2018年高考数学（文）三轮复习每日一题2018年4月5日+导数的几何意义及其应用

4月5日 导数的几何意义及其应用
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆
典例在线
设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数f ′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为21世纪教育网版权所有
A．－ B．－ln 2
C． D．ln 2
【参考答案】D
【解题必备】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．21教育网
（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y?y0=f ′(x0)(x?x0)；
（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))；
第二步：写出过P′(x1，f (x1))的切线方程为y?f (x1)=f ′ (x1)(x?x1)；21cnjy.com
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y?f (x1)=f ′(x1)(x?x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．
学霸推荐
1．已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为21·cn·jy·com
A． B．
C． D．
2．已知函数.
（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；
（Ⅱ）若函数与的图象在上有两个不同的交点，求实数的取值范围.
1．【答案】B
【名师点睛】解决本题的关键是对切线方程的求法的熟悉，根据切线方程的斜率和切点可以列出两个等式，然后消掉t得到关于a的方程，从而确定f（x）的表达式.www.21-cn-jy.com
2．【答案】（Ⅰ）y＝2x－1；（Ⅱ）(].
【解析】（Ⅰ）当时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，则f ′(x)＝－2x＋2，
所以切点坐标为(1,1)，切线的斜率k＝f ′(1)＝2，
则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
（Ⅱ）由题意可得：2lnx－x2＋m=0有两个不同的根，
令h(x)＝2lnx－x2＋m，则h′(x)＝－2x＝，
∵x∈，
∴h′(x)＝0时，x＝1.
∴当＜x＜1时，h′(x)＞0；当1＜x＜e时，h′(x)＜0.
故h(x)在x＝1处取得极大值h(1)＝m－1.
又＝m－2－，h(e)＝m＋2－e2，
∴h(e)－＝4－e2＋＜0，则h(e)＜，
∴h(x)在[]上的最小值为h(e)．
∴h(x)在[]上有两个零点的条件是,解得1＜m≤2＋，
∴实数m的取值范围是(].
【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值等知识,考查导数与切线的求解.要求曲线在某点处的切线方程,首先要求出切点的坐标,然后求得曲线在该点处切线的斜率,再根据点斜式可写出切线方程,所以在求函数图象的切线方程时,关键在于切点和斜率的确定.