备考2018中考数学高频考点剖析
专题二十六 平面几何之投影与视图问题
考点扫描☆聚焦中考
投影与视图，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括投影和视图两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以计算为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三个方面进行投影与视图问题的探讨：
（1）投影问题；
（2）三视图；
（3）关于视图的计算．
考点剖析☆典型例题
例1（2017绥化）正方形的正投影不可能是（ ）
A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
【考点】U5：平行投影．
【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．
【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段．
故正方形纸板ABCD的正投影不可能是梯形，
故选：D．
例2（2017?营口）下列几何体中，同一个几何体的三视图完全相同的是（ ）
A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】分别写出各个立体图形的三视图，判断即可．
【解答】解：A、球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确
B、圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形；故本选项错误；
C、圆柱的主视图、左视图是矩形、俯视图是圆，故本选项错误；
D、三棱柱球体的主视图、左视图是三角形、俯视图三角形，但大小不一定相同，故本选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键．21cnjy.com
例3 （2017乌鲁木齐）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）21·cn·jy·com
A．π B．2π C．4π D．5π
【考点】U3：由三视图判断几何体；MP：圆锥的计算．
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l==2，
∴S侧=?2πr?l=×2π××2=2π．
故选B．
例4（2017宁夏）如图是由若干个棱长为1的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是 ．2·1·c·n·j·y
【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体，第二有1个小正方体，【出处：21教育名师】
因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个．
∴这个几何体的表面积是5×6﹣8=22，
故答案为22．
【点评】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键．
例5（2017山东滨州）如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，则这个几何体表面积的大小为 ．www-2-1-cnjy-com
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】由几何体的三视图得出该几何体是几何体是长方体与三棱柱的组合体，结合图中数据求出组合体的表面积即可．21*cnjy*com
【解答】解：由几何体的三视图可得：
该几何体是长方体、两个扇形和一个矩形的组合体，
该组合体的表面积为：S=2×2×3+×2+×3=12+15π，
故答案为：12+15π．
考点过关☆专项突破
类型一 投影
1. （2016广西南宁3分）把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
2.如图,竹竿和旗杆在同一平面直立着,其中竹竿在太阳光下某一时刻的影子已画出.
(1)用线段表示同一时刻旗杆在太阳光下的影子;
(2)比较竹竿与旗杆影子的长短;
(3)图中是否出现了相似三角形?
3.如图,小赵、小王、小李三人站在路灯下,他们在路灯下的影子在同一直线上.
(1)确定图中路灯灯泡O所在的位置;
(2)在图中画出表示小赵身高的线段.
4.如图,下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影子.你能判断出哪幅图是灯光下形成的,哪幅图是太阳光下形成的吗?21·世纪*教育网
5.如图,在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD,它们都与地面垂直,为了测得电线杆的高度,一个小组的同学进行了如下测量:某一时刻,在太阳光照射下,旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米,落在地面上的影子BF的长为10米,而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米,落在地面上的影子DH的长为5米.依据这些数据,该小组的同学计算出了电线杆的高度.21教育名师原创作品
(1)该小组的同学在这里利用的是___________投影的有关知识进行计算的;?
(2)试计算出电线杆的高度,并写出计算的过程.
6.如图,花丛中有一根路灯杆AB,在光线下小明在点D处的影长DE=3 m,沿BD方向行走到达点G,测得DG=5 m,这时小明的影长GH=5 m,如果小明的身高为1.7 m,求路灯杆AB的高度.
类型二 三视图
1. （2017湖北随州）如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．三棱柱
2．（2017山东泰安）下面四个几何体：
其中，俯视图是四边形的几何体个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2017甘肃天水）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4. （2017甘肃张掖）某种零件模型可以看成如图所示的几何体（空心圆柱），该几何体的俯视图是（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
5. （2017呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积为 ．21教育网
6. (2017湖北咸宁)如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
7. （2017?新疆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．球 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
8 . （2017浙江义乌）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
9. （2017齐齐哈尔）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有a个小正方体组成，最少有b个小正方体组成，则a+b等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
类型三 关于视图的计算
1．（2017宁夏）圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是（ ）
A．12π B．15π C．24π D．30π
2．（2017湖北荆州）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ）
A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000
3．（2017浙江湖州）如图是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）www.21-cn-jy.com
A．200cm2 B．600cm2 C．100πcm2 D．200πcm2
4. （2017?益阳）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（ ）21*cnjy*com
A．cm2 B．cm2 C．30cm2 D．7.5cm2
5（2016·湖北随州·3分）如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（ ）
A．15πcm2 B．51πcm2 C．66πcm2 D．24πcm2
6. （2016·湖北荆州·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为 cm2．2-1-c-n-j-y
7. （2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）一个侧面积为16πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为 cm．【版权所有：21教育】
备考2018中考数学高频考点剖析
专题二十六 平面几何之投影与视图问题
考点扫描☆聚焦中考
投影与视图，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括投影和视图两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以计算为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三个方面进行投影与视图问题的探讨：
（1）投影问题；
（2）三视图；
（3）关于视图的计算．
考点剖析☆典型例题
例1（2017绥化）正方形的正投影不可能是（ ）
A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
【考点】U5：平行投影．
【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．
【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段．
故正方形纸板ABCD的正投影不可能是梯形，
故选：D．
例2（2017?营口）下列几何体中，同一个几何体的三视图完全相同的是（ ）
A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】分别写出各个立体图形的三视图，判断即可．
【解答】解：A、球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确
B、圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形；故本选项错误；
C、圆柱的主视图、左视图是矩形、俯视图是圆，故本选项错误；
D、三棱柱球体的主视图、左视图是三角形、俯视图三角形，但大小不一定相同，故本选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键．www.21-cn-jy.com
例3 （2017乌鲁木齐）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）21*cnjy*com
A．π B．2π C．4π D．5π
【考点】U3：由三视图判断几何体；MP：圆锥的计算．
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．
【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l==2，
∴S侧=?2πr?l=×2π××2=2π．
故选B．
例4（2017宁夏）如图是由若干个棱长为1的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是 22 ．【版权所有：21教育】
【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体，第二有1个小正方体，
因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个．
∴这个几何体的表面积是5×6﹣8=22，
故答案为22．
【点评】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键．
例5（2017山东滨州）如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，则这个几何体表面积的大小为 12+15π ．
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】由几何体的三视图得出该几何体是几何体是长方体与三棱柱的组合体，结合图中数据求出组合体的表面积即可．
【解答】解：由几何体的三视图可得：
该几何体是长方体、两个扇形和一个矩形的组合体，
该组合体的表面积为：S=2×2×3+×2+×3=12+15π，
故答案为：12+15π．
考点过关☆专项突破
类型一 投影
1. （2016广西南宁3分）把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行投影．
【分析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．
【解答】解：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．
故选A．
【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定．21世纪教育网版权所有
2.如图,竹竿和旗杆在同一平面直立着,其中竹竿在太阳光下某一时刻的影子已画出.
(1)用线段表示同一时刻旗杆在太阳光下的影子;
(2)比较竹竿与旗杆影子的长短;
(3)图中是否出现了相似三角形?
解:(1)如图,线段AB即为旗杆的影子.
(2)由图可知,旗杆的影子长,竹竿的影子短.
(3)出现了相似三角形,即旗杆与其影子及太阳光线构成的△ABC和竹竿与其影子及太阳光线构成的△DEF相似.www-2-1-cnjy-com
3.如图,小赵、小王、小李三人站在路灯下,他们在路灯下的影子在同一直线上.
(1)确定图中路灯灯泡O所在的位置;
(2)在图中画出表示小赵身高的线段.
解:如图所示.(1)点O为路灯灯泡所在的位置.
(2)线段BC表示小赵的身高.
4.如图,下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影子.你能判断出哪幅图是灯光下形成的,哪幅图是太阳光下形成的吗?【来源：21cnj*y.co*m】
解:如图,过树的顶端和对应影子的顶端分别作直线.
由上图可知,图①为太阳光下形成的,图②为灯光下形成的.
5.如图,在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD,它们都与地面垂直,为了测得电线杆的高度,一个小组的同学进行了如下测量:某一时刻,在太阳光照射下,旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米,落在地面上的影子BF的长为10米,而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米,落在地面上的影子DH的长为5米.依据这些数据,该小组的同学计算出了电线杆的高度.
(1)该小组的同学在这里利用的是___________投影的有关知识进行计算的;?
(2)试计算出电线杆的高度,并写出计算的过程.
解:(1)平行
(2)如图,连接AE,CG,过点E作EM⊥AB于M,过点G作GN⊥CD于N,
则MB=EF=2,ND=GH=3,
ME=BF=10,NG=DH=5.
所以AM=10-2=8.由平行投影可知,=,即=,
解得CD=7.即电线杆的高度为7米.
6.如图,花丛中有一根路灯杆AB,在光线下小明在点D处的影长DE=3 m,沿BD方向行走到达点G,测得DG=5 m,这时小明的影长GH=5 m,如果小明的身高为1.7 m,求路灯杆AB的高度.
解:依题意,得AB⊥BH,CD⊥BH,FG⊥BH.
在Rt△ABE和Rt△CDE中,
∵AB⊥BH,CD⊥BH,∴CD∥AB,
∴Rt△ABE∽Rt△CDE,
∴=.
同理可得Rt△ABH∽Rt△FGH,
∴=.
又∵CD=FG=1.7 m,
∴=.
∵DE=3 m,DG=5 m,GH=5 m,
∴=,解得BD=7.5m.
∴AB=·(DE+BD)==5.95(m).
则路灯杆AB的高度为5.95 m.
类型二 三视图
1. （2017湖北随州）如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．三棱柱
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：这个几何体是圆柱体．
故选C．
2．（2017山东泰安）下面四个几何体：
其中，俯视图是四边形的几何体个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形进行解答即可．
【解答】解：俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱，
故选：B．
3．（2017甘肃天水）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得横着的“”字，
故选C．
4. （2017甘肃张掖）某种零件模型可以看成如图所示的几何体（空心圆柱），该几何体的俯视图是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：空心圆柱由上向下看，看到的是一个圆环，并且大小圆都是实心的．
故选D．
5. （2017呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积为 π ．
【考点】：由三视图判断几何体．
【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由圆柱体和圆锥体构成，从而根据三视图的特点得知高和底面直径，代入表面积公式计算即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：由三视图可知，几何体是由圆柱体和圆锥体构成，
故该几何体的表面积为：20×10π+π×82+×10π×=π
故答案是：π．
6. (2017湖北咸宁)如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据三棱柱的特点求解即可．
【解答】解：主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，得
几何体是三棱柱，
故选：A．
7. （2017?新疆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．球 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据几何体的三视图，对各个选项进行分析，用排除法得到答案．
【解答】解：根据主视图是三角形，圆柱和球不符合要求，A、B错误；
根据俯视图是圆，三棱锥不符合要求，C错误；
根据几何体的三视图，圆锥符合要求．
故选：D．
【点评】本题考查的是由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．21教育网
8 . （2017浙江义乌）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：A．
9. （2017齐齐哈尔）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有a个小正方体组成，最少有b个小正方体组成，则a+b等于（ ）21·世纪*教育网
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．21·世纪*教育网
【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边后排最多有3个，左边前排最多有3个，右边只有一层，且只有1个，21*cnjy*com
所以图中的小正方体最多7块，
结合主视图和俯视图可知，左边后排最少有1个，左边前排最多有3个，右边只有一层，且只有1个，
所以图中的小正方体最少5块，
a+b=12，
故选：C．
类型三 关于视图的计算
1．（2017宁夏）圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是（ ）
A．12π B．15π C．24π D．30π
【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．
【解答】解：由勾股定理得：母线l===5，
∴S侧=2πrl=πrl=π×3×5=15π．
故选B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键．
2．（2017湖北荆州）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ）
A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可．【出处：21教育名师】
【解答】解：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，
圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5，
故该几何体的体积为：π×102×8+30×20×5=800π+3000，
故选：D．
3．（2017浙江湖州）如图是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）21cnjy.com
A．200cm2 B．600cm2 C．100πcm2 D．200πcm2
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．
【解答】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为2，底面直径为1，
侧面积为：πdh=2×π=2π，
∵是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，
∴原几何体的侧面积=100×2π=200π，
故选D．
4. （2017?益阳）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（ ）21教育名师原创作品
A．cm2 B．cm2 C．30cm2 D．7.5cm2
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据给出的空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，比例尺为1：4，可得其主视图的面积=长12×=3cm宽10×=2.5cm的长方体的面积，根据长方形面积公式计算即可求解．
【解答】解：12×=3（cm）
10×=2.5（cm）
3×2.5=7.5（cm2）
答：其主视图的面积是7.5cm2．
故选：D．
【点评】考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是能得到立体图形的三视图和学生的空间想象能力．
5（2016·湖北随州·3分）如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（ ）
A．15πcm2 B．51πcm2 C．66πcm2 D．24πcm2
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据三视图，可得几何体是圆锥，根据勾股定理，可得圆锥的母线长，根据扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积，根据圆的面积公式，可得圆锥的底面积，可得答案．
【解答】解：由三视图，得
，
OB=3cm，0A=4cm，
由勾股定理，得AB==5cm，
圆锥的侧面积×6π×5=15πcm2，
圆锥的底面积π×（）2=9πcm，
圆锥的表面积15π+9π=24π（cm2），
故选：D．
6. （2016·湖北荆州·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为 4π cm2．2·1·c·n·j·y
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．2-1-c-n-j-y
【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm，
故表面积=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2．
故答案为：4π．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
7. （2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）一个侧面积为16πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为 4 cm．
【考点】圆锥的计算；等腰直角三角形；由三视图判断几何体．
【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形，得出2r=l，代入S侧=πrl，求出r，l，从而求得圆锥的高．
【解答】解：设底面半径为r，母线为l，
∵主视图为等腰直角三角形，
∴2r=l，
∴侧面积S侧=πrl=2πr2=16πcm2，
解得 r=4，l=4，
∴圆锥的高h=4cm，
故答案为：4．
