第9章 中心对称图形——平行四边形期中复习提优测试题

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期中复习（二）
平行四边形提优复习
一．填空题
1．如图1，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4cm，则点P到BC的距离 是________cm． 21世纪教育网版权所有
图1 图2
2.已知平行四边形三个顶点是(3,-2),(5,2),(-1,4),第四个顶点的坐标为_________
3．如图2，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为　　．21·cn·jy·com
4．如图3，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC:AB=3:5，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．CM=2，则线段CD的长为_________；
5.如图4，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点E、F、G分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则EG+FG的最小值为________
图3 图4
二．选择题
6．如图5，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△ABˊCˊ可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点），连接CC'，则∠CCˊBˊ的度数是 ( )
A．45° B．30° C．25° D．15°
7．如图6，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是 ( )
A．四边形AEDF一定是平行四边形
B．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形
D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形
图5 图6
8．如图7，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A．45° B．55° C．60° D．75°
9．如图8，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝C D．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝(BC－AD)，⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是 ( )www-2-1-cnjy-com
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图9，△ABC中，∠ACB＝90°，AC>BC，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是 ( )
A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2图7 图8 图9
三．解答题。
11.如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．【来源：21cnj*y.co*m】
12.已知：如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别是AB，AD上的两个动点，且始终保持∠ECF=60°
（1）试判断△ECF的形状并说明理由；若把∠ECF=60°换成AE=DF,其它条件不变，结论还成立吗？
（2）若菱形的边长为6cm，那么△ECF的周长是否存在最小值 如果存在,请求出来,如果不存在请说明理由.【出处：21教育名师】
13.如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．【版权所有：21教育】
（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．21*cnjy*com
14.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念，如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件，你添加的条件是___．
（2）问题探究：
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。
②如图2，在“等邻边四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=6，求对角线AC的长．
（3）拓展应用：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=30°，AC为对角线，试探究AC，BC，DC的数量关系．21*cnjy*com
15．如图，已知菱形ABCD，点P、Q在直线BD上，点P在点Q左侧，AP∥CQ．
（1）如图1，当∠ABC=90°，点P、Q在线段BD上时，求证：BP+BQ=BA；
（2）如图2，当∠ABC=60°，点P在线段DB的延长线上时，试探究BP、BQ、BA之间的数量关系，并说明理由．2-1-c-n-j-y
16.以四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E，F，G，H，顺次连接这四个点，得到四边形EFGH．
　　（1）如图①，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH也是正方形；如图②，当四边形ABCD为矩形时，请判断四边形EFGH的形状（不要求证明）．
　　（2）如图③，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝α（0°＜α＜90°）．
　　①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG.
　　③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
17．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．www.21-cn-jy.com
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
参考答案：
一．填空题
1. 4 2. （9，-4），（-3,0）或（1,8）
3. 4. 3 5.
二．选择题
6—10：D C C C A
三．解答题
11.如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
解：(1)延长CE交AB与G
∵AE⊥CG,AE平分∠BAC
∴△AGE是等腰三角形
∴E是GC的中点
∵D是CB的中点
∴DE//AB
∴DE//BF
∵EF//BD
∴四边形BDEF是平行四边形
(2)2BF+AC=AB,
由（1）知DE是△BCG的中位线
四边形BDEF是平行四边形
∴BF=DE,DE=BG
∴BF=BG
∴BF=FG
∴AB=AG+FG+BF=AC+2BF
即2BF+AC=AB
12. 已知：如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别是AB，AD上的两个动点，且始终保持∠ECF=60°
（1）①试判断△ECF的形状并说明理由；②若把∠ECF=60°换成AE=DF,其它条件不变，结论还成立吗？
（2）若菱形的边长为6cm，那么△ECF的周长是否存在最小值 如果存在,请求出来,如果不存在请说明理由.21教育名师原创作品
解：（1）①连接AC,
∵ABCD是菱形,
∴AB=BC=DC,∠B=∠D,
∵∠B=60°,
∴ΔABC是等边三角形,∴
∴AC=BC=CD=AD,
∴ΔACD是等边三角形,
∴ΔACE≌ΔDCF,
∴CE=CF,
∵∠ECF=60°
∴ΔCEF是等边三角形.
②成立
⑵∵ΔACE≌ΔDCF,∴∠ACE=∠DCF,∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=∠ACF+∠DCF=60°,
∴ΔCEF是等边三角形,
当CE最小时ΔCEF周长最小,
∴CE⊥AB,这时,CE==
∴ΔCEF周长最小=
13.如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．
解：（1）证明：∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF
∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°
在Rt△CDG和Rt△CBG中
∴△CDG≌△CBG（HL），
（2）∵△CDG≌△CBG
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG
在Rt△CHO和Rt△CHD中
∴△CHO≌△CHD（HL）
∴∠OCH=∠DCH，OH=DH
∴∠HCG＝∠HCD+∠GCD＝ ∠OCD+∠DCB
＝ ∠OCB＝45°
HG=HD+DG=HO+BG
（3）G为AB中点的时四边形AEBD可为矩形
如图，
连接BD、DA、AE、EB
因为四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候．
因为DG=BG，所以此时同时满足DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形．
所以当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．
∵四边形DAEB为矩形
∴AG=EG=BG=DG
∵AB=6
∴AG=BG=3
设H点的坐标为（x，0）
则HO=x
∵OH=DH，BG=DG
∴HD=x，DG=3
在Rt△HGA中
∵HG=x+3，GA=3，HA=6-x
∴（x+3）2=32+（6-x）2
∴x=2
∴H点的坐标为（2，0）．
14.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）概念，如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件，你添加的条件是___．
（2）问题探究：
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。
②如图2，在“等邻边四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=6，求对角线AC的长．
（3）拓展应用：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=30°，AC为对角线，试探究AC，BC，DC的数量关系．
解：.（1）根据定义：AB=BC．
（2）
①正确
理由如下：∵四边形的对角线互相平分，
∴这个四边形是平行四边形，小红的结论正确．
∵四边形是“等邻边四边形”，
∴这个四边形有一组邻边相等，
∴这个“等邻边四边形”是菱形，
②连接AC、BD交于点O，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴CB=CD，
∴AC垂直平分BD，
直角△ABC中
AC=
（3）过点C作CE⊥BC于点C，且使得CE=CD，
∵∠BAD+∠BCD=90°，
∴∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CD，∠EDC=60°，
∵AB=AD，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
在△ADC和△BDE中，
AD=BD∠ADC=∠BDECD=DE
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC=BE，
∵∠BCE=90°，
∴BE2=BC2+CE2，
即AC2=BC2+CD2
15．如图，已知菱形ABCD，点P、Q在直线BD上，点P在点Q左侧，AP∥CQ．
（1）如图1，当∠ABC=90°，点P、Q在线段BD上时，求证：BP+BQ=BA；
（2）如图2，当∠ABC=60°，点P在线段DB的延长线上时，试探究BP、BQ、BA之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDQ，
∵AP∥CQ，
∴∠APD=∠CQB，
∴∠APB=∠CQD，
在△ABP和CDQ中，
，
∴△ABP≌CDQ，
∴BP=DQ．
（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD为正方形，
∴∠ABD=45°，∠BAD=90°，
∴在RT△ABD中，由勾股定理得：BD=BA，
由（1）得 BP=DQ，
∴BP+BQ=DQ+BQ=BD，
∴BP+BQ=BA．
（3）BP、BQ、BA之间的数量关系BQ-BP=BA，
理由如下：连接AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ABH=30°，∠AHB=90°，BD=2BH，
∴BH=AB cos∠ABH=BA，
由（1）得，BP=DQ，
∴BQ-BP=BQ-DQ=BD=BA．
16.以四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E，F，G，H，顺次连接这四个点，得到四边形EFGH．
　　（1）如图①，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH也是正方形；如图②，当四边形ABCD为矩形时，请判断四边形EFGH的形状（不要求证明）．
　　（2）如图③，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝α（0°＜α＜90°）．
　　①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG.
　　③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
解：（1）解：四边形EFGH是正方形．
　　（2）①解：在□ABCD中，AB∥CD，所以∠BAD＝180°-∠ADC＝180°－α．因为△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，所以∠HAD＝∠EAB＝45°．
所以∠HAE＝360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－α）
＝90°＋α．
②证明：因为△AEB和△DGC都是等腰直角三角形
所以AE＝AB，DG＝CD．
在□ABCD中，AB＝CD，
所以AE＝DG．
因为△HAD和△GDC都是等腰直角三角形
所以∠HDA＝∠CDG＝45°．
所以∠HDG＝∠HDA＋∠ADC＋∠CDG＝45°＋α＋45°＝90°＋α＝∠HAE．
又HA＝HD，
所以△HAE≌△HDG，所以HE＝HG．
　　③解：四边形EFGH是正方形．
理由：同②，得GH＝GF，FG＝FE．
因为HE＝HG，所以GH＝GF＝EF＝HE．
所以四边形EFGH是菱形．
因为△HAE≌△HDG，
所以∠DHG＝∠AHE．
因为∠AHD＝∠AHG＋∠DHG＝90°，
所以∠EHG＝∠AHG＋∠AHE＝90°．
所以四边形EFGH是正方形．
17．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．21cnjy.com
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．2·1·c·n·j·y
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm；
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形，
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12﹣4t，
∴5t=12﹣4t，
解得，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒，
②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上，
分三种情况：
（i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12
（ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12
（iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12，
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）。
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