2018精品之高中数学（文）黄金100题系列第40题+平面向量数量积及其应用（1）---夹角与垂直问题

40题 平面向量数量积及其应用（1）---夹角与垂直问题I．题源探究·黄金母题
【例1】设，
求．
【解析】
由；
计算得：
所以
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017课标3文13】已知向量，且，则m=.
【答案】2
【解析】由题意可得：.
【名师点睛】(1)向量平行：，,
(2)向量垂直：，
(3)向量加减乘：【例3】【2017课表1文13】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．
【答案】7
【解析】由题得，因为，所以，解得
【考点】平面向量的坐标运算，垂直向量
【名师点睛】如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则ab的充要条件是x1x2+y1y2＝0．
【例4】【2016高考新课标3】已知向量
， ，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由题意，
得，
所以，故选A．
【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为
，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
【例5】【2016高考新课标2】已知向量
，且，
则（ ）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
【答案】D
【解析】：向量，由得，解得，
【点睛】已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
【例6】【2015高考广东文9】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D．
【考点定位】1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．
【名师点晴】本题主要考查的是平面向量的加法运算和数量积的坐标运算，属于较难题．解题时要注意运行平行四边形法则的特点，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是平面向量加法的坐标运算和数量积的坐标运算，即若，，则，．
【例7】【2014山东.文7】已知向量，.若向量的夹角为，则实数=（ ）
（A） （B） （C）0 （D）
【答案】
【解析】因为所以解得，故选.
考点：平面向量的数量积、模与夹角.
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.利用夹角公式，建立m的方程即得.
【例8】【2014四川高考】平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D.
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修四第107页例6．
【母题评析】本题向量以坐标形式给出，求解思路，完全依据向量数量积的定义进行思考。对定义的理解运用和运算能力是成功解题的关键。
【思路方法】向量以坐标形式给出，达到了向量运算数量化的目的。而对向量数量积定义的准确理解和运用是解题的关键所在。
【命题意图】本类题主要考查（1）向量数量积的定义及坐标形式下的运算。（2）数量积的性质运用如：夹角、投影、垂直等。
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下．
【难点中心】（1）对定义的准确理解和运用是一个难点；（2）由向量数量积定义出发，综合多种条件，求夹角，判断垂直等综合问题。
III．理论基础·解题原理
知识点一　 两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则_∠AOB　＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．
①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．
②当θ＝0°时，a与b_同向.
③当θ＝180°时，a与b_反向.
(2)垂直：如果a与b的夹角是_90° ，则称a与b垂直，记作a⊥b __．
知识点二　 平面向量的数量积
（一）设θ为a与b的夹角．
(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.
(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．
（二）数量积的性质
(1)a⊥b?a·b＝0；
(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；
(3)|a·b|≤|a|·|b|； (4)cosθ＝.
（三）数量积的坐标表示、模、夹角
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝；
(3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0；
(4)cosθ＝.
【误区警示】
1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；
a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．
2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．
3．a在b方向上的投影为，而不是.
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇．
【技能方法】
准确理解数量积的定义，对向量数量积性质的灵活运用。
V．举一反三·触类旁通
考向1　 计算向量的数量积及几何意义
【例1】【2018?北京模拟】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．9
【点评】本题考查了加减的几何意义和向量的数量积，属于基础题．
【例2】【2018?化州市二模】（）已知=（2sin13°，2sin77°），|﹣|=1，与﹣的夹角为，则?=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：=（2sin13°，2sin77°）=（2sin13°，2cos13°），||=2，
|﹣|=1，与﹣的夹角为，
所以==﹣，1=4﹣，
∴?=3，故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．
【例3】【2018?玉溪一模】已知与的夹角为，=（1，1），||=1，则在方向上的投影为（　　）
A． B． C． D．
【解答】根据题意，与的夹角为，且||=1，
则在方向上的投影||cos=；故选：C．
【跟踪训练】
（1）（2018?四川模拟）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD=2DC，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：=?（+）=2+?
=2+?=1﹣×1×1×cos60°=1﹣×=．故选B．
（2）（2018?遂宁模拟）向量=（2，﹣1），=（﹣1，2），则（2+）?=（　　）
A．1 B ．﹣1 C．﹣6 D．6
（3）（2018?铁东区校级二模）若向量，满足，，则?=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【解答】解：∵，，∴（+）2=10，（﹣）2=6，
两者相减得：4?=4，∴?=1，故选：A．
（3）（2018?湖北模拟）在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若与在方向上的投影相同，则a2+b2的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：∵向量与在方向上的投影相同，∴，
∵A（a，1），B（2，b），C（3，4），∴3a+4=6+4b，
即3a﹣4b﹣2=0，∵坐标原点O到直线3a﹣4b﹣2=0的距离为d=．
∴a2+b2的最小值为．故选：D．
考向2　 求向量的夹角
【例1】【2018沈阳二中高二月考】平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D.
【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.
【例2】【2014江西高考文第15题】已知单位向量与的夹角为，且，
向量与的夹角为，则= .
【答案】
【解析】因为所以
【跟踪训练】
（1）【2018重庆模拟】若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为　　　　（　　）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由题意，即，所以，，，选A.
【名师点晴】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的垂直，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.
（2）【2018佛山模拟】已知向量，则下列向量中与成的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【名师点晴】本题主要考查的是空间向量数量积的坐标运算，属于中等题．解题时要抓住关键字眼“成”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是空间向量数量积的坐标运算，即若，，则（3）【2018西安模拟】设，向量，若，则______.
【答案】
考向3　向量垂直的计算和证明
【例1】【2018山东滨州市二模】已知向量，且，则实数=（ ）
D.
【答案】C
【名师点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的条件，属于基础题，利用向量垂直的条件的坐标条件可将两向量垂直的条件转化为所求实数k的方程，解之即得结果.
【例2】【2015高考安徽】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】
【跟踪训练】
（1）【2018武汉模拟】设向量，，若，则实数 .
【答案】
【解析】因为，，
因为，所以，解得.
【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平面向量的垂直的性质，扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.其解题的关键是正确的计算平面向量的坐标运算.
（2）【2018青岛模拟】已知向量，，则 .
【答案】9
【名师点睛】平面向量是新教材新增内容，而且由于向量的双重“身份”是研究一些数学问题的工具.这类问题难度不大，以考查基础知识为主.