2<0，
其解集为R.
11．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1)≤0.
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当－2当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，解集为.
12．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解：原不等式可变形为(x－a)(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，
(1)当a<0时，有aa2，
此时原不等式的解集为{x|xa2}；
(2)当0a2，
即xa，
此时原不等式的解集为{x|xa}；
(3)当a>1时，有a2>a，
即xa2，
此时原不等式的解集为{x|xa2}；
(4)当a＝0时，有x≠0；
∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
(5)当a＝1时，有x≠1，
此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；
综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．
第二课时　一元二次不等式及其解法(习题课)
1．如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方程之间的关系？
略
2．判别式Δ的值对一元二次不等式的解集有何影响？
略
简单的分式不等式
[例1]　解下列不等式：
(1)<0；(2)≤2.
[解]　(1)由<0得>0，
此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，
∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
(2)法一：移项得－2≤0，
左边通分并化简有≤0，即≥0，
它的同解不等式为
∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
法二：原不等式可化为≥0，
此不等式等价于①
或②
解①得x≥5，解②得x<2，
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
[类题通法]
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
[活学活用]
解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1.
解：(1)原不等式等价于
即?－2≤x<3.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}．
(2)原不等式可化为－1>0，即<0，
等价于(3x－2)(4x－3)<0.
∴∴原不等式的解集为.
不等式中的恒成立问题
[例2]　关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0，
对x∈R恒成立，
当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．
当m≠0时，由题意，得
?
??m＜0.
综上，m的取值范围为m≤0.
[类题通法]
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为?的条件为
[活学活用]
若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需
解得a＞.
综上，所求实数a的取值范围为.
一元二次不等式的实际应用
[例3]　某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
[解]　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，
农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，
收购总金额为200a(1＋2x%)．
依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)·(10－x)(0＜x＜10)．
(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得，a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，
∴0＜x≤2.
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
[类题通法]
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
[活学活用]
某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
解：设花卉带的宽度为x m，
则中间草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m.
根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，
整理得x2－700x＋600×100≥0，
即(x－600)(x－100)≥0，
所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．
故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.
　　　　
[典例]　已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　由题意可知，只有当二次函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x2＋2(a－2)x＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a－2)2－16＜0，解得0＜a＜4.
故a的取值范围是{a|0＜a＜4}．
【探究一】　解决此类问题要注意三个“二次”之间的相互联系，并能在一定条件下相互转换，若一元二次不等式的解集为R或?，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
【探究二】　若x2的系数为参数，应参考本节例2及活学活用的解法．
【探究三】　对于x∈[a，b]，f(x)＜0(或＞0)恒成立，应利用函数图象．如：
是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解：若对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立，则满足题意的函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所示．
由图象可知，此时a应该满足
即
解得这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．
【探究四】　对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．如：
已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3，1]，y＜0恒成立，试求x的取值范围．
解：原函数可化为g(a)＝2xa＋x2－4x＋4，是关于a的一元一次函数．
要使对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，只需满足即
因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，
所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，
对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．
[随堂即时演练]
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于(　　)
A．{x|－1≤x＜0}　　　 B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
解析：选B　∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．
2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)
A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4
C．a≤－4或a≥4 D．a＜－4或a＞4
解析：选A　依题意应有Δ＝a2－16≤0，
解得－4≤a≤4，故选A.
3．不等式≤3的解集为________．
解析：≤3?－3≤0?≥0?x(2x－1)≥0且x≠0?x<0或x≥.
答案：
4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：已知函数定义域为R，
即x2－2ax－a＞0，对任意x∈R恒成立，
∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0，
解得－1＜a＜0.
答案：(－1,0)
5．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？
解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0＜x＜50.由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.
所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．
[课时达标检测]
一、选择题
1．不等式＞0的解集是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　＞0?(4x＋2)(3x－1)＞0?x＞或x＜－，此不等式的解集为.
2．已知A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－a＞0}，A∩B＝?，则a的取值范围是(　　)
A．a＝3 B．a≥3
C．a＜3 D．a≤3
解析：选B　A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|(x－3)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－a＞0}＝{x|x＞a}，因为A∩B＝?，所以a≥3.故选B.
3．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　依题意，a>0且－＝1.
>0?(ax－b)(x－2)>0?(x－2)>0，
即(x＋1)(x－2)>0?x>2或x<－1.
4．设集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系式中成立的是(　　)
A．P?Q B．Q?P
C．P＝Q D．P∩Q＝?
解析：选A　当m＝0时，－4＜0对任意实数x∈R恒成立；当m≠0时，由mx2＋4mx－4＜0对任意实数x∈R恒成立可得解得－1＜m＜0.
综上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，
∴P?Q，故选A.
5．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有(　　)
A．m≤－3 B．m≥－3
C．－3≤m＜0 D．m≥－4
解析：选A　令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，在(0,1]上为减函数，当x＝1时，f(x)最小值＝－3，所以m≤－3.
二、填空题
6．若a＜0，则不等式＞0的解集是________．
解析：原不等式可化为(x－4a)(x＋5a)＞0，
由于a＜0，所以4a＜－5a，
因此原不等式的解集为{x|x＜4a，或x＞－5a}．
答案：{x|x＜4a，或x＞－5a}
7．若关于x的不等式mx2－mx＋1＜0的解集不是空集，则m的取值范围是________．
解析：假设原不等式的解集为空集．当m＝0时，原不等式化为1＜0，此时不等式无解，满足要求．当m≠0时，有即
∴0＜m≤4.
综上可得0≤m≤4.故当原不等式的解集不是空集时，有m＜0或m＞4.
答案：m＜0或m＞4
8．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．
解析：设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x－8)(x>8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为.
第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为升，此时桶内有纯农药液升．
依题意，得(x－8)－≤28%·x.
由于x>0，因而原不等式化简为9x2－150x＋400≤0，即(3x－10)(3x－40)≤0.解得≤x≤.
又∵x>8，∴8答案：
三、解答题
9．若不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
(1)试求a，b的值；
(2)求不等式＞0的解集．
解：(1)∵不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}，
∴a＜0，且1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两根，
由根与系数的关系可得
于是得
(2)由(1)得不等式＞0即为＞0，
∴＞0，
因此(x－2)＜0，解得＜x＜2.
即原不等式的解集是.
10．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，
则mx2－mx＋m－6＜0，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.
所以m＜6.所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是
.
法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，
所以m＜.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是
.
11．已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解：法一：令g(x)＝f(x)－a＝x2－2ax＋2－a，x∈[－1，＋∞)，因此当x∈[－1，＋∞)时要使f(x)≥a恒成立，只要不等式x2－2ax＋2－a≥0恒成立，结合二次函数图象(如图)，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
法二：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
当a∈(－∞，－1]时，
结合图象知f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)最小值＝f(－1)＝2a＋3.
∴要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)最小值≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a≤－1.
当a∈(－1，＋∞)时，f(x)最小值＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1＜a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
12．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，则
解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，2②当c<2时，c③当c＝2时，不等式无解．
综上所述：当c>2时，
不等式解集为{x|2当c<2时，不等式解集为{x|c当c＝2时不等式解集为?.
3．3.1　二元一次不等式(组)与平面区域
二元一次不等式(组)
[提出问题]
给出以下两个方程：
①2x＋3y－6＝0；②x－4y＋4＝0.
问题1：这两个方程是什么类型的方程？它们的解有多少个？它们对应的几何图形是什么？
提示：都是二元一次方程；都有无穷多解；对应的几何图形是直线．
问题2：若将上述方程变为①2x＋3y－6＞0；②x－4y＋4＜0，将得到什么？又有何特点？
提示：得到两个不等式，它们都含有2个未知数，且未知数的次数都是1.
问题3：满足问题2中不等式①②的实数x，y存在吗？若存在，试写出两组．
提示：都存在，满足①的(2,2)，(2,4)，满足②的(1,2)，(1,3)．
[导入新知]
1．二元一次不等式
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．
2．二元一次不等式组
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
3．二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
[化解疑难]
二元一次不等式组要求由多于一个的二元一次不等式组成的不等式组，其中的不等式个数可以是二个、三个，当然也可以是多个.
二元一次不等式表示平面区域
[提出问题]
已知直线l：x－y－1＝0.
问题1：点A(1,0)，B(1,1)，C(1,2)，D(0，－2)，E(1，－2)与直线l有何位置关系？
提示：点A在直线l上，点B，C，D，E均不在直线l上．
问题2：通过作图可以发现，点B，C，D，E分别在直线l的哪个方向的区域内？
提示：点B，C在直线l的左上方，点D，E在直线l的右下方．
问题3：点B，C，D，E的坐标分别满足下列哪个不等式？
(1)x－y－1<0；(2)x－y－1>0.
提示：点B，C的坐标满足(1)，D，E的坐标满足(2)．
问题4：满足这两个不等式的解有多少个？这些解对应的平面直角坐标系中的点在相应的直线上吗？若不在直线上，它们在这条直线的同一侧吗？
提示：这两个不等式的解有无穷多个；它们对应的点不在直线上，而是在这条直线的同一侧．
[导入新知]
1．二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C ＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
2．二元一次不等式表示的平面区域的确定
(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
[化解疑难]
确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点(C≠0).
二元一次不等式(组)表示的平面区域
[例1]　画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)2x－y－6≥0；(2)
[解]　(1)如图，先画出直线2x－y－6＝0，
取原点O(0,0)代入2x－y－6中，∵2×0－1×0－6＝－6＜0，
∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－y－6＜0，
因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)．
(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，
取原点O(0,0)代入x－y＋5，
∵0－0＋5＝5＞0，
∴原点在x－y＋5＞0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合．
同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．上图中阴影部分就表示原不等式组的平面区域．
[类题通法]
1．在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
2．要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，根据Ax0＋By0＋C的正负判定．
[活学活用]
画出不等式组表示的平面区域．
解：不等式x＋y≤5表示直线x＋y－5＝0上及其左下方的区域．
不等式x－2y＞3表示直线x－2y－3＝0右下方的区域．
不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0上及其右上方的区域．
所以不等式组表示的平面区域如图所示．
二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积
[例2]　(重庆高考)若不等式组 表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)
A．－3　　　　　　　　 B．1
C. D．3
[解析]　作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m，1＋m)，C，，D(－2m,0)．
S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|
＝(2＋2m)
＝(1＋m)＝，
解得m＝1或m＝－3(舍去)．
[答案]　B
[类题通法]
求平面区域面积的方法
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则的，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．
[活学活用]
求由不等式组 确定的平面区域的面积S阴影部分．
解：由不等式组作出其所确定的平面区域(阴影部分)，
其四个顶点为O(0,0)，B(3,0)，A(0,5)，P(1,4)．
过P点作y轴的垂线，垂足为C.
则AC＝|5－4|＝1，
PC＝|1－0|＝1，
OC＝4，OB＝3，
得S△ACP＝AC·PC＝，
S梯形COBP＝(CP＋OB)·OC＝8.
所以S阴影部分＝S△ACP＋S梯形COBP＝.
用二元一次不等式组表示实际问题
[例3]　投资生产A产品时，每生产100 吨需要资金200 万元，需场地200 平方米；投资生产B产品时，每生产100 米需要资金300 万元，需场地100 平方米．现某单位可使用资金1 400 万元，场地900 平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．
[解]　设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，
则
用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
[类题通法]
用二元一次不等式组表示实际问题的方法
用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时：
(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示；
(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来；
(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式；
(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．
[活学活用]
有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表：
货物
轮船运输量
飞机运输量
粮食/t
300
150
石油/t
250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和运输数量满足的关系．
解：设需要x艘轮船，y架飞机，代数关系式和几何描述(如图)分别为
　　　　
[典例]　画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＞0表示的区域．
[解]　原不等式等价于①或
②分别画出不等式组①和②表示的平面区域取并即可(如图阴影部分)．
[易错防范]
1．由(x＋2y＋1)(x－y＋4)＞0不能正确转化为两个不等式组．
2．未注意不包括边界，而把边界画成实线．
[成功破障]
画出不等式(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域．
解：不等式(x－y)(x－y－1)≤0等价于不等式组或而不等式
组
无解，故(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
[随堂即时演练]
1．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是(　　)
解析：选C　原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.
2．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　作出平面区域如图所示为△ABC，
由
可得A(1,1)，
又B(0,4)，C，
∴S△ABC＝·|BC|·|xA|＝××1＝，
故选C.
3．用不等式表示直线y＝3x－1左上方的平面区域为________．
答案：y＞3x－1
4．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x－by＋1＞0表示的平面区域内，则b的取值范围是________．
解析：设P(1，－2)关于原点的对称点为P′(－1，2)，
因为点P与点P′有且只有一个适合不等式，
所以 或
得b≥－或b≤－.
答案：∪
5．如图，请写出表示阴影部分区域的不等式组．
解：由于直线BC的方程为y＝－1，直线AC的方程为x＝0，直线AB的方程为2x－y＋2＝0，
因此表示该区域的不等式组是
[课时达标检测]
一、选择题
一、选择题
1．不等式组表示的区域为D，点P1(0，－2)，点P2(0,0)，则(　　)
A．P1?D，P2?D
B．P1?D，P2∈D
C．P1∈D，P2?D
D．P1∈D，P2∈D
解析：选A　点P1不满足y≥3，点P2不满足y2．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P 的个数为(　　)
A．10　　　　　　　　　 B．9
C．3 D．无数个
解析：选A　作的平面区域，
如图所示，符合要求的点P的个数为10，故选A.
3．已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)
A．a＜－1或a＞24
B．－24＜a＜7
C．－7＜a＜24
D．a＜－24或a＞7
解析：选C　要使点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，必须且只需(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]＜0即可，由此解得－7＜a＜24.
4．不等式组表示的平面区域是一个(　　)
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
解析：选C　不等式组
等价于或
分别画出其平面区域，可知选C.
5．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　排除法：∵x，y∈N*，∴排除B，D.
又∵x与y的比例为2∶3，
∴排除A.故选C.
二、填空题
6．如图，其中可以表示图中阴影部分所表示的平面区域的不等式组为__________________．
解析：由已知条件和阴影区域可以得出：两条垂直于坐标轴的直线分别为x＝，y＝，且斜线过点，，则该直线方程为x－y＋＝0.再利用三个特殊点(0,0)，(0,1)，(1,0)中的不在直线上的一个点进行验证，从而可以分析出阴影区域所对应的部分是在直线的哪一侧，进而可以列出一个满足条件的不等式组：
答案：
7．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图所示．当y＝a过A(0，5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC；当5＜a＜7时，表示的平面区域为三角形．综上，当5≤a＜7时，表示的平面区域为三角形．
答案：[5,7)
8．若不等式组表示的平面区域为I，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过I中的那部分区域的面积为________．
解析：如图所示，I为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过I中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，△CDE为直角三角形．
∴S四边形BOCD＝×2×2－×1×＝.
答案：
三、解答题
9．某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解：设家具厂每天生产甲、乙型号的桌子的张数分别为x和y，它们满足的数学关系式为分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．
10．一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？请用不等式(组)表示出来，并画出对应的平面区域．
解：不妨设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意知x不小于240，y不小于180，x与y的和不超过500，用不等式组表示就是
对应的平面区域如图阴影部分所示．
11．设不等式组表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S；
(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值的集合．
解：(1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．
由解得A(4，－4)；
由解得B(4,12)；
由解得C(－4,4)．
于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.
∴S＝×16×8＝64.
(2)由已知得即
亦即得t＝－1,0,1,2,3,4.
故整数t的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．
12．(1)画出不等式组所表示的平面区域并求其面积；
(2)求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积大小．
解：(1)如图所示，其中阴影部分
是不等式组所表示的平面区域．
由得A(1,3)．
同理得B(－1,1)，C(3，－1)．
∴|AC|＝＝2，而点B到直线2x＋y－5＝0的距离为d＝＝，
∴S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.
(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组：
或
上述两个不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，它所围成的面积为S＝×4×2－×2×1＝3.
3．3.2　简单的线性规划问题
简单的线性规划
[提出问题]
某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不少于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元．
问题1：设投资甲、乙两个项目的资金分别为x，y万元，那么x，y应满足什么条件？
提示：
问题2：若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？
提示：z＝0.4x＋0.6y.
问题3：x，y取值对利润z有无影响？
提示：有．
[导入新知]
线性规划的有关概念
名称
意义
约束条件
变量x，y满足的一组条件
线性约束条件
由x，y的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式
线性目标函数
目标函数是关于x，y的二元一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题
[化解疑难]
1．线性约束条件包括两点：一是变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.
2．目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．
3．可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合．
求线性目标函数的最值
[例1]　(天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为(　　)
A．－4　　　　　　　　 B．6
C．10 D．17
[解析]　由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y＝－x，平移该直线，易知经过点A时z最小．又知点A的坐标为(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.
[答案]　B
[类题通法]
解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．
[活学活用]
(广东高考)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：选C　作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z的值最大，由?则m＝zmax＝2×2－1＝3.当直线y＝－2x＋z经过点B时，z的值最小，由?则n＝zmin＝2×(－1)－1＝－3，故m－n＝6.
求非线性目标函数的最值
[例2]　设x，y满足条件
(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
(2)求v＝的最大值与最小值．
[解]　画出满足条件的可行域如图所示．
(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以u最大值＝73，u最小值＝0.
(2)v＝表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，
所以v最大值＝＝，v最小值＝＝－4.
[类题通法]
非线性目标函数最值问题的求解方法
(1)非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能收到事半功倍的效果．
(2)常见代数式的几何意义主要有：
① 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
[活学活用]
已知变量x，y满足约束条件则的最大值是________，最小值是________．
解析：由约束条件作出可行域(如图所示)，
目标函数z＝表示坐标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．
由图可知，点C与O连线斜率最大； 点B与O连线斜率最小，又B点坐标为，C点坐标为(1,6)，所以kOB＝，kOC＝6.故的最大值为6，最小值为.
答案：6　
已知目标函数的最值求参数
[例3]　(湖南高考)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.
[解析]　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，易知当直线y＝－2x＋z过点A(k，k)时，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，k＝－2.
[答案]　－2
[类题通法]
求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题
解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．
[活学活用]
已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝(　　)
A．3 B．2
C．－2 D．－3
解析：选B　画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验知x＝2，y＝0符合题意，∴2a＋0＝4，此时a＝2.
简单的线性规划问题的实际应用
[例4]　(天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料　 　
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
[解]　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组
得点M的坐标为(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
[类题通法]
利用线性规划解决实际问题的步骤
(1)设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；
(2)列出约束条件，确立目标函数；
(3)作出可行域；
(4)利用图解法求出最优解；
(5)得出结论．
[活学活用]
铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析：可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，
则根据题意得到约束条件为
作出约束条件所表示的可行域(图略)．
目标函数为z＝3x＋6y，由图知当目标函数经过点(1,2)时目标函数取最小值，z最小值＝3×1＋6×2＝15.
答案：15
　　　　
[典例]　(12分)某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24 立方米，总重量不能低于650 千克．甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：
货物
每袋体积(单位：立方米)
每袋重量(单位：百千克)
每袋利润(单位：百元)
甲
5
1
20
乙
4
2.5
10
问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时，可获得最大利润？
[解题流程]
[规范解答]
[活学活用]
有一批钢管，长度都是4 000 mm，要截成长为500 mm和600 mm的两种钢管，且这两种钢管的数量之比按大于配套，怎样截合理？
解：设每根截500 mm的x根和600 mm的y根，
则即
作出可行域如图所示．
目标函数为z＝x＋y，作一组平行直线x＋y＝t，经过可行域中的点且和原点距离最远的直线为过B(8,0)点的直线，这时x＋y＝8，由x，y∈N*知(8,0)不是最优解，因此，在可行域内找整点，得到点(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)均为最优解，此时x＋y＝7.
∴按照每根钢管来截，截500 mm的2根，600 mm的5根，或截500 mm的3根，600 mm的4根，或截500 mm的4根，600 mm的3根，或截500 mm的5根，600 mm的2根，或截500 mm的6根，600 mm的1根．
[随堂即时演练]
1．z＝x－y在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为(　　)
A．(0,1)　　　　　　　　 B．(－1，－1)
C．(1,0) D.
解析：选C　可以验证这四个点均是可行解．
当x＝0，y＝1时，z＝－1；
当x＝－1，y＝－1时，z＝0；
当x＝1，y＝0时，z＝1；
当x＝，y＝时，z＝0.
排除选项A，B，D，故选C.
2．(广东高考)已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为(　　)
A．3 B．1
C．－5 D．－6
解析：选C　由约束条件作出可行域如图．
由z＝x＋2y得y＝－x＋，的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线y＝－x＋过直线x＝－1和x－y＝1的交点A(－1，－2)时，z最小，最小值为－5，故选C.
3．(全国丙卷)设x，y满足约束条件 则z＝2x＋3y－5的最小值为________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－x＋＋过点A时，z取得最小值，联立
解得A(－1，－1)，
即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.
答案：－10
4．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________．
解析：点P(x，y)满足的可行域为△ABC区域，A(1,1)，C(1,3)．由图可得，|PO|最小值＝|AO|＝；|PO|最大值＝|CO|＝.
答案：　
5．已知x，y满足约束条件求z＝x＋2y的最小值．
解：作出不等式组的可行域，如图所示．
画出直线l0：x＋2y＝0，平移直线l0到直线l的位置，使l过可行域内某点，且可行域内其他点都在l的不包含直线l0的另外一侧，该点到直线l0的距离最小，则这一点使z＝x＋2y取最小值．
显然，点A满足上述条件，
解得点A，
∴z最小值＝＋2×＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是(　　)
A．该直线的截距
B．该直线的纵截距
C．该直线的纵截距的相反数
D．该直线的横截距
解析：选C　由z＝3x－y得y＝3x－z，在该方程中－z表示直线的纵截距，因此z表示该直线的纵截距的相反数．
2．现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x辆载重6吨汽车和y辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为(　　)
A．z＝6x＋4y　　　　B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
解析：选A　由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z＝6x＋4y.
3．在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为(　　)
A．[1,3] B．[－3,1]
C．[－1,3] D．[－3，－1]
解析：选C　先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z＝y－x的取值范围．由图求出其取值范围是[－1,3]．
4．实数x，y满足不等式组则W＝的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P(x，y)与定点A(－1,1)连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W＝表示阴影部分的点与定点A(－1,1)的连线的斜率，由图可知点A(－1，1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－≤W＜1.
5．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨；销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是(　　)
A．12 万元 B．20 万元
C．25 万元 D．27 万元
解析：选D　设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：
A原料
B原料
甲产品x吨
3x
2x
乙产品y吨
y
3y
则有目标函数z＝5x＋3y.
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，
经验证知，当x＝3，y＝4时可获得最大利润27万元，故选D.
二、填空题
6．如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
解析：首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大．
答案：(0,5)
7．(全国甲卷)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．
解析：不等式组
表示的可行域如图阴影部分所示．
由z＝x－2y得y＝x－z.
平移直线y＝x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.
答案：－5
8．若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________．
解析：先根据作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x＋y－2＝0，且只有当n＞2时，可行域才包含x＋y－2＝0这条直线上的线段BC或其部分．
答案：(2，＋∞)
三、解答题
9．已知关于x，y的二元一次不等式组
(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；
(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．
解：(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．
由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线．
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小．解方程组得C(－2,3)，
∴u最小值＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，
解方程组得B(2,1)，∴u最大值＝3×2－1＝5.
∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.
(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．
由z＝x＋2y＋2，得y＝－x＋z－1，得到斜率为－，在y轴上的截距为z－1，且随z变化的一组平行线．由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z－1最小，即z最小．解方程组得A(－2，－3)，
∴z最小值＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.
当直线y＝－x＋z－1与直线x＋2y＝4重合时，截距z－1最大，即z最大，
∴z最大值＝x＋2y＋2＝4＋2＝6.
∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.
10．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g，甲种烟花每枚可获利1.2美元，乙种烟花每枚可获利1美元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大？
解：根据题意，可列出下表：
A药品(g)
B药品(g)
C药品(g)
甲种烟花
3
4
4
乙种烟花
2
11
6
原料限额
120
400
240
设每天生产甲种烟花x枚、乙种烟花y枚，获利为z美元，则目标函数z＝1.2x＋y(美元). 其中x、y应满足：
如图可行域为阴影部分的整点，
把z＝1.2x＋y变形为平行直线系l：y＝－1.2x＋z.
由图可知，当直线l经过平面区域上的点M时，截距z最大．解方程组
得交点M(24,24)．故每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚，能使利润最大．
11．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根．现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？
解：设按第一种切割方式切割的钢条x根，按第二种切割方式切割的钢条y根，
根据题意得约束条件是
目标函数是z＝x＋y，
画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分．
由解得
此时z＝11.4，但x，y，z都应当为正整数，
所以点(3.6,7.8)不是最优解．
经过可行域内的整点且使z最小的直线是x＋y＝12，
即z＝12，满足该约束条件的(x，y)有两个：(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．
即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，均可满足要求．
12．x，y满足约束条件目标函数为z＝ax＋5y.如果z在可行域内点A处取得最大值，求实数a的取值范围．
解：由不等式组作出可行域，
如图所示的阴影部分．
由z＝ax＋5y可化为y＝－x＋.
∴目标函数对应直线的斜率k＝－.
又直线AB的斜率kAB＝1，直线AC的斜率kAC＝－.
由图可知当kAC≤k≤kAB，
即－≤－≤1时，z都能在A点取得最大值．
故所求a的取值范围是－5≤a≤.
3.4 基本不等式：≤
基本不等式
[提出问题]
问题1：若a，b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？
提示：∵(a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
问题2：上述结论中，等号何时成立？
提示：当且仅当a＝b时成立．
问题3：若以，分别代替问题1中的a，b，可得出什么结论？
提示：a＋b≥2.
问题4：问题3的结论中，等何时成立？
提示：当且仅当a＝b时成立．
[导入新知]
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)变形：ab≤2，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
[化解疑难]
1．基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则≠，即只能有＜.
2．从数列的角度看，a，b的算术平均数是a，b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项．
利用基本不等式证明不等式
[例1]　已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
证明：由基本不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[类题通法]
1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而收到放缩的效果．
2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
[活学活用]
设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b.
证明：∵a>0，b>0，
∴＋a≥2b，＋b≥2a，
∴＋≥a＋b.
利用基本不等式求最值
[例2]　(1)已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值；
(2)已知x＞3，求f(x)＝x＋的最小值；
(3)设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．
[解]　(1)∵m，n＞0且m＋n＝16，
∴由基本不等式可得mn≤2＝2＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取得最大值64.
(2)∵x＞3，
∴x－3＞0，＞0，
于是f(x)＝x＋＝x－3＋＋3≥2 ＋3＝7，
当且仅当x－3＝即x＝5时，f(x)取得最小值7.
(3)法一：∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，
∴＋＝＋
＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当＝，即y＝x时，等号成立，
解得x＝1－，y＝－1，
∴当x＝1－，y＝－1时，＋有最小值3＋2.
法二：＋＝·1＝(2x＋y)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，
以下同法一．
[类题通法]
1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则．
(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0.
(2)二定：化不等式的一边为定值．
(3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．
以上三点缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．
[活学活用]
(1)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值；
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值；
(3)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．
解：(1)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，
即ab＝100，且a＞0，b＞0，
因此由基本不等式可得a＋b≥2＝2 ＝20，
当且仅当a＝b＝10时，a＋b取得最小值20.
(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，
∴xy＝(2x·3y)≤·2
＝·2＝，
当且仅当2x＝3y，
即x＝，y＝1时，xy取得最大值.
(3)∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)
＝1＋＋＋9＝＋＋10.
又∵x＞0，y＞0，
∴＋＋10≥2 ＋10＝16，
当且仅当＝，
即y＝3x时，等号成立．
由
得即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.
利用基本不等式解应用题
[例3]　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
[解]　(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，
则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18，
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，即S≤，
当且仅当2x＝3y时，等号成立，
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
(2)设每间虎笼第为x m，宽为y m.
法一：由条件知S＝xy＝24，
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
法二：由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2 ＝48，
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立．此时x＝6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
[类题通法]
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)根据实际背景写出答案．
[活学活用]
某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式．
(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
解：(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，
总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)＝200＋x(x＋1)·16.
∴y＝4
　 ＝16(－2x2＋23x－50)．
(2)年平均利润为
＝16＝16.
又x∈N*，
∴x＋≥2 ＝10，
当且仅当x＝5时，等号成立，
此时≤16×(23－20)＝48.
∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．
　　　　
[典例]　已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A.　　　　　　 B．4
C. D．5
[解析]　∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝
＝＋≥＋2 ＝
.
故y＝＋的最小值为.
[答案]　C
[易错防范]
1．解答本题易两次利用基本不等式，如：
∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，∴ab≤＝1.
又y＝＋≥2 ＝4 ，又ab≤1，
∴y≥4＝4.
但它们成立的条件不同，一个是a＝b，另一个是b＝4a，这显然是不能同时成立的，故不正确．
2．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
3．在运用重要不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．
[成功破障]
(福建高考)下列不等式一定成立的是(　　)
A．lg(x2＋)＞lg x(x＞0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.＞1(x∈R)
解析：选C　取x＝，则lg(x2＋)＝lg x，故排除A；取x＝，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，故排除D.
[随堂即时演练]
1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有(　　)
A．最大值为0　　　　　 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：选C　∵x＜0，
∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，
当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＞b＞＞ B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞ D．a＞＞＞b
解析：选B　a＝＞＞＞ ＝b，因此只有B项正确．
3．若x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．
解析：1＝x＋4y≥2＝4，
∴xy≤，当且仅当x＝4y时等号成立．
答案：
4．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为________．
解析：由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10.
则＋≥2 ＝2，
故最小值＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．
又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．
答案：2
5．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：
＋＋>a＋b＋c.
证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋≥2 ＝2c，
＋≥2 ＝2a，＋≥2 ＝2b.
又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立．
∴＋＋＞a＋b＋c.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列不等式中正确的是(　　)
A．a＋≥4　　　　　　 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
解析：选D　a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；
a＝4，b＝16，则＜，故C错；
由基本不等式可知D项正确．
2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由x(3－3x)＝3·x(1－x)≤32＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．
3．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)
A．6 B．4
C．2 D．8
解析：选B　∵a，b是实数，
∴2a＞0,2b＞0，
于是2a＋2b≥2＝2＝2 ＝4，当且仅当a＝b＝时取得最小值4.
4．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16 B．25
C．9 D．36
解析：选B　(1＋x)(1＋y)≤2
＝2＝2＝25，
因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，
(1＋x)·(1＋y)取最大值25，故选B.
5．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
解析：选D　f(x)＝＝，
又∵－4∴－(x－1)>0.
∴f(x)＝－≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时，等号成立．
二、填空题
6．已知x，y都是正数．
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤2＝2＝，
即xy的最大值是.
当且仅当x＝y＝时xy取最大值．
答案：(1)2　(2)
7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝1时取等号，所以有
＝≤＝，
即的最大值为，
故a≥.
答案：
8．设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
①a2＋1＞a；
②≥4；
③(a＋b)≥4；
④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是________(填序号)．
解析：由于a2＋1－a＝2＋＞0，故①恒成立；
由于a＋≥2，b＋≥2，
∴≥4，故②恒成立；
由于a＋b≥2，＋≥2 ，
故(a＋b)≥4，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不能恒成立．
答案：①②③
三、解答题
9．求下列函数的最小值．
(1)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值；
(2)设x>－1，求y＝的最小值．
解：(1)2x＋y＝
＝(2x＋y)
＝
≥(2＋4)＝.
当且仅当＝时等号成立，即y2＝4x2.
∴y＝2x.
又∵＋＝3，得x＝，y＝.
∴当x＝，y＝时，2x＋y取得最小值为.
(2)∵x>－1，∴x＋1>0.
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2 ＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.
10．(1)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值；
(2)已知x>0，求y＝2－x－的最大值；
(3)已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值．
解：(1)∵0＜x＜，
∴1－2x＞0.
y＝·2x·(1－2x)≤·2
＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，
即x＝时，y最大值＝.
(2)∵x>0，
∴y＝2－x－＝2－≤2－4＝－2，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，y的最大值为－2.
(3)法一：∵x，y∈R＋，
∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.
当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取等号．
又x＋y＝4，
∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
法二：∵x，y∈R＋，且x＋y＝4，
∴＋＝＋
＝1＋≥1＋2 ＝1＋.
当且仅当＝，
即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取等号．
∴＋的最小值为1＋.
11.如右图，某公园计划建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，求：
(1)x的取值范围；
(2)最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．
解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则另一边长为米，
则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×.
令y＝x＋2×≤44(x＞0)，
解得8≤x≤36，
则x的取值范围是[8,36]．
(2)由基本不等式，得y＝x＋≥24.
当且仅当x＝，
即x≈17.0时，等号成立，
则y最小值＝24≈34.0，
即最少需要约34.0米铁丝网．
12．(1)已知x<－2，求函数y＝2x＋的最大值；
(2)求y＝的最小值；
(3)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求a＋b的取值范围．
解：(1)∵x<－2，∴x＋2<0，－(x＋2)>0.
∴y＝2(x＋2)＋－4
＝－[－2(x＋2)＋]－4≤
－2 －4
＝－2－4.
当且仅当－2(x＋2)＝(x<－2)，即x＝－2－时，y取最大值－2－4.
(2)令t＝，则y＝f(t)＝t＋，
由f(t)＝t＋(t≥2)的单调性，
知y＝t＋在[2，＋∞)上是增函数，
∴t＝2时，f(t)min＝2＋＝，
即当＝2，也就是x＝0时，ymin＝.
(3)∵a＋b＋3＝ab≤2，当且仅当a＝b＝3时等号成立
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0.
∴(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0.又a>0，b>0，
∴a＋b≥6.即a＋b的取值范围为[6，＋∞]．
2.1 数列的概念与简单表示法
第一课时　数列的概念与通项公式
数列的概念
[提出问题]
观察下列示例，回答后面问题
(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，，，，，.
(2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16.
(3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，….
(4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：，，，，，….
问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？
提示：按照一定的顺序排列．
[导入新知]
数列的概念
(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．
(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
[化解疑难]
1．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．
2．项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．
3．{an}与an是不同概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项.
数列的分类
[提出问题]
问题：观察“知识点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？
提示：数列(1)中有6项，数列(2)中有4项，数列(3)(4)中有无穷多项；数列(1)中每一项都小于它的前一项，数列(2)中的项大小不确定，数列(3)中每一项都大于它的前一项，数列(4)中每一项都小于它的前一项．
[导入新知]
数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变
化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
[化解疑难]
在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出．例如，数列1,2,3,4，…，100.表示有穷数列．但是如果把数列写成1,2,3,4，…，100，…就表示无穷数列．
数列的通项公式
[提出问题]
问题：仍然观察“知识点一”中的4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？
提示：每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示．
[导入新知]
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
[化解疑难]
1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．
2．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
数列的概念及分类
[例1]　已知下列数列：
(1)0,0,0,0,0,0；
(2)0，－1,2，－3,4，－5，…；
(3)0，，，…，，…；
(4)1,0.2,0.22,0.23，…；
(5)0，－1,0，…，cosπ，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
[解析]　(1)是常数列且是有穷数列；
(2)是无穷摆动数列；
(3)是无穷递增数列；
(4)是无穷递减数列；
(5)是无穷摆动数列．
[答案]　(1)　(2)(3)(4)(5)　(3)　(4)　(1)　(2)(5)
[类题通法]
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．
[活学活用]
给出下列数列：
(1)2009～2016年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.
(2)无穷多个构成数列，，，，….
(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，5次幂……构成数列－2,4，－8,16，－32，….
(4)精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列
1,1.4,1.41,1.414，…；
2,1.5,1.42,1.415，….
分别指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．
解：有穷数列：82,93,105,119,129,130,132,135.
无穷数列：，，，，…；
－2,4，－8,16，－32，…；
1,1.4,1.41,1.414，…；
2,1.5,1.42,1.415，….
递增数列：82,93,105,119,129,130,132,135；
1,1.4,1.41,1.414，….
递减数列：2,1.5,1.42,1.415，….
常数列：，，，，….
摆动数列有：－2,4，－8,16，－32，….
由数列的前几项求通项公式
[例2]　写出下列数列的一个通项公式：
(1)，2，，8，，…；
(2)9,99,999,9 999，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)－，，－，，….
[解]　(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝(n∈N*)．
(2)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1.
(3)因为1＝1＋，2＝2＋，3＝3＋，4＝4＋，…，
所以该数列的一个通项公式为an＝n＋.
(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n.
[类题通法]
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．这些方法的具体对象为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．
[活学活用]
写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)0，，，，…；
(4)1,11,111,1 111，….
解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1，15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)因为5＝22＋1,10＝32＋1,17＝42＋1，所以数列的一个通项公式为an＝(n∈N*)．
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1).
通项公式的简单应用
[例3]　已知数列{an}的通项公式是an＝.
(1)写出该数列的第4项和第7项；
(2)试判断和是否是该数列中的项，若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．
[解]　(1)由通项公式an＝可得
a4＝＝，a7＝＝.
(2)令＝，得n2＝9，
所以n＝3(n＝－3舍去)，
故是该数列中的项，并且是第3项；
令＝，得n2＝，
所以n＝±，
由于±都不是正整数，
因此不是数列中的项．
[类题通法]
1．数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解．若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项．
[活学活用]
已知数列{an}的通项公式为an＝qn，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
解：(1)由题意知q4－q2＝72?q2＝9
或q2＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)当q＝3时，an＝3n，显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n，
令(－3)n＝－81＝－34，也无解．
∴－81不是此数列中的项.
　　　　
[典例]　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，求n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[解]　∵an＝n2－5n＋4＝2－，
∴可知对称轴为n＝＝2.5.
又n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，
其最小值为a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
[易错防范]
1．忽视了借助二次函数求最值，而认为当n＝1时取得最小值．
2．由an＝2－知n＝时取最小值，忽视n∈N*.
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．
[成功破障]
求数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项．
解：已知－2n2＋9n＋3＝－22＋，
由于n为正整数，
故当n＝2时，取得最大值为13，
所以数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项为第2项，值为13.
[随堂即时演练]
1．将正整数的前5个数排列如下：
①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有(　　)
A．①　　　　　　　 B．①②
C．①②③ D．①②③④
解析：选D　数列是按“一定顺序”排列的一列数．因此选D.注意此题易错选B.
2．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的(　　)
A．第100项 B．第12项
C．第10项 D．第8项
解析：选C　∵an＝，令＝0.08，
解得n＝10或n＝(舍去)．
3．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________.
解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．∵an＝3－2n，
∴a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝.
答案：3－4n　
4．若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，
令n2－2n＝15，得n＝5(n＝－3舍去)．
答案：5
5．已知an＝.
(1)求a3；(2)若an＝，求n.
解：(1)将n＝3代入an＝，
得a3＝＝.
(2)将an＝代入an＝，
得＝，解得n＝8.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下面有四个结论：
①数列的通项公式是唯一的；
②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；
③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；
④每个数列都有通项公式．
其中叙述正确的有(　　)
A．①②　　　　　　　　　 B．②③
C．③④ D．①④
解析：选B　数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．
2．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于(　　)
A．70 B．28
C．20 D．8
解析：选C　由an＝
得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.
3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是(　　)
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
解析：选A　数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．
4．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　)
A．递增数列　　　　　　 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：选A　an＝＝1－，∴n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．
5．下列命题：
①已知数列{an}，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项；
②数列，，2，，…的一个通项公式是an＝；
③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29；
④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．
其中正确命题的个数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A　对于①，令an＝＝?n＝10，易知最大项为第1项．①正确．
对于②，数列，，2，，…变为，，，，…?，，，，…?
an＝.②正确．
对于③，an＝kn－5，且a8＝11?k＝2?an＝2n－5?a17＝29.
③正确．
对于④，由an＋1－an＝3＞0，易知④正确．
二、填空题
6．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第________项．
解析：令＝，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以是第4项．
答案：4
7．已知数列{an}的前4项为11,102,1 003,10 004，…，则它的一个通项公式为________．
解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.
答案：an＝10n＋n
8．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．
解析：令an＝n2－8n＋12＜0，
解得2＜n＜6，
又因为n∈N*，
所以n＝3,4,5，一共有3项．
答案：3
三、解答题
9．求下列数列的一个可能的通项公式：
(1)1，－1,1，－1，…；
(2)1,10,2,11,3,12，…；
(3)1＋，1－，1＋，1－，….
解：(1)an＝(－1)n＋1或an＝
(2)an＝
或an＝.
(3)an＝1＋(－1)n＋1.
10．数列{an}中，已知an＝(n∈N*)．
(1)写出a10，an＋1，a；
(2)79是不是该数列中的项？若是，是第几项．
解：(1)a10＝＝，
an＋1＝＝，
an2＝＝.
(2)假设79是该数列的第n项，则79＝，
∴n2＋n－240＝0.
解之，得n＝15或n＝－16(舍去)．
故79是该数列的第15项．
11．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 015；
(3)2 016是否为数列{an}中的项？
解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有
解得k＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2.
(2)a2 015＝4×2 015－2＝8 058.
(3)令2 016＝4n－2，解得n＝504.5?N*，
∴2 016不是数列{an}中的项．
12．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2.
(1)求a3＋a5；
(2)探究是否为此数列中的项；
(3)试比较an与an＋1(n≥2)的大小．
解：∵a1·a2·a3·…·an＝n2(n∈N*)，①
∴当n≥2时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2.②
由，得an＝(n≥2)．
(1)∵an＝(n≥2)，∴a3＋a5＝＋＝.
(2)∵＝＝a16，∴是数列中的第16项．
(3)n≥2时，an－an＋1＝－
＝＝>0，
∴an>an＋1.
第二课时　数列的通项公式与递推公式
数列的递推关系
[提出问题]
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位．
问题1：写出前五排座位数．
提示：20,22,24,26,28.
问题2：第n排与第n＋1排座位数有何关系？
提示：第n＋1排比第n排多2个座位．
问题3：第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？
提示：能．an＋1＝an＋2.
[导入新知]
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
[化解疑难]
1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，由递推公式可以依次求出数列的各项．
2．有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N*)，用递推公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)．
数列的表示方法
[例1]　根据数列{an}的通项公式，把下列数列用图象表示出来(n≤5，且n∈N*)．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝.
[解]　(1)数列{an}的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如下图①所示．
(2)数列{an}的前5项依次是2，，，，，图象如下图②所示．
[类题通法]
通项公式法、列表法与图象法表示数列的优点
(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公式法是常用的数学方法．
(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．
[活学活用]
一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个．试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列．
解：将A，B之间所有站按序号1,2,3,4,5,6,7,8编号．通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：
站号(n)
1
2
3
4
5
6
7
8
剩余邮件数(an)
7
12
15
16
15
12
7
0
由递推公式求数列中的项
[例2]　已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
[解]　∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝.
故该数列的前5项为1，，，，.
[类题通法]
根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
[活学活用]
设数列{an}满足a1＝2，an＝2＋(n>1，n∈N*)，试写出这个数列的前4项．
解：∵a1＝2，an＝2＋(n>1，n∈N*)，
∴a2＝2＋＝，a3＝2＋＝，a4＝2＋＝.
由递推公式归纳数列的通项公式
[例3]　已知数列{an}的第1项是2，以后的各项由公式an＝(n＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{an}的通项公式．
[解]　可依次代入项数进行求值．
a1＝2，a2＝＝－2，a3＝＝－，
a4＝＝－，
a5＝＝－.
即数列{an}的前5项为2，－2，－，－，－.
也可写为，，，，.
即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，
所以an＝－(n∈N*)．
[类题通法]
根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．
[活学活用]
已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，写出该数列的前5项，并归纳出它的一个通项公式．
解：a1＝1，
a2＝a1＋＝1＋＝，
a3＝a2＋＝＋＝，
a4＝a3＋＝＋＝，
a5＝a4＋＝＋＝.
故数列的前5项分别为1，，，，.
由于1＝，＝，＝，
＝，＝，
故数列{an}的一个通项公式为an＝＝2－.
　　　　2．巧析递推数列求通项公式两种常用方法　　
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推数列求通项公式的两种方法．
【角度一】　　累加法
若数列{an}满足an＋1－an＝f(n)，需用累加法，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1来求an.
[例1]　已知a1＝1，an＋1－an＝2，求数列{an}的一个通项公式．
[解]　∵a1＝1，an＋1－an＝2，
∴a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，
an－an－1＝2(n≥2)，
将这些式子的两边分别相加，
(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2(n－1)，
即an－a1＝2(n－1)，又a1＝1，
∴an＝2n－1(n≥2)，
当n＝1时，a1＝1也满足上式，
故数列{an}的一个通项公式为an＝2n－1.
【角度二】　　累乘法
若数列{an}满足＝f(n)，需用累乘法，即an＝··…···a1来求an.
[例2]　已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
[解]　由an＋1＝3an得＝3.
因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3.
将上面的n－1个式子相乘可得
···…·＝3n－1.
即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，
又a1＝2，故an＝2·3n－1.
[随堂即时演练]
1．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　)
A．1,2,3,4，…　　　　　 B．1，，2,2，…
C.，2，，2，… D．0，，2,2，…
解析：选B　B中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.
2．数列，，，，…的递推公式可以是(　　)
A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*)
C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*)
解析：选C　数列从第2项起，后一项是前一项的，故递推公式为an＋1＝an(n∈N*)．
3．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________.
解析：∵(n＋1)a＋an＋1·an－na＝0，
∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，
又an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
即＝，∴····…·＝
××××…×，∵a1＝1，∴an＝.
答案：
4．已知数列{an}满足a1>0，＝(n∈N*)，则数列{an}是________数列．(填“递增”或“递减”)
解析：由已知a1>0，an＋1＝an(n∈N*)，
得an>0(n∈N*)．
又an＋1－an＝an－an＝－an<0，
所以{an}是递减数列．
答案：递减
5．已知数列{an}的通项公式为an＝，写出它的前5项，并判断该数列的单调性．
解：对于公式an＝，依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.
而an＋1－an＝－
＝.
因为n∈N*，所以1－n2－n＜0，
所以an＋1－an＜0，
即an＋1＜an.故该数列为递减数列．
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，则a7＝(　　)
A．53 B．54
C．55 D．109
解析：选C　a2＝a1＋2×2，a3＝a2＋2×3，……，a7＝a6＋2×7，各式相加得a7＝a1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.故选C.
2．数列{an}中an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5等于 (　　)
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
解析：选D　由an＋1＝an＋2－an得an＋2＝an＋an＋1，
故a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.
3．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B　∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，
a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×＝－，
a5＝(－1)5×2×＝.
4．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　　)
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
解析：选C　由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，
∴a1＝－3，
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.
5．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2 015等于(　　)
A．3 B．－3
C．6 D．－6
解析：选D　由题意知，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，
a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，
a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，
a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3
…
故知{an}是周期为6的数列，
∴a2 015＝a5＝－6.
二、填空题
6．数列{an}中，an＋1－an－n＝0，则a2 016－a2 015＝________.
解析：∵an＋1－an－n＝0，
∴a2 016－a2 015－2 015＝0，
∴a2 016－a2 015＝2 015.
答案：2 015
7．已知数列{an}，an＝an＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
解析：∵∴
∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2.
答案：2
8．已知对于任意的正整数n，an＝n2＋λn.若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
解析：∵{an}是递增数列，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ＞0对于任意的正整数n恒成立，
即λ ＞－2n－1对于任意的正整数n恒成立，
∴λ＞－3.
答案：(－3，＋∞)
三、解答题
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)猜想数列{an}的通项公式；
(3)画出数列{an}的图象．
解：(1)a1＝1，a2＝×1＝，
a3＝×＝，
a4＝×＝，
a5＝×＝.
(2)猜想：an＝.
(3)图象如图所示．
10．已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；
(2)a1＝1，an＋1＝.
解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，
∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1，
a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4，
a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9，
a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.
故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
(2)∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝.
∴它的前5项依次是1，，，，.
它的前5项又可写成，，，，，
故它的一个通项公式为an＝.
11．求下列数列的通项公式．
(1)已知{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋n，求数列{an}的一个通项公式；
(2)已知数列{an}满足a1＝1，＝，求数列{an}的一个通项公式．
解：(1)∵an＋1－an＝n，
∴a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，…，an－an－1＝n－1.
将以上(n－1)个等式相加，得
(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)，
即an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝.
∵a1＝0，∴an＝(n∈N*)．
(2)∵＝，
∴···…··＝×××…××＝，则＝.
又∵a1＝1，
∴an＝.
而a1＝1也适合上式，∴an＝.
12．设{an}是首项为1的正项数列且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求an.
解：法一：(累乘法)由(n＋1)a－na＋an＋1an＝0.
得(an＋1＋an)(nan＋1－nan＋an＋1)＝0.
由于an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0.
∴＝.
∴an＝a1···…·
＝1××××…×＝.
法二：(换元法)由已知得(n＋1)an＋1－nan＝0，
设bn＝nan，则bn＋1－bn＝0.∴{bn}是常数列．
∴bn＝b1＝1×a1＝1，即nan＝1.∴an＝.
第一课时　等差数列
等差数列的定义
[提出问题]
1．有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm)依次为16,32,48,64,80,96,112,128，…，320.
2．2016年里约奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为48,53,58,63.
3．鞋的尺码，按照国家规定，有22,22.5,23，23.5，24,24.5，….
问题1：上面三组数能构成数列吗?
提示：能．
问题2：若上面三组数构成数列，试观察它们从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点．
提示：各等于同一常数．
[导入新知]
等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
[化解疑难]
1．“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
2．“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻．
3．定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
等差中项
[提出问题]
问题：观察“知识点一”中的三个数列，每个数列的任意连续三项之间有什么样的关系？
提示：前一项与后一项的和是中间项的2倍．
[导入新知]
等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝.
[化解疑难]
1．A是a与b的等差中项，则A＝或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个．
2．当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项.
等差数列的通项公式
[提出问题]
若一等差数列{an}的首项为a1，公差是d.
问题1：试用a1，d表示a2，a3，a4.
提示：a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d.
问题2：由此猜想等差数列的通项公式an.
提示：an＝a1＋(n－1)d.
[导入新知]
等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
递推公式
通项公式
an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)
[化解疑难]
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．
等差数列的判定与证明
[例1]　判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中an＝n2＋n.
[解]　(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
[类题通法]
定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
[活学活用]
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？请说明理由．
解：数列{bn}是等差数列．
理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，
∴an＋1－an＝d(n∈N*)．
∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d.
∴根据等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列.
等差数列的通项公式
[例2]　(1)在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an；
(2)已知等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，求通项公式an.
[解]　(1)设数列{an}的公差为d.
由等差数列的通项公式及已知条件可得
解得
∴an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
(2)设等差数列{an}的公差为d，由已知得
解得
当d＝2时，an＝1＋(n－1)×2＝2n－1；
当d＝－2时，an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3.
[类题通法]
1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，
得求出a1和d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
[活学活用]
1．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，求a1.
解：设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式，得
a2＝a1＋d＝－5，①
a6＝a1＋5d，a4＝a1＋3d.
∵a6＝a4＋6，∴a1＋5d＝a1＋3d＋6.②
联立①②解得a1＝－8.
2．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
解：由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，
由题意知，－401＝－4n－1.
得n＝100，即－401是这个数列的第100项.
等差中项
[例3]　已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
[解]　在等差数列{an}中，
∵ a2＋a3＋a4＝18，
∴3a3＝18，a3＝6.
即
解得或
当时，a1＝16，d＝－5.
an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.
当时，a1＝－4，d＝5.
an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.
[类题通法]
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
[活学活用]
1．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________.
解析：因为8，a,2，b，c是等差数列，
所以
得
答案：5　－1　－4
2．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.
解析：由an－1＋an＋1 ＝2an (n≥2)知，数列{an}是等差数列，
∴a2，a5，a8成等差数列．
∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.
答案：21
　　　　
[典例]　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值．你能判断该数列从第几项开始为正数吗？
[解]　由等差数列an＝a1＋(n－1)d列方程组：
解得
∴a14＝－46＋13×2＝－20.
∴an＝－46＋(n－1)×2＝2n－48.
令an≥0，即2n－48≥0?n≥24.
∴从第25项开始，各项为正数．
[易错防范]
1．忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，误认为n＝24也满足条件．
2．由通项公式计算时，易把公式写成an＝a1＋nd，导致结果错误．
[成功破障]
一个等差数列的首项为，公差d＞0，从第10项起每一项都大于1，求公差d的范围．
解：设等差数列为{an}，
由d＞0，知a1＜a2＜…＜a9＜a10＜a11<…，
依题意，有
即?
解得＜d≤，即公差d的取值范围是.
[随堂即时演练]
1．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝3n－1　　　 B．an＝2n＋1
C．an＝2n＋3 D．an＝3n＋2
解析：选A　an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1.
2．等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
解析：选B　∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前3项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，
∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.
3．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．
解析：设首项为a1，公差为d，
由a3＝7，a11＝－1，得a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，
所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.
或直接由a7＝得a7＝3.
答案：3
4．已知1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为________．
解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　①
y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10, ②
由①②可解得x＝4，y＝7.
答案：4,7
5．在等差数列{an}中：
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
解：(1)由题意，知
解得
(2)由题意，知
解得
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∴a9＝2×9－1＝17.
[课时达标检测]
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d等于(　　)
A．－2　　　　　　　　　　B．－
C. D．2
解析：选B　由题意，得
解得
2．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是(　　)
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
解析：选C　由等差中项的定义知，x＝，x2＝，
∴＝2，
即a2－2ab－3b2＝0.
故a＝－b或a＝3b.
3．若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n等于(　　)
A．50 B．51
C．52 D．53
解析：选D　依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，
代入a1＝，得d＝.
所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，
令an＝35，解得n＝53.
4．在数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2，则该数列中相邻两项乘积为负值的项是(　　)
A．a21和a22 B．a22和a23
C．a23和a24 D．a24和a25
解析：选C　因为an＋1＝an－，
所以{an}是以15为首项，－为公差的等差数列．
所以an＝15＋(n－1)·.
验证可知a23＝，a24＝－，
即a23·a24＝－<0.　
5．(北京高考)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是(　　)
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
解析：选C　设等差数列{an}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞，故选项C正确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错．
二、填空题
6．已知数列{an}是等差数列，且a3＋a11＝50，a4＝13，则a2等于________．
解析：因为
所以a1＝1，d＝4，所以a2＝5.
答案：5
7．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1和a3是方程x2－8x＋7＝0的两根，则它的通项公式是________．
解析：解方程x2－8x＋7＝0得x1＝1，x2＝7.
∵数列{an}的各项均为正数，
∴a1＝1，a3＝7.
∴公差d＝＝3.
∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－2.
答案：an＝3n－2
8．数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________.
解析：∵{an}是等差数列，
∴an＋1－an＝常数．
∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数．
∴2a＝0，∴a＝0.
答案：0
三、解答题
9．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？
解：由题意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.
令450≤an≤600，
解得85.5≤n≤123，
又因为n为正整数，故有38项．
10．已知{an}是等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为a,2a－1,3－a.
解：(1)法一：设首项为a1，公差为d，
则
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
∴通项公式是an＝2n－1.
法二：∵d＝＝＝2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝5＋(n－3)×2＝2n－1.
∴通项公式是an＝2n－1.
(2)∵a,2a－1,3－a是等差数列的前三项，
∴(2a－1)－a＝(3－a)－(2a－1)．
解得a＝.
∴d＝(2a－1)－a＝a－1＝.
∴an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n＋1.
∴通项公式是an＝n＋1.
11．数列{an}满足a1＝1，＝＋1(n∈N*)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：由＝＋1，
可得－＝2，
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝1＋(n－1)·2＝2n－1，
∴an＝.
12．已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
解：法一：设等差数列{an}的前三项分别为a1，a2，a3.依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，∴d＜0.
故取a1＝11，d＝－5，
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的项，且为第10项．
法二：设等差数列{an}的前三项依次为：
a－d，a，a＋d，
则解得
又∵{an}是递减等差数列，即d＜0.
∴取a＝6，d＝－5.
∴{an}的首项a1＝11，公差d＝－5.
∴通项公式an＝11＋(n－1)·(－5)，
即an＝－5n＋16.
令an＝－34，解得n＝10.
即－34是数列{an}的项，且为第10项．
第二课时　等差数列的性质
等差数列性质的应用
[例1]　(1)(江西高考)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
(2)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8的值．
[解]　(1)法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)
＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)
＝7＋2(d1＋d2)＝21，
所以d1＋d2＝7，
所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴数列{an＋bn}也构成等差数列，
∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
∴2×21＝7＋a5＋b5，
∴a5＋b5＝35.
(2)∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，
由等差数列的性质知a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.
∴5a5＝450.∴a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
[答案]　(1)35
[类题通法]
1．利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示．
2．本题的求解主要用到了等差数列的以下性质：
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.
[活学活用]
1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于(　　)
A．14　　　　　　　　 B．21
C．28 D．35
解析：选C　∵a3＋a4＋a5＝12，
∴3a4＝12，则a4＝4，
又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
2．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
解析：法一：因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项，所以a60＝a15＋3d，得d＝4.
所以a75＝a60＋d?a75＝24.
法二：因为a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
所以
解得
故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
答案：24
灵活设元求解等差数列中的项
[例2]　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解]　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得
∴这三个数为4,3,2.
(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，∴d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，
得＝－8，
即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
所以d＝2，a＝－2.
故所求的四个数为－2,0,2,4.
[类题通法]
常见设元技巧
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d；
(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差为d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.
[活学活用]
已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
由题设知
解得或
∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.
等差数列的实际应用
[例3]　某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[解]　由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)
＝－20n＋220.
若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
[类题通法]
1．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．
2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．
[活学活用]
《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)
A．1升　　　　　　 B. 升
C. 升 D. 升
解析：选B　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有
即
解得
则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升．
[随堂即时演练]
1．(重庆高考)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)
A．5　　　　　　　　 B．8
C．10 D．14
解析：选B　由等差数列的性质得a1＋a7＝a3＋a5，因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8，选B.
2．已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是(　　)
A．bn＝－an　　　　　 B．bn＝a
C．bn＝ D．bn＝
解析：选A　∵数列{an}是等差数列，
∴an＋1－an＝d(常数)．
对于A，bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于B不一定正确，如数列{an}＝{n}，则bn＝a＝n2，显然不是等差数列；对于C，D，及不一定有意义，故选A.
3．已知等差数列{an}中，a5＝10，a12＝31，则其公差d＝________.
解析：d＝＝＝3.
答案：3
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．
解析：∵a2＋a14＝2a8，
∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，
∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
答案：30
5．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
解：∵a1＋a7＝2a4，
∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，亦即(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
[课时达标检测]
一、选择题
1．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则a4＋a10等于(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．4
C．5 D．12
解析：选B　在等差数列中，a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，
∴3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6(a4＋a10)＝24，
∴a4＋a10＝4.
2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9等于(　　)
A．39 B．20
C．19.5 D．33
解析：选D　由等差数列的性质，得
a1＋a4＋a7＝3a4＝45，
a2＋a5＋a8＝3a5＝39，
a3＋a6＋a9＝3a6.
又3a5×2＝3a4＋3a6，
解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33.
3．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)
A．0 B．37
C．100 D．－37
解析：选C　设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.
∴c37＝100.
4．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根 B．有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
解析：选A　由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，
即3a5＝9，
∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，
无实数解．
5．下列命题中正确的是(　　)
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
解析：选C　∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．
二、填空题
6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．
解析：不妨设角A＝120°，c则a＝b＋4，c＝b－4，
于是cos 120°＝＝－，
解得b＝10，c＝6，
所以S＝bcsin 120°＝15.
答案：15
7．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
解析：由题设可得－＋1＝0，
即－＝1，
所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，
故通项公式＝n，所以an＝n2.
答案：n2
8．某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4千米时，每增加1 千米，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4千米处的车费，公差d＝1.2.那么当出租车行至14千米处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
答案：23.2
三、解答题
9．已知5个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这5个数．
解：设这5个数依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得
解得
所以这5个数为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.
10．已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
解：法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得
解之得或
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得
化简，得
解得或
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，
得
化简，得解得
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
11．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
解：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
由已知有
∴
∴a＝1，d＝±.
d＝时，这5个数分别是－，，1，，；
d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.
综上，5个数分别为－，，1，，或，，1，，－.
12．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求{bn}的通项公式；
(3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？
解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列．
(1)∵a1＝3，d＝－5，
∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.
数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，
∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，
即{bn}的通项公式为bn＝13－20n.
(3)b503＝13－20×503＝－10 047，
设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m，
解得m＝2 011，即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011 项．
2.3 等差数列的前n项和
数列的前n项和
[导入新知]
数列的前n项和
对于数列{an}，一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
[化解疑难]
数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和.
等差数列的前n项和
[提出问题]
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
问题1：共有几层？图形的横截面是什么形状？
提示：六层，等腰梯形．
问题2：假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？
提示：(4＋9)×6＝78.
问题3：原来有多少根钢管？
提示：×78＝39.
问题4：能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an?
提示：能．Sn＝a1＋a2＋…＋an，
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，
相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝
n(a1＋an)，
∴Sn＝.
问题5：试用a1，d，n表示Sn.
提示：∵an＝a1＋(n－1)d，
∴Sn＝＝na1＋d.
[导入新知]
等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
选用公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
[化解疑难]
等差数列前n项和公式的特点
(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、通项和前n项和．
(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
等差数列前n项和的有关计算
[例1]　(1)(北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝__________；Sn＝________.
(2)在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
[解]　(1)设公差为d，则由S2＝a3得
2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝，
故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝.
(2)由
得
解方程组，得或
[答案]　(1)1　
[类题通法]
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
[活学活用]
已知等差数列{an}．
(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和Sn.
解：(1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.
又Sn＝na1＋·d＝－5，
解得n＝15，n＝－4(舍去)．
(2)由已知，得S8＝＝＝172，
解得a8＝39.
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴Sn＝4n＋×5＝n2＋n.
已知Sn求通项公式an
[例2]　已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断{an}是否为等差数列．
[解]　(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，
∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2
＝－2n2＋5n－1，
∴an＝Sn－Sn－1
＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
＝－4n＋3.
又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，
∴数列{an}的通项公式是
an＝
(2)由(1)知，当n≥2时，
an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，
但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，
∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．
[类题通法]
已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：
(1)当n＝1时，a1＝S1；
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1；
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1.
如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝(如本例)
[活学活用]
已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n－2.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；
当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，
则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)
＝2n2－3n－2n2＋7n－5
＝4n－5.
此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，
故an＝4n－5.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；
当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，
则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1
＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.
此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，
故an＝
等差数列前n项和的性质
[例3]　(1)(辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于(　　)
A．58　　　　　　 B．88
C．143 D．176
(2)等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.
[解]　(1)因为{an}是等差数列，所以a1＋a11＝a4＋a8＝2a6＝16?a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88.
(2)∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100也成等差数列．
设其公差为d，则
S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100，
即10S10＋×d＝S100＝10.
又∵S10＝100，代入上式，得d＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d＝100＋10×(－22)＝－120，
∴S110＝－120＋S100＝－110.
[答案]　(1)B
[类题通法]
等差数列的前n项和常用的性质
(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)?数列为等差数列．
(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d.
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，
＝；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，
＝.
[活学活用]
1．在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为(　　)
A．9 B．12
C．16 D．17
解析：选A　由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是可求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
2．等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________.
解析：因为a1＋a13＝a2＋a12＝2a7，
又a2＋a7＋a12＝24，
所以a7＝8.
所以S13＝＝13×8＝104.
答案：104
等差数列前n项和的最值
[例4]　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．
[解]　由S17＝S9，n∈N*，得
25×17＋d＝25×9＋d，
解得d＝－2，
法一：∴Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.
由二次函数的性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
法二：∵a1＝25＞0，由
得即12＜n≤13.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0.
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.
∵d＝－2<0，a1>0，
∴a13>0，a14<0.
故n＝13时，Sn有最大值169.
[类题通法]
求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路
(1)将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决；
(2)邻项变号法：
当a1>0，d<0时，满足的项数n使Sn取最大值．
当a1<0，d>0时，满足的项数n使Sn取最小值．
[活学活用]
已知{an}是等差数列，其中a10＝30，a20＝50.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an－20，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
解：(1)由a10＝30，a20＝50，得
解得a1＝12，d＝2，所以an＝2n＋10.
(2)由bn＝an－20得bn＝2n－10，
所以，当n<5时，bn<0；
当n>5时，bn>0；当n＝5时，bn＝0.
由此可知，数列{bn}的前4项或前5项的和最小．
易知T4＝T5＝－20，故数列{bn}的前n项和Tn的最小值为－20.
　　　　
[典例]　(12分)已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.求an及Sn.
[解题流程]
[规范解答]
设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＝7，a5＋a7＝26，
所以有(4分)
解得a1＝3，d＝2，
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，(9分)
Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.(12分)
[名师批注]
解决等差数列问题时，有以下几点容易造成失分：
(1)利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项a1和公差d；
(2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；
(3)判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第1项．
[活学活用]
已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n，
所以Sn＝＝2n－n2.
进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.
又k∈N*，故k＝7为所求．
[随堂即时演练]
1．(全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A．5　　　　　　　　 B．7
C．9 D．11
解析：选A　法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故选A.
法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)
＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，
∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)
A．13 B．35
C．49 D．63
解析：选C　法一：设数列{an}的公差为d，
解得
于是S7＝7×1＋×2＝49.
法二：由等差数列前n项和公式及性质知
S7＝＝＝＝49.
3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.
解析：∵an＝－5n＋2，
∴数列{an}是等差数列，且a1＝－3，公差d＝－5，
∴Sn＝＝－.
答案：－
4．在数列{an}中，a1＝32，an＋1＝an－4，则当n＝________时，前n项和Sn取最大值，最大值是________．
解析：∵d＝an＋1－an＝－4，
∴an＝－4n＋36.
令an＝－4n＋36≥0，得n≤9，
∴n＝8或9时，Sn最大，且S8＝S9＝144.
答案：8或9　144
5．在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；
(2)已知a2＋a4＝，求S5.
解：(1)由已知得
解得
所以a8＝a1＋7d＝－5＋7×3＝16
(或a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16)．
(2)由a2＋a4＝及等差数列的性质，
知a1＋a5＝a2＋a4＝，
所以S5＝＝×＝24.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1等于(　　)
A．18　　　　　　　　　　 B．20
C．22 D．24
解析：选B　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，
a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
2．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10等于(　　)
A．138 B．135
C．95 D．23
解析：选C　由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，
可知d＝3，a1＝－4.
∴S10＝－40＋×3＝95.
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．4
C．－4 D．－3
解析：选B　∵{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，
∴5a3＝55，a3＝11，
∴公差d＝a4－a3＝4.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．45
C．36 D．27
解析：选B　∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，
而由等差数列的性质可知，
S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列．
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选C　由题意得S偶－S奇＝5d＝15，
∴d＝3.
或由解方程组求得d＝3，故选C.
二、填空题
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.
解析：设{an}的公差为d，
则解得
于是an＝2＋(n－1)×2＝2n.
答案：2n
7．(北京高考)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
解析：∵数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，∴a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，
∴a9＜0.∴当n＝8时，其前n项和最大．
答案：8
8．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4＝2a3，则＝________.
解析：由等差数列的性质知
＝＝×＝×2＝.
答案：
三、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上，求数列{an}的通项公式．
解：依题意得，＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，
因a1＝S1＝1，满足an＝6n－5，
所以an＝6n－5(n∈N*)．
10．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.
(1)求证：{an}是等差数列；
(2)问{an}的前多少项和最大；
(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n.
解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.故{an}的通项为an＝34－2n.
所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2.
故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列．
(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an＜0.所以当n≤17时，S′n＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.
当n≥18时，
S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)
＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn
＝n2－33n＋544.
故S′n＝
11．已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＝(n≥2)，求an.
解：当n≥2时，将Sn－Sn－1＝an代入式子an＝，得Sn－Sn－1＝.
整理，得Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1.
两边同除Sn·Sn－1得－＝2(n≥2)．
∴数列是以2为公差的等差数列．
则＝＋2(n－1)＝2n－1.∴Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝.
当n＝1时，a1＝1不适合上式，
∴an＝
12．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．
解：(1)设{an}的首项、公差分别为a1，d，
则
解得a1＝－9，d＝3，
∴an＝3n－12.
(2)Sn＝＝(3n2－21n)
＝2－，
∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值为－18.
第一课时　等 比 数 列
等比数列的定义
[提出问题]
观察下面几个数列：
(1)4，－4,4，－4，…；
(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，…，263；
(3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为10 000×1.05,10 000×1.052，…，10 000×1.055.
问题1：上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？
提示：不是．
问题2：这三个数列，从第2项起与前一项的比有什么特点？
提示：都等于同一个常数．
[导入新知]
等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示．
[化解疑难]
1．“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；
2．“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；
3．“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝或q＝.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．
等比中项
[提出问题]
问题：观察“知识点一”中的三个数列，每个数列中任意连续三项间有何关系？
提示：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积．
[导入新知]
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±.
[化解疑难]
1．G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．
2．当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列.
等比数列的通项公式
[提出问题]
问题：若数列{an}为等比数列，公比为q，则a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，由此你可以得出什么结论呢？
提示：an＝a1qn－1.
[导入新知]
等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝a1qn－1.
[化解疑难]
1．在已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1可求出等比数列中的任一项．
2．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1可改写为an＝·qn.当q＞0且q≠1时，这是指数型函数．
等比数列的通项公式
[例1]　在等比数列{an}中：
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[解]　(1)因为
所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
(2)法一：因为
由得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，
所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
[类题通法]
与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，an＝a1·qn－1(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q≠0验证求得的结果．
[活学活用]
1．若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是(　　)
A．405　　　　　　　　　 B．－405
C．135 D．－135
解析：选A　∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405.
2．(辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或，
由a＝a10＝a1q9>0?a1>0，
又数列{an}递增，
所以q＝2.
a＝a10>0?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案：2n
等比数列的判断与证明
[例2]　已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
[解]　依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是bn＝3－n.
而＝＝－1＝2.
∴数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.
[类题通法]
证明数列是等比数列常用的方法
(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)? {an}为等比数列；
(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)?{an}为等比数列；
(3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)?{an}为等比数列．
[活学活用]
(全国丙卷改编)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)证明{an}是等比数列，并求{an}的通项公式．
解：(1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0
得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因此{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，
因此an＝.
等比中项
[例3]　设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析]　∵an＝(n＋8)d，
又∵a＝a1·a2k，
∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，
解得k＝－2(舍去)，k＝4.
[答案]　B
[类题通法]
等比中项的应用主要有两点
(1)计算与其他性质综合应用．可以简化计算,提高速度和准确度．
(2)用来判断或证明等比数列．
[活学活用]
已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是(　　)
A．1或 B．1或－
C．1或 D．1或－
解析：选D　由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2，
∴或
因此的值为1或－.
　　　　
[典例]　等比数列{an}(an＞0)满足a1－a5＝90，a2－a4＝36，求a5，a7的等比中项．
[解]　设该等比数列的公比为q，首项为a1，由a1－a5＝90，a2－a4＝36得
解得或(舍)
令G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9，
所以a5，a7的等比中项是±3.
[易错防范]
1．误认为a5，a7的等比中项是a6，故a6＝a1q5＝96×5＝3.
2．要明确同号两数的等比中项G有两个，且互为相反数，若G为a，b的等比中项，则G＝±.
[成功破障]
等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)
A．±4　　　　　　 B．4
C．± D.
解析：选A　依题意得a4·a8＝(a1q3)·(a1q7)＝(a1q5)2＝2＝42，
∴a4与a8的等比中项为±4.
[随堂即时演练]
1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于(　　)
A．1＋　　　　　　 B．1－
C．3＋2 D．3－2
解析：选C　设公比为q，由a1＋2a2＝a3，
即a1＋2a1q＝a1q2，得q2－2q－1＝0.
∴q＝＋1，q＝1－(舍去)，
则＝q2＝3＋2.
2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于(　　)
A．9 B．3
C．－3 D．－9
解析：选D　a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，
由于a1，a3，a4成等比数列，
则a＝a1a4，
所以(a2＋3)2＝(a2－3)(a2＋6)，
解得a2＝－9.
3．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.
解析：∵3an＋1－an＝0，
∴＝，
因此{an}是以为公比的等比数列，
又a1＝2，所以an＝2×n－1.
答案：2×n－1
4．(全国卷Ⅱ改编)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝________.
解析：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，
∴a＝4(a4－1)，∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.
又∵q3＝＝＝8，∴q＝2，
∴a2＝a1q＝×2＝.
答案：
5．(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an；
(2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.
解：(1)由已知得得
∵an＞0，∴
∴an＝128×n－1＝28－n.
(2)由an＝a1·qn－1，得＝n－1，
即n－1＝3，得n＝4.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D．1
解析：选A　原式＝＝＝.
2．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此数列的第(　　)
A．2项 B．4项
C．6项 D．8项
解析：选B　由x,2x＋2,3x＋3成等比数列，
可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，
解得x＝－1或－4.
又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4，
∴该数列是首项为－4，公比为的等比数列，
其通项an＝－4n－1，
由－4n－1＝－13，得n＝4.
3．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－3 D．－4
解析：选D　由题意，得
解得a＝－4，b＝2，c＝8.
4．若a，b，c成等比数列，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(　　)
A．必有两个不等实根
B．必有两个相等实根
C．必无实根
D．以上三种情况均有可能
解析：选C　∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac＞0.
又∵Δ＝b2－4ac＝－3ac＜0，
∴方程无实数根．
5．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于(　　)
A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
解析：选A　设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.
解析：∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
答案：(－2)n或－2n
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝________.
解析：设公比为q，则a1q2＝3，a1q9＝384，
所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.
答案：6
8．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列．
令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.
答案：an＝3·(－1)n－1
三、解答题
9．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，求bn.
解：∵{an}是等差数列，
∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，
a13＝a1＋12d，
又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，
∴a＝a5a13，即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)·(a1＋12d)，
解得d＝2a1.
设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，
则q＝＝，
又b2＝b1q＝5，即b1＝5，解得b1＝3，
∴bn＝3·n－1.
10．已知数列{an}满足an＋1＝an＋(n＝1,2,3，…)．
(1)当an≠时，求证是等比数列；
(2)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：因为an＋1＝an＋，
改写成an＋1－＝.
故当an≠时数列是以为公比的等比数列．
(2)当a1＝时，a1－＝.
故数列是首项为a1－＝，公比为的等比数列．
∴an＝＋n，即数列{an}的通项公式为an＝＋n.
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
解：(1)由S1＝(a1－1)，
得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.
又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a1＝1，数列{bn}满足bn＝an＋1－2an.
(1)求证：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：由Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，①
得Sn＝4an－1＋2(n≥2)，②
由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)．
又bn＝an＋1－2an＝4an－4an－1－2an＝2an－4an－1
＝2(an－2an－1)＝2bn－1(n≥2)，
∴数列{bn}是公比为2的等比数列．
(2)又a1＝1，S2＝4a1＋2＝6，
即a2＋a1＝6，
∴a2＝5，
∴b1＝a2－2a1＝3，
∴bn＝3×2n－1.
第二课时　等比数列的性质
等比数列性质的应用
[例1]　(1)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.
(2)已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
[解]　(1)因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，
所以＋＋＋＝
＝÷＝－.
(2)∵{an}为等比数列，
∴a1·a9＝a3·a7＝64.
又∵a3＋a7＝20，
∴a3，a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根．
∵t1＝4，t2＝16，
∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
①当a3＝4，a7＝16时，
＝q4＝4，此时a11＝a3q8＝4×42＝64.
②当a3＝16，a7＝4时，
＝q4＝，此时a11＝a3q8＝16×2＝1.
[答案]　(1) －
[类题通法]
等比数列常用性质
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am·an＝ap·aq.
特例：若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，
则am·an＝a.
(2)＝qn－m(m，n∈N*)．
(3)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．
(4)数列{an}为等比数列，则数列{λan}(λ为不等于0的常数)和仍然成等比数列．
[活学活用]
1．在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝12，则a10＝________.
解析：法一：设{an}的公比为q，则
解得q4＝6，∴a10＝a1q9＝a1q·(q4)2＝2×36＝72.
法二：∵{an}是等比数列，
∴a＝a2·a10，
于是a10＝＝＝＝72.
答案：72
2．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．
解析：由于{an}是等比数列，
∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a，
∴a1a2a3…a13＝6·a7＝a，
而a7＝－2，
∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.
答案：－213
灵活设元求解等比数列
[例2]　已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．
[解]　法一：设三个数依次为a，aq，aq2，
由题意知
∴
即
解得＝，
得9q4－82q2＋9＝0，即得q2＝9或q2＝，
∴q＝±3或q＝±.
若q＝3，则a1＝1；
若q＝－3，则a1＝－1；
若q＝，则a1＝9；
若q＝－，则a1＝－9.
故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1.
法二：设这三个数分别为，a，aq.
?
得9q4－82q2＋9＝0，即得q2＝或q2＝9，
∴q＝±或q＝±3.
故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1.
[类题通法]
三个数或四个数成等比数列的设元技巧
(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq.
(2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设为，，aq，aq3.
[活学活用]
在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为(　　)
A．－4或17　　　　 B．4或17
C．4 D．17
解析：选B　设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.
由a，，20成等差数列得2×＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4.
当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝17.
等比数列的实际应用
　　[例3]　某工厂2016年1月的生产总值为a万元，计划从2016年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？
[解]　设从2015年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．
∴an＝a(1＋m%)n－1.
∴2016年8月底该厂的生产总值为
a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)．
[类题通法]
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
[活学活用]
(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________.
解析：法一：直接递推归纳：
等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，
所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，
A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×6＝.
法二：求通项：
等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，
所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，
故a7＝2×6＝.
答案：
　　　　
等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
【性质1】　等差数列{an}，当d＝0时，数列为常数列，当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．等比数列{bn}，当q＞1，b1＞0或0＜q＜1，b1＜0时，数列{bn}是递增数列；当q＞1，b1＜0或0＜q＜1，b1＞0时，数列{bn}是递减数列；当q＝1时，数列{bn}是常数列．
[例1]　设{an}是首项大于零的等比数列，且a1＜a2＜a3，则数列{an}是________数列．(填“递增”“递减”或“摆动”)
[解析]　设数列{an}的公比为q(q≠0)，因为a1＜a2＜a3，所以a1＜a1q＜a1q2，解得q＞1，且a1＞0，所以数列{an}是递增数列．
[答案]　递增
【性质2】　等差数列{an}满足an＝am＋(n－m)·d(m，n∈N*)，等比数列{bn}满足bn＝bm·qn－m(m，n∈N*)．
(当m＝1时，上述式子为通项公式)
[例2]　已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0，则{an}的通项公式为________．
[解析]　∵a6＝a3＋3d，则0＝－6＋3d，得d＝2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋(n－3)×2＝2n－12.
[答案]　an＝2n－12
【性质3】　若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，等差数列{an}满足am＋an＝ap＋aq，特别地，若数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…(n∈N*)．
等比数列{bn}满足bmbn＝bpbq，特别地，数列{bn}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b1·bn＝b2·bn－1＝b3·bn－2＝…＝bm·bn－m＋1.
[例3]　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19的值是(　　)
A．55　　　　　　　　 B．95
C．100 D．105
(2)在等比数列{an}中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，则公比q值的个数可能为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　(1)S19＝＝＝＝95.
(2)∵a2·a8＝a3·a7，
∴由
解得a3＝3，a7＝12，或a3＝12，a7＝3.
若a3＝3，a7＝12，则有12＝3×q4，
∴q4＝4，
∴q2＝2，q＝±.
若a3＝12，a7＝3，则有3＝12×q4，
∴q4＝，q2＝，q＝±.
∴q的值可能有4个．
答案：(1)B　(2)D
【性质4】　在等差(比)数列中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k＋1)d(公比为qk＋1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列．
[例4]　在1和16之间插入三个正数a，b，c使1，a，b，c,16成等比数列，求a＋b＋c的值．
[解]　∵1，a，b，c,16成等比数列，
∴1，b,16为等比数列．∴b＝4.
∴1，a，b也成等比数列，b，c,16也成等比数列．
∴a＝2，c＝8.
∴a＋b＋c＝2＋4＋8＝14.
[随堂即时演练]
1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列(　　)
A．是公比为q的等比数列
B．是公比为q2的等比数列
C．是公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
解析：选B　由于＝·＝q·q＝q2，n≥2且n∈N*，
∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B.
2．若1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为(　　)
A．－　　　　　　 B.
C．± D.
解析：选A　∵1，a1，a2,4成等差数列，
∴3(a2－a1)＝4－1，
∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，
则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2 ＞0，
∴b2＝2，∴＝＝－.
3．在等比数列{an}中，a888＝3，a891＝81，则公比q＝________.
解析：∵a891＝a888q891－888＝a888q3，
∴q3＝＝＝27.
∴q＝3.
答案：3
4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析：∵a6a10＝a，a3a5＝a，
∴a＋a＝41，
又a4a8＝4，
∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49.
∵数列各项都是正数，
∴a4＋a8＝7.
答案：7
5．已知数列{an}为等比数列．
(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.
解：(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6，
∴a1a3＝36.
又∵a1＋a3＝21－a2＝15，
∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.
当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1；
当a1＝12时，q＝，an＝12·n－1.
(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，
∴q4＝4，∴q＝±.
[课时达标检测]
一、选择题
1．(重庆高考)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
解析：选D　由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，
因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.
2．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为(　　)
A．35　　　　　　　　　 B．63
C．21 D．±21
解析：选B　∵{an}是等比数列，
∴a4，a6，a8成等比数列，
∴a＝a4·a8，即a8＝＝63.
3．在等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于(　　)
A．81 B．27
C．3 D．243
解析：选A　因为数列{an}是等比数列，且a1＝1，a10＝3，
所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)＝(a1a10)4＝34＝81.故选A.
4．设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：
①{a}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；
④{an＋an＋1}．其中是等比数列的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D　①∵＝3＝q3，∴{a}是等比数列；
②∵＝＝q，∴{pan}是等比数列；
③∵＝＝q2，∴{an·an＋1}是等比数列；
④∵＝＝q，∴{an＋an＋1}是等比数列．
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C　等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
二、填空题
6．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
解析：∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，
∵b7＝a7≠0，
∴b7＝a7＝4.
∴b6b8＝b＝16.
答案：16
7．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，
则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2 048(平方厘米)．
答案：2 048
8．在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则＝________.
解析：∵{an}是等比数列，
∴a7·a11＝a4·a14＝6，
又a4＋a14＝5，
∴或
∵＝q10，∴q10＝或q10＝.
而＝q10，∴＝或＝.
答案：或
三、解答题
9．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．
解：法一：设这个等比数列为{an}，公比为q，
则a1＝，a5＝＝a1q4＝q4，
∴q4＝，q2＝.
∴a2·a3·a4＝a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝3×3＝63＝216.
法二：设这个等比数列为{an}，公比为q，则a1＝，
a5＝，由题意知a1，a3，a5也成等比数列且a3>0，
∴a＝×＝36，∴a3＝6，
∴a2·a3·a4＝a·a3＝a＝216.
10．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?
解：设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列{an}，记a1＝147(7月份价格)，则8月份价格a2＝a1(1－x)＝147(1－x)，
9月份价格a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2.
∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%.
设an＝34，则34＝147·(1－18.8%)n－1，解得n＝8.
即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．
11．从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?
解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－.设操作n次后溶液的浓度为an，则操作(n＋1)次后溶液的浓度为an＋1＝an.
∴{an}是以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列，
∴an＝a1qn－1＝n，
即第n次操作后酒精的浓度是n.
当a＝2时，由an＝n<(n∈N*)，解得n≥4.
故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.
12．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．
解：法一：设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二：设这四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)，
由条件得
解得或
所以当q＝2，a＝8时，所求四个数为0,4,8,16；
当q＝，a＝3时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法三：设这四个数依次为x，y,12－y,16－x，
由已知得
解得或
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
第一课时　等比数列的前n项和
等比数列的前n项和公式
[提出问题]
已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.
问题1：若q＝1，则Sn与a1有何关系？
提示：Sn＝na1.
问题2：若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？
提示：能．∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
两边同乘以q，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②
①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴当q≠1时，Sn＝.
[导入新知]
等比数列的前n项和公式
已知量
首项a1与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝
Sn＝
[化解疑难]
1．在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．
2．当q≠1时，若已知a1及q，则用公式Sn＝较好；若已知an，则用公式Sn＝较好．
等比数列的前n项和公式的基本运算
[例1]　在等比数列{an}中：
(1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7；
(2)若a3＝，S3＝，求a1和公比q.
[解]　(1)∵{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16，
∴a5＝a1q4.
∴16＝q4.
∴q＝2(负舍)．
∴S7＝＝＝127.
(2)①当q≠1时，S3＝＝，
又a3＝a1·q2＝，
∴a1(1＋q＋q2)＝，
即(1＋q＋q2)＝，
解得q＝－(q＝1舍去)，
∴a1＝6.
②当q＝1时，S3＝3a1，
∴a1＝.
综上得或
[类题通法]
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
[活学活用]
在等比数列{an}中：
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.
解：(1)设首项为a1，
∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，即a1＝，
∴S8＝＝＝17.
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0,1＋q2≠0，
∴②÷①得q3＝，即q＝，
∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×3＝1，
S5＝＝＝.
等比数列前n项和的性质
[例2]　设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值．
[解]　由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．
由题意可知上面数列的首项为S4＝2，公比为＝2，
故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，
所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.
[类题通法]
等比数列前n项和的重要性质
(1)等比数列{an}的前n项和Sn，满足Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)，这一性质可直接应用．
(2)等比数列的项数是偶数时，＝q；
等比数列的项数是奇数时，＝q.
[活学活用]
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)
A．31　　　　　　　　 B．32
C．63 D．64
解析：选C　法一：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
若q＝1，则有Sn＝na1，显然不符合题意，故q≠1.
由已知可得
两式相除得1＋q2＝5，解得q2＝4，
故q＝2或q＝－2.
若q＝2，代入解得a1＝1，此时
S6＝＝＝63.
若q＝－2，代入解得a1＝－3，此时
S6＝＝＝63.故选C.
法二：在等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.
法三：设等比数列的公比为q.
则S2＝a1＋a2＝3，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋q2)(a1＋a2)＝(1＋q2)×3＝15，
解得q2＝4.
故S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(1＋q2＋q4)(a1＋a2)＝(1＋4＋42)×3＝63.故选C.
2．等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
解析：由题意知
∴∴公比q＝＝＝2.
答案：2
等比数列的综合应用
[例3]　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
[解]　(1)∵S1，S3，S2成等差数列，
∴2S3＝S1＋S2，显然{an}的公比q≠1，
于是＝a1＋，
即2(1＋q＋q2)＝2＋q，
整理得2q2＋q＝0，
∴q＝－(q＝0舍去)．
(2)∵q＝－，又a1－a3＝3，
∴a1－a1·2＝3，解得a1＝4.
于是Sn＝
＝.
[类题通法]
解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的关键．
[活学活用]
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－n2，an＝log5bn，其中bn＞0，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－n2)－[2(n－1)－(n－1)2]＝－2n＋3，
当n＝1时，a1＝S1＝2×1－12＝1也适合上式，
∴{an}的通项公式an＝－2n＋3(n∈N*)．
又an＝log5bn，
∴log5bn＝－2n＋3，
于是bn＝5－2n＋3，bn＋1＝5－2n＋1，
∴＝＝5－2＝.
因此{bn}是公比为的等比数列，且b1＝5－2＋3＝5，
于是{bn}的前n项和
Tn＝＝.
　　　　
[典例]　设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q.
[解]　当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件；
当q≠1时，＝3a1q2，
因为a1≠0，
所以1＋q＋q2＝3q2，
2q2－q－1＝0，
解得q＝－.
综上所述，公比q的值是1或－.
[易错防范]　
1．易忽视q＝1这一情况，从而得出错解．
2．在用等比数列求和公式求和前，先看公比q，若其中含有字母，就应按q＝0，q＝1，q≠0且q≠1讨论．
[成功破障]
已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
解：若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝1(舍去)或q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
[随堂即时演练]
1．数列{2n－1}的前99项和为(　　)
A．2100－1　　　　　　　 B．1－2100
C．299－1 D．1－299
解析：选C　数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1.
2．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于(　　)
A．2 B.
C．4 D.
解析：选C　a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得
a4－a3＝3a3，即a4＝4a3，∴q＝4.
3．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则a1＝________.
解析：∵q＝2，n＝5，Sn＝62，
∴＝62，即＝62，
∴a1＝2.
答案：2
4．等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________.
解析：由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，
故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，
即(50－10)2＝10(S15－50)，
解得S15＝210.
答案：210
5．在等比数列{an}中：
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)若Sn＝189，a1＝3，an＝96，求q和n.
解：(1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－，
或Sn＝.
(2)∵等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，
∴＝189.∴q＝2.
∴an＝a1qn－1.∴96＝3×2n－1.∴n＝5＋1＝6.
[课时达标检测]
一、选择题
1．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn等于(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　注意对公比a是否为1进行分类讨论，易知选C.
2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8等于(　　)
A．135 B．100
C．95 D．80
解析：选A　由等比数列的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为＝.
∴a7＋a8＝40×3＝135.
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)
A.或5 B.或5
C. D.
解析：选C　易知公比q≠1.
由9S3＝S6，得9·＝，
解得q＝2.
∴是首项为1，公比为的等比数列．
∴其前5项和为＝.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于(　　)
A．2n－1 B.n－1
C.n－1 D.
解析：选B　由Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)得Sn＋1＝Sn，
所以{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，所以Sn＝n－1.
5．等比数列{an}的公比q＜0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2 016项和等于(　　)
A．2 016 B．－1
C．1 D．0
解析：选D　由an＋2＝an＋1＋2an得qn＋1＝qn＋2qn－1，
即q2－q－2＝0，又q＜0，解得q＝－1，
又a2＝1，∴a1＝－1，
S2 016＝＝0.
二、填空题
6．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
解析：∵S4＝，a4＝a1q3，
∴＝＝15.
答案：15
7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，S奇＝.
由题意得＝，
∴1＋q＝3，∴q＝2.
答案：2
8．已知等比数列的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为________．
解析：设公比为q，
由得
∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)
＝a1q2·＝585.
答案：585
三、解答题
9．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
解：设{an}的公比为q，由题设得
解得或
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
10．已知等差数列{an}满足：a4＝6，a6＝10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}的各项均为正数，Tn为其前n项和，若b1＝1，b3＝a3，求Tn.
解：(1)∵等差数列{an}，∴设公差为d，a6－a4＝2d?2d＝4?d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－2(n∈N*)．
(2)由(1)可知b3＝a3＝2×3－2＝4，
又∵正项等比数列{bn}，∴q2＝＝4?q＝2，
∴Tn＝＝2n－1.
11．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：因为an＝×n－1＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
所以{bn}的通项公式为bn＝－.
12．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9求数列的公比q.
解：法一：若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，但a1≠0，即S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故q≠1.同理可得q≠－1，依题意S3＋S6＝2S9.
∴＋＝2×.
整理，得q3(2q6－q3－1)＝0，由于q≠0，得2q6－q3－1＝0.
∵q≠－1，∴q3≠－1，∴q3＝－，∴q＝－.
法二：S3＋S6＝2S9，∴S3，S9，S6成等差数列．
∴S9－S3＝S6－S9，
∴a1q3＋a1q4＋…＋a1q8＝－a1q6－a1q7－a1q8，
∴a1q3(1＋q＋q2)(2q3＋1)＝0.
∵a1≠0，q≠0,1＋q＋q2≠0，
∴2q3＋1＝0，q＝－＝－.
法三：∵S3＋S6＝2S9，又S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．∴由
消去S9，得S3＝2S6，又由法一知q≠1，
∴q3＝＝－，∴q＝－.
第二课时　数列求和(习题课)
1．等差数列和等比数列求和公式是什么？其公式是如何推导的？
略
2．等差数列和等比数列的性质有哪些？
略
分组转化法求和
[例1]　已知数列{an}，{bn}满足a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an－3n(n∈N*)．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
[解]　(1)∵an＝2an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，
∴an－3n＝2(an－1－3n－1)，
∴bn＝2bn－1(n∈N*，n≥2)．
∵b1＝a1－3＝2≠0，
∴bn≠0(n≥2)，∴＝2，
∴{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴bn＝2·2n－1＝2n.
(2)由(1)知an＝bn＋3n＝2n＋3n，
∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(3＋32＋…＋3n)
＝＋
＝2n＋1＋－.
[类题通法]
当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列时，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和．
[活学活用]
求数列，2，4，…，，…的前n项和Sn.
解：∵an＝2n－2＋
＝(2n－2)＋＝(2n－1)－，
∴Sn＝＋2＋4＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]－
＝－
＝n2＋－1.
错位相减法求和
[例2]　(山东高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解]　(1)由题意知当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.
当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．
所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.
由即解得
所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×
＝－3n·2n＋2，　
所以Tn＝3n·2n＋2.
[类题通法]
如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．
在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
[活学活用]
已知an＝，求数列{an}的前n项和Sn.
解：Sn＝＋＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减得Sn＝＋＋＋…＋－
＝－＝－－，
∴Sn＝－－＝－.
裂项相消法求和
[例3]　已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[解]　(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得
解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝＝－，
从而数列的前n项和为
＝.
[类题通法]
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的．利用裂项法的关键是分析数列的通项，观察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项，即这两项的结论应一致．
[活学活用]
在数列{an}中，an＝＋＋…＋，且bn＝，求数列{bn}的前n项和．
解：an＝(1＋2＋…＋n)＝，
∵bn＝，
∴bn＝＝8，
∴数列{bn}的前n项和为
Sn＝8＝8＝.
[探规寻律]
数列求和的常用方法归纳
1．公式法(分组求和法)
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合 而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．
2．裂项求和法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：
①＝·；
②若{an}为等差数列，公差为d，
则＝；
③＝－等．
3．错位相减法
若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．
4．倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法．
　　　　
[典例]　(12分)(江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)求数列的前n项和Tn.
[解题流程]
[规范解答]
(1)当n＝k∈N*时，Sn＝－n2＋kn取得最大值，
即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，k＝4.(3分)
当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝，(4分)
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n.
[名师批注]
利用an＝Sn－Sn－1时，易忽视条件n≥2.
当n＝1时，上式也成立，综上，an＝－n.(6分)
(2)因为＝，(7分)
所以Tn＝1＋＋＋…＋＋，(8分)　①
所以2Tn＝2＋2＋＋…＋＋，(9分)　②
②－①：2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－
[名师批注]
两式相减时，注意不要漏项，由Sn－qSn得Sn时应注意q是否等于1.
＝4－－＝4－.(11分)
故Tn＝4－.(12分)
[活学活用]
设数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)an－1(a≠0)，求其前n项和．
解：当a＝1时，an＝2n－1是等差数列，
∴Sn＝＝n2.
当a≠1时，Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an，②
①－②得(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an＝1＋2·－(2n－1)an.
∵a≠1，∴Sn＝＋.
综上所述，当a＝1时，Sn＝n2；
当a≠1时，Sn＝＋.
[随堂即时演练]
1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是(　　)
A．1,1　　　　　 B．－1，－1
C．1,0 D．－1,0
解析：选D　S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，
S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
2．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　依题意bn＝＝＝＝－，所以{bn}的前10项和为S10＝＋＋＋…＋＝－＝，故选B.
3．数列1，3，5，7，…，(2n－1)，…的前n项和Sn＝________.
解析：该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.
答案：n2＋1－
4．已知数列{an}的通项公式an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于________．
解析：∵an＝＝1－，
∴Sn＝n－＝n－1＋＝＝5＋，
∴n＝6.
答案：6
5．已知等比数列{an}中，a2＝8，a5＝512.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)＝＝64＝q3，
∴q＝4.∴an＝a2·4n－2＝8×4n－2＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n×22n－1知
Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1，①
从而22×Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1，②
①－②得(1－22)×Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于(　　)
A．35　　　　　　　　 B．33
C．31 D．29
解析：选C　设{an}的公比为q，
则有解得
∴S5＝＝32＝31.
2．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2 016等于(　　)
A．1 008 B．－1 008
C．2 016 D．－2 014
解析：选A　S2 016＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008.
3．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为(　　)
A．11 B．99
C．120 D．121
选C　∵an＝＝－，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(－1)＋(－)＋…＋(－)
＝－1，
令－1＝10，得n＝120.
4．数列1，，，…，的前n项和为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　该数列的通项为an＝，分裂为两项差的形式为an＝2，令n＝1,2,3，…，
则Sn＝21－＋－＋－＋…＋－，
∴Sn＝2＝.
5．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝前n项的和为(　　)
A．4 B．4
C．1－ D.－
解析：选A　∵an＝＝＝，
∴bn＝＝＝4.
∴Sn＝4
＝4.
二、填空题
6．数列{an}中，Sn＝3n＋m，当m＝________时，数列{an}是等比数列．
解析：因为a1＝S1＝3＋m，a2＝S2－S1＝32－3＝6，a3＝S3－S2＝33－32＝18，
又由a1·a3＝a，得m＝－1.
答案：－1
7．设数列{an}的通项为an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
解析：∵an＝2n－7，
∴a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1，a5＝3，…，a15＝23，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋＝153.
答案：153
8．数列11,103,1 005,10 007，…的前n项和Sn＝________.
解析：数列的通项公式an＝10n＋(2n－1)．
所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.
答案：(10n－1)＋n2
三、解答题
9．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
解：(1)设q为等比数列{an}的公比，
则由a1＝2，a3＝a2＋4，
得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．
(2)易知bn＝2n－1，
则Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.
10．已知各项均为正数的数列{an}满足a－an＋1an－2a＝0，n∈N*，且a3＋2是a2，a4的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，且bn＋1＝bn＋2.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝an－bn，求数列{cn}的前2n项和T2n.
解：(1)因为a－an＋1an－2a＝0，所以(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，因为an>0，所以an＋1＝2an，则数列{an}是公比为2的等比数列，又a3＋2是a2，a4的等差中项，即2(4a1＋2)＝2a1＋8a1，解得a1＝2，所以an＝2n.
因为数列{bn}满足b1＝1，且bn＋1＝bn＋2.所以数列{bn}是公差为2的等差数列，易得bn＝2n－1.
(2)由(1)知cn＝
T2n＝2＋23＋…＋22n－1－[3＋7＋…＋(4n－1)]＝－2n2－n.
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝n2＋n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设的前n项和为Tn，求证Tn＜1.
解：(1)∵Sn＝n2＋n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，
又a1＝2满足上式，∴an＝2n(n∈N*)．
(2)证明：∵Sn＝n2＋n＝n(n＋1)，
∴＝＝－，
∴Tn＝＋＋…＋＝1－.
∵n∈N*，∴＞0，∴Tn＜1.
12．设公差不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∵a2，a5，a14构成等比数列，∴a＝a2a14.即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝0(舍去)，或d＝2.
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由已知＋＋… ＋＝1－(n∈N*)，
当n＝1时，＝；
当n≥2时，＝1－－＝.
∴＝(n∈N*)．
由(1)，知an＝2n－1(n∈N*)，∴bn＝(n∈N*)．
又Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋，
两式相减，得Tn＝＋－＝－－，∴Tn＝3－.