2018年高考数学（理）三轮复习每日一题2018年4月6日+导数的应用

4月6日 导数的应用
高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★★★
典例在线
设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：．
【参考答案】（1）极小值为；极大值为；（2）见解析．
所以，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为．
（2）当时，，，所以不等式可变为．
要证明上述不等式成立，即证明．
设，则，
令，得，
在上，，是减函数；在上，，是增函数．
所以．
令，则，
在上，，是增函数；在上，，是减函数，
所以，
所以，即，
由此可知．
【名师点睛】本小题主要考查函数的导数与极值的求法，考查利用导数证明不等式成立的问题. 求函数极值的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,再结合图象判断函数的单调区间,并得出是极大值还是极小值.
（1）当时,利用导数写出函数的单调区间,进而求得函数的极值.
（2）当时,化简原不等式得,分别利用导数求得左边对应函数的最小值,和右边对应函数的最大值, 最小值大于最大值,即可证明原不等式成立.
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1．已知定义在（0，+∞）上的函数的导函数为，且对，都有，则
（其中e2.7）
A． B．
C． D．
2．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）求函数的单调区间；
（2）已知，若对任意都成立，求的最大值．
3．已知函数，为函数的极值点.
（1）证明：当时，；
（2）对于任意，都存在，使得，求的最小值.
1．【答案】D
【名师点睛】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数等.
2．【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．
【解析】（1）由题意得，
因为，所以由得，
所以当时，，单调递减；当时，单调递增．
综上可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由对任意都成立，得，
由（1）得，
所以．
所以，
设，所以，
由，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以，即的最大值为，此时，．
【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数求解不等式的问题.求函数单调区间的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,再结合图象判断函数的单调区间.
3．【答案】（1）见解析；（2）1.
（2）令，则，解得，
同理，由，可得，
因为，且，所以，
令，则，易知，
当时，，当时，，
所以当时，是减函数，当时，是增函数，
所以的最小值为，即的最小值为.
【名师点睛】（1）求出，由，可得，，等价于当时，恒成立，设，利用导数研究函数的单调性，可得，从而可得结果；
（2）令，可得，利用导数研究函数的单调性可得的最小值为，即的最小值为.