备考2018中考数学高频考点剖析
专题二十三 平面几何之圆的性质问题
考点扫描☆聚焦中考
圆的性质，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括垂径定理、圆心角和圆周角等关系，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以关于圆的综合性问题为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行圆的基本性质问题的探讨：
（1）垂径典例相关问题；
（2）圆心角相关问题；
（3）圆周角相关问题．
考点剖析☆典型例题
例1（2017呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）21*cnjy*com
A．26π B．13π C． D．
【考点】M2：垂径定理．
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=×13，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM=AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x=，
∴OA=×13，
∴⊙O的周长=2OA?π=13π，
故选B．
例2（2017?乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
【考点】M3：垂径定理的应用．
【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线，
∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，
∴AD∥BD，
∴OE⊥AC，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE===0.75米，
OE=R﹣AB=R﹣0.25，
∵AE2+OE2=OA2，
∴0.752+（R﹣0.25）2=R2，
解得R=1.25．
1.25×2=2.5（米）．
答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦是解题的关键，注意勾股定理的灵活运用．21世纪教育网版权所有
例3（2017广西）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（ ）21教育名师原创作品
A．45° B．60° C．75° D．85°
【考点】M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．
【解答】解：∵B是的中点，
∴∠AOB=2∠BDC=80°，
又∵M是OD上一点，
∴∠AMB≤∠AOB=80°．
则不符合条件的只有85°．
故选D．
例4（2017贵州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）21·世纪*教育网
A．2 B．﹣1 C． D．4
【考点】M5：圆周角定理；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．【版权所有：21教育】
【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE=OC=1，
∴CD=2OE=2，
故选A．
考点过关☆专项突破
类型一 垂径定理相关问题
1. （2016·湖北黄石·3分）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）21·cn·jy·com
A．5 B．7 C．9 D．11
2. （2017四川眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= cm．21*cnjy*com
3. （2016·陕西·3分）如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4. （2016海南4分）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP= ．
5. （2015?四川遂宁第7题4分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（ ）
A．3cm B． 4cm C.5cm D．6cm
6.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，OB=4，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．4
类型二 圆心角相关问题
1. (2017湖北宜昌)如图，四边形ABCD内接⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
2．．（2016·山东省济宁市·3分）如图，在⊙O中， =，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）21cnjy.com
A．40° B．30° C．20° D．15°
3．如图，是半圆，连接AB，点O为AB的中点，点C、D在上，连接AD、CO、BC、BD、OD．若∠COD=62°，且AD∥OC，则∠ABD的大小是（ ）www.21-cn-jy.com
A．26° B．28° C．30° D．32°
4. 在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
类型三 圆周角相关问题
1．（2017毕节）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
2．（2017哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．43° B．35° C．34° D．44°
3．（2017广西河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
4. （2017山东泰安）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（ ）
A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
5. （2017?新疆）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．12 B．15 C．16 D．18
6. （2017江苏徐州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A．28° B．54° C．18° D．36°
7. （2017浙江义乌）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 ．2·1·c·n·j·y
8. （2017张家界）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
9. （2017浙江湖州）如图，已知在△ABC中，AB=AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC=40°，则的度数是 度．21教育网
10. （2017湖北荆州）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是 ．
11. （2017湖北随州）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度．
12. （2017山东临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，2-1-c-n-j-y
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．【出处：21教育名师】
备考2018中考数学高频考点剖析
专题二十三 平面几何之圆的性质问题
考点扫描☆聚焦中考
圆的性质，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括垂径定理、圆心角和圆周角等关系，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以关于圆的综合性问题为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行圆的基本性质问题的探讨：
（1）垂径典例相关问题；
（2）圆心角相关问题；
（3）圆周角相关问题．
考点剖析☆典型例题
例1（2017呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
【考点】M2：垂径定理．
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=×13，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM=AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x=，
∴OA=×13，
∴⊙O的周长=2OA?π=13π，
故选B．
例2（2017?乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
【考点】M3：垂径定理的应用．
【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线，
∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，
∴AD∥BD，
∴OE⊥AC，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE===0.75米，
OE=R﹣AB=R﹣0.25，
∵AE2+OE2=OA2，
∴0.752+（R﹣0.25）2=R2，
解得R=1.25．
1.25×2=2.5（米）．
答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦是解题的关键，注意勾股定理的灵活运用．21cnjy.com
例3（2017广西）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（ ）www.21-cn-jy.com
A．45° B．60° C．75° D．85°
【考点】M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．
【解答】解：∵B是的中点，
∴∠AOB=2∠BDC=80°，
又∵M是OD上一点，
∴∠AMB≤∠AOB=80°．
则不符合条件的只有85°．
故选D．
例4（2017贵州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）21教育名师原创作品
A．2 B．﹣1 C． D．4
【考点】M5：圆周角定理；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．2-1-c-n-j-y
【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE=OC=1，
∴CD=2OE=2，
故选A．
考点过关☆专项突破
类型一 垂径定理相关问题
1. （2016·湖北黄石·3分）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）21*cnjy*com
A．5 B．7 C．9 D．11
【分析】根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．
【解答】解：由题意可得，
OA=13，∠ONA=90°，AB=24，
∴AN=12，
∴ON=，
故选A．
【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．
2. （2017四川眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= 5 cm．
【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2=42+（R﹣2）2，计算求出R即可．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AD=AB=4cm，
设⊙O的半径为R，
由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，
∴R2=42+（R﹣2）2，
解得R=5
∴OC=5cm．
故答案为5．
3. （2016·陕西·3分）如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）2·1·c·n·j·y
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．
【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB?cos∠OBC=4×=2，
∴BC=4．
故选：B．
4. （2016海南4分）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP= 5.5 ．21教育网
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB和DE是⊙O的直径，
∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，
又∵DE⊥AC，
∴OP∥BC，
∴△AOP∽△ABC，
∴，
即，
∴OP=1.5．
∴DP=OP+OP=5.5，
故答案为：5.5．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
5. （2015?四川遂宁第7题4分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（ ）
A．3cm B． 4cm C.5cm D． 6cm
【考点】垂径定理；勾股定理．.
【分析】连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．
【解答】解：连接OA，
∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，
∴AC=AB=×6=3cm，
∵⊙O的半径为5cm，
∴OC===4cm，
故选B．
点评： 本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．
6.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，OB=4，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．4
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】先根据垂径定理得出AB=2BE，再由CE=2，OB=4得出OE的长，根据勾股定理求出BE的长即可得出结论．【版权所有：21教育】
【解答】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，
∴AB=2BE．
∵CE=2，OB=4，
∴OE=4﹣2=2，
∴BE===2，
∴AB=4．
故选D．
类型二 圆心角相关问题
1. (2017湖北宜昌)如图，四边形ABCD内接⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
2．．（2016·山东省济宁市·3分）如图，在⊙O中， =，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵在⊙O中， =，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=40°，
∴∠ADC=∠AOC=20°，
故选C．
3．如图，是半圆，连接AB，点O为AB的中点，点C、D在上，连接AD、CO、BC、BD、OD．若∠COD=62°，且AD∥OC，则∠ABD的大小是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．26° B．28° C．30° D．32°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】由圆周角定理求出∠ADB=90°，由平行线的性质得出∠A=∠COD=62°，再由直角三角形的性质即可得出结果．21世纪教育网版权所有
【解答】解：∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COD=62°，
∴∠ABD=90°﹣∠A=28°；
故选：B．
4. 在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连结OA，如图，先根据垂径定理得到AC=AB=3，然后在Rt△OAC中，根据勾股定理计算出OA即可．
【解答】解：连结OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=3，
在Rt△OAC中，∵OC=4，AC=3，
∴OA==5，
即⊙O的半径为5cm．
故选C．
类型三 圆周角相关问题
1．（2017毕节）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．
【解答】解：连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．
故选C．
2．（2017哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（ ）
A．43° B．35° C．34° D．44°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=42°，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠D=∠A=42°，
∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，
故选B．
3．（2017广西河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．
【分析】根据垂径定理推出=，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴=，
∴∠CAB=∠BAD=36°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=36°，
故选B．
4. （2017山东泰安）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（ ）
A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．
【解答】解：∵连接OC，
∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，
∴∠BOC=2∠A=2α，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==90°﹣α．
故选D．
5. （2017?新疆）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）21·世纪*教育网
A．12 B．15 C．16 D．18
【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再设OA=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中利用勾股定理求出r的值，再求出BE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC=AB=4．
设OA=r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，
∴AE=10，
∴BE===6，
∴△BCE的面积=BC?BE=×4×6=12．
故选A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
6. （2017江苏徐州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A．28° B．54° C．18° D．36°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．
【解答】解：根据圆周角定理可知，
∠AOB=2∠ACB=72°，
即∠ACB=36°，
故选D．
7. （2017浙江义乌）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 90° ．
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠A=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°．
故答案为：90°．
8. （2017张家界）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）21*cnjy*com
A．30° B．45° C．55° D．60°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，再由圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．
故选D．
9. （2017浙江湖州）如图，已知在△ABC中，AB=AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC=40°，则的度数是 140 度．【来源：21cnj*y.co*m】
【考点】M5：圆周角定理；KH：等腰三角形的性质．
【分析】首先连接AD，由等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，可得∠BAD=∠CAD=20°，即可得∠ABD=70°，继而求得∠AOD的度数，则可求得的度数．
【解答】解：连接AD、OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=20°，BD=DC，
∴∠ABD=70°，
∴∠AOD=140°
∴的度数为140°；
故答案为140．
10. （2017湖北荆州）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是 60°或120° ．【出处：21教育名师】
【考点】M6：圆内接四边形的性质；L8：菱形的性质；M5：圆周角定理．
【分析】连接OB，则AB=OA=OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC=60°，∠AD′C=120°，据此可得出结论．
【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=OB=BC，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．
故答案为：60°或120°．
11. （2017湖北随州）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 35 度．
【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．
【分析】首先利用垂径定理证明， =，推出∠AOC=∠COB=70°，可得∠ADC=AOC=35°．
【解答】解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴=，
∴∠AOC=∠COB=70°，
∴∠ADC=AOC=35°，
故答案为35．
12. （2017山东临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；www-2-1-cnjy-com
（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC==4，
∴△ABC外接圆的半径=×4=2．
【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．21·cn·jy·com
